第2章 运动定律与力学中的守恒定律

2
k
02 k 2
1
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5 牛顿运动定律 动量 动量守恒定律 功 动能 势能 机械能守恒定律 角动量 角动量守恒定律 刚体的定轴转动＊
物体间的相互作用称为力，研究物体在力的 作用下运动的规律称为动力学.
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●变力作用下，求物体运动
力是速度的函数F=F(v):
力是位置的函数F=F(x):
力是时间的函数F=F( t ):
一质量为0.25kg的质点A 受外力 动, 且当时t=0从坐标原点开始运动，v0 程、速度的表达式。
F ti 的作用下运
2 j ,求运动方
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例:
跳伞运动员在张伞前的俯冲阶段，由于受到随速度增加而 增大的空气阻力，其速度不会像自由落体那样增大.当空气阻力 增大到与重力相等时，跳伞员就达到其下落的最大速度，称为 终极速度. 设跳伞员下落时受到的空气阻力为F＝k2(k为常量)，试求 跳伞在任一时刻的下落速度. F
按牛顿第三定律，球对墙的平均作用力和 f N 的方向相反而等值，即垂直于墙面向里.
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思考：帆船逆风行驶
航向 风
F

帆
船
v0
vo
v F
ห้องสมุดไป่ตู้v
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例: 一辆装矿砂的车厢以＝4 m·－1的速率从漏斗下 s 通过，每秒落入车厢的矿砂为k＝200 kg·－1，如欲 s 使车厢保持速率不变，须施与车厢多大的牵引力(忽 略车厢与地面的摩擦)？
I // P // V
平均冲力
F
t2 1 m 2 m1 t1 Fdt t2 t1 t2 t1
碰撞问题中的应用，如，汽
车气囊、拳击手套、运动护垫
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二、质点系的动量定理
质点系

t2
t1
( Fi外 Fji )dt mi vi 2 mi vi1

z2
z1
mgdz
W mgz 2 mgz 1
重力的功只由质点始、末位置来决定，而与 所通过的路径无关.
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(2) 万有引力的功 两个质点之间在引力作用下相对运动时 ，以M 所在处为原点,M指向m的方向为矢径的正方向。m 受的引力方向与矢径方向相反。
Mm F G 3 r r
W
b
a
x2 y2 z2 F dr Fx dx Fydy Fz dz
x1 y1 z1
功率
dA F dr P＝ F v dt dt
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例:一力作用在质量 m = 3kg 的质点上，质点沿 x方向运动，运动方程为x=-3t-4t2+t3 (SI) 求：该力最初4秒内所作的功?
n n 1 t2 ( Fi 外 )dt ( f ji )dt n i 1 t1 i 1 j 1 n
Fi外
i
Fij Fji
F j外
j

t2
t1
n mi vi 2 mi vi1 i 1
n
i 1
n n n t2 f ji 0 ( Fi外 )dt mi vi 2 mi v i1
将冲量和动量分别沿图中N和x两方向分解得：
f x t mv sin mv sin 0
f N t mv cos (mv cos ) 2mv cos
f x 0 fN 2mv cos 2 0.2 5 0.5 20 N t 0.05
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§2-1 牛顿运动定律
牛顿（Isaac Newton， 1642 - 1727），英国伟大 的物理学家，一生对科学事 业所做的贡献，遍及物理学、 数学和天文学等领域。在物 理学上，牛顿在伽利略、开 普勒等人工作的基础上，建 立了牛顿三定律和万有引力 定律，并建立了经典力学的 理论体系。
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一、牛顿第一定律（惯性定律）
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守恒条件讨论
系统所有质点不受外力，或者所受合外力为零时 系统某个合外力不为零，但合外力沿某一方向为零，可得 到该方向上的动量守恒
Px mi v ix C x Py mi v iy C y pz mi v iz C z
Fx 0 Fy 0 Fz 0
d ( m ) dp F dt dt
微分形式 积分形式
dI Fdt dp
t I Fdt p p0
t0
作用于物体上的合外力的冲量等于物体动量 的增量这就是质点的动量定理。
I x Fx dt m x m x0
t0 t t
dv a 8 6t dt 2 dx (3 8t 3t )dt
A
0 4 4
f ma 3(6t 8)
f dx
3(6t 8)(3t 2 8t 3)dt 240J
0
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例、质量为两kg的质点在力 F 12 i ＝ t 的作用下，从静止出发，沿x轴正向作直线运动。 求前三秒内该力所作的功。 解：（一维运动可以用正负表示）
n 1
i 1 j 1
t1
i 1
i 1
i 1
质点系总动量的增量等于作用于该系统上合外力的冲量
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三、质点系的动量守恒定律
若质点系所受的合外力为零 Fi外 0
n i 1
则系统的总动量守恒，即
m v
i 1 i
n
i2
mi vi1
i 1
n
定义：一个孤立的力学系统(系统不受外力作用)或 合外力为零的系统，系统内各质点间动量可以交换， 但系统的总动量保持不变。
( xi yj ) yj ? ( xi yj ) xj ?
A d A AdA r d r rdr
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一.功 功率 恒力的功
(中学）力在位移方向上的投影与该物体位移大小的乘积。

F
F

r
A F Δr cosα
W＝ F d r F v dt 12tvdt
dv adt
3
F dv mdt 0 0
2
v
t
12t v dt 3t 2 0 2
t
W 12 t 3t dt 729 J
0
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3.保守力的功 (1) 重力的功 物体m在重力作用下由a运动到b，取地面为坐 标原点. z b z2 b W mg dr a z1 a b ( mg k ).(d xi d yj dzk ) y 0 a x mg
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y
N
解方程，得:
a2＝(g＋a1)sin
a1 a2 x mg
N ＝m(g＋a1)cos
物体对斜面的压力 N′=N=m(g＋a1)cos
垂直指向斜面.
m沿斜面向下作匀变速直线运动，所以
1 1 l a2t 2 ( g a1 ) sin t 2 2 2
2l t ( g a1 ) sin
由矢量标积定义式
A F Δr
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变力的功（力的空间累积） F3 4 3 F4
1 F1
2
F2
A＝ dA F dr F cos dr
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直角坐标系中
F Fx i Fy j Fz k dr dxi dyj dzk
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例2.4 一弹性球，质量m＝0.20kg，速度 v＝5m/s， 与墙碰撞后弹回.设弹回时速度大小不变，碰撞前后 的运动方向和墙的法线所夹的角都是α ，设球和墙碰 撞的时间Δ t＝0.05s，α ＝60°，求在碰撞时间内， 球和墙的平均相互作用力.
解
f t mv2 mv1 mv
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1 e 1 e


2g
T
2g t
t
t
T
t
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§2.2 动量 动量守恒定律
整个物理学大厦的基石,三大守恒定律： 动量守恒定律 能量转换与守恒 角动量守恒
一.质点的动量定理
定义: 质点的动量— p m
定义:
t 力的冲量 — I F dt
t0
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若一个质点，所受合外力为 F
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四 牛顿定律的应用
例: 升降机内有一光滑斜面，固定在底板上，斜面倾 角为.升降机以匀加速度a1竖直上升，质量为m的物体 从斜面顶端沿斜面下滑.已知斜面长为l，求物体对斜面 的压力，物体从斜面顶点滑到底部所需的时间.
a1
a2 y a1
N

x
mg
x方向: mgsin ＝m(a2－a1sin) y方向: N－mgcos ＝ma1cos
动量定理的分量形式
I y Fydt m y m y0
t0 t
I z Fz dt m z m z0
t0
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冲量:
dI Fdt
t I dI Fdt
t0
●冲量为矢量，而且
I是过程量，它的方向不能由某瞬时力
的方向决定。 冲量是过程量，其方向是过程的动量增量的方向
例: 一飞轮受摩擦力矩作用作减速转动过程中，其角 加速与角位置成正比，比例系数为k(k＞0)，且t＝0 时， 0＝0， ＝ 0.求：角速度作为的函数表达式；
解
d d d d k dt d dt d


0
d


0
kd
2
2
2