可逆矩阵判定典型例题.docx
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典型例题(二)方阵可逆的判定
例1设A是n阶方阵，试证下列各式：
(1)若|A|"则(A T)J=(AJ)T；
* * *
(2)若A、B都是n阶可逆矩阵，则(AB) =BA
(3)(A T) =(A)T；
(4)若|A|"则(A*)J=(AJ)* ；
(5)^A)* ^-I)nj A* ；
l J 」I
(6)若 1 A^Z0,则(A ) =(A )( I 为自然
数)；
(7)(kA) =k njL A .
证 (1)因为IA R°,故A是可逆矩阵，且
AA J=E
两边同时取转置可得
(AA) T=(A)T A T=(E)= E 故由可逆矩
阵的定义可知(A')T是A T的逆矩阵.
即
(A」)T=(A T)J
(2)利用方阵与其对应的伴随矩阵的关系有
(AB) * (AB) =IABIE (2-7)另一方面
(B*A*)(AB) =B*(A*A)B =B*(∣A∣I)B
=| A| B*B =| A| | B | E =| AB | E (2-8)比较式(2-7)、( 2-8)可知
(AB)* (AB) =(B*A*)( AB)
又因为A、B均可逆,所以(AB)也可逆，对上式两端右乘(AB)'可得
(AB)* =B
(3)设n阶方阵A为
a
11 a1 n
a 21 a
2n
J a n1 于是可得A的伴随矩阵A*为
a
n2
a
nn
A
12
A
22
A
n2
_A1
n
A?n
注意到A的转置矩阵为
A T
aιι
a12
a21
a22
_a in a2n
a
n1
a n2
a
nn
可推出A T的伴随矩阵为
(A T)
* T *
比较A*与(A )可知
(A )T
A
nI
= (A T)
A
12
A
22
A n2
A ln
A
2n
A
nn
(4)因为
IA A0,故A可逆,A的逆矩阵为
A* HAIA J I
由于I ALO, A J可逆且A'(A^1) =I A
(A J)*—A
|A|
A J I E可得
另一方面，由
* 1 *
A(A)=IAI AJ IAI
由矩阵可逆的定义知
(5)对于(3) ,A可逆,并且
* 1 1 ;
(A ) =(A )
给出的矩阵A,有
一a11 一
a
12
-A =
—∙a22
IL- a n1 一
a
n2
即^aij的代数余子式为
(-1)i j 一a i 41
-a i 11
D n X (i, j =1,
-a i 4 j
,并且由AA=IAI E可知
一
a
1n
—a nn
^ a i Jj 1 _ a i 4n 一a i ij —-a i ij 1 -a i In
-a nj -1
2, , n)
* (—A)= (-1)n-A11
L1)n-A12
(-1)n-A21
(-1)nj A22
(-1)n^l A∏1
(-1)n^l A∏2
=(_1)2 A (-1)nj A2n
VD n A A In
(6)因为,A 0,故A可逆,并且
(A I)A=(A^- A)J I=A…A J ⅛ -------------------- ⅛----------
l个
M)nj A nn = (A J)I
（7）对于（3）给出的矩阵
ka
11 l个
A,有
ka〔1 ka1n
kA =
ka
21
ka22ka2n
^ka nI ka n2 ka nn
In 二 A k A j,
故
类似于（5）可知ka ij的代数余子式为
例2设A是n阶非零矩阵,并且A的伴随矩阵证根据矩阵A与其对应的伴随矩阵的关系式
AA* =A*A =| A∣ E
反证，假设A不可逆,故有|A|=°,由上式及条件
* T
AA AA O
设矩阵A为
* * T
A满足A =A
,有
由式（2-6）可知
AA T a
11
a
21
a
22
a
1 n
a
2n
a
n1
a
n2
a
nn
a
11
a
i2
a
1n
a
11
a
22
a
2n
a
l2
,证明A是可逆矩阵.
(2-6)
a
n1
a
n2
a
n1
X
im
n
:乞a2i a1i
i Zi
a
n2
a
nn
_a1n
2
a
1i
n
Σ
i W n
V a2i
i W
a
1i
a
2i
a
2n
n
―a1 i
a
ni
i ∑1
n
二a2i a ni
i母
a
nn
n
二a ni a2i
i Zi
n
l∑
a
n i
a
1i
比较上式两边矩阵对角线上的元素有
n
' a2 =O (j =1, 2, , n)
i T
a
j1 =a j2 =…=a jn =0 (j 二1,
n
Σ
i =1
2
a
ni 2, , n)