外弹道学第七章

(k zz by i 21 )v [( k z 21 bz ) i 21 (k y by )]v 2 v d g cos ( ) g cos (i 21 k zz ) dt v
21

四、运动稳定性分析 1、方程的变量变换
s vdt
0
t
sv
g sin i 2 ) [( k 2 bz ) i 21 ( k y by )] 1 s z 1 2 v v
s ( k zz by bx
1 d g cos [ ( ) g cos (i 21 k zz )] 2 v dt v
齐次方程：
d K xz 0 ds
xz xz xz
k s k s k s 解为： e [ k xwv e ds c] e [
k xwv kxz s e c] kxz
由积分起始条件，s=0， 0
K xw
s
xw
xw
2C
lm 为斜置角 xw C为极转动惯量，
32
极阻尼力矩 M xz CKxzV
C M xw M xz 转动方程：
C CKxwV 2 CKxzV
d K xzV K xwV 2 dt
d K xz K xwV ds
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六、转速对动态稳定性的影响 动态稳定条件：M m Sd (2 Sd ) 2

当Mm与 Sd (2 Sd ) 同号时，转速在一定范围内保证 动态稳定；
当两者异号时，静态稳定的弹丸必动态稳定，静态 不稳定的弹丸必动态不稳定，且与转速无关。
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§7-6 尾翼弹丸运动方程组的建立与分析
尾翼弹主要特点：压心在质心与尾翼之间，空气力矩是稳 定力矩，弹丸为静态稳定弹丸。 静稳定储备量：阻力臂h与全弹长l之比的百分数。 1、坐标系 铅直面Ⅱ 水平面Ⅰ 攻角δ 偏角Ψ 摆动角
5
引入基本假设： （1）弹丸是一个外形及质量分布均为轴对称的刚体；

ξ 、ζ 、η 为弹丸的惯性主轴 弹丸对任一赤道轴的转动惯量相等，为A
1 转动动能: T [ A( p 2 q 2 ) Cr 2 ] 2 （2）只考虑翻转力矩； （3）章动角很小。
6
二、拉氏方程及应用 广义坐标：γ 、ν 、δ 1、对γ 的积分（gamma）-转动 2、对ν 的积分（niu）-进动 3、对δ 的积分（delta）-章动
g
Sg 1 翻转力矩，旋转弹高速旋转，陀螺稳定性 Sg 0 稳定力矩，尾翼弹静态稳定
dl m y) 2 Rc 动态稳定因子 Sd dl 2mg sin m zz C y C z 2 RA SV 2 2(C y
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五、稳定区域图
静稳定区、静不稳定区 陀螺稳定区、陀螺不稳定区 动态稳定区、动态不稳定区 旋转弹动态稳定区 尾翼弹动态稳定区
12
二、动力平衡角的表达式
动力矩定理：
u dK M zP dt
u K 1 M z P A p
如果平均弹轴向下转动的角速度ω1，与V下降的角速度 不相等，则认为弹轴不满足追随运动，因为弹轴与速度之 间的夹角过大。
追随运动必须满足条件：1 侧向动力平衡角:
Cr A
Cr 1 p A
13
p 1 p
2 p
考虑极阻尼力矩 M xz 的影响：
dr C M xz dt
r r0e
t
0et
g CmV0 d
2
表达式： p

h d
cos t e H ( y)V 3 Kmz (M )
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三、影响动力平衡角的因素 （1）弹道参数：弹速、倾角。 弹道顶点附件最大 g CmV0d

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2、方程组的建立 质心运动方程
切线方向：v bx v2 g sin
by v 法线方向：
by v g cos / v
摆动方程： K zV
2
KzzV

齐次方程: (kzz by )v kz v2 0
起始条件：s=0， 0 0

0
v

0
V0 K z
e
bs
sin( K z S )
0
V0 K z
0
V0 K z
ebs sin( K z Vt )
m0 起始最大振幅：
周期：T
2 V Kz
波长： VT
2 Kz
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by 0 偏角： [1 cos( K s )] z 0 K z V0
态稳定性，使章动角沿弹道发散； （3）增加各种散布因素的影响效果。
g CmV0 d
1 t e 2 [ ] h H ( y)V 3 Kmz (M ) p d
pmax [ p ]
下
16
§7-5 动态稳定性简介
一、坐标系及坐标变换 1、坐标系
17
2、坐标转换 （1）速度系与地面系
p
2

（2）弹丸外形及质量分布情况 气动外形、质量分布、极转动惯量、弹长、阻力臂等 （3）转速比
h d
1 ts e H ( y)Vs3 Kmz (Ms)

V
越大，动力平衡角越大。
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四、追随稳定性
过大的动力平衡角不良后果： （1）射程减小，偏流增大；
（2）使马格努斯力矩出现较严重的非线性，破坏弹丸的动
3
二、稳定性概念 非扰动弹道
扰动弹道
质心沿弹道运动的稳定性
绕质心运动的稳定性
4
§7-2 旋转弹丸绕质心运动方程的建立与分析 一、坐标系 铅直参考平面：O′-xy 阻力面： O′- ξ ζ 进动角：弹轴ξ 所在的阻力面与含速度轴的铅直参考面的夹 角ν 章动角：在阻力面内弹轴与速度轴的夹角δ 进动: 阻力面以速度轴为轴的转动称为进动 章动: 弹轴相对速度轴的摆动称为章动 自转角：弹丸绕弹轴旋转的角度γ 广义坐标 广义速度
d s k xz ds
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2、动态稳定条件的建立 只研究弹丸的飞行齐次方程所对应的起始条件下的稳定问题。
s ( k zz by bx g sin i 2 ) [( k 2 bz ) i 21 (k y by )] 0 1 s z 1 2 v v
2 i 1
2 i1
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二、作用在弹上的力和力矩 1、空气动力和力矩
阻力、升力、马氏力、俯仰力矩、赤道阻尼力矩、
极阻尼力矩、马氏力矩
2、重力
3、陀螺效应力矩 4、尾翼导转力矩
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三、弹丸一般运动微分方程组
1、质心运动方程 2 v b v g sin x （1）速度大小变化方程： g cos b v ib y z （2）速度方向变化方程： v 2、围绕质心运动方程 （1）自转运动方程： kxz v （2）摆动运动方程：A M z M zz M y Mt
7
8
§7-3 旋转弹丸的急螺稳定性 一、急螺稳定因子
1 2
2 Sg 1
1
1 Sg
急螺稳定因子
9
二、急螺稳定条件 Sg 1 稳定条件：
设计注意：一般只要保证在炮口满足Sg>1即可，只 有对远程榴弹，可能出现在落点附近Sg<1的情况，需 要校核落点处的急螺稳定性。
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由于重力的作用，弹道切线方向在不断下降，故弹轴在切 线上方停留的时间t上和章动角δ上大于停留的时间t下和章动 角δ下。 右旋弹丸： M上 A上 指向右侧 M上 M下 弹轴右偏 M下 A下 指向左侧 结论：在弹速方向不断低头的情况下，右旋弹弹轴向右偏， 弹轴的平均位置称为动力平衡轴，与速度方向的夹角称为动 力平衡角（平均章动角）。
2 by 0 RA 0 平均偏角： 0 K z V0 h V0
几点结论： （1）不管哪种起始条件均将引起平均偏角； （2）平均偏角与起始章动角成正比； （3）平均偏角与阻质心距h成反比。
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§7-7 尾翼弹丸稳定性分析
一、低速旋转尾翼弹及共振不稳定性 质心偏离产生附加力和力矩，对于不旋转弹而言，必引起 弹道偏差，造成射程和方向的变化。而尾翼弹的外形和质量 分布的不对称性是随机的，必引起对应的射弹散布。为了减 小不对称因素引起的散布，可使尾翼弹绕弹轴低速旋转。 1、转速变化规律及平衡转速 低速旋转尾翼弹，一般是应用斜置尾翼或尾翼斜切角使弹 丸旋转。 尾翼导转力矩 M CK V 2
第七章 弹丸的旋转与摆动运动规律
1
§7-1 一般概念
质点弹道学：重力、空气阻力，计算质点的运动轨迹。 两种现象：弹丸翻转、弹道偏移 旋转理论 摆动理论 线性理论 非线性理论
2
一、攻角及影响因素 扰动：实际条件下各种因素与理想条件下各种因素的偏差。 影响攻角的因素： 1、弹丸本身的力学性质 所谓一个系统的某种运动是否稳定，指该系统受扰动作用 后的运动，当扰动不大时与未受扰动作用的运动（或理想运 动）之间的偏差是否也足够小。 稳定、渐近稳定 2、扰动因素的大小和变化规律 弹丸飞行稳定性条件只是减小弹丸散布的必要条件 瞬时扰动：起始扰动、阵风 长时间扰动：弹丸的质量偏心、动不平衡、外形不对称。
d2 极转动惯量 C m 4

质量分布系数


2
Cm
A h H ( y0 ) K mz0 C d
上
膛线缠度上限
2 v0 r0 0 d
膛线缠度上限决定了弹丸 出炮口的最低转速
10
§7-4 追随稳定性