高一数学命题知识点及习题
完整版)人教版高一数学必修一集合知识点以及习题
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完整版)人教版高一数学必修一集合知识点以及习题高一数学必修第一章集合1.集合的概念集合是指一定范围内、确定的、可区别的事物,将其作为一个整体来看待,就叫做集合,简称集。
其中的各事物叫作集合的元素或简称元。
集合的元素具有三个特性:确定性、互异性和无序性。
确定性指元素是明确的,如世界上最高的山。
互异性指元素是不同的,如由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}。
无序性指元素的排列顺序不影响集合的本质,如{a,b,c}和{a,c,b}是同一个集合。
集合可以用大括号{…}表示,如{我校的篮球队员}、{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}。
集合也可以用拉丁字母表示,如A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}。
集合的表示方法有列举法和描述法。
常用的数集及其记法有:非负整数集(即自然数集)记作N,正整数集记作N*或N+,整数集记作Z,有理数集记作Q,实数集记作R。
2.集合间的关系集合间有包含关系和相等关系。
包含关系又称为“子集”,表示一个集合的所有元素都属于另一个集合。
如果集合A的所有元素都属于集合B,则称A是B的子集,记作A⊆B。
如果A和B是同一集合,则称A是B的子集,记作A⊆B。
反之,如果集合A不包含于集合B,或集合B不包含于集合A,则记作A⊈B或B⊈A。
相等关系表示两个集合的元素完全相同,记作A=B。
真子集是指如果A⊆B,且A≠B,则集合A是集合B的真子集,记作A⊂B(或B⊃A)。
如果XXX且B⊆C,则A⊆C。
如果XXX且B⊆A,则A=B。
空集是不含任何元素的集合,记为Φ。
规定空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
3.集合的运算集合的运算包括交集、并集和补集。
交集是由所有属于A 且属于B的元素所组成的集合,记作A∩B。
并集是由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,记作A∪B。
补集是由S中所有不属于A的元素所组成的集合,记作A的补集。
如果S是一个集合,A是S的一个子集,则A的补集为由S中所有不属于A的元素组成的集合。
高一数学知识点习题及解析
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高一数学知识点习题及解析一、函数与方程1. 已知函数 f(x) = 2x + 3,求当 x = 4 时的函数值。
解析:将 x = 4 代入函数 f(x) = 2x + 3 中,得到 f(4) = 2(4) + 3 = 11。
2. 解方程 3x - 5 = 7 - x。
解析:将方程两边的 x 预先移项,得到 4x = 12,再通过除以系数,得到 x = 3。
二、平面几何1. 矩形 ABCD 中,已知 AB = 6 cm,BC = 8 cm。
求矩形的周长和面积。
解析:矩形的周长为 C = 2(AB + BC) = 2(6 + 8) = 28 cm,面积为 S = AB × BC = 6 × 8 = 48 cm²。
2. 已知三角形 ABC,其中 AB = 5 cm,BC = 4 cm,∠B = 90°。
求三角形的斜边 AC 的长度。
解析:根据勾股定理,AC² = AB² + BC² = 5² + 4² = 25 + 16 = 41,所以AC ≈ 6.40 cm。
三、解析几何1. 已知点 A (2, 3) 和点 B (6, 1),求线段 AB 的中点坐标。
解析:线段 AB 的中点坐标为 [(x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2],所以中点坐标为 [(2 + 6)/2, (3 + 1)/2] = (4, 2)。
2. 已知三角形 ABC 的顶点坐标分别为 A (1, 1),B (3, 5),C (6, 2),求三角形的周长。
解析:利用两点间距离公式计算线段的长度,得到AB = √[(3 - 1)² + (5 - 1)²] ≈ 4.47,BC = √[(6 - 3)² + (2 - 5)²] ≈ 3.61,AC = √[(6 - 1)² + (2 - 1)²] ≈ 5.10,所以周长为AB + BC + AC ≈ 13.18。
高一数学知识点——命题与其关系、充分条件与必要条件
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1.4 命题及其关系、充分条件与必要条件一 . 基本概念1.命题__________________________________________ 叫做命题,其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题。
2. 四种命题及其关系( 1 )四种命题命题表述形式原命题若 p ,则 q逆命题否命题逆否命题( 2 )四种命题间的相互关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;②两个命题互为逆命题或互为命题,它们的真假性没有关系;注:否命题是命题的否定吗?答:不是。
命题的否命题既否定命题的条件,又否定命题的结论,而命题的否定只否定命题的结论。
3.充分条件与必要条件( 1)“若 p ,则 q ”为真命题,记p q ,则 p 是 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件。
( 2)如果既有p q ,又有 q p ,记作 p q ,则 p 是 q 的充要条件, q 也是 p 的充要条件。
二.例题1、命题的判定例1、判断下列语句中那些是命题,并判断其真假。
( 1 )一个数不是合数就是质数,( 2 )矩形是平行四边形练习:判断下列语句中那些是命题,并判断其真假。
(1)空集是任何集合的子集,(2)指数函数是增函数吗?2、四种命题之间的关系例 2、写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断其真假。
( 1 )面积相等的两个三角形是全等三角形(2)若 q< 1, ,则方程 x22 x q 0有实根(3)若 x2y 20 ,则实数x, y 全为 0练习:写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断其真假。
(1)实数的平方是非负数(2)若 ab=0 ,则 a=0 或 b=0 。
3、充分必要条件的判定与应用例 3、指出下列各组命题中, p 是 q 的什么条件,q 是 p 的什么条件:⑴p : x=y ; q : x2 =y 2 .⑵ p :三角形的三条边相等;q :三角形的三个角相等.例 4 、(1)已知a,b 是实数,则“a0 且b0 ”是“ab 0 且ab0 ”的 ( )A .充分而不必要条件C.充分必要条件B .必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件(2)“”是“且”的()A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2(2) “a≠ 0 ”的例 6. (1)x>3的一个充分不必要条件是( )”(A) x>2(B) x<1(C) x>4(D)1<x<32 3<0”的一个必要不充分条件是 ( )(2) “2x -5x- (A) -1/2<x<3 (B) -1/2<x<4 (C) -3<x<1/2(D) -1<x<2例 7. 已知 p 、q 都是 r 的必要条件 , s 是 r 的充分条件 , q 是 s 的充分条件 , 那么 s 、 r 、 p 分别是 q 的什么条件 ?例 8*. 求关于 x 的方程 x 2+ ( m - 2)x + 5- m = 0( m ∈ R)有两个都大于2 的实 根 的充要条件 .三 . 课堂练习:用“充分”或“必要”填空,并说明理由:⒈“ a 和 b 都是偶数”是“ a+b 也是偶数”的 _________ 条件; ⒉“四边相等”是“四边形是正方形”的 _________条件; ⒊“ x 3 ”是“ |x| 3”的 _________条件; ⒋“ x- 1=0”是“ x 2- 1=0”的 _________条件;⒌“两个角是对顶角”是“这两个角相等”的 _________条件; ⒍“至少有一组对应边相等” 是“两个三角形全等” 的 _________条件; ⒎对于一元二次方程 ax 2+bx+c=0 (其中 a,b,c 都不为 0 )来说, “ b 2-4ac 0”是“这个方程有两个正根”的 _________条件; ⒏“ a=2 , b=3 ”是“ a+b=5 ”的 _________条件;⒐“ a+b 是偶数”是“ a 和 b 都是偶数”的 _________条件; ⒑“个位数字是 5 的自然数”是“这个自然数能被 5 整除”的 _________条件 .四.小结:判断充分条件与必要条件的依据是: 若 p q ,则 p 是 q 的充分条件; 若 q p ,则 p 是 q 的必要条件五.巩固练习:★ “ a 且 b ”的 条件是 “ a 2 b 2 ”(1) 0 0 0 ★★ 已知 , b ,“ 对一切实数 成立 ”是 “b ”条件(2) a Rax b 0 x 0 ★ “ A B ”的 条件是 “ A ü” (3) A B★ “ A ”的 条件是 “A B ” (4) B A★ (5)“a b 0” 的一个必要非充分条件是 3. 以下 A 分别是 B 的什么条件?★ (1) A: P ∩ Q=P, B: P Q; ★(2)A: a=b, B: ac=bc★(3)A:P Q; B: P =Q; ★ (4)A: P=Q; B : P ∩C=Q ∩C;★ (5) A: x2 2 ★★ (6)A: a ≠ 1 且 b ≠ 2; B:+y =0; B: xy=0;a+b ≠ 3;★ (7) A: x ∈P ∪ Q; B: x ∈ P ∩ Q.4. ★★★已知 M ={( x ,y) | y= - x 2+mx-1, m ∈R} , N={( x , y) | y= - x +3, 0< x < 3} ,求 M ∩ N ≠ 的充要条件。
高一数学知识点归纳总结加例题
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高一数学知识点归纳总结加例题高一是数学学科基础扎实的阶段,学生们开始接触更加复杂和抽象的数学知识。
为了帮助同学们更好地掌握高一数学知识,下面将对高一数学涉及的主要知识点进行归纳总结,并配以例题进行说明和讲解。
一、函数与方程1. 函数的基本概念函数是一种特殊的关系,它将一个自变量的值映射到唯一的因变量的值。
函数的定义域、值域以及函数图像的特点是我们研究函数的关键。
例题:给定函数 f(x) = 2x + 3,求函数图像在坐标系中的表达。
2. 一次函数与方程一次函数的表达式为 y = kx + b,其中 k 和 b 分别为常数。
一次方程是一次函数的表达式等于一个常数。
例题:已知直线 y = 3x + 1 与直线 y = 2x - 2 相交于点 A,求点 A 的坐标。
3. 二次函数与方程二次函数的标准形式为 y = ax^2 + bx + c,其中 a、b 和 c 是常数,且a ≠ 0。
例题:求解方程 x^2 + 4x + 3 = 0 的根。
二、平面向量与解析几何1. 平面向量的基本概念平面向量是具有大小和方向的量,我们可以用有向线段表示它。
平面向量的模、共线、平行以及平面向量的加减法是需要我们掌握的基本概念。
例题:已知向量 a = (2, 3) 和向量 b = (-1, 4),求向量 a 和向量 b 的和。
2. 解析几何的基本思想解析几何是利用代数方法研究几何的一个分支。
通过建立坐标系,我们可以通过代数运算来解决几何问题。
例题:在平面直角坐标系中,求点 A(3, 4) 和点 B(5, -2) 的中点坐标。
三、三角函数与三角恒等式1. 三角函数的基本概念正弦函数、余弦函数和正切函数是我们在高一学习的三角函数。
我们需要了解三角函数在单位圆上的定义和性质,并能够根据角度关系求出三角函数的值。
例题:已知角 A 的终边落在单位圆上的坐标为 (3/5, -4/5),求角 A的正切值。
2. 重要的三角恒等式三角恒等式是三角函数的基本性质之一,可以帮助我们简化和转化复杂的三角函数表达式。
高一数学命题及其关系试题
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高一数学命题及其关系试题1.下列有关命题的说法正确的是A.命题“若,则”的否命题为:“若,则”.B.“”是“”的必要不充分条件.C.命题“使得”的否定是:“均有”.D.命题“若,则”的逆否命题为真命题.【答案】D【解析】对于 A.命题“若,则”的否命题为:“若,则”.因此错误。
对于B.“”是“”的必要不充分条件,应该是充分不必要条件,错误。
对于C.命题“使得”的否定是:“均有”.C错误,因为结论没有变为其否定。
对于D.命题“若,则”的逆否命题为真命题,成立,故选D.【考点】命题真假判断点评:本题考察命题真假判断,该类型题目考察知识范围较广,一个命题一个知识点,所以是比较容易出错的题目类型.2.已知三个命题:①方程x2-x+2=0的判别式小于或等于零;②若|x|≥0,则x≥0;③5>2且3<7.其中真命题是A.①和②B.①和③C.②和③D.只有①【答案】B【解析】对于命题①方程x2-x+2=0的判别式小于或等于零,正确;②若|x|≥0,则x≥0或x≤0,错误;③5>2且3<7,正确,∴真命题是①和③,故选B【考点】本题考查了命题真假的判断点评:判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假,不能用真值表时,可用下列方法:若“p q”,则“若p则q”为真;而要确定“若p则q”为假,只需举出一个反例说明即可3.下列命题中:①∥存在唯一的实数,使得;②为单位向量,且∥,则=±||·;③;④与共线,与共线,则与共线;⑤若其中正确命题的序号是 ( )A.①⑤B.②③④C.②③D.①④⑤【答案】C【解析】过举反例可得①④⑤不正确,根据两个向量数量积公式、向量的模的定义可得②③正确.对于①∥存在唯一的实数,使得;当,则实数不唯一,有无数个。
对于②为单位向量,且∥,则=±||·;正确。
对于③;正确对于④与共线,与共线,则与共线;当不成立对于⑤若,不正确,因为向量没有除法运算,错误故选C.【考点】向量数量积公式,向量垂直和共线点评:本题主要考查两个向量数量积公式的应用,两个向量垂直和共线的性质,向量的模的定义,通过给变量取特殊值,举反例来说明某个命题不正确,是一种简单有效的方法,属于中档题.4.给出下列命题:①;②函数y =sin(2x +)的图像关于点对称;③将函数y =cos(2x -)的图像向左平移 个单位,可得到函数y =cos2x 的图像; ④函数的最小正周期是.其中正确的命题的序号是 . 【答案】② 【解析】①,错误,-10是第二象限的角,所以为正; ②当时,函数y =sin(2x +)=0,所以函数的图像关于点对称,正确;③将函数y =cos(2x -)的图像向左平移 个单位,可得到函数的图像;④函数的最小正周期是,错误,周期为。
高一数学试卷含答案、解析以及知识点分类
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高一数学试卷含答案、解析以及知识点分类 (数学1必修)第一章(上) 集合[基础训练A 组]一、选择题1.下列各项中,不可以组成集合的是( ) A .所有的正数 B .等于2的数 C .接近于0的数 D .不等于0的偶数 2.下列四个集合中,是空集的是( )A .}33|{=+x xB .},,|),{(22R y x x y y x ∈-= C .}0|{2≤x x D .},01|{2R x x x x ∈=+- 3.下列表示图形中的阴影部分的是( )A .()()A CBC B .()()A B A C C .()()A B B CD .()A B C 4.下面有四个命题:(1)集合N 中最小的数是1;(2)若a -不属于N ,则a 属于N ; (3)若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2;(4)x x 212=+的解可表示为{}1,1; 其中正确命题的个数为( )A .0个B .1个C .2个D .3个 5.若集合{},,M a b c =中的元素是△ABC 的三边长, 则△ABC 一定不是( )A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .等腰三角形6.若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且,则集合A 的真子集共有( ) A .3个 B .5个 C .7个 D .8个二、填空题1.用符号“∈”或“∉”填空 (1)0______N , 5______N , 16______N(2)1______,_______,______2R Q Q e C Q π-(e 是个无理数) (3{}|,,x x a a Q b Q =∈∈A B C2. 若集合{}|6,A x x x N =≤∈,{|}B x x =是非质数,C AB =,则C 的非空子集的个数为 。
3.若集合{}|37A x x =≤<,{}|210B x x =<<,则AB =_____________.4.设集合{32}A x x =-≤≤,{2121}B x k x k =-≤≤+,且A B ⊇,则实数k 的取值范围是 。
高一数学 充分条件与必要条件(思维导图+4知识点+6考点+过关检测)(原卷版)
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考点一:命题的概念判断例1.(23-24高一上·甘肃酒泉·期中)下列语句是命题的是( )A .3是偶数吗?B .三角形的内角和等于180°C .这里的景色山真美啊!D .2x >【变式1-1】(23-24高一上·全国·专题练习)下列语句中,命题的个数是( )①空集是任何集合的真子集;②请起立;③1-的绝对值为1;④你是高一的学生吗?A .0B .1C .2D .3考点二:命题的真假判断例2. (23-24高一上·甘肃兰州·月考)下列命题中,是真命题的是( )A .{}∅是空集B .{}N 13|x x ∈-<是无限集C .π是有理数BD .方程250x x -=的根是自然数【变式2-1】(23-24高一·全国·专题练习)下列语句中,为真命题的是( )A .直角的补角是直角B .同旁内角互补C .两个锐角的和是钝角D .过直线l 外一点A 作直线AB l ⊥于点B【变式2-2】(23-24高一·江苏·专题练习)下列语句为真命题的是( )A .a b >B .四条边都相等的四边形为矩形C .123+=D .今天是星期天考点三:充分、必要、充要条件的判断例3. (23-24高一上·河南濮阳·月考)“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 【变式3-1】(23-24高一上·湖南益阳·期末)已知:p x A ∈,:q x A B ∈⋂,则p 是q 的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分又不必要条件【变式3-2】(23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试)对于实数x ,“1x ≠”是“21x -≠”的( ) A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件【变式3-3】(23-24高一上·广东潮州·期末)“故不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海.”这句来自战国时期荀子的《劝学》里的名言.此名言中“成江海”是“积小流”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件考点四:充分、必要、充要条件的探究 例4. (23-24高一上·江苏宿迁·月考)(多选)使>4x 成立的一个充分条件是( )A .5x >B .6x >C .3x >D .3x <【变式4-1】(23-24高一上·福建泉州·月考)使不等式414x -≤+≤成立的一个必要条件是( ) A .23x ≤≤ B .63x -≤≤ C .52x -≤≤ D .62x -≤≤【变式4-2】(23-24高三上·黑龙江哈尔滨·月考)已知:02p x <<,那么p 的一个充分不必要条件是( ).A .01x <<B .11x -<<C .02x <≤D .03x <<【变式4-3】(22-23高一上·甘肃临夏·月考)“132x -<<”的一个必要不充分条件是( ) A .132x -<< B .132x -<< C .16x -<< D .102x -<<考点五:由条件关系求参数取值范围例5. (23-24高一上·广东佛山·月考)集合{}24M x x =-<<,{}3N x x a =-<<,若x ∈N 的充分条件是x M ∈,则实数a 的取值范围是( )A .()2,4-B .[)4,+∞C .(]3,4-D .(),4-∞【变式5-1】(23-24高一上·广东韶关·月考)(多选)设2{|8150},{|10}A x x x B x ax =-+==-=,B 是A 的充分不必要条件,则实数a 的值可以为( )A .15B .0C .3D .13考点六:充要条件的证明例6. (23-24高一上·广西南宁·期中)求证:222a b c ab ac bc ++=++是ABC 是等边三角形的充要条件.(这里a ,b ,c 是ABC 的三边边长).1.(23-24高一上·陕西延安·月考)已知:225,:32p q +=≥,则下列判断中,正确的是( )A .p 为真,q 为假B .p 为假,q 为真C .p 为真,q 为真D .p 为假,q 为假2.(2023·天津·高考真题)已知,R a b ∈,“22a b =”是“222a b ab +=”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分又不必要条件3.(23-24高一下·吉林白山·月考)““甲和乙的生肖相同”是“甲和乙的生肖都是龙”的( )A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件4.(23-24高一上·浙江温州·期末)“3a ≥-”是“2a ≥-”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 5.(23-24高一上·全国·月考)设乙的充分不必要条件是甲,乙是丙的充要条件,丁是丙的必要不充分条件,那么甲是丁的( )条件A .充分不必要B .必要不充分C .充要D .既不充分又不必要6.(23-24高一上·天津北辰·月考)已知条件p :13x -≤≤,条件q :x a >,若p 是q 的充分不必要条件,则a 的取值范围( )A .{}3a a >B .{}3a a ≥C .{}1a a <-D .{}1a a ≤-二、多选题7.(23-24高一上·湖南湘西·月考)下列句子中是命题的是( )A .三边对应相等的两个三角形全等B .如果3x =,则15x +=C .对于任意数n ,21n +不能被3整除D .八月的桂花真香啊E .210x ->8.(23-24高一上·陕西西安·期中)使“01x <<”成立的一个必要不充分条件可以是( )A .0x ≥B .0x ≤或1x ≥C .02x <<D .0x <三、填空题9.(22-23高一上·上海静安·期中)命题“如果220x x --≠,那么2x ≠”是 命题(填“真”或“假”). 10.(23-24高一上·全国·专题练习)设*N n ∈,一元二次方程240x x n +=-有实数根的充要条件是n = . 11.(23-24高一上·广东佛山·月考)在下列所示电路图中,下列说法正确的是 .(填序号).(1)如图①所示,开关A 闭合是灯泡B 亮的充分不必要条件;(2)如图②所示,开关A 闭合是灯泡B 亮的必要不充分条件;(3)如图③所示,开关A 闭合是灯泡B 亮的充要条件;(4)如图④所示,开关A 闭合是奵泡B 亮的必要不充分条件.四、解答题12.(23-24高一上·江苏南京·月考)求证:“关于x 的方程20ax bx c ++=有一个根为2”的充要条件是“420a b c ++=”.13.(23-24高一下·湖南株洲·期末)已知集合{|2135}A x a x a =++≤≤,{|2B x x =≤-或5}x . (1)若1a =,求A B ⋃;(2)若“x B ∈”是“x A ∈”的必要不充分条件,求实数a 的取值范围.。
高一数学知识点真题及答案
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高一数学知识点真题及答案一、函数与方程1. 已知函数 f(x) = x^2 - 3x + 2,求 f(2) 的值。
答案:将 x 替换为 2,计算得到 f(2) = 2^2 - 3(2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0。
2. 解方程 2x + 5 = 3x - 1。
答案:将方程中的 x 合并,得到 2x - 3x = -1 - 5,即 -x = -6,再将等号两边同时乘以 -1,得到 x = 6。
二、平面几何1. 已知矩形 ABCD 中,AB = 6 cm,AD = 4 cm,求矩形的周长和面积。
答案:周长为 2(AB + AD) = 2(6 + 4) = 2(10) = 20 cm,面积为AB × AD = 6 × 4 = 24 cm²。
2. 在直角三角形 ABC 中,∠B = 90°,AC = 5 cm,BC = 3 cm,求 AB 的长度。
答案:根据勾股定理,AB² = AC² - BC² = 5² - 3² = 25 - 9 = 16,因此AB = √16 = 4 cm。
三、概率与统计1. 甲乙两个人比赛掷硬币,甲掷10 次正面朝上的次数为7 次,乙掷 12 次正面朝上的次数为 8 次,哪个人掷正面的概率更大?答案:甲的掷正面概率为 7/10 = 0.7,乙的掷正面概率为 8/12 = 0.67。
因此甲的概率更大。
2. 一批产品生产中存在 5% 的次品率,随机抽取 100 件产品,请计算其中次品数的期望值。
答案:次品数的期望值计算公式为 E(X) = n × p,其中 n 为抽取样本数,p 为次品率。
所以期望值为 100 × 0.05 = 5。
四、解析几何1. 已知直线 L 的方程为 2x - 3y + 6 = 0,求直线 L 的斜率和与 y 轴的交点坐标。
答案:将方程化为斜截式方程 y = (2/3)x + 2,斜率为 2/3。
【人教版】高一数学上册四种命题知识点
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【人教版】高一数学上册四种命题知识点学习是一个边学新知识边巩固的过程,对学知识一定要多加计划,这样才能进步。
因此,为大家整理了高一数学上册四种命题知识点,供大家参考。
【人教版】高一数学上册四种命题知识点【《四种命题》知识点】四种命题包括原命题、逆命题、否命题和逆否命题。
1、对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件,那么这两个命题叫做互逆命题,其中一个命题叫做原命题,另外一个命题叫做原命题的逆命题。
2、对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的条件的否定和结论的否定,那么这两个命题叫做互否命题,其中一个命题叫做原命题,另外一个命题叫做原命题的否命题。
3、对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论的否定和条件的否定,那么这两个命题叫做互为逆否命题,其中一个命题叫做原命题,另外一个命题叫做原命题的逆否命题。
四种命题的相互关系1、四种命题的相互关系:原命题与逆命题互逆,逆命题与逆否命题互否,逆否命题与否命题互逆,否命题与原命题互否,原命题与逆否命题相互逆否,逆命题与否命题相互逆否。
2、四种命题的真假关系:(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性。
(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系。
【同步练习题】1.命题“若A∩B=A,则A∪B=B”的否命题是( )A.若A∪B=B,则A∩B=A B.若A∩B≠A,则A∪B≠BC.若A∪B≠B,则A∩B≠A D.若A∪B≠B,则A∩B=A 答案:B解析:条件与结论要同时否定.2.关于命题“平行四边形的两组对边分别相等”,下列论述中,正确的是( )A.逆命题是假命题 B.否命题是假命题C.逆否命题是真命题 D.以上答案都不对答案:C解析:原命题为真命题,所以逆否命题为真命题.3.命题:“若a、b都是偶数,则a+b是偶数”的逆否命题是( )A.若a+b是偶数,则a、b都不是偶数B.若a+b是偶数,则a、b不都是偶数C.若a+b不是偶数,则a、b都不是偶数D.若a+b不是偶数,则a、b不都是偶数答案:D解析:注意“都是”的否定为“不都是”.4.用反证法证明“如果a b 0,那么”假设的内容应是( )A. = B. C. ≤ D. 且 =答案:C解析:“ ”的反面为“≤”.5.“相似三角形的周长相等”写成“若p则q”的形式为_________________.答案:若两三角形相似,则它们的周长相等解析:条件p:若两三角形相似,结论q:它们的周长相等.6.用反证法证明:“任何三角形至少有两个锐角”时,应假设_____________________.答案:三角形至多有一个锐角解析:即假设三角形只有一个锐角或一个锐角也没有.7.给定命题:已知a、b为实数,若x2+ax+b≤0的解集是空集,则a2-4b≤0,写出它的逆命题、否命题、逆否命题,并判断四个命题的真假.解:原命题:是假命题.逆命题:已知a、b为实数,若a2-4b≤0,则x2+ax+b≤0的解集是空集.假命题.否命题:已知a、b为实数,若x2+ax+b≤0的解集不是空集,则a2-4b 0.假命题.逆否命题:已知a、b为实数,若a2-4b 0,则x2+ax+b≤0的解集不是空集.假命题.能力提升踮起脚,抓得住!8.一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中( )A.真命题的个数一定是奇数B.真命题的个数一定是偶数C.真命题的个数可能是奇数也可能是偶数D.以上判断都不正确答案:B解析:原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假.9.若命题p的否命题为r,命题r的逆命题为s,则s是p的逆命题t的( )A.逆否命题 B.逆命题C.否命题 D.原命题答案:C解析:由题知s是p的逆否命题,而t是p的逆命题,所以s是t的否命题.10.命题“若a b,则ac bc(a、b、c∈R)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为__________________.答案:0解析:注意c∈R.知识点是同学们提高总体学习成绩的重要途径,高一数学上册四种命题知识点为大家巩固相关重点,让我们一起学习,一起进步吧!。
高一数学集合、函数知识点总结、相应试题及答案
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高一数学第一章集合与函数概念一、集合有关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性:1)元素的确定性如:世界上最高的山2)元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}3)元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示:{ … } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1)用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法:列举法与描述法。
注意:常用数集及其记法:非负整数集(即自然数集)记作:N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R1)列举法:{a,b,c……}2)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。
{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2}3)语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}4)Venn图:4、集合的分类:(1)有限集含有有限个元素的集合(2)无限集含有无限个元素的集合(3)空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5}二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意:BA⊆有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A⊆/B或B⊇/A2.“相等”关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5) 实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”即:①任何一个集合是它本身的子集。
A⊆A②真子集:如果A⊆B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A)③如果 A⊆B, B⊆C ,那么 A⊆C④如果A⊆B 同时 B⊆A 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ规定: 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集例题:1.下列四组对象,能构成集合的是 ( )A 某班所有高个子的学生B 著名的艺术家C 一切很大的书D 倒数等于它自身的实数2.集合{a ,b ,c }的真子集共有 个3.若集合M={y|y=x 2-2x+1,x ∈R},N={x|x ≥0},则M 与N 的关系是 .4.设集合A=}{12x x <<,B=}{x x a <,若A ⊆B ,则a 的取值范围是5.50名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确得有40人,化学实验做得正确得有31人,两种实验都做错得有4人,则这两种实验都做对的有 人。
高一数学命题及其关系试题
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高一数学命题及其关系试题1.无穷等差数列的各项均为整数,首项为、公差为,是其前项和,3、21、15是其中的三项,给出下列命题:①对任意满足条件的,存在,使得99一定是数列中的一项;②对任意满足条件的,存在,使得30一定是数列中的一项;③存在满足条件的数列,使得对任意的,成立。
其中正确命题的序号为()A.①②B.②③C.①③D.①②③【答案】C.【解析】根据条件等差数列的其中三项为:3、15、21,可得:;①99-21=78能被6整除,且,假设15和21之间有项,那么99和21之间有项,所以99一定是数列中的一项,故正确;②30-21=9不能被6整除,如果,那么30一定不是数列中的一项,故不正确;③如果有,那么由等差数列求和公式有:,化简得到,所以只要满足条件的数列,就能使得对任意的,成立.【考点】等差数列的通项公式;等差数列的前项和.2.给出下列4个命题:①若,则是等腰三角形;②若,则是直角三角形;③若,则是钝角三角形;④若,则是等边三角形.其中正确的命题是()A.①③B.③④C.①④D.②③【答案】B【解析】①,得到,或,即,或,是等于三角形或是直角三角形,故不正确;②,得到,或,故不正确;③其中必有一项小于0,若,在为钝角;④根据 ,得,,,是等边三角形,故④正确,故答案为 B.【考点】命题的真假判定与应用3.给出下列4个命题:①若,则是等腰三角形;②若,则是直角三角形;③若,则是钝角三角形;④若,则是等边三角形.其中正确的命题是()A.①③B.③④C.①④D.②③【答案】B【解析】①若sin2A=sin2B,则 2A=2B,或2A+2B=π,即A="B" 或C=,故△ABC为等腰三角形或直角三角形,故①不正确.②若sinA=cosB,不能推出△ABC是直角三角形,如A=B=45°时,虽有sinA=cosB,但△ABC不是直角三角形,故②不正确.③若cosA•cosB•cosC<0,则由三角形各个内角的范围及内角和等于180°知,cosA、cosB、cosC两个是正实数,一个是负数,故A、B、C中两个是锐角,一个是钝角,故③正确.④若cos(A-B)•cos(B-C)•cos(C-A)=1,则由三角形各个内角的范围及内角和等于180°知,cos(A-B)=cos(B-C)=cos(C-A)=1,故有 A=B=C,故△ABC是等边三角形,故④正确.即③④正确,故选B.【考点】和差的三角函数公式,三角形的特征。
高一数学命题练习题归纳
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高一数学命题练习题归纳课题:命题逆命题:若 x = 0或 = 0 则 x = 0常见词的否定学生会用举范例证明假命题。
四种命题关系表注:____是_____的____条件在回顾概念的同时知晓其中的深层的含义、联系、一般应用方法。
资源1、设原命题是“当c>0时,若a>b,则ac>bc”,写出它的逆命题、否命题与逆否命题,并分别判断它们的真假.逆命题:当c>0时,若ac>bc,则a>b.它是真命题;否命题:当c>0时,若a b,则ac bc.它是真命题;逆否命题:当c>0时,若ac bc,则a b.它是真命题.资源2、指出下列各题中,P是q的什么条件?①P:0<x<3 q:|x-1|<2 ②P:(x-2)(x-3)=0 q:x=2③P:c=0 q:抛物线=ax2+bx+c过原点④P:A B S q:CSB CSA⑤P: q:均是非零向量)⑥P:对任意的,点都在直线上 q:数列是等差数列让学生体会得出:当一个命题的真假不易判断时,可考虑判断其等价命题的真假;资源3、已知p:,q:,若┑ ┑ 的充分不必要条件,求实数的取值范围。
资源4、若a2能被2整除,a是整数,求证:a也能被2整除.证:假设a不能被2整除,则a必为奇数,故可令a=2+1(为整数),由此得a2=(2+1)2=42+4+1=4(+1)+1,此结果表明a2是奇数,这与题中的已知条件(a2能被2整除)相矛盾,∴a能被2整除.反证法证明的掌握资源5、数集A满足条件;若a∈A,则有,(1)当2∈A时,求集合A;(2)若a∈R,求证:A不可能是单元素集合反证法证明的掌握活动4归纳小结活动5巩固提高附作业巩固发展提高命题一、选择:1、≥ ( A )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D即不充分也不必要条件2、给出如下的命题:①对角线互相垂直且相等的平面四边形是正方形;②00=1;③如果x+是整数,那么x,都是整数;④<3或>3.其中真命题的个数是( D )(A)3 (B)2 (C)1 (D)0 .3、已知是的充分不必要条件,是的必要条件,是的'必要条件.那么是成立的:( A )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件4、一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( C )(A)(B)(C)(D)二、填空:5、写出“a,b均不为零”的(1)充分非必要条件是(2)必要非充分条件是:__(3)充要条件是(4)非充分非必要条件是 06、在以下空格内填入“充分非必要条件”,“必要非充分条件”,“充要条件”,“非充分非必要条件”(1)“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的充要条件(2)“a>2且b>2”是“a+b>4且ab>4”的充分非必要条件(3)的_______必要非充分________条件7、的一个充分不必要条件是____ ___________8、指出下列各题中甲是乙的什么条件?(1)甲:a、b、c成等比数列;乙:b2=ac______充分非必要条件_________________.(2)甲: ______必要非充分________(3)甲:直线l1∥l2,乙:直线l1与l2的斜率相等______非必要非充分_____三、解答9、已知命题P:方程x2+x+1=0有两个不相等的负根;Q:方程4x2+4(-2)x+1=0无实根.若P或Q为真,P且Q为假,求的取值范围.答案:10、试写出一元二次方程,①有两个正根②两个小于的根③一个正根一个负根的一个充要条件。
高一数学知识点大全带例题
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高一数学知识点大全带例题高一是数学学习的重要时期,这一年我们将接触到许多新的数学知识点。
本文将为大家整理高一数学的主要知识点,并附带例题,希望能够帮助大家更好地理解和掌握这些知识。
一、函数与方程1. 函数的定义与性质函数是一种特殊的关系,它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。
函数有定义域、值域和图像等性质。
例如,给定函数 f(x) = x^2 + 1,其中 x 是实数,则它的定义域为全体实数,值域为大于等于 1 的所有实数。
示例题:已知函数 f(x) = 2x + 3,求 f(4) 的值。
2. 一次函数与二次函数一次函数的标准形式为 y = kx + b,其中 k 和 b 是常数。
二次函数的标准形式为 y = ax^2 + bx + c,其中 a、b、c 都是常数。
示例题:已知一次函数 y = 3x - 2 和二次函数 y = x^2 + x + 1,求它们的零点分别是多少?3. 指数函数与对数函数指数函数是以 a 为底的 x 的幂,形如 y = a^x。
对数函数是指数函数的反函数,以 a 为底 x 的对数记作logₐx。
示例题:已知指数函数 y = 2^x,求解方程 2^x = 8。
二、集合与概率1. 集合的基本概念集合是由一些确定的事物组成的整体。
集合的基本运算有交集、并集和补集等。
示例题:设 A = {1, 2, 3},B = {2, 3, 4},求集合 A 和集合 B的交集与并集。
2. 概率与事件概率是事件发生的可能性大小的度量。
事件是指一个特定的结果或一组结果。
示例题:一枚硬币抛掷两次,已知第一次出现正面,求第二次也出现正面的概率。
三、解析几何1. 直线与曲线直线是由无数个点连成的连续图形,用一次函数的方程进行描述。
曲线是由一次以上函数的方程进行描述。
示例题:已知直线的方程为 y = 2x + 1,点 P(1, 3) 在直线上,求点 P 到直线的距离。
2. 平面与空间几何平面是由无数个点连成的连续图形,用二次函数的方程进行描述。
高一数学知识点与习题讲解
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高一数学知识点与习题讲解第一章集合与函数基础知识点整理第1讲1.1.1 集合的含义与表示知识要点:1.把一些元素组成的总体叫作集合(set),其元素具有三个特征,即确定性、互异性、无序性.2.集合的表示方法有两种:列举法,即把集合的元素一一列举出来,并用花括号“ {}”括起来,基本形式为佝盘忌,耳},适用于有限集或元素间存在规律的无限集.描述法,即用集合所含元素的共同特征来表示,基本形式为{X A|P(x)},既要关注代表元素x,也要把握其属性P(x),适用于无限集.3.通常用大写拉丁字母A,B,C,表示集合.要记住一些常见数集的表示,如自然数集N,正整数集N*或N ,整数集Z有理数集Q, 实数集R4.元素与集合之间的关系是属于(belong to )与不属于(not belong to),分别用符号、表示,例如3 N, 2 N .例题精讲:【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合:(1)由方程x(x2 2x 3) 0的所有实数根组成的集合;(2)大于2且小于7的整数.解:(1)用描述法表示为:{x R|x(x2 2x 3) 0};用列举法表示为{0, 1,3}.(2)用描述法表示为:{x Z|2 x 7};用列举法表示为{3,4,5,6}.【例2 ]用适当的符号填空:已知A {x|x 3k 2,k Z},B {x|x 6m 1,m Z},则有:17 ____ A; —5 ____ A 17 __________ B解:由3k 2 17,解得k 5 Z,所以17 A ;由3k 2 5 ,解得k 7 Z,所以5 A ;3由6m 1 17,解得m 3 Z,所以17 B.【例3]试选择适当的方法表示下列集合:(教材P6练习题2, P13 A 组题4)(1)一次函数y x 3与y 2x 6的图象的交点组成的集合;(2)二次函数y x2 4的函数值组成的集合;(3)反比例函数y 2的自变量的值组成的集合.x解: (1) {(x,y)| ' % 3 } {(1,4)}.y 2x 6(2){y|y x2 4} {y|y 4}.(3){x|y 2} {x|x 0}.x点评:以上代表元素,分别是点、函数值、自变量.在解题中不能把点的坐标混淆为{1,4},也注意对比(2)与(3)中的两个集合,自变量的范围和函数值的范围,有着本质上不同,分析时一定要细心.【例4]已知集合A {a|戶1有唯一实数解},试用列举法表示集合x 2A.解:化方程—1为:x2 x (a 2) 0 .应分以下三种情况:x 2⑴方程有等根且不是 2 :由4=0,得a 9 ,此时的解为x 1,4 2 合.⑵方程有一解为• 2,而另一解不是2:将x 2代入得a 2, 此时另一解x1 2,合.⑶方程有一解为2,而另一解不是V :将x 2代入得a 2 , 此时另一解为x .2 1,合.综上可知,A { 9, ,2, 2}.4点评:运用分类讨论思想方法,研究出根的情况,从而列举法表示•注意分式方程易造成增根的现象•第2讲1.1.2 集合间的基本关系知识要点:1.一般地,对于两个集合A B,如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素,则说两个集合有包含关系,其中集合A是集合B的子集(subset),记作A B(或B A),读作“ A含于B” (或“ B 包含A').2.如果集合A是集合B的子集(A B),且集合B是集合A的子集(B A),即集合A与集合B的元素是一样的,因此集合A与集合B相等,记作A B.3.如果集合A B,但存在兀素x B,且x A,则称集合A是集合B 的真子集(proper subset ),记作A B (或B A).4.不含任何元素的集合叫作空集(empty set),记作,并规定空集是任何集合的子集(1){菱形}{平行四边形三角形}.等腰三角形}等边(2) {x R|x2 2 0};{0};N {0}.(2) =, €, 吕,亍.【例2】设集合A {x|x二n2 能A_B歸_AA. B.表示A与B关系的是(). Z}, B12,n Z},则下列图形!:A. ' B〕解:简单列举两个集合的一些元素, 1, 丄,0,二,1,二,},2 2 2B { , i, 2,2,i, },易知B A,故答案选A.另解:由B {x|x 2n 1 2 ,nZ},易知A,故答案选A.【例3】若集合M x|x2x 6 0 ,Nx|ax 1 0,且N M ,求实数5.性质:A A ;若A B , B C,则A C ;若Ap|B A,贝卩A B ;若A^B A,贝卩B A.例题精讲:【例1】用适当的符号填空:a的值.解:由x2 x 6 0 x 2或(i )若a 0时,得N ,此时,N M ;(ii )若a 0时,得N {-}.若NM ,满足12或13,解得a a a1或a 12 3故所求实数a的值为0或1或1.2 3点评:在考察“ A B ”这一关系时,不要忘记“”,因为A时存在A B.从而需要分情况讨论.题中讨论的主线是依据待定的元素进行•【例4】已知集合A={a, a+b, a+2b},B={a, ax, ax2}.若A=B,求实数x的值.解:若 a b ax2a+ax2-2 ax=0,所以a( x-1) 2=0,即a=0 或x=1.a 2b ax当a=0时,集合B中的元素均为0,故舍去;当x=1时,集合B中的元素均相同,故舍去.. 2若a ax2ax2- ax- a=0.a 2b ax因为a z0,所以2x2-x-1=0,即(x-1)(2 x+1)=0. 又x工1,所以只有x 1.2经检验,此时A=B成立.综上所述x -.2点评:抓住集合相等的定义,分情况进行讨论.融入方程组思想,结合元素的互异性确定集合.第3讲1.1.3 集合的基本运算(一)知识要点:解:在数轴上表示出集合A B, A|[B{X|3 x集合的基本运算有三种,即交、并、补,学习时先理解概念,并掌握符号等,再结合解题的训练,而达到掌握的层次.下面以表格的形式归纳三种基本运算如下.例题精讲:【例1】设集合U R,A {X| 1 X 5},B {X|3 X19},求A B B,(U(A U B).C U(A B) {X|X 1或X 9},【例2】设A {x Z||x| 6} , B 1,2,3 , C 3,4,5,6,求:(1)Af](B「|C) ;(2) AplOLJc).解:;A 6, 5, 4, 3, 2, 1,0,1,2,345,6 .(1)又T B% 3,二A「(B「|C) 3 ;(2)又丫B|JC 1,2,3,4,5,6 ,得C A(B^C) 6, 5, 4, 3, 2, 1,0 .•••A^C A(B U C) 6, 5, 4, 3, 2, 1,0 .【例3】已知集合A {x| 2 x 4} , B {x|x m},且A* A,求实数m的取值范围.解:由Ap|B A,可得A B.在数轴上表示集合A与集合B,如右图所示:由图形可知,m 4 .点评:研究不等式所表示的集合问题,常常由集合之间的关系, 得到各端点之间的关系,特别要注意是否含端点的问题【例4】已知全集U {x|x 10且x N*},A {2,4,5,8},B {1,3,5,8},求C U(A U B),C u(A「|B),(C U A^(C U B),(C d A) J (C d B),并比较它们的关系解:由A「B {1,2,3,4,5,8},贝S C U(A J B) {6,7,9}. 由A「B {5,8},贝S C u(Ap)B) {1,2,346,7,9}由C U A {1,3,6,7,9} , C U B {2,4,6,7,9},则(C u A)f](C u B) {6,7,9},(C U A)U(C U B) {1,2,3,4,6,7,9}.由计算结果可以知道,(C u A)U(C u B) C u(A『B),(C u A)f|(C u B) C u(^.B).另解:作出Venn图,如右图所示,由图形可以直接观察出来结点评:可用Venn图研究(C U A)U GB)C U(A『B)与(C u A)p|(C u B)C U(A J B),在理解的基础记住此结论,有助于今后迅速解决一些集合问题.第4讲1.1.3 集合的基本运算(二)知识要点:1.含两个集合的Venn图有四个区域,分别对应着这两个集合运算的结果.我们需通过Venn图理解和掌握各区域的集合运算表示,解决一类可用列举法表示的集合运算.通过图形,我们还可以发现一些集合性质:C U (A 口B) (C U A) I (C U B) , C U(^J B)(C U A)『G B).2.集合元素个数公式:n(A「B) n(A) n(B) n(A^B).3.在研究集合问题时,常常用到分类讨论思想、数形结合思想等.也常由新的定义考查创新思维.例题精讲:【例1】设集合A 4,2a 1,a2,B 9,a 5,1 a,若A^B 9,求实数a的值.解:由于A 4,2a 1,a2,B 9,a 5,1 a,且B 9,则有:当2a 1=9时,解得a=5 ,此时A={-4, 9, 25}, B={9, 0, -4},不合题意,故舍去;当a2=9时,解得a=3或—3 .a=3时,A={-4,5,9}, B={9, -2,-2},不合题意,故舍去;a= —3, A={ —4, —7,9}, B={9, —8, 4},合题意、.所以,a=—3.【例2】设集合A {x|(x 3)(x a) 0,a R} , B {x|(x 4)(x1) 0},求A U B ,A". (教材P14 B组题2) 解:B {1,4}.当a 3 时,A {3},则A「B {1,3,4}, B ;当a 1时,A {1,3},则A「B {1,3,4} , A^B {1};当a 4 时,A {3,4},则A「B {1,3,4}, A「B {4};当a 3 且a 1 且a 4 时,A {3,a},贝卩A J B {1,3,4,a} , B .点评:集合A含有参数a,需要对参数a进行分情况讨论.罗列参数a的各种情况时,需依据集合的性质和影响运算结果的可能而进行分析,不多不少是分类的原则.【例3】设集合A ={ x| x2 4x 0},B ={x| x2 2(a 1)x a2 1 0,a R},若A B=B,求实数a的值.解:先化简集合A={ 4,0}.由A B=B,则B A可知集合B可为,或为{0},或{- 4},或{ 4,0}.(i )若B=,贝S 4(a 1)2 4(a2 1) 0,解得a V 1 ;(ii )若o B,代入得a2 1 =0 a=1 或a= 1 ,当a = 1时,B=A,符合题意;当a= 1时,B={0} A,也符合题意.(iii )若一4 B,代入得a2 8a 7 0 a =7或a=1,当a = 1时,已经讨论,符合题意;当a=7时,B={ —12, —4},不符合题意.综上可得,a=1或a < 1 .点评:此题考查分类讨论的思想,以及集合间的关系的应用.通过深刻理解集合表示法的转换,及集合之间的关系,可以把相关问题化归为解方程的问题,这是数学中的化归思想,是重要数学思想方法.解该题时,特别容易出现的错误是遗漏了A=B和B=的情形,从而造成错误.这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题.【例4】对集合A与B,若定义A B {x|x A,且x B},当集合A {x|x 8,x N*},集合B {x|x(x 2)(x 5)(x 6) 0}时,有A B= .(由教材P12补集定义“集合A相对于全集U的补集为C U A {x|x U,且X A} ”而拓展)解:根据题意可知,A {123,4,5,6,7,8},B {0,2,5,6}由定义A B {x|x A,且x B},贝SA B {1,3,4,7,8}.点评:运用新定义解题是学习能力的发展,也是一种创新思维的训练,关键是理解定义的实质性内涵,这里新定义的含义是从A中排除B的元素.如果再给定全集U则A B也相当于Ap|(C u B).第5讲1.2.1 函数的概念知识要点:1.设A、B是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f : A—B为从集合A到集合B的一个函数(function ), 记作y=f(x),x A.其中,x叫自变量,x的取值范围A叫作定义域(domain),与x的值对应的y值叫函数值,函数值的集合{f(x)|x A}叫值域(range).2.设a、b是两个实数,且a<b,贝卩:{x| a< x< b} = [ a, b]叫闭区间;{ x| a<x<b} = (a, b)叫开区间;{x| a<x<b} =[a,b), { x| a<x< b} = (a,b],都叫半开半闭区间.符号:Q”读“无穷大” ;“―^”读“负无穷大” ;“ +乂”读“正解:(1)要使函数有意义,则5 4x 0,解得x ;■所以原函数的3x 2 y 5 4x 1 12x 84 5 4x3(4x 5) 234x3234 5 4x;,所以值域(2) (x 1 22)所以原函数的定义域是R,值域【例3】已知函数f(1求:(1)f(2)的值;(2)f(x)的表无穷大”.则{x|x a} (a, ) , {x|x a} [a, ) , {x|x b} ( ,b) , {x|x b} ( ,b], R (,).3.决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则.当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时,函数才是同一函数.例题精讲:【例1】求下列函数的定义域:(1)V 1;(2)y 3「x—3.y |x 2 i, 2 解:(1)由x 2 1 0,解得x 1且x 3,所以原函数定义域为( ,3尢(3, MJ(1)•(2)由 3 ,解得x 3且x 9,Vx 1 2 0所以原函数定义域为[3,9)卩(9,).【例2】求下列函数的定义域与值域:(1)y;(2)5 4xy x2 x 2.定义域是{x|x J.为{y| y -}■4达式1 x r_x2x2 ,x R .1 x(1 )求f(x) f( f(1) f(2)f(3)f(4) f1 1 9 f(3)解: (1) 由 f (x)f()丄)的 xf(》i -2X 1 1 2x2x21 x1 x2 21.1 x点评:对规律的发现,f(-))2(f ⑶ (f(4)f(-)) - 3 4 2能使我们实施巧算•正确探索出前一问的 解:("由Y 2,解得x 3,所以f (2)1(2)设一 t ,解得x 」,所以f (t ) 口,即f (x )1 x1 t1 t点评:此题解法中突出了换元法的思想.这类问题的函数式没有 直接给出,称为抽象函数的研究,常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等.结论,是解答后一问的关键第6讲1.2.2 函数的表示法知识要点:1. 函数有三种表示方法:解析法(用数学表达式表示两个变量之间的对应关系,优点:简明,给自变量可求函数值);图象法(用图象表示两个变量的对应关系,优点:直观形象,反应变化趋势) ;列表法(列出表格表示两个变量之间的对应关系,优点:不需计算就可 看出函数值).2. 分段函数的表示法与意义(一个函数,不同范围的x ,对应法 则不同)【例4】已知函数f (x )x(2)原式 f (i ) (f ⑵【例2】已知f(x)二3x 3 * 2x 233x x3. 一般地,设A B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对 应法则f ,使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都有唯一 确定的元素y 与之对应,那么就称对应f :A B 为从集合A 到集合B 的一个映射(mappi ng ).记作“ f: A B ” .判别一个对应是否映射的关键:A 中任意,B 中唯一;对应法则f.例题精讲:【例1】如图,有一块边长为a 的正方形铁皮,将其四个角各 截去一个边长为x 的小正方形,然后折成一个无盖的盒子,写出体积V 以x 为自变量的函数式是 ________________________________________ ,这个解:(1)由绝对值的概念,有y |x 2| x 2, x 22 x, x 2所以,函数y |x 2|的图象如右图所示3x 3, x 1(2) y |x 1| |2x 4| x 5, 2 x 1 ,3x 3, x 2所以,函数y |X 1| |2x 4|的图象如右图所示点评:含有绝对值的函数式,可以采用分零点讨论去绝对值的方法,将函数式化为分段函数,然后根据定义域的分段情况,选择相应的解析式作出函数图象.【例4】函数f (x) [x]的函数值表示不超过X的最大整数,例如[3.5] 4,[2.1] 2,当x ( 2.5,3]时,写出f(x)的解析式,并作出函数的图象.3, 2.5 x 22, 2 x 11, 1 X 0解:f(x) 0, 0 x 1 .函数图象如右:1, 1 x 22, 2 x 33, x 3点评:解题关键是理解符号m的概念,抓住分段函数的对应函数式•第7讲1.3.1 函数的单调性知识要点:1.增函数:设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量X1, x,当X1VX2 时,都有f(X1)Vf(X2),那么就说f (x)在区间D上是增函数(increasing function ).仿照增函数的定义若 a 0,当 X 1X 2b2a 时,有XX 2 0 , X 1X 2-,即 a(x 1 x 2) b 0 , a从而 f(xj f (X 2) 0,即 f (X 1) f(X 2), 所以f(x)在(却上单调递增.同【例1】试用函数单调性的定义判断函数f(x)互在区间(0, 1)x 1X 1,X 2€(0,1)且X 1 X 22x .2x 2fg g f2(X 2 xj x 1 1 x 2(X i 1)(X 21)由于 0 x 1 x 2 1 , x 1 1 0 , x 20,故 f(x 1) f 区)0,即f(x)化).所以,函数f(x)X2X1 在(0,1) 上是减函数.【例2】求二次函数 f(x) ax 2bx c(a 0)的单调区间及单调性. 解:设任意X 1, X 2且X 1X 2 .则 2f(X 1)f (X 2) (ax 1 bxc) (ax 22bx 2 c)a(x 122X 2 ) b(x 1X 2)可定义减函数.2. 如果函数f(x)在某个区间D 上是增函数或减函数,就说f(x) 在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D 叫f(x )的单调区间.在 单调区间上,增函数的图象是从左向右是上升的(如右图1),减函数 的图象从左向右是下降的(如右图 2).由此,可以直观观察函数图 象上升与下降的变化趋势,得到函数的单调区间及单调性 .3. 判断单调性的步骤:设X !、x 2 €给定区间,且x !<x 2;-计 算f(Xj — f(X 2)-判断符号-下结论.例题精讲:上的单调性.(x 1 X 2)[a(N X 2) b].时,函数取最大值4ac b 2 4a【例3】求下列函数的单调区间: (1) y |x 1| |2x 4| ; (2) y X 2 2|x| 3.3x 3, x 1解:(1) y |X 1| |2x 4| x 5, 2 x 1,其图象如右.由图可知,函数在( 减函数.点评:函数式中含有绝对值,可以采用分零点讨论去绝对值的方 法,将函数式化为分段函数.第2小题也可以由偶函数的对称性,先 作y 轴右侧的图象,并把y 轴右侧的图象对折到左侧,得到f (|x|)的 图象.由图象研究单调性,关键在于正确作出函数图象.第8讲1.3.1函数最大(小)值知识要点:1. 定义最大值:设函数y f (x )的定义域为I ,如果存在实数M 满 足:对于任意的x € I ,都有f (x )< M 存在x o € I ,使得f (x °)= M 那 么,称M 是函数y f (x )的最大值(Maximum Value ).仿照最大值定义,可以给出最小值(Minimum Value )的定义.2.配方法:研究二次函数y ax 2 bx c (a 0)的最大(小)值,先2 2配方成y a (x 卫)2 4a 」后,当a 0时,函数取最小值为 如卫;当2a 4a4a3.单调法:一些函数的单调性,比较容易观察出来,或者可以由图可知,函数在[2, (2)y x 2 2|x| 31]、[0,1]上是增函数,在[1,0]、[1,)上是解:配方为y由(X 1)2(x2) (x -)22【例2】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出先证明出函数的单调性,再利用函数的单调性求函数的最大值或最小4.图象法:先作出其函数图象后,然后观察图象得到函数的最大值或最小值.例题精讲:【例1】求函数y 26的最大值•x x 1所以函数的最大值为8.时,每天可售出100件.现在他采用提高售出价,减少进货量的办法增加利润,已知这种商品每件提价1元,其销售量就要减少10件,问他将售出价定为多少元时,才能使每天所赚得的利润最大?并求出最大利润.解:设他将售出价定为x元,则提高了(x 10)元,减少了10(x 10) 件,所赚得的利润为y (x 8)^100 10(x 10)].即y 10x2 280x 1600 10(x 14)2 360. 当x 14 时,y max 360.所以,他将售出价定为14元时,才能使每天所赚得的利润最大,最大利润为360元.【例3】求函数y 2x •. x 1的最小值.解:此函数的定义域为1,,且函数在定义域上是增函数,所以当x 1时,y min 2 1 1 2,函数的最小值为2.点评:形如y ax b Jex d的函数最大值或最小值,可以用“单调性法研究,也可以用换元法研究. 厂\【另解】令4X1 t,则to ,x t2 1 ,所以■…“ 丁y 2t2t 2 2(t 4)4罟,在t 0时是增函数,当t 0时,y min 2,I ;故函数的最小值为2.【例4】求下列函数的最大值和最小值:(1)y 3 2x x2, x [ I,2] ;(2)y |x 11 |x 2|.解:(1)二次函数y 3 2x x2的对称轴为x —,即x 1.2a2x 1 ( 1 x 2).最小值为-3.点评:二次函数在闭区间上的最大值或最小值,常根据闭区间与 对称轴的关系,结合图象进行分析.含绝对值的函数,常分零点讨论 去绝对值,转化为分段函数进行研究.分段函数的图象注意分段作出第9讲1.3.2 函数的奇偶性知识要点:画出函数的图象, 9 4 *所以函数y 3 2x 由图可知,当x 1时,ymaxx 2, x [ 5,3]的最大值为2 2当x4,最小值为(2) y |x 1| |x 2|作出函数的图象,由图可知, y [ 3,3].所以函数的最大值为3,g(x)1.定义:一般地,对于函数f (x )定义域内的任意一个 X ,都有 f( x) f(x),那么函数f(x)叫偶函数(even function ).如果对于函 数定义域内的任意一个X ,都有f( x) f(x)),那么函数f(x)叫奇函数(odd function ).2. 具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称,奇函数的图象关 于原点中心对称,偶函数图象关于 y 轴轴对称.3. 判别方法:先考察定义域是否关于原点对称,再用比较法、 计算和差、比商法等判别f( X)与f(x)的关系.例题精讲:【例1】判别下列函数的奇偶性: (1)f(x) x 3 - ; ( 2) f(x) |x 1| |x 1| ; ( 3) f (x) x 2 x 3.x解:(1)原函数定义域为{x|x 0},对于定义域的每一个X ,都有 f ( x) ( x)3丄(x 3 -)f (x),所以为奇函数.xx(2) 原函数定义域为R,对于定义域的每一个X ,都有f( x) | x 1| | x 1| |x 1| |x 1| f(x),所以为偶函数.(3) 由于f( x) x 2 x 3 f(x),所以原函数为非奇非偶函数.【例2】已知f (x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f (x)f(x)、g(x).1f (x) g(x) 则x 11 f( x) g( x)x 11f(x) g(x)即X 11 f (X) g(x)X 1解:盒子的高为X ,长、宽为a -2x ,所以体积为V = x(a -2x)* 2.解:T f (x)是奇函数,g(x)是偶函数, f ( x) f(x) , g( x)g(x).两式相减,解得f(x)4 ;两式相加,解得X 1g(x)1 x2 1又由a-2x 0,解得x a.2所以,体积V以x为自变量的函数式是V x(a-2x)2,定义域为{x|0 x |}.X ( ,1),求f[f (0)]的值.x (1,)解:T 0 ( ,1),二f (0)= 32 .又T 32>1,f ( 3 2 )=( 3 2 ) 3+( 3 2 ) -3=2+^ =5,即f [ f (0)]= 5.2 2 2【例3】画出下列函数的图象:(1)y |x 2|;(教材P26练习题3)(2)y |x 1| |2x 4|.3 (x 2)3 (x 1)。
高一数学命题及其关系试题答案及解析
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高一数学命题及其关系试题答案及解析1.已知三个命题:①方程x2-x+2=0的判别式小于或等于零;②若|x|≥0,则x≥0;③5>2且3<7.其中真命题是A.①和②B.①和③C.②和③D.只有①【答案】B【解析】对于命题①方程x2-x+2=0的判别式小于或等于零,正确;②若|x|≥0,则x≥0或x≤0,错误;③5>2且3<7,正确,∴真命题是①和③,故选B【考点】本题考查了命题真假的判断点评:判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假,不能用真值表时,可用下列方法:若“p q”,则“若p则q”为真;而要确定“若p则q”为假,只需举出一个反例说明即可2.对于下列命题:①若,则角的终边在第三、四象限;②若点在函数的图象上,则点必在函数的图象上;③若角与角的终边成一条直线,则;④幂函数的图象必过点(1,1)与(0,0).其中所有正确命题的序号是A.①③B.②C.③④D.②④【答案】B【解析】判定各个命题的正确性,然后确定结论。
命题1中,由于,则说明角的终边在y轴的下方,可能在y轴的负半轴上,因此错误。
命题2中,点P(2,4)在指数函数图像上,说明可知4=a,a>0,故可知a=2,那么对数函数,显然可知点(4,2)点代入满足等式,故成立。
命题3中,角与角的终边成一条直线且为y轴时,正切值不存在,因此错误。
命题4中,幂函数过点(1,1),(0,0),当是负数的时候不成立。
不过点(0,0)故选B。
【考点】本试题主要是考查了基本初等函数的性质运用点评:解决该试题的关键就是要理解函数图像与点的位置关系的判定,以及三角函数中正切值存在的前提条件,,熟悉三角函数的符号,以及幂函数的解析式,属于中档题。
3.下列命题中所有正确的序号是.(1)函数的图像一定过定点;(2)函数的定义域是,则函数的定义域为;(3)已知=,且=8,则=-8;(4)已知且,则实数.【答案】(1)(4)【解析】因为的图象过定点(0,1),经向右平移一个单位,再向上平移3个单位,得到函数的图像,所以(1)函数的图像一定过定点;正确。
高一数学知识点归纳及例题
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高一数学知识点归纳及例题在高一数学学习中,我们将会接触到许多重要的数学知识点。
这些知识点是我们进一步学习数学的基础,也是我们解决数学问题的重要工具。
接下来,我将为大家归纳总结高一数学的主要知识点,并附上一些例题,帮助大家更好地理解和掌握这些知识。
一、函数与方程1. 函数的概念与性质函数是数学中一个非常重要的概念,它可以描述两个变量之间的某种关系。
在高一数学中,我们学习了函数的定义、定义域、值域、斜率、图像等性质,能够通过函数来解决各种实际问题。
例题:已知函数 f(x) = 2x + 3,求函数 f(x) 的定义域和值域。
2. 一次函数与二次函数一次函数和二次函数是高一数学中最基础的函数类型。
一次函数的图像是一条直线,二次函数的图像是一个抛物线。
我们需要了解它们的图像特征、性质以及相关的变形和应用。
例题:已知一次函数 y = 3x - 2 和二次函数 y = x^2 - 4x + 3,求两个函数的图像、顶点坐标和零点。
二、数列与数列的应用1. 等差数列与等差数列的求和公式等差数列是指一个数列中的相邻两项之差恒为一个常数。
我们需要学习等差数列的公式推导与应用,特别是等差数列的求和公式。
例题:已知等差数列的首项为 a,公差为 d,前 n 项和为 Sn,求 Sn 的表达式,并计算等差数列 2, 5, 8, 11, ... 前 10 项的和。
2. 等比数列与等比数列的求和公式等比数列是指一个数列中的相邻两项之比恒为一个常数。
我们需要学习等比数列的公式推导与应用,特别是等比数列的求和公式。
例题:已知等比数列的首项为 a,公比为 q,前 n 项和为 Sn,求 Sn 的表达式,并计算等比数列 3, 6, 12, 24, ... 的前 6 项的和。
三、几何图形与平面向量1. 三角形的性质与计算三角形是几何学的研究重点之一,我们需要了解三角形的各种性质,包括内角和、外角和、中线、高线、重心、垂心等,并掌握计算三角形面积、边长和角度的方法。
高一数学命题及其关系试题
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高一数学命题及其关系试题1.已知,设命题函数在上为减函数,命题当时,函数恒成立.如果“或”为真命题,“且”为假命题,求的取值范围.【答案】或【解析】根据指数函数的图像和性质可求出命题为真命题时,的取值范围;根据对勾函数的图像和性质,结合函数恒成立问题的解答思路,可求出命题为真命题时,的取值范围,进而根据“或”为真命题,“且”为假命题,可知和一真一假,分类讨论后,综合讨论结果,即可求出答案.试题解析:因为,所以如果命题p:函数是真命题,那么.如果命题q:当,函数恒成立是真命题,又因为函数,当且仅当时,即时,函数,所以当,函数所以,即.又因为p或q为真命题,p且q为假命题,所以p或q一个为真命题一个为假命题.如果p为真命题q为假命题,那么且,所以;如果p为假命题q为真命题,那么或且,所以.综上所述,c的取值范围为或.【考点】命题真假的判断;不等式恒成立问题.2.给出下列4个命题:①若,则是等腰三角形;②若,则是直角三角形;③若,则是钝角三角形;④若,则是等边三角形.其中正确的命题是()A.①③B.③④C.①④D.②③【答案】B【解析】①若sin2A=sin2B,则 2A=2B,或2A+2B=π,即A="B" 或C=,故△ABC为等腰三角形或直角三角形,故①不正确.②若sinA=cosB,不能推出△ABC是直角三角形,如A=B=45°时,虽有sinA=cosB,但△ABC不是直角三角形,故②不正确.③若cosA•cosB•cosC<0,则由三角形各个内角的范围及内角和等于180°知,cosA、cosB、cosC两个是正实数,一个是负数,故A、B、C中两个是锐角,一个是钝角,故③正确.④若cos(A-B)•cos(B-C)•cos(C-A)=1,则由三角形各个内角的范围及内角和等于180°知,cos(A-B)=cos(B-C)=cos(C-A)=1,故有 A=B=C,故△ABC是等边三角形,故④正确.即③④正确,故选B.【考点】和差的三角函数公式,三角形的特征。
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高一数学命题知识点及习题
数学是一门需要不断积累和探索的学科,在高一阶段,数学的
内容开始逐渐扩展,涉及到更多的知识点和技巧。
理解和掌握这
些知识点将对高一学生的数学学习和考试成绩有着重要的影响。
本文将介绍高一数学中的一些重要命题知识点及习题,帮助学生
更好地应对数学学习和考试。
一、二次函数及其应用
1. 二次函数的基本形式为y = ax^2 + bx + c,其中a、b、c为常
数且a ≠ 0,其中a决定了函数开口的方向。
当a > 0时,函数开口
向上;当a < 0时,函数开口向下。
2. 利用二次函数的图像和性质,可以解决很多实际问题。
例如,已知某商品的成本函数为C(x) = 2x^2 + 5x + 10,其中x表示商品
的数量,求使得成本最小的产量是多少?
3. 二次函数的图像在平面直角坐标系中呈现抛物线的形状,通
过求解二次方程可以确定其顶点、轴对称和与坐标轴的交点等重
要性质。
练习题:求函数y = 3x^2 + 4x - 2的顶点、轴对称、与x轴和y 轴的交点。
二、立体几何
1. 立体几何是数学中的一个重要方向,涉及到空间中的图形和形状。
了解立体几何的性质和计算方法,有助于解决与空间有关的问题。
2. 学习立体几何需要熟悉各种多面体的名称、性质以及计算它们的面积和体积的方法。
常见的多面体包括正方体、长方体、球体、棱柱等。
练习题:一个正方体的棱长为3 cm,求它的表面积和体积。
三、概率
1. 概率是研究事件发生可能性的数学分支。
在高一数学中,学习概率可以帮助我们分析和预测事件的发生可能性,从而做出合理的决策。
2. 了解概率的基本概念和公式是学习概率的第一步。
事件的概率可以用一个介于0和1之间的数值表示,0表示不可能发生,1表示肯定发生。
练习题:一枚骰子有六个面,每个面上的数字是1到6中的一个。
求掷一次骰子出现奇数的概率。
四、函数的性质与图像
1. 函数是数学中关键的概念之一,它描述了输入与输出之间的关系。
在高一数学中,学习函数的性质和图像是重要的基础。
2. 函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。
通过分析函数的性质,可以更好地理解函数的变化规律。
练习题:考虑函数y = x^2 - 3x + 2,求其定义域、值域,并判
断其是否是奇函数。
五、导数与微分
1. 导数和微分是数学中一个重要的概念和计算方法,用于描述
函数的变化率和曲线的切线。
2. 学习导数和微分需要熟悉导数的定义、基本公式和计算方法。
通过对函数求导可以揭示函数的变化趋势和极值点。
练习题:求函数y = 2x^3 - 4x^2 + 3x - 1的导函数,并求其在x = 1处的导数值。
通过上述的知识点及相关习题,希望对高一学生的数学学习有
所帮助。
数学是一门需要理解和实践的学科,只有不断地练习和
应用,才能真正掌握数学的本质和技巧。
希望学生们能够积极主
动地参与数学学习,提高解题能力和思维能力,为未来更深入的
数学学习奠定坚实的基础。