幂零矩阵和幂零变换性质及应用技术

幂零矩阵和幂零变换的性质及使用

1引言

定义1.1[1] 令A 为n 阶方阵，若存在正整数k ，使0k A =，A 称为幂零矩阵. 定义1.2[1] 若A 为幂零矩阵，满足0k A =的最小正整数称为A 的幂零指数. 定义1.3[3] 设A 为一个n 阶方阵，A 的主对角线上所有元素的和称为A 的迹，记为

1n

ii i trA a ==∑.

定义1.4[5] 形如

0010(,)000001

J t λλ

λλ

λ⎛⎫

⎪ ⎪

⎪=

⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

的矩阵称为若当块，其中λ为复数，由若干个若当块组成的准对角称为若当形矩阵.

定理1.1[5] 设,A B 为n 阶方阵，则()()*

**,AB B A AB B A '''==.

定理1.2[5] (),()A f E A m λλλ=-分别为矩阵A 的特征多项式和最小多项式， 则有()0,()0A f A m A ==. 定理1.3 设12,,

,n λλλ为n 阶矩阵A 的特征值，则有

12n trA λλλ=+++，12n A λλλ=⋅⋅，

且对任意的多项式()f x 有()f A 的特征值为12(),(),

,()n f f f λλλ.

定理 1.4 k 阶若当块1

1

k a J a ⎛⎫

⎪

⎪= ⎪ ⎪⎝

⎭

的最小多项式为()k x a -且有()0k k J a E -=.

定理1.5 ,A B 为n 阶复数域上的矩阵，若AB BA =，则存在可逆矩阵T ，使得

112

2

1

1n n T AT T BT λμλμλμ--⎛⎫⎛⎫

⎪

⎪*

*

⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝

⎭

. 定理1.6 任意n 阶,A B 方阵，有()()tr AB tr BA =.

定理 1.7[5] n 阶复矩阵A 与对角矩阵相似A ⇔的最小多项式无重根

.

定理1.8[5] 每一个n 阶的复矩阵A 都与一若当形矩阵相似，这个若当形矩阵除去

若当块的

排序外被矩阵A 唯一决定的，它称为A 的若当标准形.

本文内容分为三部分，第一部分给出幂零矩阵的性质，第二部分是幂零矩阵的使用，主要给出幂零矩阵的性质使用和幂零矩阵在求逆中的使用，第三部分给出幂零变换的性质以及幂零变换与幂零矩阵的关系. 2 幂零矩阵的性质

性质2.1 幂零矩阵的行列式值为零.

性质 2.2 幂零矩阵的数乘矩阵、相似矩阵和k 次幂(k 为自然数)都是是幂零矩阵.

性质2.3 若A 为幂零矩阵，B 为任意的n 阶矩阵且有AB BA =，则AB 也为幂零

矩阵.

证明：因为A 为幂零矩阵，则由定义 1.1知存在k Z +∈使得0k A =，又因为

AB BA =

()00k k k k AB A B B ==⋅=，所以AB 也为幂零矩阵，所以原命题成立.

性质2.4 若A 为n 阶幂零矩阵，则()*,,,T A A A mA m Z -∈均为幂零矩阵，其中'A 是

A 的转

置矩阵，*A 是A 的伴随矩阵.

证明：因为A 为幂零矩阵，则由定义1.1知存在k Z +∈使得0k A =，由定理1.1知

()()00k k A A '''===，()()00k k A A ***===，()(1)(1)00k k k k A A -=-=-⋅=，

所以,,A A A *'-都为幂零矩阵，又因为()()

()00k k k k

mA m A m ==⋅=，所以()mA m Z +∈也为幂零矩阵.

性质2.5 若A 是幂零矩阵，且0k A =则 1) ()1

21k E A E A A A ---=++++ 2) ()()

1

1

211k k E A E A A A ---+=-+++-

3) ()()

1

1

1

211

110k k k mE A E A A m m m

m

---+=

-++-≠.

证明：1）因为()()21k k k k E A E A A A E A E E --+++=-== ，

所以()1

21k E A E A A A ---=+++.

2) 由1）类似可得 ()

()

1

1

211k k E A E A A A ---+=-++

+- .

3) ()

1

1

1111mE A m E A E A m m m ---⎧⎫⎛⎫⎛⎫+=+=-⎨⎬ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭⎩⎭

()

()

1

1

112

11

1111

11k k k k k E A A E A A m m m m

m m

----⎛⎫=

-++-=-+- ⎪⎝⎭， 所以原命题1)、2)、3)成立.

性质2.6 A 为幂零矩阵的充分必要条件是A 的特征值全为0.

证明：（1）⇒因为A 为幂零矩阵，则由定义1.1知存在k Z +∈使得0k A =，令0λ为A 任意一个特征值，则存在00A λ∂≠∂=∂使得，由定理1.3知，0k λ为k A 的特