专题08 利用空间向量证明平行、垂直(解析版)

2020年高考数学立体几何突破性讲练

08利用空间向量证明平行、垂直

一、考点传真：

能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系

二、知识点梳理：

证明平行、垂直问题的思路

(1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键．

(2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．3其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面的法向量平行；其三证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可.

三、例题：

例1. （2019江苏卷）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．

求证：（1）A1B1∥平面DEC1；

（2）BE⊥C1E．

【解析】证明：（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，

所以ED∥AB.

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，

所以A 1B 1∥ED .

又因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1， 所以A 1B 1∥平面DEC 1.

（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC . 因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC . 又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .

因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ， 所以BE ⊥平面A 1ACC 1.

因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .

例2.（2016年北京卷） 如图，在四棱锥中，平面PAD ⊥平面，，

，，，，

（1）求证：

平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求

的值；若不存在，说明理由.

【解析】(1)∵面PAD

面ABCD AD =，面PAD ⊥面ABCD ，

∵AB ⊥AD ，AB ⊂面ABCD ，∴AB ⊥面PAD ，

P ABCD -ABCD PA PD ⊥PA PD =AB AD ⊥1AB =2AD =AC CD ==PD ⊥PAB PB PCD PA M //BM PCD AM

AP

∵PD ⊂面PAD ， ∴AB ⊥PD ， 又PD ⊥PA ，∴PD ⊥面PAB ， (2)取AD 中点为O ，连结CO ，PO ，

∵CD AC == ∴CO ⊥AD ， ∵PA PD =， ∴PO ⊥AD ，

以O 为原点，如图建系易知(001)P ，，，(110)B ，，，(010)D -，，，(200)C ，，，

则(11

1)PB =-，，，(011)PD =--，，，(201)PC =-，，，(210)CD =--，，， 设n 为面PDC 的法向量，令00(,1)n x y =，．

011,120

n PD n n PC ⎧⋅=⎪⎛⎫

⇒=-⎨

⎪⎝⎭⋅=⎪⎩，，则PB 与面PCD 夹角θ有，

sin cos ,1

n PB n PB n PB

θ⋅=<>== (3)假设存在M 点使得BM ∥面PCD ， 设

AM

AP

λ=，()0,','M y z ， 由(2)知()0,1,0A ，()0,0,1P ，()0,1,1AP =-，()1,1,0B ，()0,'1,'AM y z =- 有()0,1,AM AP M λλλ=⇒- ∴()1,,BM λλ=--

∵BM ∥面PCD ，n 为PCD 的法向量， ∴0BM n ⋅=，即102λλ-++=，∴1

=4

λ

∴综上，存在M 点，即当

1

4

AM AP =时，M 点即为所求． 例3.（2011安徽）如图，ABCDEFG 为多面体，平面ABED 与平面AGFD 垂直，点O 在

线段AD 上，1,2,OA OD ==OAB ∆，OAC ∆，ODE ∆，ODF ∆都是正三角形． （Ⅰ）证明直线BC ∥EF ； （Ⅱ）求棱锥F OBED -的体积．

【解析】（Ⅰ）（综合法）证明：设G 是线段DA 与EB 延长线的交点． 由于OAB ∆与ODE

∆都是正三角形，所以OB ∥DE 2

1

，OG=OD=2， 同理，设G '是线段DA 与线段FC 延长线的交点，有.2=='OD G O 又由于G 和G '都在线段DA 的延长线上，所以G 与G '重合．

在GED ∆和GFD 中，由OB ∥

DE 21和OC ∥DF 2

1

，可知B 和C 分别是GE 和GF 的中点，所以BC 是GEF ∆的中位线，故BC ∥EF ．

（向量法）过点F 作AD FQ ⊥，交AD 于点Q ，连QE ，由平面ABED ⊥平面ADFC ，知FQ ⊥平面ABED ，以Q 为坐标原点，QE 为x 轴正向，QD 为y 轴正向，QF 为z 轴正向，建立如图所示空间直角坐标系． 由条件知).2

3

,23,0(),0,23,23(

),3,0,0(),0,0,3(--C B F E

则有33

(,0,),(3,0,BC EF =-

=- 所以,2=即得BC ∥EF ．