圆锥曲线专题练习(一)(答案)

圆锥曲线专题练习（一）

一、求轨迹方程

1、（1）已知双曲线1C 与椭圆2C ：22

13649

x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭

圆的离心率2e 之比为7

3，求双曲线1C 的方程．

（2）以抛物线2

8y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程．

（1）解：1C

的焦点坐标为(0,

27e =

由127

3

e e =

得13e =设双曲线的方程为2

2

221(,0)y x a b a b -=>则22222

13

139a b a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪

⎩ 解得229,4a b == 双曲线的方程为

22194y x -= （2）解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00

62

2

x x y y +⎧

=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴00262x x y y =-⎧⎨=⎩．

代入2008y x =得：2

412y x =-．此即为点P 的轨迹方程．

2、（1）ABC 的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．

（2）ABC 中，()5,0B -，()5,0C ，且3

sin sin sin 5

C B A -=，求点A 的轨迹方程．

解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，

8=c ，有6=b ，故其方程为

()0136

1002

2≠=+y y x ．设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ①由题意有⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧='='33

y y x x ，代入①，得A 的轨迹方程为

()01324

9002

2≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）． （2）分析：由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R 为外接圆半径），可转化为边长的关系． 解：sinC-sinB=

53sinA 2RsinC-2RsinB=5

3·2RsinA ∴BC AC AB 5

3

=-

即6=-AC AB （*）

∴点A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10

∴a=3， c=5， b=4

所求轨迹方程为

116

92

2=-y x （x>3） 点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）

3、如图，两束光线从点()4,1M -分别射向直线2y =-上两点()11,P x y 和()22,Q x y 后，

反射光线恰好通过椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的两焦点，已知椭圆的离心率为2

1

，且

216

5

x x -=

，求椭圆C 的方程．

解：设a =2k ，c =k ，k ≠0，则b =3k ，其椭圆的方程为13422

22=-k

y k x . 由题设条件得：

1

14)

2(120x x k ----=--+， ①

2

24)

2(120x x k ----=--+， ②

x 2-x 1=

5

6

， ③ 由①、②、③解得：k =1，x 1=5

11

-，x 2=-1，所求椭圆C 的方程为13422=+y x .

4、在面积为1的PMN 中，2

1

tan =

M ，2tan -=N ，建立适当的坐标系，求出以M 、N

为焦点且过P 点的椭圆方程． ∴所求椭圆方程为

13

1542

2=+y x 解：以MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设),(y x P ．

则

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪

⎪⎨

⎧==+-=-.1,21,2cy c x y

c x y

∴

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧===233

435c c y c x 且即

)32,325(P ∴⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=-=+,43,1341225

2222b a b a 得⎪⎩⎪⎨⎧==.

3,

41522b a

5、已知点P 是圆2

2

4x y +=上一个动点，定点Q 的坐标为()4,0．

（1）求线段PQ 的中点的轨迹方程；

（2）设POQ ∠的平分线交PQ 于点R （O 为原点），求点R 的轨迹方程．

解：（1）设线段PQ 的中点坐标为M （x ，y ），由Q （4，0）可得点P （2x -4，2y ），代入圆的方程x 2+y 2=4可得（2x -4）2+（2y ）2=4，整理可得所求轨迹为（x -2）2+y 2=1. （2）设点R （x ，y ），P （m ，n ），由已知|OP |=2，|OQ |=4，∴

2

1

||||=OQ OP ，由角平分线性质可得

||||||||RQ PR OQ OP ==21，又∵点R 在线段PQ 上，∴|PR |=2

1

|RQ |，∴点R 分有向线段PQ 的比为21，由定比分点坐标公式可得⎪

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎧

=+⨯+=+=+⨯+=3

22110213422

11421n n y m m x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=232

43y n x m ，∴点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-23 ,243y x ，代入圆的方程x 2+y 2=4可得4232432

2=⎪⎭

⎫

⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ，