大学物理竞赛辅导振动与波动

五、简谐振动的能量
以水平弹簧
E
Ek
Ep
1 2
m
dx dt
2
A
1 2
kx 2
1 2
kA2
振子为例： Ek 、Ep 周期为T/2
x A
Ek
Ep
1 4
kA2
T o
t E 1 kA2 2
-A
Ek
Ep
E
Ek A o
x
A
EP t T/2
六、阻尼振动 受迫振动 共振
1、阻尼振动
因受阻力作用振幅不断减小的振动叫阻尼振动。
m
,
02
k ,有 m
&x& 2 x& 02 x
0
形成低阻尼振动的条件为： 2 02
( )2 k
2m m
2 mk
2、 受迫振动 ：在外来策动力作用下的振动
系统受力： 弹性力 -kx 阻尼力 C dx
dt
周期性策动力 F=F0cost
振动方程： m d2 x kx C dx F
dt 2
1、振幅 A ：质点离开平衡位置的最大距离。
A
x02
v02
2
由振动系统的初始状态决定。
2、角频率（圆频率）ω : 2秒内质点的振动数。
2 2 由振动系统本身的性质决定。
T
对弹簧振子：
k ,
m
1
2
k, m
T 2 m
k
对单摆：
g/l,
1
2
g l
,
T 2
l g
例3. 利用单摆测定重力加速度g，已知摆的周期T 为2s，测量摆长的相对误差为0.05%，用秒表测量 时间的误差约为0.05s，如果要求测量结果g的相对 误差小于0.1%，则至少要数_______个周期的摆动。 (1985.二.8)
x2 A12
y2 A22
2
x A1
y A2
cos(2
1 ) sin2(2
1)
（1）合运动一般是在 2A1 ( x向 )、2A2 ( y向 ) 范围内的 一个椭圆；
（2）椭圆的性质(方位、长短
轴、左右旋 )在 A1 、A2确定之
后, 主要决定于 =2-1。
= 0
= /4
.P· Q
= /2
解得： n 100
同类型的题：(1989.二.1)， (1991.二.12)
3、 相位（位相，周相）： x Acos(t )
( t + )是 t 时刻的相位，反映质点的运动状态。
t =0 时位相值 ，称初相，
由振动系统的初始状态决定。
arctan(
v0
x0
)
为方便计，规定： (或0 2 )
vmax
2
A为速度振幅；速度比位移的相位超前
3、
加速度: a
d2 x dt 2
2 Acos(t
)
2
2 Acos(t ) 2 x
a 2 x
amax 2 A 为加速度振幅；加速度与位移反相。
（1） x、v、a 周期均为T。
（2）v比 x 超前π/2， a与 x 反相。
x
(x-t 曲线叫振动曲线)
l
mgl
动力学方程：d2 x
dt 2
2 x
d2
dt 2
2
运动方程：x Acos(t ) Acos(t )
k/m
g/l
注1：弹簧振子水平放置， 注2： 竖直放置或放在固定的光滑
1
1
k串 i ki
斜面上都可以做简谐振动。
k并 ki
i
例1. 如图，用六根拉伸的长度均为10cm的弹簧将
若 2 1 0, 质点2 比质点1 相位超前△ 若 2 1 0, 质点2 比质点1 相位滞后△
注1：超前与滞后是相对的。
注2：通常将 限制在≤π。
三、 简谐振动的速度和加速度 都是简谐振动
1、位移: x Acos(t )
2、速度: v dx A sin( t )
dt A cos(t )
振动与波动
主讲教师：惠娟利
机械振动
一、简谐振动的定义
1、定义：物体运动时，如果离开平衡位置的位 移（或角位移）随时间按余弦（或正弦）函数的 规律变化，称这个物体在作简谐振动或简谐运动。
2、两个特例：“弹簧振子”和“单
摆” 。
弹 簧 振
单 摆
子
弹簧振子
单摆
动力学特征： f kx
M mg sin l
xmax
A
t
v
vmax A
t
a
amax 2 A
t
四、 简谐振动的旋转矢量表示法
1、矢量 （A模x 与 振A幅co等s(值)t以匀角) 速
度ω(与角频率等值)逆时针旋转。
M(t) ω
A
ωt
A
M (t =0)
2、t
=0时，A与x
轴正向夹角为
。O
x x0 x
3、t =t 时，A与x 轴正向夹角为(ωt + )。
（2）阻尼振动的运动学特征
①β< ω0（欠阻尼状态，如放在水中）
x Ae t cos( 't ), ' 02 2 0 x
振幅按指数规律衰减的振动，不是周期
运动，是往复运动。
t
②β > ω0 （过阻尼状态，如放在沥青中）
x C e C e ( 2 02 )t 1
( 2 02 )t
例6.固有频率为ν0的弹簧振子，在阻尼很小的情况 下，受到频率为2ν0的余弦策动力作用，作受迫振
动并达到稳定状态，振幅为A。若在振子经平衡位
置时撤去策动力，则自由振动的振幅A`与A的关系
是____A_`_=_2_A__.
(1996.一.2)
解：稳定振动时振子频率即策动力频率，圆频率为
ω＝2(2ν０)，
x t
拍 x 2Acos( 2 1 ) t cos( 2 1 ) t
2
2
A0 (t )
2 Acos(
2
1 ) t
2
合振动的强弱A02(t)随 t 变化的现象－拍(beat)
拍频 : 单位时间内强弱变化的次数。设拍周期为Tb
2 A cos
2
2
1
(t
Tb
)
2Acos
2
2
1
t
2
1
②共振振幅 : Br 2
f0
02 2
（2）速度共振
速度共振时，速度与策动力同相，一周期内策动力
总作正功，此时向系统输入的能量最大。
（参考教材P161-162）
七、 一维简谐振动的合成
1、 同方向、同频率的两个简谐振动的合成
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 )
2
1
t ) cos( 2
2
1
t
当 2 1时， 2- 1 2+ 1
) )
合振动 不是简 谐振动。
x A0(t )cos(t )
A0 (t )
2 A cos( 2
2
1
t)
随ｔ缓变；
cos(t ) cos(2 1 t ) 随ｔ快变。
2
合振动可看作振幅缓变的“简谐振动”。
x1 t
x2 t
dt
d2 x dt 2
2
dx dt
02
x
f0 cos t
（0
k m
,
C 2m
,
f0
ห้องสมุดไป่ตู้
F0 ） m
稳态解: x=Bcos( t+)
特点: 稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化.
(1)频率: 等于策动力的频率
(2)振幅:
B
[(02
f0
2 )2
4
2 2 ]1/ 2
(3)初相:
tg
2 02 2
注：角频率ω就是相位的变化速率。
4、两个同频率简谐振动的相位差：
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 )
它们的相差为：
(t 2 ) (t 1 ) 2 1
（也可写成 1 2 ） 若 2k (k为整), 两质点振动步调相同 (同相)
若 (2k 1) (k为整), 两质点振动步调相反 (反相)
= 3/4
=
= 5/4
= 3/2 = 7/4
x2 A12
y2 A22
x 2
A1
y A2
cos(2 1 ) sin2(2 1)
x2
Ax2
y2 Ay2
2 xy Ax Ay
cos
x y
sin2 x y
设振幅Ax=Ay，位相差
x
y
2k
1
2
,k
解：由于单摆有等时性，摆动周期总相同，因此
测定重力加速度可测n个周期时间t=nT来减小测
量误差，单摆周期公式 T 2 l
g
改写成
g
4 2
t
l
/ n2
n2 4 2l
t2
g 4 2
l
n2 4 2l
t / n2
t2
则误差传递公式为：g
l
t 2
l
2
t
gl
t l nT
代入已有数据有： 0.05
0.1% 0.05% 2 n2
一质量m为10g的物体悬挂起来。每个弹簧上的拉
力均为5N，如果将物体垂直于图面向外稍微拉动
一下，然后释放，则该物体m振动的频率为___Hz
解：设物体相对图面的垂直位移为x， (1986.二.1)
弹簧相对面的倾角为θ，
物体受弹簧合力(指向图面)为F 则：x=lsinθ， F=6fsinθ≈6fθ
其中l为弹簧长度，f为一根弹簧拉力
x = x1+ x2 =A cos( t+ )
A A12 A22 2A1A2 cos
arctan A1 sin1 A2 sin2 A1 cos 1 A2 cos 2
两种特殊情况：
y
A
ω
A2
A2 sin 2
2
A1
o
1
A1 cos1
A1 sin 1
x A2 cos2
x
（1）2 1 2k k 0,1,2, A A1 A2 , 若A1=A2，A = 2A1，称为干涉相长。
（2）2 1 (2k 1) k 0,1,2,
A | A1 A2 |, 若A1 = A2，A = 0。称为干涉相消。
2、同方向、不同频率的两个简谐振动的合成 拍
为简化问题，设两谐振 x1 Acos(1t )
动的振幅和相位都相等。 x2 Acos(2t
x
=
x1+
x2
2 A cos( 2
静止施放,则质点每秒通过原点的次数为______
解：质点离开其平衡位置位移为x, (1987.二.2)
所受合力为-2kx.由牛顿定律,
其自由振动方程为:
k
k
m
d2 x dt 2
2kx,即
d2 dt
x
2
2k m
x
0
L
L
∴其振动频率为： 1 2k
2 m
质点每秒通过原点为 1 次2k 。
m
二、简谐振动的特征量 x Acos(t )
经平衡位置时速度最大为: V=ωＡ。
撤去策动力后，速度仍为V，做自由振动，其圆频
率ω`＝２ν0，仍有关系V=ω`A`
∴ωA=ω`A`, A`=ω/ω`A=2A
3、共振
（1） 位移共振
B
[(02
2
f0 )2
4
2
2
]1/ 2
在一定条件下, 振幅出现 极大值,出现剧烈振动的现象。
dB
d
0
①共振频率 : r 02 2 2
2
Tb
π
2π
Tb 2 1
1 / Tb
2 1
2π
2
1
实例：双簧口琴、双簧管(oboe)、钢琴(piano)调音(钢琴与 标准音叉声波形成拍—拍频越小，说明钢琴的音越准)。
3、 两个同频率相互垂直的简谐振动的合成
x=A1cos( t+ 1) 消去时间，
y=A2cos( t+ 2) 得合运动的轨迹方程：
由m
d2 x dt 2
F,
得ml
d2
dt 2
6f
0
l
f 阻碍θ的增大，∴f < 0
x
振动频率：v 1
6 f
1
6 5 27.6Hz
2 2 ml 2 0.01 0.1
例2.质量为m的质点在水平光滑面上,两侧各接一
弹性系数为k的弹簧,如图,弹簧另一端被固定于壁
上,L为两弹簧自然长度,如使m向右有一小位移后,
这样,矢量逆时针匀角速度旋转过程中，其端 点M在x 轴上的投影点坐标为：
x = A cos (ωt + )
恰为x 轴上简谐振动。
4、 旋转矢量法的应用
（1）画图
①利用旋转矢量制 ②已知振动曲线画旋转矢
作振动曲线：
x
x
量在任意时刻的位置：
t
（2）求振动初相
（3）求两个简谐振动的相位差 （4）两个简谐振动的合成问题
例5.水平弹簧振子系统中，弹簧的劲度系数为k， 振子质量为m，水平运动阻力大小与振子运动速率
成正比，比例系数为 ，振子的运动方程_____，
形成低阻尼振动的条件是_______。 (2001.一.1) 解： 将牛顿第二定律用于振子，得
kx x& mx&& &x& x& k x 0
mm
令2
2
x
β>ω0
无往复性, 经较长时间单调返回平衡位置。
β=ω0
t
③β = ω0（临界阻尼状态如放在甘油中）
x (C1 C2t )e t 无往复性，能很快地返回平衡位置。
例4.一个弹簧振子的质量为1.0kg，自由振动的本
征频率为2Hz ，当存在某个大小与振子速率成正比
的阻尼力时，恰好处于临界阻尼振动状态，则弹簧
的劲度系数K= ————N/m，阻尼力大小与速率
的比例系数 = ————kg/s。 (十七届.一.4)
解：已知m=1.0kg，ν0=2Hz，
临界阻尼振动条件 β ω0
ω02
K m
K mω02 m(2πv0 )2 1.0 (2π 2)2 158(N m)
γ
K
m 2β 2ω0 2 m
γ 2 Km 2 16π2 1.0 8π 25.1(kg s)
（1）阻尼振动的动力学方程
回复力：F kx
阻力：f v dx（γ：阻力系数）
由牛二定律：m
d2 x dt 2
dt
kx
dx dt
,
d2 x dt 2
m
dx dt
k m
x
0
令
k m
02 ,
m
2 ,
β称为阻尼因子。
动力学方程:
d2 x dt 2
2
dx dt
02 x
0
其解按β大小有三种情况。