梅逊增益公式及应用分解
梅逊公式
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21
解: 有三条前向通路, 前向通路的增益分别为
n3
p1 G1G2 G3G4 G5 p2 G1G6 G4 G5 p3 G1G2 G7
有四个独立的回路,分别为
L1 G2 G3G4 G5 H 2 L2 G6 G4 G5 H 2
在四个回路中,L3与L4不接触。
L3 G2 G7 H 2 L4 G4 H1
特征式为
1 ( L1 L2 L3 L4 ) L3 L4
回章首 回节首 22
前向通路p1与四个回路均接触,
1 1
前向通路p2与四个回路均接触,
2 1
前向通路p3与回路L4不接触,
L3a L4 ,
a
3 1 L4
闭环传递函数为
Y (s) P 1 ( p11 p2 2 p3 3 ) R( s) p1 p2 p3 (1 L4 ) 1 ( L1 L2 L3 L4 ) L3 L4 G1G2G3G4G5 G1G6G4G5 G1G2G7 (1 G4 H1 ) 1 G2G3G4G5 H 2 G6G4G5 H 2 G2G7 H 2 G4 H1 G2G7 H 2G4 H1
(2-123)
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18
特征式
的计算公式为
1 La Lb Lc
a b,c
d ,e, f
L
d
Le L f ....
(2-124)
L —所有独立回路增益之和; —所有每两个互不接触回路增益乘积之和; L L —所有每三个互不接触回路增益乘积之和。 L L L
a a
梅森公式-信号流图
例4 已知系统信号流图, 解:三个回路
求传递函数 X4/X1及 X2/X1。
L
a
d eg bcg
c
有两个互不接触回路
L L
b
deg
f
则 1 d eg bcg deg
1. X 1 X 4 , p1 aef , p2 abcf 1 1 d , 2 1
x2
(g)
x2
x3
x5 L5 a23a35a52
a12 a23 a34 a45 (1 a44 )a12 a23 a35 P 1 (a23 a32 a23 a34 a42 a44 a23 a34 a52 a23 a35 a52 ) a23 a32 a44 a23 a35 a52 a44
2 1 a44
x3
a42 a12
a44 a34 x4 a35 a52 a45 x5
(a)
a23 x2 a32 x3
x1
(d)
x2
x3
互不接触
L1 a23a32
L12 a23a32a44 L2 a23a34a42
(e) (f)
x2
x4 x4 x5 L3 a44 互不接触 L22 a23a35a52a44 L4 a23a34a45a52
E(s)=
R(s)[ (1+G2H2) + (- G3G2H3) ] + (–G2H3) N(s)
1 - G1H1 + G2H2
+ G1G2H3 -G1H1G2 H2
信号流图
R(s) 1
e
g
a
f
b
自动控制原理第二章梅森公式-信号流图课件
ABCD
然后,通过分析梅森公式 的各项系数,确定系统的 极点和零点。
最后,将梅森公式的分析 结果转换为信号流图,进 一步明确系统各变量之间 的传递关系。
梅森公式在信号流图中的应用实例
假设一个控制系统的传递函数为 (G(s) = frac{s^2 + 2s + 5}{s^2 + 3s + 2})
在信号流图中,将极点和零点表示为相 应的节点,并根据梅森公式的各项系数 确定各节点之间的传递关系。
02
信号流图基础
信号流图定义与构成
信号流图定义
信号流图是一种用于描述线性动 态系统数学模型的图形表示方法 ,通过节点和支路表示系统中的 信号传递和转换过程。
信号流图构成
信号流图由节点和支路组成,节 点表示系统的动态方程,支路表 示输入输出之间的关系。
信号流图的绘制方法
确定系统动态方程
根据系统描述,列出系统的动态方程。
2
梅森公式与信号流图在描述和分析线性时不变系 统时具有互补性,二者可以相互转换。
3
信号流图能够直观地表示系统各变量之间的传递 关系,而梅森公式则提供了对系统频率特性的分 析手段。
如何使用梅森公式进行信号流图分析
首先,将系统的传递函数 转换为梅森公式的形式。
根据极点和零点的位置, 判断系统的稳定性、频率 响应特性等。
在未来研究中的可能发展方向
随着科技的不断进步和应用需求的不断变化,控制系统面临着越来越多的 挑战和机遇。
在未来研究中,可以利用梅森公式和信号流图进一步探索复杂系统的分析 和设计方法,提高系统的性能和稳定性。
同时,随着人工智能和大数据技术的应用,可以结合这些技术对控制系统 进行智能化分析和优化设计,提高系统的自适应和学习能力。
梅森增益公式适用范围.docx
梅森增益公式适用范围标题:梅森增益公式适用范围的阐述引言:梅森增益公式是电子电路设计中常用的一种分析工具,用于计算电路增益和频率响应。
然而,在实际应用中,梅森增益公式的适用范围有一定限制。
本文将就梅森增益公式的适用范围展开阐述,以帮助读者更好地理解和使用这一公式。
一、梅森增益公式简介梅森增益公式是一种基于网络理论的公式,用于计算复杂电路的总增益。
它是由美国电子工程师梅森提出的,一般用于线性、定常、时不变的电路分析。
二、适用范围的限制1. 线性电路要求梅森增益公式适用于线性电路,即电路的元件和信号是线性的。
对于非线性电路,例如包含二极管、晶体管等非线性元件的电路,梅森增益公式就不再适用。
2. 定常电路要求第1页/共6页梅森增益公式适用于定常电路,即电路的参数是固定的,不随时间变化。
对于具有非定常特性的电路,如含有开关、变阻器等可变元件的电路,梅森增益公式无法提供准确的结果。
3. 时不变电路要求梅森增益公式适用于时不变电路,即电路的参数与时间无关。
在实践中,例如考虑温度变化、电源变化等因素会导致电路参数发生改变,因此这些情况下梅森增益公式不能得到准确的结果。
三、梅森增益公式的优势尽管梅森增益公式存在一定的适用范围限制,但它仍然是电子电路设计中常用的工具。
以下是梅森增益公式的一些优势:1. 简单易用相比其他复杂的电路分析方法,梅森增益公式简单易懂,计算过程相对简单直观。
这使得它成为工程师们在电路设计、故障排除等方面的重要工具。
2. 可模块化分析梅森增益公式支持对电路进行模块化分析。
通过将复杂的电路划分为多个子电路,可以使用梅森增益公式计算每个子电路的增益,进而得到整个电路的总增益。
这种分析方法便于对电路进行优化和调试。
第2页/共6页3. 提供定量分析结果梅森增益公式给出的是数值化的增益结果,可以帮助工程师量化地评估和比较不同电路的性能。
这对于电路设计者来说非常重要,可以在设计初期对各个子电路进行评估和优化。
最新梅森公式例子
1
C(s) 1
G8
G7 G9
R(s) G1 G2 G3 G4
G5 G6
1
-H1
-H2
-H3
第一条回路增益 L1= - G4 H1 第二条回路增益 L1= - G6 H2 第三条回路增益 L3= - G2 G3 G4 G5 G6 H3 第四条回路增益 L4= - G2 G3 G4 G9 G6 H3 第五条回路增益 L5= - G7 G4 G5 G6 H3 第六条回路增益 L6= - GG7 G9
R(s) G1 G2 G3 G4
G5 G6
1
-H1
-H2
-H3
第一条回路增益 L1= - G4 H1 第二条回路增益 L1= - G6 H2
第三条回路增益 L3= - G2 G3 G4 G5 G6 H3
1
C(s) 1
G8
G7 G9
R(s) G1 G2 G3 G4
G5 G6
1
-H1
-H2
-H3
第一条回路增益 L1= - G4 H1 第二条回路增益 L1= - G6 H2 第三条回路增益 L3= - G2 G3 G4 G5 G6 H3 第四条回路增益 L4= - G2 G3 G4 G9 G6 H3
1
C(s) 1
G8
G7 G9
R(s) G1 G2 G3 G4
G5 G6
1
R(s) G1 G2 G3 G4 G5
G6
1
-H1
-H2
-H3
第一条前向通路增益 P1=G1 G2 G3 G4 G5 G6
第二条前向通路增益 P2=G1 G2 G8
第三条前向通路增益 P3=G1 G7 G4 G5 G6 第四条前向通路增益 P4=G1 G2 G3 G4 G9 G6
梅森增益公式
具有任意条前向通路及任意个单独回路和不接触回路的复杂信号流图,求取从任意源节点到任意阱节点之间传递函数的梅森增益公式记为
式中
——从源节点到阱节点的传递函数(或总增益);
——从源节点到阱节点的前向通路总数;
——从源节点到阱节点的第
条前向通路总增益;
——流图特征式
式中
——所有单路回路增益之和;
——所有互不接触的单独回路中,每次取其中两个回路的回路增益的乘积之和;
——所有互不接触的单独回路中,每次取其中三个回路的回路增益的乘积之和;
——流图余因子式,它等于流图特征式中除去与第
条前向通路相接触的回路增益项(包括回路增益的乘积项)以后的余项式。
[1]。
梅森公式的理解
是包含于,你理解的有点偏差,举个例子如果有三个互不接触的回路,取两个不接触的回路应有三项,取三个互不接触回路就一项。
具体的应该是这样:
梅森公式G(s)=Σ(Ρκ*△κ)╱△G(s)= ——系统总传递函数;n——是前向通道数;Ρκ——第k条前向通路的传递函数,由输入端单向传递至输出端的信号通道称为前向通道;△——流图的特征式△=1-ΣLi+ΣLjLk-ΣLiLjLk+······
L A
bc为每两个不接触回路增益乘积之和
a为所有回路增益之和;L a L b
Li——所有单独回路的增益之和;
LjLk——所有互不接触的单独回路中,取其中两个不接触的回路增益乘积之和;LiLjLk——所有互不接触的单独回路中,取三个互不接触回路增益之和;
△κ——第k条前向通路特征式的余因子,即对于流图的特征式△,将与第k 条前向通路相接触的回路
增益代以零值,余下的即为△κ。
对于复杂的结构,理论上有很多项,但实际上△就取到前两三项。
1 第九章 梅森公式 状态方程
系统的信号流图表示法
X s H s
H s
Y s
方框图 流图
X s
Y s
实际上是用一些点和支路来描述系统:
X s 、 Y s
称为结点
线段表示信号传输的路径,称为支路。
信号的传输方向用箭头表示,转移函数标在箭头附近, 相当于乘法器。
2
术语定义
X 1 X1
e (t )
vC t
R 1 1 d d t i L t L i L t L v C t L e t d v t 1 i t L dt C C
33
写为矩阵形式:
d R d t i L t L d v t 1 dt C C
L LL
d e d ,e , f
f
6
1 H
g
k
k
k
——表示由源点到阱点之间第k条前向通路的标号。 k
gk——表示由源点到阱点之间的第k 条前向通路的增益。
它是除去与 k 条前向通路相接触的环路外,余下的特征 行列式。
条前向通路特征行列式的余因子。 k ——称为对于第 k
7
例
4
方框图 to 信号流图
信号流图的梅森增益公式 1 H gk k k 式中: △——称为流图的特征行列式。 1 (所有不同环路增益之和)
(每两个互不接触环路增益乘积之和) (每三个互不接触环路增益乘积之和) 1 La Lb Lc
a b ,c
X
2
X3
H3 G3
X
4
H5
Y
它只有一对两两互不接触的回路 X 3 X X1 X 2 X1
2.7 梅逊公式
△1= 1
∑Pk△k= P1△1= G1 G2 G3 G4G5 G6 将中△与第K条前向通道相接触 条前向通道相接触( △k:将中△与第 条前向通道相接触(有 重合部分)回路所在项去掉之后的余子式。 重合部分)回路所在项去掉之后的余子式。
例:试用梅逊公式求传函C(S)/R(S)。 试用梅逊公式求传函 。
一、梅逊公式
∑Pk△k C(s) : G(S)= R(s) = i G = G1 G3 2 △ 1、G(S):从输入通道到输出通道总的传递 、 : H1 H2 H3 函数(总增益)。 函数(总增益)。 2、△:称为系统主特征式 、 △=1- ∑La+ ∑LbLc-∑LdLeLf+…
所有单独回路增益 回路增益之和 ∑La — 所有单独回路增益之和 ∑LbLc—所有两两互不接触回路增益乘积之和 所有两两互不接触回路增益乘积之和 ∑LdLeLf—所有三个互不接触回路增益乘积之和 所有三个互不接触回路增益乘积之和
R G1 G2 1 H2 G3 H4 H1 4 G4 C
2 H3
G5
G6 3
解: 3、G(S) 、
△=1+G2G3H2 +G4G5H3 +G3G4H4 +G1G2G3G4G5G6H1+G2G3G4G5H2 H3
∑Pk△k= P1△1= G1 G2 G3 G4G5 G6 ∑Pk△k C(s) : G(S)= R(s) = i = △
= G1 G2 G3 G4G5 G6
n
△
应用梅逊公式, 应用梅逊公式,将大大简化结构 变换的计算。 变换的计算。但当系统结构较复 杂时,容易将前向通道、 杂时,容易将前向通道、回路数 及余子式判断错,需格外注意。 及余子式判断错,需格外注意。
例:试用梅逊公式求传函C(S)/R(S)。 试用梅逊公式求传函 。 G4 4 G3 2 H2
梅森公式步骤
梅森公式步骤好的,以下是关于梅森公式步骤的说明:一、基本动作要领1. 首先呢,你得确定你要分析的系统的结构图。
这就好比你要建房子,得先有个建筑蓝图一样。
结构图里包括了各个环节之间的信号传递关系,像是输入怎么到输出呀之类的。
这里要小心,结构图要画准确,各个环节不能混淆或者遗漏,我之前就犯过错,把一个反馈回路的信号方向画反了,结果后面整个计算都错了。
2. 找出系统的前向通路。
这一步就像是在迷宫里找从入口到出口的主要通道一样。
前向通路就是信号从输入到输出传递的主要路径,中间没有来回折返回去的。
这个时候,你可以拿个笔把这些前向通路都标记出来,挺重要的,我试过好多次,如果不标记好,后面算着算着就乱了。
3. 计算每条前向通路的增益。
这就相当于计算你在每条主要通道上走的时候,得到的总的一个放大或者缩小的倍数。
简单来说,就是把这条通路上所有环节的增益相乘。
比如说这条通路有三个环节,增益分别是2、3、4,那这个通路的增益就是2×3×4 = 24。
4. 接着找出系统的所有单独的回路。
回路就是那些信号从一个点出发又能回到这个点的路径,就像转圈一样。
你要细心地看结构图,不能落下任何一个回路,这可不能马虎。
把这些回路也都标记出来,我就有一次不小心落下了一个小的回路,导致最后算梅森公式的时候结果错得离谱。
5. 计算每个回路的增益。
和前面前向通路增益计算类似,就是把这个回路上所有环节的增益相乘。
6. 最后还有一步很关键,计算所有互不接触回路的组合增益。
什么是互不接触回路呢?就是那些没有公共点的回路。
比如说有两个回路,一个在左边自己转,一个在右边自己转,它们之间没有交叉点,那就是互不接触的,然后计算这两个回路增益的乘积。
二、个人小技巧1. 在找前向通路和回路的时候,可以从结构图的输入开始,按照信号流动的方向,慢慢地一条一条找。
对了这里可以边找边在旁边简单地写个小数字或者小字母标记一下,这样不容易混乱。
2. 在计算过程中,如果觉得数字很复杂,可以先把每个环节或者回路单独写在一张纸上,写清楚它的结构和增益,然后再做计算,这样思路会比较清晰。
信号与系统7_梅森公式的证明及应用
电子工程系 无22班 喻浩 赵欣 肖元章 马存庆 蔡金蝉
梅森公式
梅森公式的回顾
大家都知道,用梅逊公式可不必简化信号流图而直接求得
从输入节点到输出节点之间的总传输。(即总传递函数)
其表达式为:P
1
n k 1
Pk k
式中: P 总传输(即总传递函数);
n 从输入节点到输出节点的前向通道总数;
回路传输乘积之和;
k 第k个前向通道的特征式的余子式;其值为 中除去与
第k个前向通道接触的回路后的剩余部分;
梅森公式的推导
梅森公式的推导(先 用一个一般性的图来证明)
如右图已知信号流图如图所 示,所对应的代数方程为
V1 mV1 lV3 bR
f
m
h
R1
Ⅰ
b
l
Ⅱ
V3
k
Ⅲ
Ⅳ
C
V1 d Ⅴ e V2 1
和
1 m bR l 2 g fR e (1 m) fR debR dlfR gbR
d 0 1 [bde f (1 m dl) bg]R
梅森公式的推导
根据克莱姆法则得
C
V2
2
1 (m
[bde f (1 m dl) bg]R dl ke h gkl) mh dlh
j,k
而△值就是
1 Li Lj Lk 1 (m dl ke h gkl) mh dlh mke
i
j,k
可见,传递函数的分母△取决于信号流图的拓扑结构特征。
梅森逊公式的推导
1 Li Lj Lk 1 (m dl ke h gkl) mh dlh mke
梅逊公式简单讲解
• 前向通路—从输入节点到输出节点的通路。前向通路中通过任 何节点不多于一次。
• Gk —从输入节点到输出节点的第k条前向通路增益
• Δ —特征式 且 1 La Lb Lc Ld LeL f
• La 所有不同回路的增益之和
• Lb Lc 所有两两互不接触回路的增益乘积之和
• La —所有不同回路的增益之和
• Lb Lc —所有两两互不接触回路的增益乘积之和
• Ld Le Lf —所有三个都互不接触回路的增益乘积之和
• k —在Δ中,将与第k条前向通路相接触的回路所在项去掉后 余下的部分
术语解释
• 节点—表示系统中的变量或信号的点称为节点。 • 支路—连接两节点间的有向线段称为支路。支路增益就是两节点间的增益。 • 输入节点(源点)—仅有输出支路的节点称为输入节点,一般为系统的输入。 • 输出节点(阱点)—仅有输入支路的节点称为输出节点,一般为系统的输出。 • 混合节点—既有输入支路又有输出支路的节点称为混合节点。
• Ld Le Lf 所有三个都互不接触回路的增益乘积之和
• k —在Δ中,将与第k条前向通路相接触的回路所在项去掉后
余下的部分 • 通路—从任一节点出发沿着支路箭头方向连续地穿过各相连支
路到达另一节点的路径称为通路
例2 求C(s)/R(s)
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定义和公式
• 梅逊公式是求解信号流图或等效的 系统框图输入点与输出点之间的系 统函数的算法,广泛用于拉普拉斯 变换或域模型求解系统函数中。公 式为:
• G—从输入节点到输出节点之间的系统特从征输式入且节点 到 1输出节点La的第k条L前b L向c 通路增Ld益Le L f
梅森公式例子
1
-H1
-H2
-H3
第一条回路增益 L1= - G4 H1 第二条回路增益 L1= - G6 H2 第三条回路增益 L3= - G2 G3 G4 G5 G6 H3 第四条回路增益 L4= - G2 G3 G4 G9 G6 H3
1
C(s) 1
G8
G7 G9
R(s) G1 G2 G3 G4
G5 G6
1
-H2
-H3
5
C(s)
Pk k
k 1
R(s)
1
C(s) 1
G8 G7
G9
R(s) G1 G2 G3 G4
G5 G6
1
-H1
-H2
-H3
1
C(s) 1
G8
G7 G9
R(s) G1 G2 G3 G4
G5 G6
1
1 1 C(s)
-H1
-H2
-H3
特征式的余因子 4=1
1
C(s) 1
G8 G7
G9
R(s) G1 G2 G3 G4
G5 G6
1
-H1
-H2
-H3
第五条前向通路增益 P5=G1 G7 G4 G9 G6
第五条前向通路与各个回路都接触,
特征式的余因子 5=1
1
C(s) 1
G8 G7
G9
R(s) G1 G2 G3 G4
G5 G6
1
-H1
-H3
第三条前向通路增益 P3=G1 G7 G4 G5 G6 第三条前向通路与各个回路都接触, 特征式的余因子 3=1
1
C(s) 1
G8 G7
G9
R(s) G1 G2 G3 G4
西北工业大学考研专业课自动控制原理课程第6讲-梅逊公式
= 1 + G2G3 H 2 + G4G5 H 3 + G3G4 H 4 + G1G2G3G4G5G6 H1 + G2G3G4G5 H 2 H 3
P1 = G1G2G3G4G5G6
∆1 = 1
Φ(s) =
G1G2G3G4G5G6
1 + G2G3 H 2 + G4G5 H 3 + G3G4 H 4 + G1G2G3G4G5G6 H1 + G2G3G4G5 H 2 H 3
E(s) =
R(s)
+ −G2 (s)H (s)⋅ N (s)
1 + G1 (s)G2 (s)H (s) 1 + G1 (s)G2 (s)H (s)
控制系统的传递函数 (例)
例7 系统结构图如右图所示, 求当输入 r(t) = 1(t) 干扰 n(t) =d(t) 初条件 c(0) = -1 c’(0) = 0 时系统的总输出 c(t) 和总误差e(t)。 求解
Φ en (s)
=
E (s) N (s)
=
−G2 (s)⋅ H (s) 1 + G1 (s)G2 (s)H (s)
4. 系统的总输出 C(s) 及总误差 E(s)
C (s) = G1 (s)G2 (s)⋅ R(s) + G2 (s)⋅ N (s) 1 + G1 (s)G2 (s)H (s) 1 + G1 (s)G2 (s)H (s)
Mason 公式(2)
例 2 求传递函数 C(s)/R(s)
控制系统结构图
例2 求 C(s)/R(s)
∆ = 1 − [ −G1G2 H−1 G2G3 H 2 − G1G2G3 − G4 H2− G1G4 ] = 1 + G1G2 H1 + G2G3 H 2 + G1G2G3 + G4 H 2 + G1G4
梅森公式经典例题
梅森公式经典例题摘要:一、梅森公式简介1.梅森公式的定义2.梅森公式在数学中的重要性二、经典例题解析1.例题一:利用梅森公式求解2.例题二:利用梅森公式求解3.例题三:利用梅森公式求解三、例题解答与总结1.例题一解答2.例题二解答3.例题三解答4.总结:梅森公式在解题中的应用与技巧正文:一、梅森公式简介梅森公式,又称伯努利公式,是数学领域中一个非常重要的公式。
它是由瑞士数学家雅各布·伯努利(Jacob Bernoulli)提出的,用于描述调和级数的性质。
梅森公式在数学中具有很高的地位,被广泛应用于组合数学、概率论、数论等多个领域。
二、经典例题解析接下来,我们将通过三个经典例题来解析梅森公式在实际问题中的应用。
例题一:利用梅森公式求解题目:已知等差数列的前n 项和为S_n,求S_n^2 与n^3 之间的关系。
解答:根据梅森公式,我们可以得到S_n = n*(2a + (n-1)*d)/2,其中a 为数列的首项,d 为公差。
将S_n 代入S_n^2 中,我们可以得到S_n^2 = n^2*(4a^2 + 4a*d + d^2 + 2a*(n-1)*d)/4。
通过化简,我们可以发现S_n^2 与n^3 之间的关系为S_n^2 = n^2*(2a^2 + 2a*d + d^2)/4 +n^3*(a*d - a^2)/4。
例题二:利用梅森公式求解题目:求解组合数C(n, k) 的梅森公式表示。
解答:根据梅森公式,我们可以得到C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)。
将C(n, k) 的定义代入梅森公式中,我们可以得到C(n, k) = (n*(n-1)*...*(n-k+1)) / (k*(k-1)*...*1)。
进一步化简,我们可以得到C(n, k) = n*(n-1)*...*(n-k+1) / k!。
例题三:利用梅森公式求解题目:已知正整数n,求解1^2 + 2^2 + ...+ n^2 的值。
7_梅森公式的证明及应用
梅森公式的推导
• 以上我们用一个比较简单但是又不是一般 性的图导出了梅森定理。对于一般性的情 况,证明也是类似的。
• 一般情况的证明是很麻烦的,下面简述其 证明过程中的关键步骤。
梅森公式的推导
• 梅森定理证明的关键步骤: • 从上面的证明可以看出,信号流图中的一些量与
写出来的节点方程组得系数矩阵的一些量是由一 定的联系的,事实上它们之间是必然联系的。 • 为了了解这其中的联系,我们引进信号流图的矩 阵描述。 • 信号流图有两个显著的特点,即支路和节点的关 联,即支路和节点的赋权。因此,我们自然联想 到用矩阵来描叙它。
• 定理3 B和S对应方子矩阵F1和F2(它们有同样的行和列 所定义)均为非奇异的,当且仅当对应于F1和F2 的列的支路形成环或不接触环集。不接触环集是 由一些不接触环组成的集合。不接触的意义是该 集合众人和两个环都没有公共节点。
梅森公式的推导
• 定理4 设F1和F2分别为B和S的非奇异子矩阵,令 L1,L2,…Lr为对应于F1和F2的列的支路所形成 的不接触环集。N为环集(L1,L2,…Lr)中有偶 数支路的环数。当且仅当N为偶数时。F1 和F2的 行列式(即都为1和-1)。
梅森公式的推导
根据克莱姆法则得
C
V2
2
[bde f (1 m dl) bg]R
1 (m dl ke h gkl) mh dlh
mk e
于是传递函数为
(s) C(s) 2
bde f (1 m dl) bg
R(s) R 1 (m dl ke h gkl) mh dlh mke
1
y
2
... ... ... ...
...
a a n1
...
梅森公式——精选推荐
、 梅森公式(Mason ’s Formula)从系统的信号流图直接求系统函数()()()s F s Y s H =的计算公式,称为梅森公式。
该公式如下:()()()∑∆∆==k kk P 1s F s Y s H (6-34)此公式的证明甚繁,此处略去。
现从应用角度对此公式予以说明。
式中+-+-=∆∑∑∑r,q .p r q p n,m n m iI L L L L L L 1 (6-35)Δ称为信号流图的特征行列式。
式中:i L 为第i 个环路的传输函数, i i L 为所有环路传输函数之和;n m L L 为两个互不接触环路传输函数的乘积,n m L mL 为所有两个互不接触环路传输函数乘积之和;r q p L L L 为三个互不接触环路传输函数的乘积, ∑rq,p,rq p L L L 为所有三个互不接触环路传输函数乘积之和;k P 为由激励节点至所求响应节点的第k 条前向开通路所有支路传输函数的乘积;k ∆为除去第k 条前向通路中所包含的支路和节点后所剩子流图的特征行列式。
求k ∆的公式仍然是式(6-35)。
例6-19 图6-34(a)所示系统。
求系统函数()()()s F s Y s H =。
解:1 求Δ(1) 求∑iiL:该图共有5个环路,其传输函数分别为2L 1=,8,42L 2=⨯=()-11-1L 3=⨯= 2L 4=,()421-2L 5=⨯⨯-=故 ∑iiL15L L L L L 54321=++++=)s ()a ()b图6-34(2) 求 ∑nm,nmL L:该图中两两互不接触的环路共有3组:()1628L L 422L L 212L L 424131=⨯==⨯=-=-⨯=故 18L L L L L L L L424131nm,n m=++=∑该图中没有3个和3个以上互不接触的环路,故有 0LL L rrq,p,qp=∑;…。
故得418151L L L L L L -1r rq,p,q p n,m n m ii =+-=+-+=∆∑∑∑2 求∑∆kkk P(1) 求k P :该图共有3个前向通路,其传输函数分别为1111P 1=⨯⨯=()-41141-1P 2=⨯⨯⨯⨯= ()()2121-1P 3=⨯-⨯⨯=(2) 求k ∆:除去1P 前向通路中所包含的支路和节点后,所剩子图如图6-34(b)所示。
2.4 梅森公式
1 1
2 1 G2 H1
3 1 G4 H 2
由梅森公式求出传递函数:
C (s) 1 G( s) (P 11 P 22 P 3 3 ) R( s )
G1G2G3G4G5 G4G5G6 (1 G2 H1 ) G1G2G7 (1 G4 H 2 ) 1 G2 H1 G4 H 2 G1G2G3G4G5 H 3 G6G4G5 H 3 G1G2G7 H 3 G2G4 H1H 2 G2G4G5G6 H1H 3 G1G2G4G7 H 2 H 3
[ 例 2.21] 用梅逊增益公式求图所示的传递函数。
解 : 前向通道 P1=G1G2G3G4G5
回路,
三个 回路均与前向通道 接触,△1=1
L1=G2G3H1 L2=-G3G4H2 L3=-G1G2G3G4H3
C ( s) 1 G(s) P 11 R( s ) G1G2G3G4G5 1 G2G3 H1 G2G3 H 2 G1G2G3G4 H 3
G2(s)
C (s)
C(s) D (s) D(s)
G2 ( s) D( s ) 1 G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
3.给定输入和扰动输入同时作用下系统的总输出
C(s) (s) R(s) D (s) D(s)
G1 ( s)G2 ( s) G2 ( s) R( s ) D( s ) 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s) 1 G1 (s)G2 (s) H (s)
1
G2 ( s)
反馈通道: G2 (s)G3 (s)G1 ( s)
Y ( s) 1 D1 ( s ) D1 ( s) 1 G1G2G3