人造卫星宇宙速度重点和难点人造卫星的分析知识要点分析

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3.4 人造卫星宇宙速度

重点和难点

人造卫星的分析

知识要点分析

1. 天体的运动是指由于受到中心天体的万有引力作用,绕中心天体所做的匀速圆周运动。它的特点是万有引力提供向心力:

2. 天体质量M、平均密度ρ的估算:测量出其它天体绕中心天体圆运动的半径R和周期T,若中心天体的半径为R0,则

∴中心天体质量

中心天体密度

3. 重力是地面附近的物体受到地球的万有引力而产生的。由于地球自转,地面上的物体随地球一起做匀速圆周运动,其旋转中心是地轴上的某点。旋转时所需向心力由万有引力的一个分力提供,另一个分力就是重力。但重力和万有引力差别很小,一般可认为二者相等。

4. 人造地球卫星一般是沿椭圆轨道运行,为使问题简化,我们认为卫星以一个恰当的速率绕地心做匀速圆周运动,地球对它的万有引力提供它圆运动所需向心力。

5. 卫星的绕行速度v、角速度ω、周期T都与轨道半径r有关:

由,得,可见r越大,v越小。当卫星贴地球表面绕行时,其速度最大,约为7.9km/s;

由,得,可见r越大,ω越小;

由,得,可见r越大,T越大。当卫星贴地球表面绕行

时,其周期最短,约为84分钟。

以上分析说明,轨道半径r是关键量,解决这类问题,抓住半径,就抓住了解题的关键。

6. 运行速度与发射速度:对于人造地球卫星,由算出的速度指的是人造地球卫星在轨道上的运行速度,其大小随轨道半径的增大而减小。但由于人造地球卫星发射过程中要克服地球引力做功,增大势能,所以将卫星发射到离地球越远的轨道上,在地面所需要的发射速度却越大。

关于第一宇宙速度的两种推导方法:(1)由,R为地球半径,M为地球质量,可得第一宇宙速度。(2)由,g为地表重力加速度,R为地

球半径,可得第一宇宙速度。

7. 地球同步卫星的特点:所谓同步卫星是指卫星与地球以同一角速度旋转,则卫星运行周期等于地球自转周期24小时。为了维持这种同步状态,卫星的轨道平面必定与地球的赤道平面重合。通过计算可知,地球同步卫星的轨道高度,在赤道上空36000km处。

例题分析

1. 已知地月距离r=60R(R为地球半径),计算月球相对于地球的引力加速度g’。

分析:我们认为天体表面上物体所受的万有引力等于它在该星体上的重力,由此可以找到引力加速度的表达式,从而求解。

解答:设月球质量为m,地球质量为M,则由万有引力定律有

对于地球表面上质量为m0的物体,在忽略地球自转影响的情况下,重力等于地球对它

的万有引力,即

联立上述两式可解得

m/s2m/s2

说明:1. 由关系式可知,随圆运动半径的增大(即随距天体表面高度的增大),

引力加速度逐渐变小。

2. 在地球表面引力加速度g=9.8m/s2,所以前面关系式可以变形为GM=gR2(M为地球质量,R为地球半径)。这是一个重要的关系式,常常用在不知地球质量,已知地球半径时进行替换。

3. 特别注意关系式中的质量符号分别代表那个天体的质量,这是一个易错点。

4. 在一些天体运行方面的估算题中,要注意隐含条件,例如地球自转周期为24小时,

公转周期365天,月球绕地球运动的周期约为30天等。

2. 在天体演变的过程中,红色巨星发生“超新星爆炸”后,可以形成中子星(电子被迫同原子核中的质子相结合而形成中子),中子星具有极高的密度。(1)若已知该中子星的卫星运行的最小周期为1.2×10-3s,求该中子星的密度;(2)中子星也绕自转轴自转,为了使该中子星不因自转而被瓦解,则其自转角速度最大不能超过多少?

分析:(1)中子星的卫星绕中子星做圆周运动,其万有引力提供向心力:

由此可知,说明轨道半径越小,卫星的周期越小,故对应卫星运行的最小周期,r=R。(R为中子星的半径)

(2)中子星的各个部分都绕其自转轴做匀速圆周运动,由知,其“赤道”表面处部分做匀速圆周运动所需向心力最大,因此,只要“赤道”表面处不发生瓦解,其它部分也一定不发生瓦解。对应的临界条件就是:中子星“赤道”表面处质点所受万有引力等于其所需要的向心力。

解答:(1)对于中子星的卫星,因万有引力提供向心力,设中子星质量为M,半径为R,其卫星的质量为m,根据向心力公式有:

解得:

由密度公式知中子星的密度为:

kg/m3

(2)

rad/s

说明:1. 充分理解“最小周期”的意义,从而确定卫星的轨道半径r等于中子星的半径R是本题的关键所在。

2. 星球上物体跟随星球自转所需向心力是由万有引力提供的,但具体是多少与自转的角速度和半径有关,即F=mω2r,其最大值可等于万有引力。星外物体绕星球运行时所需向

心力则等于全部的万有引力,即。所以环绕运行的加速度与自转加速度是有区别的。

3. 可以发射一颗这样的人造地球卫星,使其圆轨道()

A. 与地球表面上某一纬度线(非赤道)是共面同心圆

B. 与地球表面上某一经度线所决定的圆是共面同心圆

C. 与赤道表面的赤道线是共面同心圆,且卫星相对地球表面是静止的

D. 与赤道表面的赤道线是共面同心圆,但卫星相对地球表面是运动的

分析:只有参与地球自转的物体的运行轨道才可能与某一纬度线(非赤道)是共面同心圆,而人造地球卫星的圆轨道必须以地心为圆心,所以选项A错误。

若发射一颗极地卫星,其圆轨道必永远与赤道平面垂直,而某一经度线所决定的圆是随地球自转而转动的,所以选项B错误。

不论发射的是否为同步卫星,只要其圆轨道与赤道表面的赤道线是共面同心圆,其圆心都为地心,都是可以实现的。这其中只有同步卫星(距地表高度为36000km)是相对地球表面静止的,其它高度上的卫星相对地球表面是运动的。所以选项C、D正确。

解答:选项C、D正确。

说明:本题是一道关于卫星轨道的问题,在这个问题上容易造成概念模糊。卫星的轨道不论是同步轨道、极地轨道还是任意轨道,其圆心必为地心,只有这样万有引力作为向心力才能时刻指向圆心。

4、用m表示地球同步卫星的质量,h表示它离地面的高度,R表示地球半径,g0表示地球表面处的重力加速度,ω表示地球自转的角速度。则同步卫星所受地球对它的万有引力的大小等于()

A. mg0

B. mω2h

C. mω2(R+h)

D. mR2g0/(R+h)2

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