第三章 杆件的应力与强度计算(弯曲梁)
工程力学(杆件弯曲受力分析计算)
教学设计三杆件弯曲受力分析计算在学习绘制杆件弯曲受力分析图后，我们来学习一下杆件的弯曲受力分析计算，即我们杆件弯曲时在横截面上产生的弯曲正应力和弯曲剪应力的计算。
问题一，杆件弯曲横截面正应力计算问题梁在弯曲变形时，梁轴线方向截面纤维曲线，下部拉伸变长，上部压缩变短。
我们选取杆件的某段横截面，其截面上某处的微分段面积dA如图8.2所示。
由该截面的积分得到，截面为弯矩M大小为公式8.1。
（公式8.1）根据广义胡可定律得到公式8.2与弯曲应变几何条件分析公式8.3得到公式8.4。
（公式8.2）（公式8.3）（公式8.4）其中，ρ为梁弯曲的曲率半径。
将公式8.4和8.1合并得到公式8.5。
（公式8.5）分析公式8.5，其中：为截面绕Z轴的惯性矩。
公式8.5变形为8.6。
ρρρρρεyydxdx==-+=∆=dθdθdθdθy)dθ(⎰⋅=AyM dAσεσ⋅=EρεσyEE==⎰⎰⎰=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=AA AyEyyEyM dAdAdA2ρρσZAIy=⎰dA2（公式8.6）将公式8.6与公式8.4合并，得到公式8.7（公式8.7）公式8.7为杆件弯曲截面上弯曲正应力一般计算公式。
如图8.2所示，y 为惯性轴到所计算应力位置的距离，分析公式我们发现当y 为0时，截面正应力为零，当y 等于截面高度一半时，截面正应力最大，说明在杆件中间有一条纤维线在受力弯曲时既不拉伸变长也不压缩变短，我们称这条纤维曲线为杆件的中性轴，此轴所在的水平层称为中性层，而在杆件截面上下边缘处，存在最大弯曲拉应力和最大弯曲压应力，也就是极值问题的出现。
我们引入新的物理量W ，抗弯截面模量，它的计算式为8.8。
（公式8.8）公式8.7可以化简为极值公式8.9。
（公式8.9）例题分析讲解 【例1】图8.3所示，悬臂矩形截面杆件，截面O 1上有A 、B 、C 、D 点，求它们的弯曲正应力。
【解】计算悬臂梁的弯矩计算梁截面的惯性矩计算抗弯截面模量 计算各点的正应力yIW Z=m kN 6.488.130212⋅=⨯⨯=M 001067.0124.02.01233=⨯==bh I 00533.0124.02.0622=⨯==bh W Z WM Z =σZZ I E M ⋅=ρ1y I M ZZ=σ（拉）MPa 12.900533.06.48===Z Z a W M σ（压）m 9.12kN a d ⋅=-=σσ0b =σ（压）4.55MPa 0.1106700.06.48b c =⨯==y I M Z Z σ问题二，杆件弯曲横截面剪应力计算问题与弯曲正应力不同，在截面上各点的弯曲剪应力指向相同，不论是否在中性层的上侧还是下侧；在同一剪力段，同一层的各点剪应力大小相同。
机械基础——第三章第三节 杆件的应力及强度计算
2、挤压强度条件
挤压应力：由挤压力产生的应力。 设挤压力为Fjy，挤压面积为Ajy，则挤压应力为：
式中：σiy——平均挤应力，单位MPa；
Fjy——受压处的挤压力，单位N；
Ajy——挤压面积，单位mm2。 为了保证联接件具有足够的挤压强度而正常工作，其强度条件为 ：
例：如图所示，拖车挂钩靠销钉连接。已知挂钩部分的钢板厚度 δ＝8 mm，销钉材料的许用剪切应力[τ]＝60 MPa，许用挤压 应力[σiy]＝100 MPa， 拖力F＝15 KN。试设计销钉的直径d。
（2）强度条件校核：
FN 4 A
p( D 2 d 2 )
4 32.7(MPa)
d2
p( D 2 d 2 ) 2 (752 182 ) 2 d 182
32.7MPa
所以，活塞杆的强度足够。
思 考 题 P.76
3
（二）剪切与挤压强度计算 1、剪切强度
2 2 FN pA D d ) 1 p( 4 4
例3-4 某铣床工作台进给油缸如图所示，缸内工作油压p＝ 2MPa，油缸内径D＝75mm，活塞杆直径d＝18mm，已知活 塞杆材料的许用应力[σ]＝50MPa，试求校核活塞杆的强度。 解：（1）活塞的轴力：
2 2 FN pA D d ) 1 p( 4 4
复习提问
1、轴向拉压时的内力是轴力，轴力的正负是如何规定的？
FN F
轴力离开截面为正，反之为负。计算时先以正向假设。
复习提问
2、轴扭转时的内力是什么？内力的正负号如何确定？ 扭转轴的内力称为扭矩，用T表示。 正负用右手螺旋定则确定。
T
_
指向截面
计算时先以正向假设。
2016工程力学（高教版）教案：6.6杆件的强度计算
第六节 杆件的强度计算由内力图可直观地判断出等直杆内力最大值所发生的截面，称为危险截面，危险截面上应力值最大的点称为危险点。
为了保证构件有足够的强度，其危险点的有关应力需满足对应的强度条件。
一、正应力与切应力强度条件轴向拉（压）杆中的任一点均处于单向应力状态。
塑性及脆性材料的极限应力u σ分别为屈服极限s σ（或2.0σ）和强度极限b σ，则材料在单向应力状态下的破坏条件为u σσ= 材料的许用拉（压）应力[]nuσσ=，则单向应力状态下的正应力强度条件为[]σσ≤ （6-24）同理可得，材料在纯剪切应力状态下的切应力强度条件[]ττ≤ （6-25）二、正应力强度计算由式（6-1）和(6-25)得，拉（压）杆的正应力强度条件为[]σσ≤=AN maxmax （6-26） 由式（6-1）和(6-25)得，梁弯曲的正应力强度条件为[]σσ≤=zW M maxmax （6-27） 应用强度条件可进行强度校核、设计截面、确定许可载荷等三方面的强度计算。
例6-7 如图6-29(a)所示托架，AB 为圆钢杆2.3=d cm ，BC 为正方形木杆a=14cm 。
杆端均用铰链连接。
在结点B 作用一载荷P=60kN 。
已知钢的许用应力[]σ=140MPa 。
木材的许用拉、压应力分别为[]t σ=8MPa ，[]5.3=c σMpa ，试求：（1）校核托架能否正常工作。
（2）为保证托架安全工作，最大许可载荷为多大；（3）如果要求载荷P=60kN 不变，应如何修改钢杆和木杆的截面尺寸。
解 （1）校核托架强度 如图6-29(b)。
图6-29由 0=∑Y ，0sin 1=-P P α解得 100c s c 1==αP P kN 由 0=∑X ，0cos 21=+-P P α 解得 80cos 12==αP P kN杆AB 、BC 的轴力分别为10011==P N kN, 8022-=-=P N kN ，即杆BC 受压、轴力负号不参与运算。
组合变形杆件的强度—斜弯曲梁的应力和强度计算(建筑力学)
180 120 2 6
mm 3
4.32 105 mm 3
屋面坡度为1：2，则
tan 1 sin 0.4472
2
cos 0.8944
斜弯曲梁的强度计算
（3）强度校核
max
M zmax M ymax
Wz
Wy
M max cos
Wz
M max sin
Wy
cos sin
M max( Wz
A处的正应力为最大拉应力，点C处的正应力为最大压应力：
yA yC ymax
zA zC zmax
max min
t max
cmax
My Iy
zmax
Mz Iz
ymax
My Wy
Mz Wz
M
sin
Wy
cos
Wz
M z 2.51 0.336 2 3.172 kN m M y 1.256 2 2.215 kN m
斜弯曲梁的强度计算
抗弯截面系数为：
Wz
bh2 6
0.6h h2 6
0.1h3
Wy
hb2 6
h (0.6h)2 6
0.06h3
由强度条件：
max
Mz Wz
My Wy
3.172 106 0.1h3
2.512 106 0.06h3
73.587 106 h3
≤[
]
h ≥ 3 73.587 106 194.5(mm) 10
取h = 200mm，b = 120mm。
斜弯曲梁的应力计算 一、斜弯曲的概念
对称截面梁在水平和铅垂两纵向 对称平面内同时承受横向外力的作用， 这时梁分别在水平纵对称面和铅垂纵 对称面内发生对称弯曲，称为斜弯曲 （即为两个相互垂直平面内的弯曲） x
材料力学章节重点和难点
材料力学章节重点和难点第一章绪论1．主要内容：材料力学的任务；强度、刚度和稳定性的概念；截面法、内力、应力，变形和应变的基本概念；变形固体的基本假设；杆件的四种基本变形。
2．重点：强度、刚度、稳定性的概念；变形固体的基本假设、内力、应力、应变的概念。
3．难点：第二章杆件的内力1．主要内容：杆件在拉压、扭转和弯曲时的内力计算；杆件在拉压、扭转和弯曲时的内力图绘制；平面弯曲的概念。
2．重点：剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图。
3. 难点：绘制剪力图和弯矩图、剪力和弯矩间的关系。
第三章杆件的应力与强度计算1．主要内容：拉压杆的应力和强度计算；材料拉伸和压缩时的力学性能；圆轴扭转时切应力和强度计算；梁弯曲时正应力和强度计算；梁弯曲时切应力和强度计算；剪切和挤压的实用计算方法；胡克定律和剪切胡克定律。
2．重点：拉压杆的应力和强度计算；材料拉伸和压缩时的力学性能；圆轴扭转时切应力和强度计算；梁弯曲时正应力和强度计算。
3．难点：圆轴扭转时切应力公式推导和应力分布；梁弯曲时应力公式推导和应力分布；第四章杆件的变形简单超静定问题1．主要内容：拉（压）杆的变形计算及单超静定问题的求解方法；圆轴扭转的变形和刚度计算；积分法和叠加法求弯曲变形；用变形比较法解超静定梁。
2．重点：拉（压）杆的变形计算；；圆轴扭转的变形和刚度计算；叠加法求弯曲变形；用变形比较法解超静定梁。
3．难点：积分法和叠加法求弯曲变形；用变形比较法解超静定结构。
第五章应力状态分析? 强度理论1．主要内容：应力状态的概念；平面应力状态分析的解析法和图解法；广义胡克定律；强度理论的概念及常用的四种强度理论。
2．重点：平面应力状态分析的解析法和图解法；广义虎克定律；常用的四种强度理论。
3．难点：主应力方位确定。
第六章组合变形1．主要内容：拉伸(压缩)与弯曲、斜弯曲、扭转与弯曲组合变形的强度计算；2．重点: 弯扭组合变形。
3．难点：截面核心的概念第七章压杆稳定1．主要内容：压杆稳定的概念；各种支座条件下细长压杆的临界载荷；欧拉公式的适用范围和经验公式；压杆的稳定性校核。
钢结构基本原理第三章 构件截面承载力 强度
第三章 构件截面承载力--强度钢结构承载能力分3个层次截面承载力：材料强度、应力性质及其在截面上分布属强度问题。
构件承载力：构件最大截面未到强度极限之前因丧失稳定而失稳，取决于构件整体刚度，指稳定承载力。
结构承载力：与失稳有关。
3.1 轴心受力构件的强度及截面选择3.1.1 轴心受力构件的应用及截面形式主要用于承重钢结构，如平面、空间桁架和网架等。
轴心受力截面形式：1）热轧型钢截面2）冷弯薄壁型钢截面3）型钢和钢板连接而成的组合截面（实腹式、格构式）（P48页）对截面形式要求：1）提供强度所需截面积2）制作简单3）与相邻构件便于连接4）截面开展而壁厚较薄，满足刚度要求（截面积决定了稳定承载力，面积大整体刚度大，构件稳定性好）。
3.1.2 轴心受拉构件强度由εσ-关系可得：承载极限是截面平均应力达到抗拉强度u f ，但缺少安全储备，且y f 后变形过大，不符合继续承载能力，因此以平均应力y f ≤为准则，以孔洞为例。
规范：轴心受力构件强度计算：规定净截面平均应力不应超过钢材强度设计值f A N n ≤=/σN ：轴心拉力设计值； An ：构件净截面面积；R y f f γ/=: 钢材抗拉强度设计值 R γ:构件抗力分项系数Q235钢078.1=R γ，Q345，Q390，Q420111.1=R γ49页孔洞理解见书例题P493.1.3 轴心受压构件强度原则上与受拉构件没有区别，但一般情况下，轴心受压构件的承载力由稳定性决定，具体见4章。
3.1.4 索的受力性能和强度计算钢索广泛用于悬索结构，张拉结构，桅杆和预应力结构，一般为高强钢丝组成的平行钢丝束，钢绞线，钢丝绳等。
索是一种柔性构件，内力不仅与荷载有关，而且与变形有关，具有很强几何非线性，但我们通常采用下面的假设：1）理想柔性，不能受压，也不能抗弯。
2）材料符合虎克定理。
在此假设下内力与位移按弹性阶段进行计算。
加载初期（0-1）存在少量松弛变形，主要部分（1-2）线性关系，接近强度极限（2-3）明显曲线性质（图见下）实际工程对钢索预拉张，形成虚线应力—应变关系，很大范围是线性的高强度钢丝组成钢索初次拉伸时应力—应变曲线钢索强度计算采用容许应力法：k f A N k k //maxk N ：钢索最大拉力标准值 A ：钢索有效截面积k f :材料强度标准值 k ：安全系数2.5-3.03.2 梁的类型和强度3.2.1 梁类型按制作方法：型钢梁：热轧型钢梁（工字梁、槽钢、H 型钢）。
(参考资料)材料力学72-必做题
第二章杆件内力与内力图２－２（b）、（d）、（g）试作图示各杆的轴力图，并确定最大轴力| F N |max 。
２－３（b）试求图示桁架各指定杆件的轴力。
２－4（c）试作图示各杆的扭矩图，并确定最大扭矩| T |max 。
２－5图示一传动轴，转速n ＝200 r/min ，轮C为主动轮，输入功率P＝60 kW ，轮A、B、D均为从动轮，输出功率为20 kW，15 kW，25 kW。
（1）试绘该轴的扭矩图。
（2）若将轮C与轮D对调，试分析对轴的受力是否有利。
2－8（a）、（c）、（e）、（g）、（h）试列出图示各梁的剪力方程和弯矩方程。
作剪力图和弯矩图，并确定|F s |max及|M |max值。
2－9（a）、（c）、（d）、（f）、（g）、（i）、（k）、（l）、（m）试用简易法作图示各梁的剪力图和弯矩图，并确定|F s |max及|M |max值，并用微分关系对图形进行校核。
2－10设梁的剪力图如图（a）(d)所示(见教材p39)。
试作弯矩图和荷载图。
已知梁上无集中力偶。
2－11（b）试用叠加法绘出图示梁的弯矩图。
2－6一钻探机的功率为10 kW，转速n =180 r/min。
钻杆钻入土层的深度l= 40m。
若土壤对钻杆的阻力可看作是均匀分布的力偶，试求分布力偶的集度m，并作钻杆的扭矩图。
2－14图示起重机横梁AB承受的最大吊重F P＝12kN，试绘出横梁AB的内力图。
第三章轴向拉压杆件的强度与变形计算3－1图示圆截面阶梯杆，承受轴向荷载F1＝50kN与F2的作用，AB与BC段的直径分别为d1＝20mm与d2＝30mm，如欲使AB与BC段横截面上的正应力相同，试求荷载F2之值。
3－5变截面直杆如图所示。
已知A1＝8cm2，A2＝4cm2，E＝200GPa 。
求杆的总伸长量。
3－7图示结构中，AB为水平放置的刚性杆，1、2、3杆材料相同，其弹性模量E＝210GPa ，已知l ＝1m，A1＝A2＝100mm2，A3＝150mm2，F P＝20kN 。
第三章应力与强度计算.
第三章杆件的应力与强度计算一.基本要求1.拉伸与压缩变形1.1熟练掌握应力的计算，理解胡克定律。
1.2了解常用材料在拉伸和压缩时的机械性质及其测量方法。
1.3理解许用应力、安全系数和强度条件，熟练计算强度问题。
2.扭转变形2.1理解纯剪切的概念、切应力互等定理和剪切胡克定律。
2.2理解圆轴扭转时应力公式推导方法，并熟练计算扭转应力。
2.3理解圆轴扭转强度条件的建立方法，并熟练计算强度问题。
3.弯曲变形3.1理解弯曲正应力的概念及其公式推导方法，熟练掌握弯曲正应力及强度问题。
3.2理解弯曲切应力的概念及其公式推导方法，掌握简单截面梁弯曲切应力的计算及弯曲切应力强度条件。
4.剪切与挤压变形：了解剪切和挤压的概念，熟练掌握剪切和挤压的实用计算方法。
5.熟练掌握常用截面的形心、静矩、惯性矩的计算及平行移轴公式。
3.1 引言本章讨论了拉伸或压缩、扭转变形和弯曲变形的应力和强度计算，以及剪切和挤压的实用计算。
3.2 拉压杆的应力与应变一．轴向拉（压）杆横截面上的应力1）平面假设：变形前后横截面保持为平面，而且仍垂直于杆轴线，如图2-8所示。
根据平面假设得知，横截面上各点正应力σ相等，即正应力均匀分布于横截面上，σ等于常量。
2）由静力平衡条件确定σ的大小由于dN=σ⋅dA，所以积分得则式中：σ—横截面上的正应力FN—横截面上的轴力A—横截面面积此式对于过集中力作用点的横截面不适应。
3）正应力σ的正负号规定为：拉应力为正，压应力为负。
对于的变截面直杆，在考虑杆自重（密度ρ）时，有FN=⎰σdA=σA Aσ=FN Aσx=FNx Ax其中FN=P+ρAx⋅x若不考虑自重，则FNx=P对于等截面直杆，最大正应力发生在最大轴力处，也就是最易破坏处。
而对于变截面直杆，最大正应力的大小不但要考虑FNx，同时还要考虑Ax。
例1 起吊三角架，如图2-10所示，已知AB杆由2根截面面积为10.86cm的角钢制成，2P=130kN，α=30 。
材料力学弯曲应力
材料力学弯曲应力材料力学是研究材料在外力作用下的变形和破坏规律的一门学科，而弯曲应力是材料在受到弯曲载荷时所产生的应力。
弯曲应力的研究对于工程结构设计和材料选用具有重要意义。
本文将从弯曲应力的概念、计算公式、影响因素等方面进行详细介绍。
弯曲应力是指在材料受到弯曲载荷作用下，横截面上的应力分布情况。
在弯曲过程中，材料上部受到压应力，下部受到拉应力，而中性面则不受应力影响。
根据梁的理论，弯曲应力与弯矩、截面形状以及材料性质有关。
在工程实践中，我们通常使用梁的弯曲应力公式来计算弯曲应力的大小。
梁的弯曲应力公式可以表示为：\[ \sigma = \frac{M \cdot c}{I} \]其中，σ为弯曲应力，M为弯矩，c为截面中性轴到受拉或受压纤维的距离，I为截面的惯性矩。
从公式中可以看出，弯曲应力与弯矩成正比，与截面形状和材料性质有关，截面越大，惯性矩越大，弯曲应力越小。
影响弯曲应力的因素有很多，主要包括载荷大小、截面形状、材料性质等。
首先是载荷大小，当外力作用在梁上时，产生的弯矩大小将直接影响弯曲应力的大小。
其次是截面形状，截面形状不同将导致截面惯性矩不同，进而影响弯曲应力的大小。
最后是材料性质，材料的弹性模量、屈服强度等参数也会对弯曲应力产生影响。
在工程实践中，我们需要根据具体的工程要求和材料性质来选择合适的截面形状和材料类型，以使得结构在受到弯曲载荷时能够满足强度和刚度的要求。
同时，还需要合理设计结构，减小弯曲应力集中的区域，避免出现应力集中而导致的破坏。
综上所述，弯曲应力是材料在受到弯曲载荷时产生的应力，其大小与弯矩、截面形状和材料性质有关。
在工程实践中，我们需要根据具体的工程要求和材料性质来计算和分析弯曲应力，以保证结构的安全可靠。
同时，合理设计结构和选择合适的材料也是降低弯曲应力的重要手段。
希望本文对于弯曲应力的理解和应用能够有所帮助。
第三章 杆件的基本变形
第三章 杆件的基本变形这一章主要研究材料力学的有关内容，主要研究各种构件在外力作用下的内力和变形。
在保证满足强度、刚度和稳定性的前提下，为构件选用适宜的材料、确定合理的截面形状和尺寸，以达到即安全又经济的目的。
材料力学的研究对象主要是“杆件”，所谓杆件是指纵向（长度方向）尺寸远比横向（垂直于长度方向）尺寸大的多的构件，例如柱、梁和传动轴等。
杆有两个主要的几何因素，即横截面和轴线。
横截面指的是垂直于轴线方向的截面，后者即为所有横截面形心的连线。
杆件在外力作用下产生的变形，因外力作用的方式不同而有下列四种基本形式：（1） 轴向拉压变形；（2） 剪切变形；（3） 扭转变形，（4） 弯曲变形。
在工程实际中，有些构件的变形虽然复杂，但总可以看作是由以上几种基本变形组合而成，称为组合变形。
第1节 拉伸和压缩在工程结构和机器中，有许多构件是轴向拉伸和压缩作用。
本节主要讨论轴向拉伸的压缩时杆的内力和变形，并对材料在受拉、压时的力学性能进行研究，从而得出轴向拉、压杆的强度计算方法。
1、 内力与截面法1、内力的概念杆件在外力作用下产生变形，其内部的一部分对另一部分的作用称为内力。
显然，若外力消失，则内力也消失，外力增大，内力也增大。
但是对一定的材料来说，内力的增加只能在材料所特有的限度之内，超过这个限度，物体就会破坏。
所以，内力与强度是密切相关的。
2、截面法设一直杆，两端受轴向拉力F作用。
为了求出此杆任一截面m-m上的内力，，我们可以假想用一个平面，沿截面m_m将杆截断，把它分成Ⅰ、Ⅱ两部分，取Ⅰ段作为研究对象。
在Ⅰ段的截面m_m上到处都作用着内力，其合力为F N。
F N是Ⅱ段对Ⅰ段的作用力，并与外力F相平衡。
由于外力F的作用线沿杆件轴线，显然，截面m_m上的内力的合力也必然沿杆件轴线。
对Ⅰ段建立平衡方程：F N-F=0 得 F N＝F将受外力作用的杆件假想地切开用以显示内力，并以平衡条件来确定其合力的方法，称为截面法。
杆件的应力与强度
第3章杆件的应力与强度判断1、轴向拉压杆件任意斜截面上的内力作用线一定与杆件的轴线重合”2、拉杆内只存在均匀分布的正应力，不存在剪应力。
”3、杆件在轴向拉压时最大正应力发生在横截面上”4、杆件在轴向拉压时最大剪应力发生在与轴线成45度角的斜截面上”5、材料的延伸率与试件的尺寸有关。
“6、没有明显的屈服极限的塑性材料，可以将产生0.2%应变时的应力作为屈服极限。
“7、构件失效时的极限应力是材料的强度极限。
”8、对平衡构件，无论应力是否超过弹性极限，剪应力互等定理均成立。
”9、直杆扭转变形时，横截面的最大剪应力在距截面形心最远处。
”10、塑性材料圆轴扭转时的失效形式为沿横截面断裂”11、对于受扭的圆轴，最大剪应力只出现在横截面上”12、”圆轴受扭时，横截面的最大剪应力发生在距截面形心最远处。
”13、圆轴受扭时，轴内各点均处于纯剪切状态“14、”薄壁圆管与空心圆管的扭转剪应力计算公式完全一样。
”15、”圆轴的扭转变形实际上是剪切变形。
”16、”圆轴扭转时，根据剪应力互等定理，其纵截面上也存在剪应力。
”17、剪应力互等定理只适用于纯剪状态”18、传动轴的转速越高，则其横截面的直径应越大”19、受扭杆件的扭矩仅与杆件所受的外力偶矩有关，而与杆件的材料、横截面的大小以及横截面的形状无关”20、普通碳钢扭转屈服极限铲120MPa,剪变模量G=80GPa,则由剪切虎克定律r=G^到剪应变为丫=1.5 xi0ad "21、山等直圆杆，当受到扭转时，杆内沿轴线方向会产生拉应变。
”22、低碳钢圆柱试件受扭时,沿450螺旋面断裂。
”23、铸铁圆柱试件受扭时，沿横截面断裂”24、弯曲时梁横截面的中性轴通过截面形心。
”25、梁的截面如图，其抗弯截面系数为W Z= BH2/6-bh2/6”26、 控制弯曲强度的主要因素是最大弯矩值27、 设梁某段承受正弯矩的作用，则靠近顶面和靠近底面的纤维分别是伸长的 和缩短的”28、 中性轴是梁的中性层与横截面的交线。
梁的应力及强度计算—提高梁弯曲强度的措施(建筑力学)
弯曲正应力是控制梁弯曲强度的主要因素
max
M max Wz
[ ]
设法减小梁内的最大工作正应力，提高梁的承载能力，提高梁的弯曲强度。
1.改善梁的受力情况，以降低最大弯矩Mmax的值； 2.采用合理的截面形状，以提高Wz的数值，使材料得到充分利用。
提高梁弯曲强度的措施
1.降低最大弯矩Mmax的措施 （1）合理布置荷载作用位置及方式
My2
cmax IZ y2 c t max My1 y1 t
IZ
提高梁弯曲强度的措施
3.采用等强度梁（合理设计梁的外形）
在工程实际中，常根据弯矩沿梁轴的变化情况，将梁相应设计成变截面的。 横截面沿梁轴变化的梁，称为变截面梁。
等强度梁——各个横截面具有同样强度的梁。
＝M (x) max W (x)
或
W
(
x)＝
M (x)
（2）采用W/A值大的截面形状 直径为h的圆截面
高为h宽为b的矩形截面
h 3
W 32 h 0.125h
A h 2 8
4
W
1 6
h
0.167h
A bh 6
高为h的槽形或工字形钢截面
W (0.27 ~ 0.31)h A
从正应力的分布规律可知：当距中性轴最远点处应力达到相应许用应力时，
中性轴上或附近的应力分别为零或较小，这部分材料没有充分发挥作用，故应
提高梁弯曲强度的措施
2. 采用合理的截面形状 合理截面形状——指用较少材料获得最大的Wz值。
（1）当截面面积和形状相同时，采用合理的放置方式。
竖放时Wz（b）与横放时Wz（c）比值 因此，矩形截面梁竖放比平放合理。
Wz (b) (bh2 ) /(hb2 ) h 1 Wz (c) 6 6 b
梁的弯曲计算—弯曲切应力及强度计算(工程力学课件)
（3）几种特殊情况下必须进行梁的切应力强度计算。
短粗梁 自行焊接 木梁
梁的合理截面
max
M max Wz
(1) 将材料配置于离中性轴较远处
(2) 采用不对称于中性轴的截面
脆性材料
(3) 采用变截面梁
弯曲切应力及强度计算
弯曲
（内力图）
外力 —— 内力 —— 应力
弯曲变形 的条件
求约束反力
弯矩M 剪力Fs
My
Iz
Fs
S
* z
bI z
梁横截面上的切应力 矩形截面梁
S
* z
bI z
x
σ 分布规律 τ 分布规律
Fs
S
* z
不同形状截面梁的最大剪应力
bI z
矩形截面梁
B
A
C
A
C
B
max l max h
梁内的主要应力是正应力！
危险截面、危险点
E右到B左
z
y
危险点
危险截面 24
D右 28
24
My
Iz
Fs
S
* z
bI z
危险截面上的危险点
max ≤[ ]
max ≤[ ]
正应力强度条件 切应力强度条件
三类计算：①强度校核、②截面设计、③确定许用荷载
（1）在进行梁的强度计算时，必须同时满足正应力 和切应力两种强度条件。
“等强度梁”
Wz (x)
M ( x)
[ ]
工字形截面梁
max
3 2
Fs A
max
长沙理工大学材料力学练习册答案1-5章
材料力学 分析与思考题集第一章 绪论和基本概念一、选择题1.关于确定截面内力的截面法的适用范围，有下列四种说法：【D.适用于不论等截面或变截面、直杆或曲杆、基本变形或组合变形、横截面或任意截面的普通情况。
2.关于下列结论的正确性：【C 1.同一截面上正应力τσ与剪应力必须相互垂直3.同一截面上各点的剪应力必相互平行。
】3.下列结论中那个是正确的：【B.若物体各点均无位移，则该物体必定无变形】4.根据各向同性假设，可认为构件的下列量中的某一种量在各方向都相同：【B 材料的弹性常数】5.根据均匀性假设，可认为构件的下列量中的某个量在各点处都相同：【C 材料的弹性常数】6.关于下列结论：【C 1.应变分为线应变ε和切应变γ 2.应变为无量纲量 3.若物体的各部分均无变形，则物体内各点的应变均为零】7.单元体受力后，变形如图虚线所示，则切应变γ为【B 2α】二、填空题1.根据材料的主要性能作如下三个基本假设 连续性假设 ， 均匀性假设 和 各向同性假设 。
2.构件的承载能力包括强度、刚度和稳定性三个方面。
3.图示结构中，杆1发生轴向拉伸变形，杆2发生轴向压缩变形，杆3发生弯曲变形。
4.图示为构件内A 点处取出的单元体，构件受力后单元体的位置为虚线表示，则称dx du /为A 点沿x 方向的线应变，dy dv /为【A 点沿y 方向的线应变】，)(21a a +为【A 在xy 平面内的角应变】。
5.认为固体在其整个几何空间内无间隙地充满了物质，这样的假设称为连续性假设。
根据这一假设，构件的应力、应变和位移就可以用坐标的连续性函数来表示。
6.在拉（压）杆斜截面上某点处分布内力集度称为应力(或全应力），它沿着截面法线方向的分量称为正应力，而沿截面切线方向的分量称为切应力。
第二章 杆件的内力分析一、选择题1.单位宽度的薄壁圆环受力如图所示，p 为径向压强，其n-n 截面上的内力N F 有四个答案：【B 2/pD 】2.梁的内力符号与坐标系的关系是：【B 剪力、弯矩符号与坐标系无关】3.梁的受载情况对于中央截面为反对称（如图）。
第3章 平面弯曲
2、弯曲变形；
3、剪切变形； 4、扭转变形； 三、弯曲的概念 1、一直杆在通过杆的轴线的一个纵向平面内，如果受到垂直于轴线的 外力(即横向力) 或力偶作用，杆的轴线就变成一条曲线，这种变形称为 弯曲变形。 2、纵向对称面：由横截面对称轴和梁的轴线组成的平面，称为纵向对 称面。 3、梁在变形时，它的轴线将弯曲成在纵向对称面内的一条曲线，这种 情况称为平面弯曲。
(1) 先求出支座反力
RA = RB =
ql 2
(2) 列出剪力方程和弯矩方程
1 ql - qx (0 < x < l) 2 1 1 M = qlx - qx 2 (0 x l) 2 2 Q=
(3) 作剪力图和弯矩图 1 Qmax = ql 2
由弯矩方程可知弯矩图是一抛物 线，故要定出几点(如5个点) 的M 值，才能近似地作出弯矩图。
二、剪力和弯矩方程 剪力图和弯矩图
AC段梁的弯矩方程为
M1 = Fb x1 l (0 x1 a)
a
1
F
b
2
A
x1
1 x2
C
2
B
CB段梁的弯矩方程为
Fa M2 = (l - x 2 ) l (a x 2 l)
l
M
Fab l
画出弯矩图
M max
Fab = l
x
3.2 直梁弯曲的内力分析
3.3 平面弯曲的应力计算
三个假设： (1 ) 梁在纯弯曲时, 横截面像直线 mn、m1n1 那样, 各自偏转一个角 度, 但仍然保持平面, 且垂直于梁 轴, 这就是平面截面假设。 (2 ) 纵向纤维的变形和它到中性 层的距离有关, 且沿宽度相等。 (3 ) 纵向纤维的变形只是简单的 拉伸或压缩, 它们之间没有相互 挤压, 因此, 梁的横截面上只能产 生拉应力或压应力。由于这些应 力都垂直于横截面, 故统称为正 应力。
第三章构件的截面承载能力强度
一、轴心受力构件的应用 轴心受力构件包括轴心受压杆和轴心受拉杆。 轴心受拉 ：桁架拉杆、网架、塔架（二力杆） 轴心受压 ：桁架压杆、工作平台柱、各种结构柱。 二、轴心受力构件的截面形式 1、对轴心受力构件的截面形式的要求 1）、能提供强度所需要的面积； 2）、制作比较简单； 3）、便于和相邻的构件连接； 4）、截面宽大而薄壁，以满足刚度和整体稳定； 2、轴心受力构件的截面形式 轴心受力的构件可采用图中的各种形式。
四、梁的强度计算 1、弯曲正应力 梁受弯时的应力－应变曲线与受拉时相类似（图 f），其正应力的发展过程可分为三个阶段：弹性工作 阶段(图c)、弹塑性工作阶段(图d)和塑性工作阶段 (图e).
弹性阶段——此时正应力为直线分布，梁最外边缘正应 力不超过屈服点 。对需要计算疲劳的梁，常以最外 纤维应力到达fy作为承载能力的极限状态。冷弯型钢 梁因其壁薄，也以截面边缘屈服作为极限状态。 最大弹性弯矩：Me= Wn· fy 弹塑性阶段 ——梁边缘出现塑性 , 应力达到屈服点，而 中和轴附近材料仍处于弹性。在《钢结构设计规范》 中对一般受弯构件的计算，就适当考虑了截面的塑性 发展，以截面部分进入塑性作为承载能力的极限。 中和轴：和弯矩主轴平行的截面面积平分线，中和轴两 边面积相等，对于双轴对称截面即为形心主轴。 塑性阶段 —— 梁全截面进入塑性 , 应力均等于屈服点， 形成塑性铰 , 此时已达到梁的承载极限。超静定梁的 塑性设计允许出现若干个塑性铰，直至形成机构。
翼缘剪力流(s自中线自由端，对A、B点为s=0、b)： q=τ t=VxSx/Ix=Vsth/(2Ix)， qA=0, qB=Vbht/(2Ix) 腹板剪力流(s自腹板与翼缘中线交点算起，对B、D点 为s=0、h/2)：
第三章 杆件的基本变形复习题
第三章杆件的基本变形复习题一．填空题1.强度条件可以解决如下三个问题：①_________、②____________、③______________。
2.内力随外力的增加而_________，当内力增大到一定限度时，杆件就会发生________.拉压杆上的内力称为_________.3低碳钢拉伸包括________,_____________,_________________,_______________四个阶段.4.杆件变形可简化为____________,______________,____________,_____________四种基本变形。
5.应力描述了内力在截面上的________和___________，它才是判断杆件强度是否足够的根据。
6.杆件受压时，当压应力大于其抗压强度极限时，杆件将沿斜截面相对错动而断裂，其断口与轴线约成_____角。
7.脆性材料取________为极限应力，塑性材料取________为极限应力。
8.安全系数反映了_______和______之间的矛盾关系，它反映了杆件必要的__________.9.受拉压的杆件称为直杆，以剪切变形为主要特点的杆件称为_______，以扭转变形为主要特点的杆件称为________,弯曲变形的杆件称为_________.10.在圆柱表面上，挤压应力并不均匀分布，通常取_________代替挤压面计算。
11.圆轴横截面上任一点的切应力与该点所在圆周的_______成正比，方向与过该点的半径________.切应力最大处发生在_______________.12.圆轴扭转时横截面上的内力称为________，弯曲变形时梁截面上的内力是___________和________________。
二．判断题1.销联接在受到剪切的同时还要受到挤压。
()2.合金钢是塑性材料。
()3.若在构件上作用有两个大小相等、方向相反、相互平行的外力，则此构件一定产生剪切变形。
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内力与外力相平衡可得
σ dA 0 FN A dFN A
A A
（1）
M iy dM y zσdA 0 （2）
dFN σdA
dM y z dA dM z y dA
M iz dM z yσdA M （3） A A
将应力表达式代入（1）式，得
仍与变形后的纵向弧线垂直.
2.提出假设 ( Assumptions）
（a）平面假设：变形前为平面的横截面
变形后仍保持为平面，它绕其上的
某一轴旋转了一个角度，且仍垂直 于梁弯曲变形后的轴线； （b）单向受力假设：纵向纤维不相互挤 压，只受单向拉压.
推论：必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层
中性层与横截面的交线称为中性轴 。
[例9] 梁AC的截面为№10工字钢，B点用圆钢杆BD悬挂，已 知圆杆的直径d=20mm，梁及杆的[σ ]=160MPa，试求许用均 布载荷[q]。 解：由平衡条件 mA ( F ) 0, FB 2 q 3 1.5 0
D
d
q
C
NO10工字钢
9 FB q 4 Fy 0, FA + FB 3q 0 FA 3 q 4
中性轴 ⊥横截面对称轴
二、变形几何关系
dx
dx
o o
d
x o y
bz b 图（ຫໍສະໝຸດ ）yo’z b’ y
o’
x b’
图（b）
图（c）
bb ( + y )d
应变分布规律：
( + y )d d y d bb dx OO O' O' d
直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比.
M B y2 5 106 88 57.6 MPa [ c ] 6 Iz 7.64 10
120
20
=12kN
=5kN
80
在C、B 截面上
M C y2 3 106 88 M B y1 5 106 52
所以最大拉应力发生在C截面下边缘的各点处， 其值为
b、求Iz
C截面
B截面
1 I z ( 80 203 + 80 20 422 ) 12 1 + ( 20 1203 + 20 120 282 ) 12
7.64 106 (mm 4 )
120
FA 3.5 kN, FB 13.5 kN
20
=12kN
=5kN
80
t max
M C ymax 3.5 106 88 40.3 MPa 6 Iz 7.64 10 [ t ] 1.05 42 MPa
t max 虽然大于[ t ] ，但没超过5%，故仍然认为是安全的。
[例8] 简支梁在跨中受集中载荷P=30kN，l=8m，[σ]＝120 MPa。 试为梁选择工字钢型号。
平面弯曲时横截面 纯弯曲梁(横截面上只有M而无FS的情况) 平面弯曲时横截面 横力弯曲(横截面上既有FS又有M的情况)
纯弯曲时梁的正应力
观察变形 提出假设 变形的分布规律 三方面法 物关 理系
变 形关 几系 何
应力的分布规律 静关 力系 建立公式
一、实验（ Experiment）
1.变形现象 纵向线 各纵向线段弯成弧线，且 仍保持平行 靠近顶端的纵向线缩短， 靠近底端的纵向线段伸长. 横向线 各横向线仍保持为直线， 相对转过了一个角度，
三、物理关系
Hooke’s Law 所以 σ E 应力分布规律： 轴的距离成正比. 待解决问题 中性轴的位置 中性层的曲率半径ρ
σ Eε
y
? ?
M
O
z
x
y
直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性
?
四、静力关系
横截面上内力系为垂直于横截 面的空间平行力系，这一力系简化 得到三个内力分量.
A
2m
B
1m
3q 4
q
3 m 4 9q 32
5q 4
9 9 由FB q FN q 4 4
q 2
FN 9q 由＝ 2 , 得 A d d 2 160 106 (20 103 )2 q 9 9 22.34kN / m
由 max＝ M max q , 得 Wz 2Wz
σ max
引用记号 W I z z
M ymax Iz
ymax
—抗弯截面系数
则公式改写为 σ max
M Wz
My σ Iz
y t max yc max ymax
（3）当中性轴为对称轴时
σ t max σ c max σ max
则公式改写为 σ max
引用记号 W I z z
A
y dA M A
2
E
Iz M
M E Iz
将
M y 代入 σ E EI z My σ Iz
M为梁横截面上的弯矩； y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离；
1
得到纯弯曲时横截面上正应力的计算公式:
Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩.
讨论
（1）应用公式时，一般将 M、y 以绝对值代入. 根据梁变形的 情况直接判断 的正负号. 以中性轴为界，梁变形后凸出边的 应力为拉应力( 为正号).凹入边的应力为压应力（ 为负号）； （2）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处.
d α D
z y
（4）对于中性轴不是对称轴的横截面 应分别以横截面上受压和受拉部分距中性轴最远的距离
yc max 和 yt max 直接代入公式 My σ Iz σc max
yc max
M
σ t max
z
My t max Iz Myc max Iz
yt max
y
σ c max
σ t max
1m
1m
1m
（ a）
（b）
20
120
20
=12kN
=5kN
80
解：（1）绘梁的内力图
1m
1m
1m
（2）计算截面的几何性质 a、确定中性轴位置
3.5kN .m
20
+ 5kN .m
80 20 10 + 120 20 80 yC 80 20 + 120 20 52 mm
y1 52 mm y2 140 52 88 mm
解： M max
P 1 l 30 8 60(kN . m) 4 4
由强度条件，得
M max 60 103 4 3 3 Wz 5 10 (m ) 500 cm [ ] 120 106 选择工字钢№28a
Wz 508 cm3 , I z 7.11103 cm4
§3-8 纯弯曲时梁的正应力
一、弯曲构件横截面上的应力
当梁上有横向外力作用时，一般情况下，
m
M
梁的横截面上既有剪力FS，又有弯矩M. 剪力FS 切应力 内力 弯矩M 正应力
只有与切应力有关的切向内力元素 dFS = dA 才能合成剪力； 只有与正应力有关的法向内力元素 dFN = dA 才能合成弯矩。 所以，在梁的横截面上一般既有正应力， 又有切应力。
ymax
—抗弯截面系数
M Wz
（3）当中性轴为对称轴时 σ max
M Wz
d z
4 3 I π d / 64 π d 实心圆截面 Wz z d /2 d /2 32
y
b
矩形截面
Iz bh3 / 12 bh 2 Wz h/2 h/2 6
h
z y D d
3 π D 空心圆截面 Wz (1 4 ) 32
但由弹性力学精确分析表明，对于跨度l与横截面高度h之比 l≥5h的细长梁。用纯弯曲正应力公式计算横力弯曲时横截面上
的正应力，误差≤2%，满足工程中所需要的精度。
等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为 σ M ( x) Wz
二、公式的应用范围
1.在线弹性范围内 2.具有切应力的梁（细长梁）l / h 5 3.平面弯曲 4.等直梁
Mechanics of Materials
§3-1 引言
§3-2 拉（压）杆的应力与应变 §3-3 材料在拉伸和压缩时的力学性能 §3-4 失效、许用应力和强度条件 §3-6 薄壁圆筒的扭转 §3-7 圆轴扭转时的应力与强度条件 §3-8 纯弯曲时梁的正应力 §3-9 横力弯曲时梁的正应力.弯曲正应力强度条件 §3.10 弯曲切应力.弯曲切应力强度条件 §3-11 梁的合理设计 §3-12 剪切与挤压的实用计算 §3-13 应力集中
（3）强度校核 由于梁的截面上、下不对称 于中性轴，而材料的拉、压 许用应力又不相等，所以最 大正弯矩的作用截面C和最 大负弯矩的作用截面B均可 能是危险面。两个截面上的 正应力分布如图d所示。最 大压应力发生在B截面下边 缘的各点处。
1m
1m
1m
20
3.5kN .m
+ 5kN .m
C截面
B截面
c max
F1
F2
q(x)
（1）两个假设 （a）切应力与剪力平行； （b）切应力沿截面宽度均匀分布
（距中性轴等距离处切应力相等）.
（2）公式推导
F1
F
q(x) n
m
m
n
m
x
m
M
n dx
n FS
m dx n
M+dM
y
FS
1
′
τ
2