第三章 杆件的应力与强度计算(弯曲梁)

但由弹性力学精确分析表明，对于跨度l与横截面高度h之比 l≥5h的细长梁。用纯弯曲正应力公式计算横力弯曲时横截面上
的正应力，误差≤2%，满足工程中所需要的精度。
等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为 σ M ( x) Wz
二、公式的应用范围
1.在线弹性范围内 2.具有切应力的梁（细长梁）l / h 5 3.平面弯曲 4.等直梁
（3）强度校核 由于梁的截面上、下不对称 于中性轴，而材料的拉、压 许用应力又不相等，所以最 大正弯矩的作用截面C和最 大负弯矩的作用截面B均可 能是危险面。两个截面上的 正应力分布如图d所示。最 大压应力发生在B截面下边 缘的各点处。
1m
1m
1m
20
3.5kN .m
+ 5kN .m
C截面
B截面
c max
m FS m
m m
FS
M
m
二、纯弯曲（Pure bending)
A
梁 CD 段内的任一横截面上 , 剪力等于零，而弯矩为常量，该
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a C
F
F D
a B
段梁的弯曲就是纯弯曲。
梁AC、CD段内的任一横截 面上，剪力、弯矩均不为零， 该段梁的弯曲就是横力弯曲。 M FS
F
+ －
F Fa
x
+ x
三、分析方法
b、求Iz
C截面
B截面
1 I z ( 80 203 + 80 20 422 ) 12 1 + ( 20 1203 + 20 120 282 ) 12
7.64 106 (mm 4 )
120
FA 3.5 kN, FB 13.5 kN
20
=12kN
=5kN
80
FN E dA 0
A
y
E

A
ydA 0
S z ydA 0
A
中性轴通过横截面形心 将应力表达式代入（2）式，得
M iy zE dA 0
A
y
E

y
A
E
1
yzdA 0
I yz A yzdA 0
自然满足 将应力表达式代入(3)式，得
M iz yE dA M
* Sz y1dA 为面积A1对中性轴的静矩. A
1
M * FN1 Sz Iz M + dM * FN 2 Sz Iz
z
y
x
dFs bdx
由平衡方程
FN1
dFS’
A
B1
B FN2
1dA
m’
y
Fx 0
化简后得
FN 2 FN1 dFS 0
'
m
n
dM S dx I z b
内力与外力相平衡可得
σ dA 0 FN A dFN A
A A
（1）
M iy dM y zσdA 0 （2）
dFN σdA
dM y z dA dM z y dA
M iz dM z yσdA M （3） A A
将应力表达式代入（1）式，得
ymax
—抗弯截面系数
M Wz
（3）当中性轴为对称轴时 σ max
M Wz
d z
4 3 I π d / 64 π d 实心圆截面 Wz z d /2 d /2 32
y
b
矩形截面
Iz bh3 / 12 bh 2 Wz h/2 h/2 6
h
z y D d
3 π D 空心圆截面 Wz (1 4 ) 32
§3-8 纯弯曲时梁的正应力
一、弯曲构件横截面上的应力
当梁上有横向外力作用时，一般情况下，
m
M
梁的横截面上既有剪力FS，又有弯矩M. 剪力FS 切应力 内力 弯矩M 正应力
只有与切应力有关的切向内力元素 dFS = dA 才能合成剪力； 只有与正应力有关的法向内力元素 dFN = dA 才能合成弯矩。 所以，在梁的横截面上一般既有正应力， 又有切应力。
FN1 σ1dA
A1
My1 M dA y1dA FN1 A1 I I z A1 z M * 1dA Sz Iz M + dM * FN 2 σ 2dA Sz A1 Iz
A1
dFS’
A
B1
m’
y
B FN2
m
n
式中： A1为距中性轴为y的横线以外部分的横截面面积.
一、横力弯曲
§3-9 横力弯曲时梁的正应力. 弯曲正应力强度条件
当梁上有横向力作用时，横截面上既有弯矩又有剪力.梁在 此种情况下的弯曲称为横力弯曲. 横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力，切应 力使横截面发生翘曲， 横向力引起与中性层平行的纵截面的挤
压应力，纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立。
三、物理关系
Hooke’s Law 所以 σ E 应力分布规律： 轴的距离成正比. 待解决问题 中性轴的位置 中性层的曲率半径ρ
σ Eε
y
? ?
M
O
z
x

y
直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性
?
四、静力关系
横截面上内力系为垂直于横截 面的空间平行力系，这一力系简化 得到三个内力分量.
且梁横截面的中性轴一般也不是对称轴，所以梁的
σ t max σ c max（两者有时并不发生在同一横截面上）
要求分别不超过材料的许用拉应力和许用压应力
σ t max [σ t ]
σ c max [σc ]
[例7] 一铸铁梁的受力如图a所示，其截面尺寸如右图所示。铸铁 材料的拉、压许用应力分别为 [ t ] 30 MPa,[ c ] 160 MPa 。 试校核此梁是否安全。
解： M max
P 1 l 30 8 60(kN . m) 4 4
由强度条件，得
M max 60 103 4 3 3 Wz 5 10 (m ) 500 cm [ ] 120 106 选择工字钢№28a
Wz 508 cm3 , I z 7.11103 cm4
1m
1m
1m
（ a）
（b）
20
120
20
=12kN
=5kN
80
解：（1）绘梁的内力图
1m
1m
1m
（2）计算截面的几何性质 a、确定中性轴位置
3.5kN .m
20
+ 5kN .m
80 20 10 + 120 20 80 yC 80 20 + 120 20 52 mm
y1 52 mm y2 140 52 88 mm
6 6
D
d
q
A
NO10工字钢
C
2m
B
1m
3q 4
q
q [ ] 2 Wz 160 10 2 49 10 15.68kN / m
3 m 4 9q 32
5q 4
q 15.68kN / m
q 2
§3.10 弯曲切应力.弯曲切应力强度条件
一、梁横截面上的切应力
1.矩形截面梁
F1
F2
q(x)
（1）两个假设 （a）切应力与剪力平行； （b）切应力沿截面宽度均匀分布
（距中性轴等距离处切应力相等）.
（2）公式推导
F1
F
q(x) n
m
m
n
m
x
m
M
n dx
n FS
m dx n
M+dM
y
FS
1
′
τ
2
m dx n
两截面上距中性轴 y1 处的正应力
为 1 和 2.
z y x
平面弯曲时横截面 纯弯曲梁(横截面上只有M而无FS的情况) 平面弯曲时横截面 横力弯曲(横截面上既有FS又有M的情况)

纯弯曲时梁的正应力
观察变形 提出假设 变形的分布规律 三方面法 物关 理系
变 形关 几系 何
应力的分布规律 静关 力系 建立公式
一、实验（ Experiment）
1.变形现象 纵向线 各纵向线段弯成弧线，且 仍保持平行 靠近顶端的纵向线缩短， 靠近底端的纵向线段伸长. 横向线 各横向线仍保持为直线， 相对转过了一个角度，
仍与变形后的纵向弧线垂直.
2.提出假设 ( Assumptions）
（a）平面假设：变形前为平面的横截面
变形后仍保持为平面，它绕其上的
某一轴旋转了一个角度，且仍垂直 于梁弯曲变形后的轴线； （b）单向受力假设：纵向纤维不相互挤 压，只受单向拉压.
推论：必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层
中性层与横截面的交线称为中性轴 。
M B y2 5 106 88 57.6 MPa [ c ] 6 Iz 7.64 10
120
20
=12kN
=5kN
80
在C、B 截面上
M C y2 3 106 88 M B y1 5 106 52
所以最大拉应力发生在C截面下边缘的各点处， 其值为
三、强度条件
梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力. 1.数学表达式
σ max
M max [σ ] Wz
2.强度条件的应用
（1） 强度校核
M max [σ ] Wz
M max （2）设计截面 Wz [σ ]
（3）确定许可载荷 M max Wz [σ ] 对于铸铁等脆性材料制成的梁，由于材料的 [σ t ] [σc ]
A
2m
B
1m
3q 4
q
3 m 4 9q 32
5q 4
9 9 由FB q FN q 4 4
q 2
FN 9q 由＝ 2 , 得 A d d 2 160 106 (20 103 )2 q 9 9 22.34kN / m
由 max＝ M max q , 得 Wz 2Wz
Mechanics of Materials
§3-1 引言
§3-2 拉（压）杆的应力与应变 §3-3 材料在拉伸和压缩时的力学性能 §3-4 失效、许用应力和强度条件 §3-6 薄壁圆筒的扭转 §3-7 圆轴扭转时的应力与强度条件 §3-8 纯弯曲时梁的正应力 §3-9 横力弯曲时梁的正应力.弯曲正应力强度条件 §3.10 弯曲切应力.弯曲切应力强度条件 §3-11 梁的合理设计 §3-12 剪切与挤压的实用计算 §3-13 应力集中
A

y dA M A
2
E

Iz M
M E Iz
将
M y 代入 σ E EI z My σ Iz
M为梁横截面上的弯矩； y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离；
1
得到纯弯曲时横截面上正应力的计算公式:
Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩.
讨论
（1）应用公式时，一般将 M、y 以绝对值代入. 根据梁变形的 情况直接判断 的正负号. 以中性轴为界，梁变形后凸出边的 应力为拉应力( 为正号).凹入边的应力为压应力（ 为负号）； （2）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处.
σ max
引用记号 W I z z
M ymax Iz
ymax
—抗弯截面系数
则公式改写为 σ max
M Wz
My σ Iz
y t max yc max ymax
（3）当中性轴为对称轴时
σ t max σ c max σ max
则公式改写为 σ max
引用记号 W I z z
中性轴 ⊥横截面对称轴
二、变形几何关系
dx
dx
o o
d
x o y
b
z b 图（a）
y
o’
z b’ y
o’
x b’
图（b）
图（c）
bb ( + y )d
应变分布规律：
( + y )d d y d bb dx OO O' O' d
直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比.
* z
dM FS dx
[例9] 梁AC的截面为№10工字钢，B点用圆钢杆BD悬挂，已 知圆杆的直径d=20mm，梁及杆的[σ ]=160MPa，试求许用均 布载荷[q]。 解：由平衡条件 mA ( F ) 0, FB 2 q 3 1.5 0
D
d
q
C
NO10工字钢
9 FB q 4 Fy 0, FA + FB 3q 0 FA 3 q 4
d α D
z y
（4）对于中性轴不是对称轴的横截面 应分别以横截面上受压和受拉部分距中性轴最远的距离
yc max 和 yt max 直接代入公式 My σ Iz σc max
yc max
M
σ t max
z
My t max Iz Myc max Iz
yt max
y
σ c max
σ t max
t max
M C ymax 3.5 106 88 40.3 MPa 6 Iz 7.64 10 [ t ] 1.05 42 MPa
t max 虽然大于[ t ] ，但没超过5%，故仍然认为是安全的。
[例8] 简支梁在跨中受集中载荷P=30kN，l=8m，[σ]＝120 MPa。 试为梁选择工字钢型号。