抛物线的对称性
抛物线知识点总结
抛物线知识点总结抛物线是数学中的一个重要概念，它在物理学、工程学以及计算机科学等领域中都有广泛的应用。
本文将通过对抛物线的定义、性质、方程、应用等方面进行综合性的讨论和总结。
第一部分：抛物线的定义和性质（500字左右）抛物线是一种特殊的曲线，其形状呈现出对称的特点。
它的定义可以通过以下方式描述：当一个动点沿着平面内一条固定的直线运动，且同时受到一个固定点的引力作用时，该点所绘制的轨迹就是抛物线。
抛物线具有以下几个基本性质：1. 对称性：抛物线以其顶点为对称轴。
2. 镜像性：抛物线上的任意两点关于对称轴对称。
3. 切线性：抛物线上的任意一点处的切线与对称轴垂直。
第二部分：抛物线的方程（500字左右）抛物线的方程可以通过以下方式表示：1. 标准型方程：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。
- 当a > 0时，抛物线开口向上。
- 当a < 0时，抛物线开口向下。
2. 顶点式方程：y = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为顶点的坐标。
3. 参数方程：x = at^2 + bt + c，y = dt^2 + et + f，其中a、b、c、d、e、f为常数。
第三部分：抛物线的性质和应用（1000字左右）抛物线的性质和应用非常广泛，下面将从物理学、工程学、计算机科学等角度进行具体介绍。
1. 物理学中的应用：- 抛物线可以用来描述抛体运动的轨迹，如平抛运动和自由落体运动。
- 抛物线还可以用来模拟火箭的飞行轨迹、子弹的弹道等。
2. 工程学中的应用：- 抛物线的对称性和稳定性使得它成为桥梁、拱门、天桥等建筑物的设计和建造中常用的形状。
- 抛物线的反射特性被广泛应用于太阳能聚光器、摄影反射器等领域。
3. 计算机科学中的应用：- 抛物线方程可以用来生成计算机图形学中的二维曲线，如绘制动画、设计游戏等。
- 抛物线的运动模型常被用于估算物体的轨迹、模拟运动物体的路径等。
巧用抛物线的对称性解题
巧用抛物线的对称性解题抛物线y=ax 2+bx+c 是轴对称图形，对称轴是x=-ab 2，抛物线有下面对称性质： 1、抛物线上关于对称轴对称的两点的纵坐标相等；反过来，抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称；特别地，如果抛物线交x 轴两点，那么这两点是对称点；2、抛物线上有对称的两点，它们的横坐标分别是21,x x ，那么抛物线的对称轴的直线方程是x=221x x +=-a b2；一、选择题1、已知抛物线2(1)(0)y a x h a =-+≠与x 轴交于1(0)(30)A x B ，，，两点，则线段AB 的长度为（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 2、抛物线c bx x y ++-=2的部分图象如图所示，若0>y ，则的取 值范围是（ ）A.14<<-xB. 13<<-xC. 4-<x 或1>xD.3-<x 或1>x 3、函数y=x 2-x+m(m 为常数)的图象如图，如果x=a 时，y ＜0；那么x=a-1时，函数值（ ）A ．y ＜0B ．0＜y ＜mC ．y ＞mD ．y=m4、若二次函数2y ax c =+，当x 取1x 、2x （12x x ≠）时，函数值相等，则当x取12x x + 时，函数值为（ ）Ａ．a c + Ｂ．a c - Ｃ．c - Ｄ．c5、已知关于x 的方程32=++c bx ax 的一个根为1x =2，且二次函数c bx ax y ++=2 的对称轴直线是x=2，则抛物线的顶点坐标是（ ）A ．(2，－3 )B ．(2，1)C ．(2，3)D ．(3，2)6、小明从右边的二次函数2y ax bx c =++图象中，观察得出了下面的五条信息：①0a <，②0c =，③函数的最小值为3-，④当0x <时，0y >，⑤当1202x x <<<时，12y y >．你认为其中正确 的个数为（ ）Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．5 y–1 1 3O x7、小颖在二次函数y=2x 2+4x+5的图象上，依横坐标找到三点(－1，y 1)，(21，y 2)，(－321，y 3)，则你认为y 1，y 2，y 3的大小关系应为（ ） A.y 1>y 2>y 3 B.y 2>y 3>y 1 C.y 3>y 1>y 2 D.y 3>y 2>y 18、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )A.1个B.2个C. 3个D. 4个9、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==和（ ） A.-1.3 B.-2.3 C.-0.3 D.-3.310、已知二次函数682-+-=x x y ,设自变量x 分别为321,,x x x ，且3214x x x <<<，则对应的函数值321,,y y y 的大小关系是（ ）A. 321y y y <<B. 132y y y <<C. 123y y y <<D. 231y y y <<11、如图，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的对称轴是直线1=x ，且经过点P （3，0），则c b a +-的值为A. 0B. －1C. 1D. 2二、填空题1、已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A(-2，7)，B(6，7)，C(3，-8)，则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是_________·2、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，其中a b c ，，满足0a b c ++=和930a b c -+=，则该二次函数图象的对称轴是直线 ．3、二次函数2y ax bx c =++（0a ≠，a 、b 、c 是常数）中，自变量x 与函数y 的对应请你观察表中数据，并从不同角度描述该函数图象的特征是： 、 、 ．（写出3条即可）x … 0 12 32 52 … y … 1 74 74 14- …y –1 3 3 O x P 14、一元二次方程20ax bx c ++=的两根为1x ，2x ，且214x x +=，点(38)A -，在抛物线y=ax 2+bx+c 上，则点A 关于抛物线的对称轴对称的点的坐标为 ．5、抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是x=2，且过点（3,0），则a+b+c=6、y=a 2x +5与X 轴两交点分别为（x 1 ,0），（x 2 ,0） 则当x=x 1 +x 2时，y 值为____7、请你写出一个b 的值，使得函数22y x bx =+在第一象限内y 的值随着x 的值增大而增大，则b 可以是 ．8、一个关于x 的函数同时满足如下三个条件①x 为任何实数，函数值y ≤2都能成立；②当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而增大；③当x ＞1时，函数值y 随x 的增大而减小；符合条件的函数的解析式可以是 。
抛物线运动知识点归纳总结
抛物线运动知识点归纳总结抛物线运动知识点归纳总结一、引言抛物线运动是我们在物理学中经常遇到的一种运动形式，它不仅具有理论上的重要性，也与日常生活紧密相关。
本文将对抛物线运动的知识点进行归纳总结，为读者深入了解抛物线运动提供指导。
二、基本概念1. 抛物线的定义抛物线是指平面上一点离定点距离与定直线距离之差保持不变的轨迹。
2. 抛物线的特点抛物线具有对称性，以焦点为中心，顶点为对称轴，对称于焦距的负方向。
三、运动规律1. 抛物线的运动方程对于抛物线的运动，可以通过运动方程来描述：y = ax² + bx + c其中a、b、c为常数，而x、y则分别表示抛物线上的点的横坐标和纵坐标。
2. 抛物线的速度抛物线上的点随时间的变化而变化，速度也随之改变。
在任意一点处的速度与该点处的切线垂直，这是因为切线的斜率是0。
3. 抛物线的加速度抛物线上的点也存在加速度，它总是指向焦点的方向。
这是因为加速度的方向与速度的方向相同，而速度则是沿着法线方向的。
四、运动的影响因素1. 初始速度抛物线的形状和顶点的位置会受到初始速度的影响。
初始速度越大，抛物线越“扁”，顶点的位置也越靠近顶点。
2. 发射角度发射角度决定了抛物线的朝向和形状。
发射角度为45°时，抛物线的高度和水平距离达到最大值。
3. 重力重力是影响抛物线运动的重要因素。
在没有空气阻力的情况下，重力仅改变了抛物线的高度，不会影响抛物线的形状。
五、实际应用1. 炮弹的抛物线轨迹抛射炮弹的运动轨迹可以看作是抛物线。
通过分析炮弹的抛物线轨迹，可以确定炮弹的落点和射程。
2. 投掷运动许多运动项目，如铅球投掷、棒球投掷等，都可以看作是抛物线运动。
通过研究抛物线运动的规律，可以提高投掷的准确性和力度。
3. 桥梁设计在桥梁的设计中，抛物线曲线被广泛运用，因为抛物线具有良好的承重性能和结构稳定性。
六、结论抛物线运动是物理学中的重要概念，通过对抛物线运动的知识点进行归纳总结，我们可以更好地理解和应用这一概念。
第2课时抛物线的简单几何性质
第2课时 抛物线的简单几何性质一、抛物线的性质1．抛物线2y ＝2px(p>0)的简单几何性质(1)对称性：以－y 代y ，方程2y ＝2px(p>0)不变，因此这条抛物线是以x 轴为对称轴的轴对称图形．抛物线的对称轴叫做抛物线的轴，抛物线只有一条对称轴． (2)顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．(3)离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率， (4)通径：过焦点垂直于轴的弦称为抛物线的通径，其长为2p.(5)范围：由y2＝2px ≥0，p>0知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，p 值越大，它开口越开阔． 2．焦半径抛物线上一点与焦点F 连接的线段叫做焦半径，设抛物线上任一点A(x0，y0)，则四种标准方程形式下的焦半径公式为3.p 表示焦点到准线的距离，p >0.p 值越大，抛物线的开口越宽；p 值越小，抛物线的开口越窄。
4．焦点弦问题如图所示：AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的一条弦，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，抛物线的准线为l .(1)以AB 为直径的圆必与准线l 相切； (2)|AB |＝2(x 0＋p2)＝x 1＋x 2＋p ；(3)A 、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x 1·x 2＝42p ，y 1·y 2＝2p.题型一、抛物线的对称性例1、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，求这个正三角形的边长．[解析] 如图，设正三角形OAB 的顶点A 、B 在抛物线上，且它们坐标分别为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)则：y 21＝2px 1，y 22＝2px 2.又|OA |＝|OB |，∴x 21＋y 21＝x 22＋y 22，即x 21－x 22＋2px 1－2px 2＝0，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2p )＝0. ∵x 1>0，x 2>0,2p >0，∴x 1＝x 2， 由此可得|y 1|＝|y 2|， 即线段AB 关于x 轴对称．由于AB 垂直于x 轴，且∠AOx ＝30°.∴y 1x 1＝tan30°＝33，而y 21＝2px 1，∴ y 1＝23p . 于是|AB |＝2y 1＝43p . 例2、等腰Rt △ABO 内接于抛物线2y ＝2px(p>0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△ABO 的面积是()A ．82pB ．42p C ．22pD ．2p[答案] B题型二、抛物线焦点弦的性质例3、斜率为2的直线经过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线相交于两点A 、B ，求线段AB 的长． 解∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝3＋2＝5. 例4、过抛物线2y ＝8x 的焦点作直线l ，交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则|AB|的值为_____________．[答案] 10 题型三、最值问题例5、设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 为抛物线焦点．(1)求点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值； (2)若B (3,2)，求|PB |＋|PF |的最小值．[解析] (1)如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程是x ＝－1，由抛物线的定义知：点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到焦点F 的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小．显然，连AF 交抛物线于P 点，故最小值为22＋12，即 5. (2)如图把点B 的横坐标代入y 2＝4x 中，得y ＝±12，因为12>2，所以B 在抛物线内部，自B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于P 1.此时，由抛物线定义知： |P 1Q |＝|P 1F |.那么|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q | ＝|BQ |＝3＋1＝4. 即最小值为4. 例6、定点M ⎪⎭⎫⎝⎛310,3与抛物线y 2＝2x 上的点P 之间的距离为d 1，P 到抛物线准线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2取最小值时，P 点坐标为( )A ．(0,0)B ．(1，2)C ．(2,2) D.⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,81 [答案] C例7、设抛物线C ：x 2＝2py 的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，F A 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．(1)若∠BFD ＝90°，△ABD 的面积为42，求p 的值及圆F 的方程；(2)若A 、B 、F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m 、n 距离的比值．[正解] (1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形，当p >0时，|BD |＝2p ，圆F 的半径|F A |＝2p ，由抛物线定义可知A 到l 的距离d ＝|F A |＝2p . 因为△ABD 的面积为42，所以12|BD |·d ＝42，即12·2p ·2p ＝42，解得p ＝2，所以F (0,1)，圆F 的方程为x 2＋(y －1)2＝8. 当p <0时，同理可得p ＝－2，∴F (－1,0)， ∴圆F 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝8.(2)因为A 、B 、F 三点在同一直线m 上，所以AB 为圆F 的直径，∠ADB ＝90°，由抛物线定义知|AD |＝|F A |＝12|AB |.所以∠ABD ＝30°，m 的斜率为33或－33. 当m 的斜率为33时，由已知可设n ：y ＝33x ＋b ，代入x 2＝2py 得x 2－233px －2pb ＝0. 由于n 与C 只有一个公共点，故Δ＝43p 2＋8pb ＝0，解得b ＝－p 6.因为m 的截距b 1＝p 2，|b 1||b |＝3，所以坐标原点到m ，n 距离的比值为3. 当m 的斜率为－33时，由图形的对称性可知，坐标原点到m ，n 的距离的比值为3. 课后作业一、选择题1．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝10，则弦AB 的长度为( )A ．16B ．14C ．12D ．10[答案] C[解析] 设抛物线的焦点为F ，则|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝10＋2＝12. 2．设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，F A →与x 轴正向的夹角为60°，则|OA |为( )A.214pB.212pC.136p D.1336p [答案] B[解析] 设A (x 1，y 1)，直线F A 的方程为y ＝3(x －p 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝2px y ＝3(x －p 2)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝32p y 1＝3p. ∴|OA |＝x 21＋y 21＝94p 2＋3p 2＝212p . 3．过抛物线焦点F 的直线与抛物线相交于A 、B 两点，若点A 、B 在抛物线准线上的射影分别为A 1，B 1，则∠A 1FB 1为( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°[答案] C[解析] 设抛物线方为y 2＝2px (p >0)． 如图，∵|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|， ∴∠AA 1F ＝∠AF A 1，∠BFB 1＝∠FB 1B .又AA 1∥Ox ∥B 1B ，∴∠A 1FO ＝∠F A 1A ，∠B 1FO ＝∠FB 1B ，∴∠A 1FB 1＝12∠AFB ＝90°.4．抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，其准线经过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左顶点，点M 为这两条曲线的一个交点，且|MF |＝2，则双曲线的离心率为( ) A.102B ．2 C. 5 D.52[答案] A[解析] F (12，0)，l ：x ＝－12，由题意知a ＝12.由抛物线的定义知，x M －(－12)＝2，∴x M ＝32，∴y 2M ＝3，∵点(x M ，y M )在双曲线上，∴9414－3b 2＝1，∴b 2＝38，∴c 2＝a 2＋b 2＝58，∴e 2＝c 2a 2＝58×4＝52，∴e ＝102. 5．已知A 、B 在抛物线y 2＝2px (p >0)上，O 为坐标原点，如果|OA |＝|OB |，且△AOB 的垂心恰好是此抛物线的焦点F ，则直线AB 的方程是( ) A ．x －p ＝0 B ．4x －3p ＝0 C ．2x －5p ＝0D ．2x －3p ＝0[答案] C[解析] 如图所示：∵F 为垂心，F 为焦点，OA ＝OB ，∴OF 垂直平分AB . ∴AB 为垂直于x 轴的直线设A 为(2pt 2,2pt )(t >0)，B 为(2pt 2，－2pt )， ∵F 为垂心，∴OB ⊥AF ，∴k OB ·k AF ＝－1， 即－(2pt )2(2pt 2－p 2)·2pt 2＝－1，解得t 2＝54∴AB 的方程为x ＝2pt 2＝52p ，∴选C.二、填空题6．已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是__________________．[答案] π4或3π4[解析] 设直线的倾斜角为θ，由题意得12＝2p sin 2θ＝6sin 2θ，∴sin 2θ＝12，∴sin θ＝±22，∵θ∈[0，π)，∴θ＝π4或3π4.7．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝__________________.[答案] 8[解析] 如图，k AF ＝－3，∴∠AFO ＝60°，∵|BF |＝4，∴|AB |＝43， 即P 点的纵坐标为43， ∴(43)2＝8x ，∴x ＝6， ∴|P A |＝8＝|PF |. 三、解答题8．如图，有一张长为8，宽为4的矩形纸片ABCD ，按如图所示的方法进行折叠，使每次折叠后点B 都落在AD 边上，此时记为B ′(注：图中EF 为折痕，点F 也可落在CD 边上)．过点B ′作B ′T ∥CD 交EF 于点T ，求点T 的轨迹方程．[解析] 如图，以边AB 的中点O 为原点，AB 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，则B (0，－2)．连结BT ，由折叠知|BT |＝|B ′T |.∵B ′T ∥CD ，CD ⊥AD ，∴B ′T ⊥AD .根据抛物线的定义知，点T 的轨迹是以点B 为焦点，AD 所在直线为准线的抛物线的一部分．设T (x ，y )．∵|AB |＝4.即定点B 到定直线AD 的距离为4，∴抛物线的方程为x 2＝－8y .在折叠中，线段AB ′的长度|AB ′|在区间[0,4]内变化，而x ＝|AB ′|，∴0≤x ≤4，故点T 的轨迹方程为x 2＝－8y (0≤x ≤4)．9．定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线y 2＝x 上移动，求AB 中点到y 轴距离的最小值，并求出此时AB 中点M 的坐标．[解析] 如图，设F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A 、B 两点到准线的垂线分别是AC 、BD ，M 点到准线的垂线为MN ，N 为垂足，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)，根据抛物线定义得|AC |＝|AF |，|BD |＝|BF |，∴|MN |＝12(|AF |＋|BF |)≥|AB |2＝32.设M 点的横坐标为x ，则|MN |＝x ＋14，∴x ＝|MN |－14≥32－14＝54，等号成立的条件是弦AB 过点F ， 由于|AB |>2p ＝1，∴AB 过焦点是可能的，此时M 点到y 轴的最短距离是54，即AB 的中点横坐标为54.当F 在AB 上时，设A 、B 的纵坐标分别为y 1、 y 2，则y 1y 2＝－p 2＝－14，从而(y 1＋y 1)2＝y 21＋y 22＋2y 1y 2＝2×54－12＝2，∴y 1＋y 2＝±2， ∴M 点的坐标为(54，±22)时，M 到y 轴距离的最小值为54.。
抛物线性质
抛物线性质抛物线是一种二次函数，其方程为y=ax²+bx+c，其中a、b、c都是实数，且a≠0。
抛物线有以下几个性质：1. 对称性抛物线有一条对称轴，对称轴垂直于x轴，过抛物线的顶点。
对称轴的方程为x=-b/2a。
抛物线对称于其对称轴。
对于每个点(x,y)，如果它在抛物线上，则它关于对称轴的对称点也在抛物线上。
2. 正负性当a>0时，抛物线开口向上，形状像一个U形。
当a<0时，抛物线开口向下，形状像一个倒U形。
3. 零点抛物线与x轴的交点称为抛物线的零点或根。
当抛物线与x轴有两个交点时，抛物线有两个零点。
当抛物线与x轴只有一个交点时，抛物线只有一个零点。
4. 额定值抛物线最高点的y坐标称为抛物线的额定值。
抛物线的额定值等于其顶点的纵坐标。
5. 最大值/最小值如果a<0，则抛物线的最大值等于其额定值，最小值为负无穷。
如果a>0，则抛物线的最小值等于其额定值，最大值为正无穷。
6. 焦点抛物线有一点称为焦点，它是抛物线与其对称轴的交点的一半距离处。
焦点的x坐标为-b/2a，y坐标为(c-b²/4a)。
7. 直线的切线如果抛物线在某一点处存在一条斜率，则这条斜率对应于该点处的切线。
对于抛物线y=ax²+bx+c，其导数为dy/dx=2ax+b。
因此，在x处的切线斜率为2ax+b。
8. 拐点抛物线的拐点是曲线从凸部到凹部或从凹部到凸部的点。
拐点的位置为(-b/2a，c-b²/4a)。
9. 化简抛物线的标准形式抛物线方程y=ax²+bx+c可以化简为y=a(x-h)²+k的标准形式，其中(h,k)为抛物线的顶点。
要将抛物线方程转换为标准形式，可以首先通过完成平方的方法来消除x的一次项：y=a(x²+(b/a)x)+c。
然后，将完全平方的形式应用于括号内的表达式：y=a(x²+(b/a)x+(b/2a)²-(b/2a)²)+c。
抛物线的几何性质
一、抛物线的范围: y2=2px y
P(x,y)
•X 0
o
p F ( ,0 ) 2
x
•y取全体实数
二、抛物线的对称性 y2=2px
y
M(x,y)
以-y代y方程不变，所以抛物线 关于x轴对称．我们把抛物线的 对称轴叫做抛物线的轴．
o
F(
p ,0 ) 2
x
M1(x,-y)
三、抛物线的顶点 y2=2px
24cm
o
F
P
x
B
10cm
例3已知点A在平行于y轴的直线L上，且L与x轴的 交点为（4，0）。动点p满足 OA OP y 求P点的轨迹方程，并说明轨迹的形状。 分析：设P（ x，y）则A（4，y） OA OP ∴ OA.OP 0
（ 。 ∴ x，y） （4，y）=0 L P A
（4，0） x
请具体说出开口方向，焦点坐标，准线方程。
四种抛物线的标准方程的几何性质的对比
好好学习
Y
X
定义 ：抛物线 与对称轴的交点， 叫做抛物线的顶 点,只有一个顶 点.
四、抛物线的离心率 y2=2px
Y
X
所有的抛物 线的离心率 都是 1
抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的 比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义可知
e 1
五、焦半径
|PF|=x0+p/2
y
P
O
பைடு நூலகம்
F
x
例1：已知抛物线以x轴为轴，顶点式坐标原点且开口 向右，又抛物线经过点M 4,2 3 ，求它的标准方程。
分析：根据已知条件，可以设抛 物线的方程为
Y
高二数学抛物线的几何性质
B’
所以，线段 AB的长是8。
拓展： 过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m， 交这抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆 和这抛物线的准线相切．
y2 4x
y
C H D E F A
B O
分析：运用 抛物线的定 义和平面几 何知识来证 比较简捷．
x
证明：如图．
设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线l引垂 线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，
则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜ ∴｜AB｜ y ＝｜AF｜＋｜BF｜ C B ＝｜AD｜＋｜BC｜ =2｜EH｜ E H O F 所以EH是以AB为直径的 D A 圆E的半径，且EH⊥l，因 而圆E和准线l相切．
x
抛物线的焦点弦的特征
1、已知AB是抛物线y2＝2px的任意一条焦点弦，且A （x1，y1）、B（x2，y2） 1）求证：y1y2＝－P2，x1x2＝p2/4。 2）设θ为直线AB的倾斜角，求证：当θ＝90o时，取得 ︱AB︱的最小值2p。 3）若弦AB过焦点，求证：以AB为直径的圆与准线相 切。
抛物线的简单几何性质
一、抛物线的范围: y2=2px
Y
•X 0
X
•y取全体实数
二、抛物线的对称性
Y
y2=2px
关于X轴对称 没有对称中心
X
三、抛物线的顶点
Y
y2=2px
X
定义 ：抛物线 与对称轴的交点， 叫做抛物线的顶 点 只有一个顶点
四、抛物线的离心率
Y
y2=2px
X
所有的抛物 线的离心率 都是 1
A F B
x
设A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), A, B到 准线l的距离分别为 d A , dB .
讨论抛物线的对称性
讨论抛物线的对称性抛物线是一个经典的二次曲线，其对称性在数学中有着重要的地位。
本文将深入探讨抛物线的对称性特征，包括顶点对称、焦点对称和轴对称三个方面。
一、顶点对称抛物线的顶点是其最高点（对于开口向上的抛物线）或最低点（对于开口向下的抛物线），而这个顶点是整个曲线的对称中心。
具体来说，如果抛物线的顶点坐标为（h，k），则曲线上任意一点P（x，y）关于顶点（h，k）对称的另一点为P'（x'，y'）。
满足以下关系：x' = 2h - xy' = 2k - y这就意味着通过顶点将抛物线分成两个对称的部分。
二、焦点对称抛物线还有一个重要的对称性特征是焦点对称。
焦点是指确定抛物线形状的关键点，我们用字母F来表示。
对于开口向上的抛物线，焦点位于顶点的下方，对于开口向下的抛物线，焦点位于顶点的上方。
焦点对称指的是曲线上任意一点P到焦点F的距离与点P'到焦点F的距离相等，即PF = PF'根据抛物线的性质可知，焦点到定点的距离等于焦半径，即 PF =PD（D为抛物线的顶点到直线y=k的距离）。
三、轴对称抛物线还具有轴对称的性质，其中轴称为对称轴。
对称轴是垂直于焦半径、通过顶点的一条直线。
具体来说，如果抛物线开口向上，对称轴是水平线 y = k；如果抛物线开口向下，对称轴是水平线 x = h。
轴对称指的是关于对称轴对抛物线进行镜像对称，即曲线上任意一点P关于对称轴的镜像点P'，满足以下关系：P'（x，y）= P（x'，y'），其中 x = 2h - x'，y = y'经过以上对抛物线的对称性特征的讨论，我们可以看出抛物线的特殊形状与其对称性密不可分。
这些对称性特征可以帮助我们更好地理解抛物线的性质，并在解决实际问题时提供重要的数学工具。
总结：抛物线的对称性主要包括顶点对称、焦点对称和轴对称三个方面。
顶点对称以抛物线的顶点为中心，将曲线分为两个对称部分；焦点对称表明曲线上任意一点到焦点的距离相等；而轴对称以对称轴为中心，实现曲线的镜像对称。
抛物线的对称性
二次函数-------抛物线的对称性秀屿区赤岑中学 詹树文教学目标：理解二次函数的图像关于对称轴对称的性质，会利用抛物线的对称性解决与二次函数有关的问题教学重点：利用抛物线的对称性解决与二次函数有关的问题教学难点：灵活运用抛物线的对称性解决问题教学过程： 一、抛物线的对称轴公式：①2b x a =-， ②122x x x += 二、例题讲解例1、抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B 两点，其对称轴是直线1x =，则B 点的坐标是例2、抛物线(1)(3)(0)y a x x a =+-≠的对称轴是直线例3、抛物线2y ax bx c =++经过11(1,),(3,)A y B y -，则其对称轴是直线例4、二次函数c bx ax ++=2y 自变量x 与函数值y 之间有下列关系：那么)(c b a ab ++的值为（ ） A 、6 B 、6- C 、23 D 、23- 例5、如图,四边形ABCD 是矩形,A,B 两点在x 轴的正半轴上,C,D 两点在抛物线26y x x =-+上,设OA=m(0<m<3),矩形ABCD 的周长为l ,求l 与m 的函数解析式。
3-1.68-1.680-2-3⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅y x例6、将抛物线y ＝2x 2－12x ＋16绕它的顶点旋转180°，所得的解析式是 例7、抛物线2y ax bx c =++（a ＜0）与y 轴交于C 点，与x 轴交于1(,0)A x 和2(,0)B x 两点，其中x 1 和x 2是方程x 2﹣2x ﹣3=0的两个根（120x x ）（1）求A 、B 两点的坐标；（2）当∠CAB 的平分线交y 轴于D 、交抛物线于另一点E ，且点E 与C 关于抛物线的对称轴对称时，求抛物线的解析；（3）在对称轴上是否存在一点P ，使PA+PC 的值最小？三、自主演练例1、抛物线22(2)y x t t =---+ (t 是常数， 0≠t )的顶点是P ，与x 轴交于A （2，0）、B 两点 ①PAB ∆能否构成直角三角形？若能，求出t 的值：若不能，说明理由。
抛物线的简单几何性质
y
1 y2
k
(x 4x
2)
Y
可得ky2 4 y 4(2k 1) 0 (1)当k 0时，由方程得 y 1.
P·
把y 1代入y2 4x,得x 1 .
O
X
4
这时，直线l与抛物线只有一个公共点(1 ,1) 4
例1 已知抛物线的方程为y²=4x,直线l过定点P(-2,1)，斜率为k,k 为何值时，直线l与抛物线y²=4x:只有一个公共点；有两个公共 点；没有公共点？
(0,0)
e=1
x2 2 py ( p 0)
y 0, xR
关于y 轴 对称，无 对称中心
(0,0)
e=1
x2 2 py y 0,
关于y 轴 对称，无
(0,0) e=1
( p 0) x R 对称中心
例3 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点， 并且经过点(2,2 2),求它的标准方程。
（5）一次项系数的绝对值越大，开口越大
课堂小结
（1）抛物线的简单几何性质 （2）抛物线与椭圆、双曲线几何性质的不同点 （3）应用性质求标准方程的方法和步骤
小结：
1、抛物线的定义,标准方程类型与图象的对应 关系以及判断方法
2、抛物线的定义、标准方程和它 的焦点、准线、方程
3、注重数形结合的思想。
例5 过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，通过点A和抛物线顶点的 直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。
证明：以抛物线的对称轴为x轴，它的顶点为原点，
建立直角坐标系。设抛物线的方程为y2 2 px,
点A的坐标为(
y02 2p
,
y0
),则直线OA的方程为y
抛物线的准线是x p
抛物线常用性质总结
抛物线常用性质总结抛物线是二次方程的图像，其常见形式为y = ax^2 + bx + c，其中a，b，c是实数常数且a不等于零。
抛物线有许多重要的性质和特点，以下是一些常用的总结和解释。
1. 对称性：抛物线具有轴对称性。
如果抛物线的方程是y = ax^2 + bx + c，轴对称线的方程将是x = -b/2a。
这意味着抛物线关于垂直于x 轴、通过x = -b/2a的直线对称。
2.最高点或最低点：如果a大于零，则抛物线开口向上，且没有最大值。
如果a小于零，则抛物线开口向下，且没有最小值。
抛物线的顶点或底点即为其最高或最低点。
3. 判别式：抛物线的判别式可以帮助我们确定它的性质。
判别式D = b^2 - 4ac表示了二次方程的解的性质。
如果D大于零，则抛物线与x 轴有两个交点，说明它有两个实根。
如果D等于零，则抛物线与x轴有一个交点，说明它有一个实根。
如果D小于零，则抛物线与x轴没有交点，说明它没有实根。
4.对于抛物线的每一个点(x,y)，其关于轴对称线的对称点为(2p-x,y)，其中p为抛物线上任意一点的横坐标。
这一性质可以用来确定抛物线上其他点的坐标。
5.零点：抛物线与x轴的交点称为零点或根。
零点可以通过解二次方程来求得。
如果判别式D大于零，那么二次方程有两个不同的实根；如果判别式D等于零，那么二次方程有一个实根；如果判别式D小于零，那么二次方程没有实根。
6.方向：抛物线的方向由二次项的系数a决定。
如果a大于零，抛物线开口向上；如果a小于零，抛物线开口向下。
7.垂直于x轴的焦点与准线：焦点与准线是抛物线的另外两个重要点。
焦点的坐标为(p,q+1/4a)，其中p=-b/2a为抛物线的对称轴上任意一点的横坐标，q=c-b^2/4a为抛物线的对称轴上任意一点的纵坐标。
准线的方程为y=c-1/4a。
8.对称性性质的应用：由于抛物线的对称性，我们可以通过求解对称点的坐标来简化计算。
例如，如果我们已经求得抛物线上一个点(x,y)的坐标，那么我们也可以直接求解它关于对称轴的对称点(2p-x,y)。
抛物线关于y轴对称的解析式
抛物线关于y轴对称的解析式
抛物线关于y轴对称的解析式是指抛物线的图形在y轴上具有对称性，其解析式如下：
1、一般式：y=ax^2+bx+c；
2、当a>0时：y=a(x-p)^2+q；
3、当a<0时：y=a(x+p)^2+q。
⑴一般式：
一般式是抛物线最常见的形式，其标准解析式为y=ax2+bx+c，其中
a≠0，b和c∈R。
当a>0时，抛物线处于凸状；当a<0时，抛物线形状
处于凹状，此时解析式可以简化为标准型x，即y=a(x-p)2+q。
⑵当a>0时：
当a>0时，抛物线具有凸状，此时有y=a(x-p)2+q，其中p,q∈R，也称
为抛物线的标准型，根据定义a>0，所以标准型为抛物线关于y轴对称，p是抛物线的中心横坐标，q是抛物线上点到y轴的距离。
⑶当a<0时：
当a<0时，抛物线为凹状，此时解析式有y=a(x+p)2+q，其中p,q∈R，也称为抛物线的标准型，当a<0时，此抛物线也是关于y轴对称的，p 是抛物线的中心横坐标，q是抛物线上点到y轴的距离。
抛物线的概念
抛物线的概念抛物线的概念及其应用1. 引言抛物线是数学中一个重要的曲线，其形状独特而美妙。
在几何学和物理学中，抛物线广泛应用于各种领域，包括力学、光学、天文学等。
本文将深入探讨抛物线的概念、性质和应用，以便更深入地理解这一曲线。
2. 抛物线的定义抛物线是所有离一个定点（称为焦点）距离与其到一条直线（称为准线）的距离成正比的点构成的曲线。
准线和焦点之间的距离称为焦距，并用字母p表示。
3. 抛物线的性质3.1 对称性抛物线具有关于准线对称的性质。
如果抛物线上的点P到准线的距离为d，则点P'到准线的距离也为d并且两点在准线的同一侧。
3.2 焦点与准线的距离关系对于抛物线上的任意一点P，其距离焦点的距离与其到准线的距离之间存在以下关系：d = |PF| = |PL| = p，其中PF表示点P到焦点的距离，PL表示点P到准线的距离。
3.3 焦点的确定方法通过对称性和焦点与准线的距离关系，可以确定焦点的位置。
以焦点为圆心、焦距为半径作圆与准线相交于点O，连接PO即可确定焦点的位置。
4. 抛物线的方程抛物线的方程可以通过焦点、准线和直角坐标系来求得。
一般来说，抛物线的顶点位于坐标轴上，其坐标表示为（h，k）。
根据抛物线的定义，可以得到一般式方程：y = ax^2 + bx + c。
5. 抛物线的重要应用5.1 物体的抛射运动在力学中，抛物线被广泛应用于描述物体的抛射运动。
当物体在水平面上以一定初速度和发射角度被抛出时，其运动轨迹正是一个抛物线。
通过抛物线方程，可以计算物体的运动轨迹、最大高度和最远距离等参数。
5.2 反射聚焦在光学中，抛物线被用于反射聚焦。
抛物面反射器是一种利用抛物线形状的曲面来聚焦光线的光学器件。
这种曲面具有将接近光轴的入射平行光束反射到焦点上的特点，因此被广泛应用于望远镜、卫星接收器等光学设备中。
5.3 天体运动轨迹在天文学中，抛物线也用于描述天体的运动轨迹。
彗星经常沿着抛物线轨道绕太阳运行，其中太阳位于焦点上。
二次函数的知识点[1]
![二次函数的知识点[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/d4c5e71fc5da50e2524d7f90.png)
二次函数的知识点一、平移1、a抛物线的形状、大小相同2、抛物线平移则a 值相等，a 值相等则抛物线可平移3、 求平移前的顶点坐标．．．．．．．．和平移后的顶点坐标．．．．．．．．，而后观察 例：1、抛物线3212-=x y 通过怎么平移得到抛物线52212-+=x x y例：2、将抛物线522++-=x x y 先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，求平移后的抛物线的解析式练习：1、抛物线232+=x y 通过怎么平移得到抛物线x x y 632-=2、将抛物线2422++-=x x y 先向上平移3个单位，再向右平移2个单位，求平 移后的抛物线的解析式二、 抛物线的对称性1、抛物线是轴对称图形： ①、抛物线上对称点到对称轴的单位长度相等②、的点是对称点例：已知对称轴及A 点坐标，求A 对称点的坐标 1、抛物线y=3422-+x x 经过A （2，13） 求A 的对称点的坐标例：已知对称点的坐标，求对称轴 2、已知：A （2，3）、B （-4，3）是抛物线上的点 求此抛物线的对称轴练习： 1、抛物线y=12222++-x x 经过A （2，13）求A 的对称点的坐2、已知：A （3，6）、B （7，6）是抛物线上的点 求此抛物线的对称轴3、填空①、已知：A （-2，9）、B （-6，9）是抛物线上的点，则此抛物线的对称轴 ②、已知：A （-3，2）、B （2，2）是抛物线上的点，则此抛物线的对称轴 ③、抛物线的对称轴为x=3，A(1，5)是抛物线上的点，则A 的对称点的坐标是④、抛物线的对称轴为x=-1，A(3，7)是抛物线上的点，则A 的对称点的坐标是例：用五点法画二次函数的图象3、画抛物线3422+-=x x y 的图象练习：1、画抛物线25212-+-=x x y 的图象 2、画抛物线11822++=x x y 的图象3、画抛物线104212++=x x y 的图象 4、画抛物线8822-+-=x x y 的图象三、抛物线的增减性二次函数的增减性以对称轴为分界、结合图象既可确定a b x 2-= ab x 2-= 当a b x 2- 时，y 随x 的增大而减小 当a bx 2- 时，y 随x 的增大而增大当a b x 2- 时，y 随x 的增大而增大 当abx 2- 时，y 随x 的增大而减小例1、求抛物线1322-+-=x x y 的增减性 例2、求抛物线74212++=x x y 的增减性练习：1、求抛物线4632-+-=x x y 的增减性2、求抛物线2342+-=x x y 的增减性练习：b1、求抛物线31832++=x x y )010(≤≤-x 的增减性2、求抛物线7632-+-=x x y )72(≤≤x 的增减性3、心理学家发现学生对概念的接受能力y 与提出的时间x （单位：分）之间满足关系式436.21.02++-=x x y )300(≤≤x①x 在什么范围内，学生接受能力增强②x 在什么范围内，学生接受能力步降低4、若A （-1，y 1）、B （2，y 2）、C （5，y 3）为二次函数245y x x =--+的图象上的三点，则123y y y ，，的大小关系是（ ） Ａ．123y y y << Ｂ．321y y y << Ｃ．312y y y <<Ｄ．213y y y <<5、请选择一组你喜欢的a bc ，，的值，使二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象同时满足下列条件：①开口向下，②当2x <时，y 随x 的增大而增大；当2x >时，y 随x 的增大而减小．这样的二次函数的解析式可以是6、一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来3个月的利润情况如图所示，该图可以近似看作为抛物线x x y 142+-=的一部分，请结合图象，解答以下问题：（1）该公司在经营此款电脑过程中，第几月的利润最大？最大利润是多少？（2）若照此经营下去，请你结合所学的知识，对公司在此款电脑的经营状况（是否亏损？何时亏损？）作预测分析。
抛物线的几何性质(二)
•
三十二、在科学上没有平坦的大道，只有不畏劳苦，沿着陡峭山路攀登的人，才有希望达到光辉的顶点。——马克思
•
三十三、在劳力上劳心，是一切发明之母。事事在劳力上劳心，变可得事物之真理。——陶行知
•
三十四、一年之计在于春，一日之计在于晨。——萧绛
•
三十五、没有一颗心会因为追求梦想而受伤，当你真心想要某样东西时，整个宇宙都会联合起来帮你完成。——佚名
•
三十六、梦想不抛弃苦心追求的人，只要不停止追求，你们会沐浴在梦想的光辉之中。——佚名
•
三十七、一块砖没有什么用，一堆砖也没有什么用，如果你心中没有一个造房子的梦想，拥有天下所有的砖头也是一堆废物；但如果只有造房子的梦想，而没有砖头，梦想也没法实现。——俞敏洪
•
三十八、如意算盘，不一定符合事实。——奥地利
•
二、梦想无论怎样模糊，总潜伏在我们心底，使我们的心境永远得不到宁静，直到这些梦想成为事实才止；像种子在地下一样，一定要萌芽滋长，伸出地面来，寻找阳光。——林语堂
•
三、多少事，从来急；天地转，光阴迫。一万年太久，只争朝夕。尊敬的，也让人羡慕。当大多数人碌碌而为为现实奔忙的时候，坚持下去，不用害怕与众不同，你该有怎么样的人生，是该你亲自去撰写的。加油！让我们一起捍卫最初的梦想。——柳岩
•
五、一个人要实现自己的梦想，最重要的是要具备以下两个条件：勇气和行动。——俞敏洪
•
六、将相本无主，男儿当自强。——汪洙
•
七、我们活着不能与草木同腐，不能醉生梦死，枉度人生，要有所作为。——方志敏
•
八、当我真心在追寻著我的梦想时，每一天都是缤纷的，因为我知道每一个小时都是在实现梦想的一部分。——佚名
•
二十四、生命是以时间为单位的，浪费别人的时间等于谋财害命，浪费自己的时间，等于慢性自杀。——鲁迅
数学高二选修抛物线知识点
数学高二选修抛物线知识点抛物线是数学中的一个重要概念，它在高中数学的选修课程中占有重要地位。
在高二学年，学生将进一步深入研究和应用抛物线的相关知识。
本文将重点介绍高二选修课程中涉及的抛物线知识点，帮助同学们更好地理解和掌握这一知识。
一、抛物线的定义和性质1. 抛物线的定义：抛物线是平面上动点到定点和到定直线的距离之差恒等于定值的轨迹。
2. 抛物线的标准方程：y = ax² + bx + c （a ≠ 0）3. 抛物线的顶点坐标：顶点的横坐标为 -b/2a，纵坐标为 c -b²/4a。
4. 抛物线的对称轴：对称轴的方程为 x = -b/2a。
5. 抛物线的焦点坐标：焦点的横坐标为 -b/2a，纵坐标为 c -b²/4a + 1/4a。
6. 抛物线的准线：准线的方程为 y = c - b²/4a - 1/4a。
二、抛物线的平移和缩放1. 抛物线的平移：若抛物线的标准方程为 y = ax² + bx + c，将其向右平移 h 个单位，新的方程为 y = a(x-h)² + b(x-h) + c。
2. 抛物线的缩放：若抛物线的标准方程为 y = ax² + bx + c，将其纵坐标扩大 k 倍，新的方程为 y = kax² + bx + c。
三、抛物线的图像和性质1. 抛物线的开口方向：当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。
2. 抛物线的对称性：抛物线相对于其顶点具有对称性。
3. 抛物线的最值点：当 a > 0 时，抛物线的最小值为顶点的纵坐标；当 a < 0 时，抛物线的最大值为顶点的纵坐标。
4. 抛物线与坐标轴的交点：抛物线与 x 轴交点称为零点，与 y 轴交点称为截距。
四、抛物线的应用1. 抛物线在物理学中的应用：通过抛物线的运动轨迹，我们能够计算出抛物线在不同时间点的速度和加速度，从而研究物体受到的力和运动规律。
利用抛物线的对称性解题
利用抛物线的对称性解题我们知道，抛物线y ＝2ax bx c ++是以直线x ＝－2b a为对称轴的轴对称图形，它的顶点在对称轴上.由此可以进一步得到如下结论：（1）抛物线上纵坐标相同的两点是对称点，抛物线上对称两点的纵坐标相同．（2）若抛物线上有两点（x 1,y 1），（x 2,y 1)，则抛物线的对称轴为：直线 x ＝122x x +.解决有关抛物线的问题时,若能利用抛物线的对称性,则常可以另辟解题新路,使解题过程简化.下面结合中考试题说明其应用.例1 （2010，河北）如图1，已知抛物线2y x bx c =++的对称轴为2x =，点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，其中点A 的坐标为（0，3），则点B 的坐标为（ ）.A ．（2，3） B．（3，2）C ．（3，3）D ．（4，3）解析：由点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行可知，点A ，B 关于2x =对称，设点B 的横坐标为x B ,则02B x +＝2，从而解出x B = 4，于是可知点B 坐标为（4，3）,故选D .例2 （2010，山东日照）如图2是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为直线x =1，若其与x 轴一交点为A （3，0），则由图象可知，不等式ax 2+bx+c ＜0的解集是 . 解析：由抛物线的对称性可知，抛物线与ｘ轴的另一交点为（－1，0），ax 2+bx+c ＜0的解集就是抛物线落在x 轴下方的部分所对应的x 的取值，因此不等式ax 2+bx+c ＜0的解集是－1＜x ＜3．例3（2010，浙江金华）若二次函数x y +-=22部分图象如图3所示，则关于x 的一元二次方程022=++-k x x 的一个解31=x ，另一个解2x图 图3解析：观察二次函数k x x y ++-=22的部分图象可知，它的对称轴是x =1,因为它与x 轴的一个交点是（3,0），所以它与x 轴的一个交点是（-1,0）.所以关于x 的一元二次方程022=++-k x x 的两个解31=x ，=2x -1，故填 -1.评析：本题考察二次函数与一元二次方程之间的关系，解答问题的关键是要善于读懂函数的图象信息. 例4 如图4，抛物线)0(2>++=a c bx ax y的对称轴是直线1=x ，且经过点P （3，0），则 c b a +-的值为（ ）A. 0B. －1C. 1D. 2解析：由抛物线的对称轴1=x ，及点P （3，0），可求出抛物线上点P 关于对称轴1=x 的对称点的坐标为Q （-1，0），由于Q 在抛物线上，有（-1，0）满足关系式，所以c b a +-=0，故选A ．评析：本题设计非常巧妙，独具匠心，若不用这种方法将有点麻烦．例5 （2005，山东省中考题）抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （-2,7），B （6,7），C （3，-8），则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是_______________.解析：由点A （-2,7），B （6,7）的纵坐标相同，可知A 、B 关于抛物线的对称轴对称，且对称轴方程为x =262-+＝2.于是设该抛物线上纵坐标为 – 8的另一点的坐标为（x 2,-8)，则有2=232x +，从而得=2x 1，故答案为(1,-8). 评析：本题两次运用抛物线的轴对称性，，大大降低了难度及运算．若用常规解法为：由A 、B 、C 三点列出关于a 、b 、c 的三元一次方程组求出抛物线的关系式，再令y=-8，解关于x 的一元二次方程选出不同于3的根，得出答案，显然非常麻烦！例 6 （2010,四川南充）已知抛物线2142y x bx =-++上有不同的两点E 2(3,1)k k +-+和F 2(1,1)k k ---+． （1）求抛物线的解析式． （2）、（3）略分析：（1）的关键是确定一次项系数b ．观察抛物线上不同的两点E 2(3,1)k k +-+和F 2(1,1)k k ---+，纵坐标相同，因此判断得点E 和点F 关于抛物线对称轴对称．解：（1）抛物线2142y x bx =-++的对称轴为122b x b =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭． ∵ 抛物线上不同两个点E 2(3,1)k k +-+和F 2(1,1)k k ---+的纵坐标相同，∴ 点E 和点F 关于抛物线对称轴对称，则 (3)(1)12k k b ++--==， 且k ≠－2．∴ 抛物线的解析式为2142y x x =-++． 评析：这是一道有一定难度的综合题．初接触时，思路不易打开，做完后又觉得不太难．本题考查学生的阅读理解能力和分析问题、解决问题的能力．从抛物线的对称性入手，解法十分简便．例7 （2010，山东聊城）如图5，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为x ＝1，且抛物线经过A （－1，0）、C （0，－3）两点，与x 轴交于另一点B ．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）在抛物线的对称轴x ＝1上求一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，并求此时点M 的坐标；分析：（1）由点C （0，－3）知c ＝－3，只需求得a 、b 两个未知的系数，根据点A （－1,0）和对称轴x =1，利用待定系数法可求解；（2）由抛物线的对称性知，直线x =1是AB 的垂直平分线，因此MA ＝MB ，要使得MA +MC 最小，只要MC+MB 最小，所以点M 就是直线BC 与抛物线对称轴的交点．解：（1）∵抛物线经过点C （0，－3）∴c ＝－3，∴y ＝ax 2+bx -3，又抛物线经过点A （－1，0），对称轴为x =1，所以301212a b a b b a--===--=⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩，， 解得 .. ∴抛物线的函数关系式为y ＝x 2－2x -3（2）∵点A （－1,0），对称轴为x =1，∴点B （3，0）．连接BC ,交对称轴x =1于点M.∵点M 在对称轴上，MA=MB ,∴直线BC 与对称轴x =1的交点即为所求的M 点.设直线BC 的函数关系式为y =kx +b ，由B（3，0），C（0，－3），解得y=x-3,由x=1, 解得y= -2.当点M（1，-2）时，M到点A的距离与到点C的距离之和最小.评析：本题涉及知识点有求二次函数的关系式、抛物线的对称轴、线段的垂直平分线，此题是二次函数中的一个动态问题．第（2）问利用了在直线上找一个点，使它分别与直线的同侧的两点间的距离和最小的基本图形来解决问题．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
另外顶点式还可以根据a的变化以及顶点的变化来求
• • • • • • • • • • 例如 y=2(x-1)2-1按要求完成 1，关于x轴对称 解:所求抛物线为： y=-2(x-1)2+1 2，关于y轴对称 解：所求抛物线为： y=2(x+1)2-1 3，关于原点对称 解：所求抛物线为; y=-2(x+1)2+1
解：所求抛物线为： -y=(-x-1)2-4 即y=-(x+1)2+4，也即：y=-x2-2x+3
例题3
• 例如y=(x-3)(x+1)按要求完成 1.求关于x轴对称的抛物线 • 解：所求抛物线为： • -y=(x-3)(x+1) 即y=- (x-3)(x+1) 也即y=-x2+2x+3 • 2.求关于y轴对称的抛物线 解：所求抛物线为： y=(-x-3)(-x+1)即 y=(x+3)(x-1)也即 y=x2+2x-3 • 3.求关于原点对称的抛物线 • 解：所求抛物线为： • -y=(-x-3)(-x+1)即 y=-(x+3)(x-1)也即y=-x2-2x+3
• 也就是说原来是一般式就在一般式里按对称规 律改变x、y的符号；如果原来是顶点式就在顶 点式里按对称规律改变x、y的符号；如果原来 是交点式就在交点式里按对称规律改变x、y的 符号；记得最后都要化简！
例题1
• 例如 y=x2-2x-3，按要求完成 1.求关于x轴对称的抛物线 • 解：所求抛物线为： • - y=x2-2x-3 即: y=-x2+2x+3
• 2.求关于y轴对称的抛物线 解：所求抛物线为： • y=(-x)2-2(-x)-3 即：y=x2+2x-3 • 3.求关于原点对称的抛物线 • 解：所求抛物线为： • -y=(-x)2-2(-x)-3 即：y=-x2-2x+3
例题2
• 例如Y=(x-1)2-4 按要求完成
• • • • • • • • • • • 1.求关于x轴对称的抛物线 解：所求抛物线为： -y=(x-1)2-4 即y=-（x-1）2+4，也即: y=-x2+2x+3 2.求关于y轴对称的抛物线 解：所求抛物线为： y=（-x-1）2-4 即y=(x+1)2-4，也即： y=x2+2x-3 3.求关于原点对称的抛物线
求关于对称的抛物线
已知抛物线的解析式，怎么求它 关于x轴、y轴、原点对称的抛物线的 解析式？
预备知识
• • • • • • • 一复习点关于坐标轴以及原点对称规律 1.点A（a，b）关于x轴对称点A1（a，-b）； 2. 点A （a，b）关于y轴对称点A2（-a，b）； 3.点A（a，b）关于原点对称点A3(-a，-b）。 简单地说：关于x轴对称，横坐标不变； 关于y轴对称，纵坐标不变； 关于原点对称，都变。
预备知识
• 二 抛物线解析式三种形式 • 1.抛物线的一般式： • y=ax2+bx+c • 2.抛物线的顶点式： • y=a(x-h)2+k • 3.抛物线的交点式： • y=(x-x1)(x-x2)
求对称抛物线的方法
• 利用点关于坐标轴以及原点的对称规律改变原 抛物线的x、y的符号，然后按要求化简抛物线， 一般情况下化成一般式。 • 此方