抛物线的对称性

抛物线的对称性

萧县 纵强

二次函数的图像是具有对称性的抛物线，合理的利用这一特征所带来的性质对于解决二次函数的这一类问题会取得很好的效果，在今年的中考中也常出现这类问题，为帮助同学们学好这部分内容，本文对这部分内容剖析如下。

二次函数()2

(0)y a x h k a =-+≠的图像是抛物线，抛物线是轴对称图形，对称轴为直线x h =。根据轴对称的性质，我们容易得出以下几个结论。

结论1：、对于抛物线上两个不同点A （x y 11，）、B （x y 22，）

A 、

B 两点是关于对称轴x h =对称点⇔纵坐标满足12y y =（纵坐标相等）

由以上两个结论知，已知一点的坐标A （1x ，m ）和对称轴直线x h =就可以确定A 点的对称点B 的坐标：由结论1对称点的纵坐标相等得：B 的纵坐标也是m 由结论2得：122

x x h +=即B 的横坐标是212x h x =- 即：结论3：A （1x ，m ）是抛物线上的一点，则它关于对称轴直线x h =的对称点B 一定

也在抛物线上，且B 点的坐标为（12,h x m -）

一、利用对称性求抛物线的解析式

例1. 二次函数的图像经过A （-3，1）、B （1，1）、C （-1，3）三点，求二次函数的解析式。

分析：由结论1可知点A （-3，1）、B （1，1）是抛物线上对称的两点。再根据结论2，可知直线3112

x -+==-是此抛物线的对称轴，所以点C （-1，3）恰为抛物线的顶点。 解：设二次函数的解析式为y a x =++()132（顶点式），

由图像经过B （1，1）所以1113122=++=-

a a ()，。 从而可确定二次函数的解析式为y x =-

++12132()。 二、利用对称性求函数值

例2.已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)中自变量x 和函数值y 的部分对应值 如下表：

则该二次函数图像的对称轴为x= ;

x=2-对应的函数值y = ；

分析：如果用待定系数法会相当麻烦，观察表中的数据你会发现当1x =-和0x =时的函数值都是2-，因结论1得(1,2)--和(0,2)-对称，再由结论2得对称轴为x=10122-+=- 由对称轴为x=12

=-利用对称性可确定2x =-的对称点的横坐标： 由结论2变化得对称点的横坐标()21122212x h x ⎛⎫=-=⨯-

--= ⎪⎝⎭ 由结论1得1x =与2x =-的函数值相同所以2x =-的函数值y 也是0