曲线与曲面
曲线与曲面的参数方程
曲线与曲面的参数方程曲线与曲面是数学中的基本概念，它们在几何学、物理学和工程学等领域中有着重要的应用。
本文将介绍曲线与曲面的参数方程，以及它们在实际问题中的应用。
一、曲线的参数方程曲线是平面或空间中的一条连续的线段，它可以用参数方程来表示。
参数方程是指将曲线上的点的坐标用参数表示，而不是直接用坐标表示。
对于二维平面曲线，参数方程通常形式为：x = f(t)y = g(t)其中，t为参数，f(t)和g(t)是与参数t有关的函数。
通过不同的参数t取值，可以得到曲线上的各个点，从而描述整个曲线。
举个例子，考虑单位圆的参数方程。
圆的方程为x² + y² = 1，而参数方程为：x = cos(t)y = sin(t)其中，参数t的取值范围为0到2π。
当t取0时，x = cos(0) = 1，y= sin(0) = 0，即得到圆的右端点；当t取π/2时，x = cos(π/2) = 0，y =sin(π/2) = 1，即得到圆的上端点；依此类推，当t取2π时，又得到圆的右端点，从而完成了整个圆的参数方程描述。
二、曲面的参数方程曲面是空间中的一片连续的平面区域，它可以用参数方程来表示。
参数方程是指将曲面上的点的坐标用参数表示，而不是直接用坐标表示。
对于三维空间中的曲面，参数方程通常形式为：x = f(u, v)y = g(u, v)z = h(u, v)其中，u和v为参数，f(u, v)、g(u, v)和h(u, v)是与参数u和v有关的函数。
通过不同的参数u和v的取值，可以得到曲面上的各个点，从而描述整个曲面。
举个例子，考虑球面的参数方程。
球面的方程为x² + y² + z² = r²，而参数方程为：x = r sinθ cosφy = r sinθ sinφz = r c osθ其中，r为球的半径，θ为极角，范围是0到π，φ为方位角，范围是0到2π。
数学知识点归纳曲线与曲面的性质与刻
数学知识点归纳曲线与曲面的性质与刻数学知识点归纳：曲线与曲面的性质与刻在数学中，曲线与曲面是常见的几何对象，它们具有许多独特的性质与刻画方法。
本文将对曲线与曲面的性质和刻画方法进行归纳总结。
一、曲线的性质与刻画曲线是二维几何对象，它可以用参数方程或者隐函数表示。
常见的曲线有直线、圆、椭圆等。
1. 直线直线是最简单的曲线，它具有以下性质：- 无限延伸性：直线没有起点和终点，可以无限延伸。
- 线段性质：直线上的两点可以唯一确定一条直线段。
- 斜率：直线的斜率表示了其倾斜程度，可以通过两点的坐标计算得到。
2. 圆圆是一个平面上距离圆心相等的点的轨迹，它具有以下性质：- 对称性：圆具有中心对称性，任意点与圆心的距离相等。
- 弧长与扇形面积：圆的弧长与扇形面积可以通过圆心角计算得到。
- 切线：圆上的切线与半径垂直。
3. 椭圆椭圆是平面上离两个固定点距离之和为常数的点的轨迹，它具有以下性质：- 中心：椭圆有一个中心点，是两个焦点的中点。
- 长短轴：椭圆有两个重要的参数，即长轴和短轴。
- 离心率：椭圆的离心率决定了其形状，范围在0到1之间。
二、曲面的性质与刻画曲面是三维几何对象，它可以用参数方程或者隐函数表示。
常见的曲面有球面、圆柱面、圆锥面等。
1. 球面球面是空间中到定点距离相等的点的轨迹，它具有以下性质：- 中心和半径：球面由一个中心点和半径确定。
- 表面积和体积：球面的表面积和体积可以通过半径计算得到。
- 切平面：球面上的切平面与法线垂直。
2. 圆柱面圆柱面是空间中直线与一个固定曲线平行移动形成的曲面，它具有以下性质：- 直母线：圆柱面上的任意一条直线与轴线平行。
- 侧面积和体积：圆柱面的侧面积和体积可以通过圆柱的高和底面积计算得到。
3. 圆锥面圆锥面是空间中直线与一个固定点旋转形成的曲面，它具有以下性质：- 顶点和母线：圆锥面由一个顶点和沿着一个直线运动的所有点组成。
- 侧面积和体积：圆锥面的侧面积和体积可以通过圆锥的高和底面积计算得到。
计算机图形学曲线和曲面
曲线构造方法
判断哪些是插值、哪些是逼近
曲线构造方法
插值法
线性插值：假设给定函数f(x)在两个不同点x1和x2的值，用 线形函数 ：y=ax+b，近似代替f(x)，称为的线性插值函 数。
插值法
抛物线插值(二次插值):
已知在三个互异点x1,x2,x3的函数值为y1,y2,y3，要求构造 函数 ￠ (x)=ax2+bx+c,使得￠(x)在xi处与f(x)在xi处的值相 等。
曲线曲面概述
自由曲线和曲面发展过程
自由曲线曲面的最早是出现在工作车间，为了获得特殊的曲线，人们 用一根富有弹性的细木条或塑料条（叫做样条），用压铁在几个特殊 的点（控制点）压住样条，样条通过这几个点并且承受压力后就变形 为一条曲线。人们调整不断调整控制点，使样条达到符合设计要求的 形状，则沿样条绘制曲线。
5.1.2 参数样条曲线和曲面的常用术语
在工程设计中，一般多采用低次的参数样条曲线。 这是因为高次参数样条曲线计算费时，其数学模型难于 建立且性能不稳定，即任何一点的几何信息的变化都有 可能引起曲线形状复杂的变化。
因此，实际工作中常采用二次或三次参数样条曲线，如： 二次参数样条曲线： P (t) = A0 + A1t + A2t2 三次参数样条曲线： P (t) = A0 + A1t + A2t2 + A3t3
a3
1 0] a2 a1 a0
三次参数样条曲线
P(k) a3 0 a2 0 a1 0 a0 P(k 1) a3 1 a2 1 a1 1 a0 P '(k) 3a3t2 2a2t a1 a1 P '(k 1) 3a3 2a2 a1
P0 0 0 0 1 a3
[建筑制图官方课件] 曲线和曲面
![[建筑制图官方课件] 曲线和曲面](https://img.taocdn.com/s3/m/2f5f92d6b14e852458fb5795.png)
第六章曲线和曲面§6-1曲线§6-2曲面的形成§6-3回转面§6-4非回转直纹曲面§6-5平螺旋面曲线的投影特性曲线由点运动而形成，分为平面曲线和空间曲线两大类。
凡曲线上所有点都在同一平面上的，称为平面曲线。
凡曲线上四个连续的点不在同一平面上的，称为空间曲线。
⒈曲线的割线和切线与曲线相交于两个点的直线，称为曲线的割线。
如图所示，割线CD与曲线AB相交于K、G两点。
进行投射时，割线的投影cd必与曲线的投影ab 交于K、G 两点的投影k和g。
当割线CD 绕其中一交点K转动并始终与曲线AB接触时，另一交点G 便沿着曲线经G１逐渐接近点K，最后与点K重合。
此时割线CD 变为切线EF，与曲线AB相切于点K。
它们的投影也从割线cd变为切线ef，与ab 相切于点k。
⒉曲线的交点和重影点曲线本身、或曲线与直线、或两曲线在某一点处相交，其投影也在该交点的投影处相交。
圆柱螺旋线当一个动点M 沿着一直线等速移动，而该直线同时绕与它平行的一轴线O 等速旋转，动点的轨迹是一根圆柱螺旋线。
直线旋转时形成一个圆柱面，圆柱螺旋线是该圆柱面上的一根空间曲线。
当直线旋转一周，回到原来位置时，动点M 移到位置M 1，在该直线上移动的距离MM 1，称为螺旋线的导程，以Ph 标记。
只要给出圆柱的直径Φ 、螺旋线的导程Ph 以及动点移动的方向，就能确定该圆柱螺旋线的形状。
M ●M 1●导程圆柱螺旋线OO§6-2曲面的形成圆柱面的形成圆锥面的形成球面的形成曲面是由直线或曲线在一定约束条件下运动而形成。
这根运动的直线或曲线，称为曲面的母线。
母线运动时所受的约束，称为运动的约束条件。
由于母线的不同，或者约束条件的不同，形成不同的曲面。
只要给出曲面的母线和母线运动的约束条件，就可以确定该曲面。
§6-3 回转面某由直母线或曲母线绕一轴线旋转而形成的曲面，称为回转面。
圆柱面例【教材例6-2】给出圆柱面上点A 的V 投影a′，求作它的其余两投影。
解析几何中的曲线与曲面方程性质
解析几何中的曲线与曲面方程性质在解析几何中，曲线和曲面是两个重要的概念。
它们在数学中有着广泛的应用，涉及到各个领域的问题。
本文将探讨解析几何中的曲线与曲面方程性质，包括曲线与曲面的定义、方程表示和性质。
一、曲线的定义与方程表示曲线是平面上的点的集合，它是由一系列点按照特定的规律排列而成。
曲线可以用方程表示，方程可以是显式方程或参数方程。
显式方程是指将变量的函数关系以解析的方式表达出来，参数方程则是将变量表示为某一参数的函数。
下面将分别介绍这两种表示方法。
1.1 显式方程表示对于平面上的曲线，可以使用显式方程表示。
一般地，曲线的显式方程可以表示为：F(x, y) = 0其中，F(x, y)是一个关于变量x和y的函数。
当F(x, y)等于0时，表示曲线上的点。
不同的函数F(x, y)对应不同的曲线形状，因此显式方程可以很好地描述平面上的曲线。
例如，对于一条直线，其显式方程可以表示为：ax + by + c = 0其中，a、b、c为常数，代表直线的斜率和截距。
通过合适的选择a、b、c的值，可以得到不同的直线。
1.2 参数方程表示除了显式方程表示，曲线还可以使用参数方程来描述。
参数方程可以将曲线上的点表示为参数的函数，通常用t来表示参数。
对于平面上的曲线，其参数方程可以表示为：x = f(t)y = g(t)其中，f(t)和g(t)是关于参数t的函数。
通过选择不同的函数f(t)和g(t)，可以得到不同形状的曲线。
例如，对于一条圆的参数方程可以表示为：x = r*cos(t)y = r*sin(t)其中，r代表半径，t代表角度。
通过改变r和t的取值范围，可以得到不同的圆。
二、曲线与曲面的性质曲线和曲面作为解析几何中的基本概念，具有很多重要的性质。
下面将探讨曲线与曲面的一些性质。
2.1 曲线的长度曲线的长度是指曲线路径的长度。
对于显式方程表示的曲线，可以使用线积分的方法来计算曲线的长度。
线积分的计算公式可表示为：L = ∫[a,b] √(1 + (dy/dx)²) dx其中，[a,b]是曲线上的一个区间，dy/dx表示曲线的斜率。
曲面与曲线知识点总结
曲面与曲线知识点总结一、曲线与曲面的基本概念曲线是在平面上的点按照特定的规则所组成的图形，而曲面则是在三维空间内的点按照特定的规则所组成的图形。
在数学上，我们可以用函数来描述曲线和曲面，从而研究它们的性质和特点。
1.1 曲线的性质曲线可以是直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线等不同类型的图形。
我们可以通过曲线的方程以及参数方程来描述它的形状和位置。
曲线的长短、曲率、切线、法线等性质对于描述曲线的形态和特点至关重要。
1.2 曲面的性质曲面可以是球面、圆柱面、圆锥面、双曲面、抛物面等不同类型的图形。
我们可以用二元函数或者参数方程来描述曲面的形状和位置。
曲面的曲率、切线、法线等性质是研究曲面形态的重要工具。
1.3 直角坐标系和参数方程在研究曲线和曲面的性质时，我们可以使用直角坐标系、参数方程和极坐标系等不同的数学工具来描述它们的形态和位置关系。
不同的描述方法可以帮助我们更好地理解曲线和曲面的性质。
二、曲线的方程与性质曲线方程是研究曲线性质的重要工具，通过曲线方程我们可以得到曲线的形状、位置、长度、曲率等重要信息。
2.1 一元曲线的方程一元曲线的方程可以用直角坐标系的方程或者参数方程来表示。
常见的一元曲线包括直线、圆和椭圆、抛物线、双曲线等。
这些曲线都有各自的特点和性质，通过曲线方程我们可以了解它们的形状和位置关系。
2.2 二元曲线的方程二元曲线的方程可以用参数方程或者隐式方程来表示。
常见的二元曲线包括螺线、双曲线、阿基米德螺线等。
通过曲线方程我们可以了解二元曲线的性质和特点。
2.3 曲线的性质曲线的性质包括长度、曲率、切线、法线等重要内容。
通过曲线方程和导数的求解，我们可以求得曲线的长度、曲率和切线、法线等相关信息，从而了解曲线的形态和特点。
三、曲面的方程与性质曲面方程是研究曲面性质的重要工具，通过曲面方程我们可以得到曲面的形状、位置、曲率等重要信息。
3.1 一元曲面的方程一元曲面的方程可以用隐式方程或者参数方程来表示。
曲线与曲面方程
曲线与曲面方程曲线和曲面方程是数学中重要的概念，在几何学和微积分等领域有着广泛的应用。
本文将介绍曲线和曲面的定义、方程表示以及一些常见的曲线和曲面方程。
一、曲线的定义与方程表示在数学中，曲线可以简单地理解为平面或者空间中的一条连续路径。
曲线可以曲折、弯曲，也可以是直线。
曲线方程的表示方法有多种，下面将介绍常见的几种方式。
1. 参数方程参数方程是曲线方程的一种表示方法，通过指定一个或多个参数来描述曲线上的点。
例如，一个二维平面上的曲线可以用参数 t 来表示：x = x(t), y = y(t)。
通过改变参数 t 的取值范围，可以得到曲线上的各个点。
2. 一般方程一般方程是将曲线上的点的坐标表示为自变量的方程。
例如，平面上的一般曲线方程可以写成 F(x, y) = 0 的形式，其中 F(x, y) 是一个多项式函数。
该方程表示了所有满足条件 F(x, y) = 0 的点构成的曲线。
3. 极坐标方程极坐标方程是一种用极坐标来表示曲线的方程。
在极坐标系中，点的位置由距离和角度来确定。
例如，极坐标方程r = f(θ) 可以表示一个极坐标下的曲线。
二、常见的曲线方程在数学中，有许多重要的曲线方程，这里将介绍几个常见的曲线。
1. 直线方程直线是最简单的曲线形式，其方程可以用一般方程表示为 Ax + By+ C = 0，其中 A、B、C 是常数。
2. 抛物线方程抛物线是一类曲线，其方程可以用一般方程表示为 y = ax² + bx + c，其中 a、b、c 是常数。
3. 椭圆方程椭圆是一个闭合曲线，其方程可以用一般方程表示为 (x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中 (h, k) 是椭圆的中心坐标， a、b 分别是椭圆的长短半轴。
4. 双曲线方程双曲线也是一个开口的曲线，其方程可以用一般方程表示为 (x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1，其中 (h, k) 是双曲线的中心坐标， a、b 分别是双曲线的长短半轴。
曲线与曲面的长度与面积
曲线与曲面的长度与面积在数学中，曲线与曲面是常见的几何概念，它们的长度与面积是我们研究的重点。
本文将探讨曲线与曲面的长度与面积计算方法，并举例说明。
一、曲线的长度计算对于平面曲线来说，我们可以使用弧长公式来计算其长度。
假设曲线方程为y=f(x)，其中a≤x≤b，那么曲线的长度L可以由以下积分求解：L = ∫[a,b]√[1+(f'(x))²]dx其中f'(x)表示曲线的导数。
通过求解上述积分，我们可以得到曲线的长度。
举例来说，考虑一条抛物线y=x²，其中-1≤x≤1。
我们可以计算出该曲线在给定范围内的长度。
首先求导得到f'(x)=2x，然后根据公式计算弧长：L = ∫[-1,1]√[1+(2x)²]dx通过计算上述积分，最终得到该抛物线在-1≤x≤1范围内的长度。
二、曲面的面积计算对于曲面来说，我们可以使用曲面面积公式来计算其面积。
假设曲面方程为z=f(x,y)，其中D为曲面在xy平面上的投影区域，那么曲面的面积S可以由以下积分求解：S = ∬[D]√[1+(fₓ(x,y))²+(fᵧ(x,y))²]dA其中fₓ(x,y)和fᵧ(x,y)分别表示曲面在x和y方向的偏导数，dA表示曲面元素的面积元。
举例来说，考虑一个半径为R的球面，其球心位于原点，那么球面方程可以表示为x²+y²+z²=R²。
我们可以计算出该球面的面积。
首先计算出fₓ(x,y)=fᵧ(x,y)=2z，然后根据公式计算曲面的面积：S = ∬[D]√[1+(2z)²]dA通过计算上述积分，最终得到该球面的面积。
综上所述，曲线与曲面的长度与面积可以通过数学方法计算得出。
这些计算公式为我们研究几何形体提供了有力的工具。
通过适当选择积分范围及运用相关计算方法，我们可以准确求解曲线与曲面的长度与面积问题。
这些计算结果对于实际应用中的建模、工程设计和科学研究等领域都具有重要的意义。
微分几何中的曲线与曲面
微分几何中的曲线与曲面微分几何是现代数学的重要分支之一，研究的对象是曲线和曲面。
曲线与曲面是微分几何的基础概念，本文将通过介绍曲线和曲面的定义、性质和应用等方面，探讨微分几何中的曲线与曲面。
一、曲线的定义与性质在微分几何中，曲线是指一条连续的路径，可以用数学模型来描述。
常用的曲线方程有参数方程、隐式方程和显式方程等形式。
1. 参数方程曲线的参数方程形式为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)其中t是参数，f(t)、g(t)和h(t)是关于t的函数，描述了曲线在坐标系中的运动轨迹。
参数方程形式的优点是能够较清晰地表示曲线的几何特性。
2. 隐式方程曲线的隐式方程形式为：F(x, y, z) = 0其中F是关于x、y、z的函数。
隐式方程描述了曲线上的点满足的方程，通过求解该方程可以确定曲线的位置。
隐式方程形式的优点是能够在一定程度上简化计算。
3. 显式方程曲线的显式方程形式为：z = f(x, y)其中f是关于x、y的二元函数。
显式方程描述了曲线在平面上的投影，可直观地展示曲线的形状和特征。
曲线的性质包括长度、弧长、切线、曲率等。
长度是曲线上两点之间的距离，弧长是曲线上一部分的长度。
切线是曲线某一点处与曲线相切的直线，切线的方向与曲线在该点的切向量方向一致。
曲率是描述曲线的弯曲程度的量，曲率越大，曲线越弯曲。
二、曲面的定义与性质曲面是三维空间中的二维对象，可以用数学模型来描述。
常用的曲面方程有参数方程和隐式方程等形式。
1. 参数方程曲面的参数方程形式为：x = f(u, v)y = g(u, v)z = h(u, v)其中u和v是参数，描述了曲面在坐标系中的位置。
参数方程形式的优点是能够较清晰地表示曲面的几何特性。
2. 隐式方程曲面的隐式方程形式为：F(x, y, z) = 0其中F是关于x、y、z的函数。
隐式方程描述了曲面上的点满足的方程，通过求解该方程可以确定曲面的位置。
隐式方程形式的优点是能够在一定程度上简化计算。
曲面和曲线
5.2 曲线分析
1）曲线上的活动坐标架
设曲线为P(t)=[x(t), y(t), z(t)]，则：
切矢量：P’(t)（当t为弧长时是单位矢），单位切矢记为T。 法矢量：
过曲线上任意一点，以切矢为法线的平面称为法平面。 主法矢：当以弧长为参数时，切矢的导矢是一个与切矢垂直的矢量，其单位矢 称为主法矢，记为N。 副法矢（记为B）B=T×N
左旋右旋螺旋线示例
当导圆柱轴线直立时，右旋螺旋线的可 见部分自左向右升高（图a）；左旋螺旋线 则自右向左升高（图b）。
5.4 曲线的插值、逼近与拟合
插值：给定一组有序的数据点Pi，i=0, 1, …, n，构造 一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数 据点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。 逼近：构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的 数据点，称为对这些数据点进行逼近，所构造 的曲线称为逼近曲线。 拟合：插值与逼近统称为拟合。
4）Bezier曲线的递推算法
计算Bezier曲线上的点，可用Bezier曲线方程，但 使用de Casteljau（德 卡斯特里奥）提出的递推算法 则要简单得多，递推公式：
上式中：Pi0=Pi是定义Bezier曲线的控制点，P0n即 为曲线P(t)上具有参数t的点，(i+k)=n 。 几何递推：给定参数t∈[0,1]，就把定义域分成长 度为t:(1-t)的两段。依次对原始控制多边形每一边执行 同样的定比分割，所得分点就是第一级递推生成的中间 顶点Pi1(i=0,1,...,n-1)，对这些中间顶点构成的控制多边 形再执行同样的定比分割，得第二级中间顶点 Pi2(i=0,1,...,n-2)。重复进行下去，直到n级递推得到一 个中间顶点P0n即为所求曲线上的点P(t)。
2）Betnstein基函数的性质 ：
第四章曲线与曲面
圆柱表面取点
c' a'
素线法
(c") a"
(b' )
b"
b
a
c
圆柱面上线段的投影
a' 1' c' 2' b' b'' a'' 1'' c'' 2''
(b) 2 c
1
a
2.圆锥面
土木工程制图
圆锥由圆锥面和底面 组成。 圆锥面可看成是由直线 SA绕与它相交的轴线OO1 旋转形成的。 S称为锥顶，直线SA 称为母线。 圆锥面上过锥顶的任一直线称为圆锥面的素线。
4.3 回转面
土木工程制图
从控制条件上说，由母线绕一固定的轴线旋
转生成的曲面称为回转面，该固定轴线称为旋转
轴。例如圆柱面、圆锥面，只能由曲母线旋转生
成的称为旋转曲线面，例如球面、圆环面等。
土木工程制图
回转轴线
上底圆
喉圆
a) 立体图
转向轮廓线 素线 下底圆
纬圆
赤道圆
土木工程制图
b) 投影图
一、圆柱面
(b) 投影图
纬圆法
土木工程制图
s
s
S
(k)
k s
(k)
如何取圆的半径？
圆锥面上线段的投影
a' c' e' e" c"
d'
d"
b'
c d b
e
a
三. 球面 1.球面的投影图
圆球面：是由一圆母线以 它的直径为回转轴旋转而 成。
土木工程制图
空间几何中的曲线与曲面
空间几何中的曲线与曲面在空间几何中，曲线与曲面是两种重要的几何对象，它们在数学和物理学等领域中起着至关重要的作用。
本文将从定义、性质和应用等方面，探讨空间几何中的曲线与曲面。
一、曲线的定义与性质曲线是平面或空间中的一条连续有限点集。
在三维空间中，我们常见的曲线有直线、圆、椭圆等。
根据曲线的性质，可以将曲线分为开放曲线和闭合曲线两种。
开放曲线是指起点和终点不重合的曲线，例如直线。
闭合曲线是指起点和终点相重合的曲线，例如圆。
曲线的性质还包括曲率、切线、法线等。
曲线的曲率描述了曲线在某一点上的弯曲程度，切线是曲线在该点的切线方向，法线是曲线在该点的垂直于切线的方向。
二、曲线的应用曲线在现实生活中有着广泛的应用。
在物理学中，曲线被用于描述物体的运动轨迹。
例如，当我们研究一个抛体运动时，可以利用曲线来描述物体的运动轨迹，并通过曲线的方程来计算物体在不同时刻的位置和速度。
另外，在工程学和建筑学中，曲线也被广泛应用。
例如，在桥梁的设计中，曲线可用于描述桥梁的拱形结构，以提供更好的力学性能和美观性。
三、曲面的定义与性质曲面是空间中的一条连续无限点集，它可以由曲线沿某一方向无限延伸形成。
常见的曲面有球面、圆柱面、抛物面等。
曲面的性质包括曲率、切平面、法线等。
曲面的曲率描述了曲面在某一点上的弯曲程度，切平面是曲面在该点的切平面，法线是曲面在该点的垂直于切平面的方向。
四、曲面的应用曲面在科学研究和实际应用中也具有重要意义。
在物理学中，曲面被广泛应用于描述物体的形状和表面特性。
例如，在天文学中，天体的形状可以用曲面来描述，从而帮助我们研究它们的运动规律和属性。
另外，在工程学和设计领域，曲面也有广泛的应用。
例如，在造船工程中，曲面可以用于描述船体的外形，从而优化船体结构和流体力学性能。
总结空间几何中的曲线与曲面是空间中重要的几何对象，它们在数学和物理学等学科中具有广泛的应用价值。
通过对曲线与曲面的定义、性质和应用的讨论，我们可以更好地理解和应用空间几何中的曲线与曲面。
空间中的曲面和曲线
柱面,
平行于 x 轴;
平行于 y 轴;
平行于 z 轴;
准线 xoz 面上的曲线 l3.
母线
柱面,
准线 xoy 面上的曲线 l1.
母线
准线 yoz 面上的曲线 l2.
母线
故所求方程为
例1. 求动点到定点
方程.
特别,当M0在原点时,球面方程为
解: 设轨迹上动点为
即
依题意
距离为 R 的轨迹
表示上(下)球面 .
例：
求曲线
绕 z 轴旋转的曲面与平面
的交线在 xoy 平面的投影曲线方程.
解：
旋转曲面方程为
交线为
此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为
此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为
,它与所给平面的
截线方程为
解
如图,
例
解答
交线方程为
在 面上的投影为
空间曲线的一般方程、参数方程．
( 必要时需作图 ).
三、柱面
引例. 分析方程
表示怎样的曲面 .
的坐标也满足方程
解:在 xoy 面上，
表示圆C,
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆
故在空间
过此点作
柱面.
对任意 z ,
平行 z 轴的直线 l ,
表示圆柱面
在圆C上任取一点
其上所有点的坐标都满足此方程,
定义3.
(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;
则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,
曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.
两个基本问题 :
(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,
空间解析几何的曲线与曲面的性质
空间解析几何的曲线与曲面的性质空间解析几何是数学中的一个重要分支，用于研究几何学中的曲线和曲面。
曲线和曲面是空间中的基本图形，它们具有一些特殊的性质和特点。
本文将探讨空间解析几何中曲线和曲面的性质。
一、曲线的性质曲线是空间中的一条连续的线段，可以用参数方程或者一元二次方程来表示。
曲线的性质可以通过其方程的形式和曲线的形状来确定。
1. 参数方程表示的曲线参数方程是一组关于参数的方程，通过给定参数的取值范围，可以确定曲线上的各个点的坐标。
曲线的参数方程可以表示为：x = f(t), y = g(t), z = h(t)。
2. 一元二次方程表示的曲线一元二次方程是曲线的另一种常见表示形式，可以表示为：Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0。
其中，A、B、C、D、E、F、G、H、I、J都是常数。
曲线的性质包括弧长、切线、曲率等。
弧长是曲线上两点之间的距离，可以通过积分计算得到。
切线是曲线上某一点的切线，可以通过曲线的一阶导数求得。
曲率是指曲线在某一点处的弯曲程度，可以通过曲线的二阶导数计算。
二、曲面的性质曲面是空间中的一个二维图形，可以用一元二次方程或者二元二次方程来表示。
曲面的性质可以通过其方程的形式和曲面的形状来确定。
1. 一元二次方程表示的曲面一元二次方程可以表示为：Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0。
其中，A、B、C、D、E、F、G、H、I、J都是常数。
2. 二元二次方程表示的曲面二元二次方程可以表示为：Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + Jxy + Kxz + Lyz + Mx + Ny + Pz + Q = 0。
其中，A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K、L、M、N、P、Q都是常数。
第七章 曲线与曲面
4.2.3 双曲抛物
一直母线沿着两条相错的直导线运动， 一直母线沿着两条相错的直导线运动，并 始终与一导平面平行，即形成了双曲抛物面 始终与一导平面平行，即形成了双曲抛物面 。 双曲抛物面的相邻两素线为相错直线， 双曲抛物面的相邻两素线为相错直线， 所以是不可展曲面 所以是不可展曲面 。 双曲抛物面上有两个直素线族， 双曲抛物面上有两个直素线族，而且相应 地有两个导平面 这两个导平面的交线（ 轴 两个导平面。 地有两个导平面。这两个导平面的交线（OZ轴） 轴线。 即为该曲面的轴线 若两个导平面相互垂直， 即为该曲面的轴线。若两个导平面相互垂直， 则称为正双曲抛物面 否则称为斜双曲抛物面 正双曲抛物面， 斜双曲抛物面。 则称为正双曲抛物面，否则称为斜双曲抛物面。
§4 直线面
4.1 可展直线面 4.1.1 柱 面 一直母线沿曲导线运动且始终平行 于另一直导线而形成的曲面称为柱面 柱面。 于另一直导线而形成的曲面称为柱面。 柱面的相邻两素线为平行直线， 柱面的相邻两素线为平行直线，位 可展曲面。 于同一平面内，所以是可展曲面 于同一平面内，所以是可展曲面。
作图时，一般应画出导线和曲面的轮廓线， 作图时，一般应画出导线和曲面的轮廓线， 导线 必要时还要画出若干素线及其曲面的 面迹线。 若干素线及其曲面的H面迹线 必要时还要画出若干素线及其曲面的 面迹线
方法一： 方法一：利用平面上投影面平行线及最大 斜度线，确定长、 斜度线，确定长、短轴的方向与大小 。
方法二：利用投影变换法求椭圆长、 方法二：利用投影变换法求椭圆长、短轴
§３ 曲面概述
3.1 曲面的形成
曲面可以看作是一条线 直线或曲线） 可以看作是一条线（ 曲面可以看作是一条线（直线或曲线）在空 连续运动所形成的轨迹， 间作有规律或无规律的连续运动所形成的轨迹 间作有规律或无规律的连续运动所形成的轨迹， 或者说曲面是运动线所有位置的集合 。 如图所示曲面， 如图所示曲面， 是由AA 沿着曲线 是由 １沿着曲线 运动且在运动 ABC运动且在运动 中始终平行于直线 中始终平行于直线 MN所形成的。 所形成的。 所形成的 AA１称为母线。 称为母线。
三维空间中的曲线与曲面
三维空间中的曲线与曲面在数学中，我们经常遇到分析三维空间中的曲线与曲面。
曲线与曲面是几何学中的重要概念，对于研究空间中的运动、形变和相互关系具有重要意义。
本文将介绍三维空间中的曲线与曲面的定义、性质以及它们在实际生活中的应用。
1. 曲线的定义与性质在三维空间中，曲线可以通过参数方程或者隐式方程来表示。
参数方程的形式为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)其中，变量 t 为参数，可以是实数。
函数 f(t)，g(t) 和 h(t) 分别表示曲线在 x、y 和 z 轴上的坐标随参数 t 的变化情况。
通过改变参数 t 的取值范围，可以得到曲线在空间中的不同部分。
曲线的性质主要包括长度、切线和曲率。
曲线的长度可以通过导数运算和积分运算求得。
切线是指曲线上某一点处的切线方向，它垂直于曲线的切线平面。
曲率是曲线在某一点处弯曲程度的度量，表示为曲线的曲率半径的倒数。
2. 曲面的定义与性质曲面可以由隐式方程或者参数方程来表示。
隐式方程的形式为：F(x, y, z) = 0其中，函数 F(x, y, z) 定义了曲面在三维空间中的形状。
参数方程的形式为：x = f(u, v)y = g(u, v)z = h(u, v)其中，变量 u 和 v 是曲面上的参数，函数 f(u, v)，g(u, v) 和 h(u, v)分别表示曲面上的点在x、y 和z 轴上的坐标随参数u、v 的变化情况。
曲面的性质主要包括方程、切平面和法向量。
曲面的方程描述了曲面上的所有点满足的数学关系。
切平面是曲面上某一点处的切平面，它与曲面相切且垂直于曲面上的切线。
法向量是切平面的垂直向量，它垂直于曲面。
3. 曲线与曲面的应用曲线与曲面在现实生活中有广泛的应用。
在物理学中，曲线与曲面可以用来描述物体的运动轨迹或者物体表面的形状。
例如，行星在太空中的运动轨迹、水滴在玻璃表面上的形状等都可以用曲线与曲面来描述。
在计算机图形学中，曲线与曲面是构建三维模型的基础。
解析几何中的曲线与曲面的性质
解析几何中的曲线与曲面的性质在解析几何中，曲线与曲面是重要的概念。
曲线是由一系列点组成的连续的曲线，而曲面是由一系列曲线组成的连续的曲面。
曲线与曲面的性质对于理解几何图形的特征和性质至关重要。
本文将从曲线和曲面的定义、性质和应用等方面进行探讨。
一、曲线的性质曲线的性质是指某一曲线所具备的特征和规律。
曲线的性质可以从不同的角度进行分类和描述。
下面将从几何性质和数学性质两个方面对曲线的性质进行探讨。
（1）几何性质在几何学中，曲线的性质主要包括弯曲程度、曲率、斜率和切线方程等。
曲线的弯曲程度可以通过曲率来描述，曲率越大则曲线越弯曲。
斜率则表示曲线上某一点的切线与水平线之间的夹角，可以用来判断曲线的斜率情况。
切线方程则是通过求解曲线上一点的切线斜率和切点坐标得到的一条直线方程，可以用来描述曲线在该点附近的几何特征。
（2）数学性质在数学中，曲线的性质主要包括方程、参数方程和极坐标方程等。
方程是指以曲线上的点满足某种关系的数学式子，可以用于描述曲线的几何特征。
参数方程是通过引入参数来表示曲线上的点，可以方便地表示曲线的形状和位置。
极坐标方程是以极坐标系中的点满足某种关系的数学式子，可以用来描述曲线在极坐标系中的几何特征。
二、曲面的性质曲面是由一系列曲线组成的连续的曲面。
曲面的性质可以从不同的角度进行分类和描述。
下面将从几何性质和数学性质两个方面对曲面的性质进行探讨。
（1）几何性质在几何学中，曲面的性质主要包括形状、曲率、切平面和法向量等。
曲面的形状可以通过曲率和曲率半径来描述，曲率越大则曲面越弯曲。
切平面是指曲面上的一个点与该点的切线所确定的平面，可以用于判断曲面的取向和切平面的性质。
法向量是指曲面上某一点的法线与该点的位置有关的向量，可以用来描述曲面在该点附近的几何特征。
（2）数学性质在数学中，曲面的性质主要包括方程、参数方程和隐函数方程等。
方程是指以曲面上的点满足某种关系的数学式子，可以用于描述曲面的几何特征。
空间几何中的曲线与曲面
空间几何中的曲线与曲面空间几何是研究物体在三维空间中的形状、位置和运动的数学学科。
在空间几何中，曲线和曲面是两个重要的概念。
曲线是一条连续的曲线，而曲面是一个连续的曲面。
一、曲线曲线是空间中的一个重要概念，它可以用于描述物体的轮廓、路径和形状。
在空间几何中，曲线可以用参数方程或者向量函数来表示。
1. 参数方程表示曲线参数方程是一种描述曲线的方法，它通过引入一个参数，将曲线上的每个点表示为参数的函数。
例如，对于一个平面上的曲线，可以使用参数方程：x = f(t)y = g(t)其中，x和y是曲线上的点的坐标，f(t)和g(t)是关于参数t的函数。
通过改变参数t的取值范围，可以得到曲线上的不同点。
2. 向量函数表示曲线向量函数是另一种描述曲线的方法，它使用向量来表示曲线上的每个点。
例如，对于一个平面上的曲线，可以使用向量函数：r(t) = (x(t), y(t))其中，r(t)是曲线上的点的位置向量，x(t)和y(t)是关于参数t的函数。
通过改变参数t的取值范围，可以得到曲线上的不同点。
二、曲面曲面是空间中的一个重要概念，它可以用于描述物体的外形、表面和形状。
在空间几何中，曲面可以用参数方程或者隐式方程来表示。
1. 参数方程表示曲面参数方程是一种描述曲面的方法，它通过引入两个参数，将曲面上的每个点表示为参数的函数。
例如，对于一个三维空间中的曲面，可以使用参数方程：x = f(u, v)y = g(u, v)z = h(u, v)其中，x、y和z是曲面上的点的坐标，f(u, v)、g(u, v)和h(u, v)是关于参数u和v的函数。
通过改变参数u和v的取值范围，可以得到曲面上的不同点。
2. 隐式方程表示曲面隐式方程是另一种描述曲面的方法，它使用方程来表示曲面上的点。
例如，对于一个三维空间中的曲面，可以使用隐式方程：F(x, y, z) = 0其中，F(x, y, z)是关于x、y和z的方程。
通过解方程F(x, y, z) = 0，可以得到曲面上的点。
8.5曲面与曲线
2 2 2 2
( x 2) ( y 1) ( z 4) 化简得 2 x 6 y 2 z 7 0
说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.
显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,
不在此平面上的点的坐标不满足此方程.
定义1. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:
母线 平行于 x 轴; 准线 yoz 面上的曲线 l2.
x
z
l3
方程 H ( z, x) 0 表示柱面,
母线 平行于 y 轴;
准线 xoz 面上的曲线 l3.
x
y
三、旋转曲面
定义2. 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转
一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转
轴 . 例如 :
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程: 给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z ) 0 若点 M1 (0, y1 , z1 ) C , 则有
z
C
M ( x, y, z )
M 1 (0, y1 , z1 )
f ( y1 , z1 ) 0
当绕 z 轴旋转时, 该点转到 M ( x, y, z ) , 则有
z z1 ,
x y y1
2 2
o
y
故旋转曲面方程为
x
f ( x 2 y 2 , z) 0
思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？
(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,
则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,
曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.
空间解析几何中的曲线与曲面
空间解析几何中的曲线与曲面空间解析几何是数学中的一个重要分支，研究了空间中的曲线与曲面的性质、方程和几何关系。
曲线与曲面是空间几何中的基本要素，它们在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。
本文将从曲线和曲面的定义、性质以及几何表达等方面来探讨空间解析几何中的曲线与曲面。
一、曲线的定义和性质在空间解析几何中，曲线是一个一维对象，由一组点组成。
曲线可以用参数方程或者直角坐标方程来表示。
比较常见的参数方程有：x = f(t)，y = g(t)，z = h(t)。
直角坐标方程则可以表示为：F(x, y, z) = 0。
曲线的性质有很多，其中最基本的性质包括长度、曲率和切线等。
曲线的长度可以用积分来求解，曲率则是描述曲线弯曲程度的一个量。
切线是曲线上任一点切线方向的直线。
二、曲面的定义和性质曲面是一个二维对象，由一组点组成。
曲面可以用参数方程或者直角坐标方程来表示。
常见的参数方程有：x = f(u, v)，y = g(u, v)，z = h(u, v)。
直角坐标方程可以表示为：F(x, y, z) = 0。
曲面的性质也有很多，比如曲面上的点的切平面、法线和曲率等。
切平面是曲面上任一点的切平面，其法线与曲面在该点的法线重合。
曲率则是描述曲面局部弯曲性质的一个量。
三、曲线与曲面的几何表达曲线与曲面的几何表达是描述其几何关系的一种方式。
对于曲线，可以通过与直线的关系进行描述，比如曲线与直线相交、平行或者垂直等。
对于曲面，可以通过与平面的关系进行描述，比如曲面与平面相交、平行或者垂直等。
此外，曲线与曲面还可以通过其几何性质进行表达。
比如曲线的弯曲程度可以用曲率来描述，曲面的局部弯曲性质可以用曲率来描述。
曲线与曲面还可以与其他几何体进行关联，比如与球面的交线或者与柱面的交线等。
结论空间解析几何中的曲线与曲面是数学中重要的研究对象。
曲线与曲面分别是一维和二维的几何要素，通过参数方程或者直角坐标方程可以对其进行准确的描述。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第16页/共30页
l1′ 5′
1′
l2′ 6′
(2′)
2
l2 6
1 l1 5
6″ 3′ l2″ (4′) 2″ (4″)
5″ l1″
1″ (3″)
• 柱状面投影的投影
4
① l面画1′投出、影曲l表导1″示线和）L1l和。2、L2l的2′H、、Vl、2″W（投亦影可如用l1、两 ② 投画影导面平时面，P的则积PH聚可投以影不P画H。。若P平行于一 3 ③ 画出起、止素线和若干中间素线的三面
2、从两纬圆（顶圆、底圆）的 点A和B开始，各分为相同的等分， 如十二等分。 3、作出单叶双曲回转面的V投影 轮廓线。即引平滑曲线作为包络 线与各素线的V投影相切，这是双 曲线，在V投影中是可见与不可见 的分界线。前半曲面可见，后半 曲面不可见，素线的可见性与其 所属曲面的可见性相同。
1
11
b 12
当直线旋转一 周，回到原来位置 S 时，动点在该直线 上移动的距离（S） 叫导程。
S
11′ 10′ 9′ 8′
7′
7 8 9 10
11
12′ 6′
0′
6
12 0
5′
4′
3′
2′
1′
5 4 3
2 1
螺旋线的作图
• 由导圆柱直径D和导程S画出导圆柱 的H、V投影。 • 将H投影的圆分为若干等分（图中 为12等分）；根据旋向，注出各点的 顺序号，如0、1、2、3……12。 • 将V面上的导程投影s相应地分成 同样等分（图中12等分），自下向上 依次编号，如0、1、2、……12。 • 自H投影的各等分点0、1、 2……12向上引垂线，与过V面投影的 各同名分点1、2……引出的水平线相 交于0 ′、 1′、2′……12′。 • 将0 ′ 、1′、2′……12′各点 光滑连接即得螺旋线的V面投影，它 是一条正弦曲线。若画出圆柱面，则 位于圆柱面后半部的螺旋线不可见， 画成虚线。若不画出圆柱面，则全部 螺旋线（0 ′ 、１′～12′）均可 见，画成粗实线。 • 螺旋线的H投影与导圆柱的H投影 重合，为一圆。
第2页/共30页
2、投影面垂直面上圆的投影
V o′
o1 o′
P
O
R
o
H
o
用换面法求正垂圆的H面投影
第3页/共30页
3、圆柱螺旋线的投影 导圆柱
S
螺旋线
右螺旋线
左螺旋线
第4页/共30页
形成：
一动点沿着一直 线等速移动，而该 直线同时绕与它平 行的一轴线等角速 旋转，动点的轨迹 就是一根圆柱螺旋 线。直线旋转时形 成圆柱面，叫导圆 柱，圆柱螺旋线是 圆柱面上的一根曲 线。
二、曲线的分类
1．平面曲线：曲线上所有的点都属于同一平面的称为平面 曲线。如圆、椭圆、双曲线、抛物线等。
2．空间曲线：曲线上任意连续四个点不属于同一平面的称 为空间曲线。如圆柱正螺旋线等。
第1页/共30页
三、曲线的投影
1、任意曲线的投影：曲线是由点的运动而形成，只要作 出曲线上一系列点的投影，并将各点的同面投影依次光滑 地连接起来，即得该曲线的投影。
柱面的应用
第13页/共30页
2、锥面
• 锥面的形成：一直母线沿一条曲导线连续运动，并始终通 过一定点而形成的曲面称为锥面。
• 锥面的投影
母线 导线
H
第14页/共30页
锥面的应用
下斜斗
第15页/共30页
裤叉三通
3、柱状面 • 柱状面的形成：
一直母线沿两条 曲导线滑动，并始终 平行于一个导平面而 形成的曲面。
由一系列纬圆，或一
系列素线（此例既有
b′
直素线，又有双曲线
素线）所组成。
• 母线的上、下端点A、
a
B形成的纬圆，分别称
作顶圆、底圆，母线
e
至轴线距离最近的一
点E所形成的纬圆，称
作颈圆。
b
a′
b′ a
b
第9页/共30页
a′
作图步骤
b′6
5
7
4
9
10 11
88ຫໍສະໝຸດ 1a237
1
9
6
2
2
5
3
4
10
1、先作过母线两端点A、B的纬圆， 以轴线的H投影o为圆心，分别以 oa、ob为半径作圆，即为单叶双 曲回转面的顶圆、底圆的投影。
第5页/共30页
§7-2 曲面
一、曲面的形成
母线 素线
轴（导线） 曲面可视为一条动线在空
间运动的轨迹。 母线——形成曲面的动线，
曲线或直线。 导点、导线、导面——控制
母线运动规律的点、线、面。 导线可以是 直线或曲线。导 面可以是平面或曲面。
素线——母线在曲面上任意的
一个停留位置
第6页/共30页
二、曲面的分类
1、直线回转曲面
直母线AB绕平行 的轴线OO旋转形 成圆柱面
直母线SA绕 相交的轴线SO旋 转形成圆锥面
S
AO
直母线AB绕交叉 的轴线OO旋转形 成单叶双曲面
O
A
O B
O
B
A
O
第8页/共30页
2、单叶双曲回转面的投影作图
颈圆半径 • 由于母线的每点回转
a′
的轨迹均是纬圆，母
线的任一位置都称为
e′
素线，所以回转面是
第21页/共30页
5 双曲抛物面
投影。由于各素线是侧平线，宜先画出 其H或V投影，再画W投影。 ④ 画出曲面各投影的轮廓线。如素线Ⅴ Ⅵ是曲面的W投影的轮廓线，其W投影为 5″6″。
第17页/共30页
• 柱状面的应用
柱状面
拱门
第18页/共30页
管道
4、 锥状面 • 锥状面的形成
一直母线沿一直导线 和曲导线连续运动，同时 始终平行于一导平面，这 样形成的曲面称为锥状面。
H
第19页/共30页
• 锥状面的投影
a′ b′
b″
a″
① 画出直导线AB、曲导线L的V、 H、W投影，导平面P∥V面，积聚投 影PH不必画出。
② 画若干素线的H、V、W投影。
由于各素线平行于V，它们的H投影
平行于OX轴，宜先画H投影，再画V
投影。
b
③ 画锥状面的V投影轮廓线。
a
第20页/共30页
锥状面的应用——屋面
第10页/共30页
四、非回转直线曲面
• 1、柱面 • 柱面的形成：一直线沿着
一曲导线移动，并始终平 行于一直导线而形成的曲 面称为柱面。曲导线可以 是闭合的或不闭合的，
A
B
H
第11页/共30页
a′ b′ b
a
柱面的投影
• 画直导线AB 和曲导线的H、 V投影
• 画出柱面轮 廓素线的V、 H投影
第12页/共30页
母线作规则运动形成规则曲面，作不规则运动形成不规 则曲面。
曲面
回转曲面 非回转曲面
直线回转面 可展曲面（如圆柱面、圆锥面） 不可展曲面（如单叶双曲面）
曲线回转面—— 不可展曲面（如圆球面） 可展曲面（如柱面、锥面）
直线面 不可展曲面（如双曲抛物面）
曲线面—不可展曲面（如自由曲面）
第7页/共30页
三、回转曲面