自动控制原理第2章习题解

习 题 2

2-1 试证明图2-77(a)所示电气网络与图2 77(b)所示的机械系统具有相同的微分方程。

图2-77习题2-1图

证明：首先看题2-1图中(a)

()()()s U s U s U C R R -=

()()()()s U Cs R s CsU s U R s I R R R R ⎪⎭

⎫

⎝⎛+=+=

11 ()()s I s C R s U C ⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛+=221

()()()[]s U s U s C R s C R s U C R C -⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=112211 ()()s U s C R s C R s U s C R s C R R C ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛+112211221

1111 ()()()()()()s U R s C R s C s C R s U R s C R s C s C R R C

11122211122211111+⨯+=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡++⨯+

2-2试分别写出图2-78中各有源网络的微分方程。

图2-78 习题2-2图

解： (a)()()()t u R t u R dt t du C

o r r 211-=+ (b)()()()⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+-=t u R dt t du C t u R r o 2o 111

(c)

()()()⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+-=t u dt t du C R t u R r c c 211 2-3某弹簧的力一位移特性曲线如图2-79所示。在仅存在小扰动的情况下，当工作点分别为x 0=，0，时，试求弹簧在工作点附近的弹性系数。

解：由题中强调“仅存在小扰动”可知，这是一道非线性曲线线性化处理的问题。于是有，在x 0=，0，这三个点处对弹簧特性曲线做切线，切线的导数或斜率分别为：

1）

()()35.5625

.280

5.175.040402

.1==----=

-=x dx

df

2）

200

20

400=--==x dx df 3）65

.215

5.0320355.2==--==x dx df

2- 4图2-80是一个转速控制系统，其中电压u 为输入量，负载转速ω为输出量。试写出该系统输入输出间的微分方程和传递函数。

解：根据系统传动机构图可列动态如下：

()()()t u K dt

t di L

t Ri r e =++ω (1)

i K T T em = (2)

dt

d J

T i K T T L T L em ω

=-=- (3) 将方程(3)整理后得：

dt

d K J T K i T L T ω+=

1 (4) 将方程(4)代入方程(1)后得：

()t u K dt d K LJ dt dT K L dt d K RJ T K R r e T L T T L T =++++ωωω2

2 (5) 将方程(5)整理后得：

()dt

dT K L T K R t u K dt d K RJ dt d K LJ L

T L T r e T T --=++ωωω2

2 (6) 2-5 系统的微分方程组如下

式中，r ，K-，K2，K 。，Kn ，Kj ，T 均为常数。试建立系统r(f)对c(f)的结构图，并求系统传递函数 C(s)／R(s)。

解：首先画系统结构图，根据动态方程有：

然后，根据梅逊公式得：

X 1(s X 2(s

X 2(s

X 3(s X 4(s

X 5(s

C (s)

τs+K

K 2

K 3/s

K 4/(Ts+1

K 5

()()()()()()()()()()()()()()111111111115

433143214325433432

14

32

1++++++++++++=

++++++++=Ts s K K K Ts s Ts K Ts s K s K K K Ts s Ts s Ts s K s K K K Ts s K K K s K Ts K s K K K s Ts K s K K K s s R s C ττττ()()()()()

5433432134322

14321K K K K K K K K s T K K K K Ts K s K K K s R s C +++++++=ττ 2 6 图2-8l 是一个模拟调节器的电路示意图。

① 写出输入u i ，与输出u o 之间的微分方程； ② 建立该调节器的结构图； ③ 求传递函数U o (s)／U r (s)。

解：根据电路分析需要，引入中间变量v o1(t )，v o2(t )，然后，由电路图可知：

()()()s U s C R R s U R s U i o1121o 11⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+ （1） ()

()s sU C R s U o223o1-= （2） ()()s U R R s U o24

5

o -

= （3） 采用代入法，将上述3个方程联立求解得：

()()()[]()()()[]s U s U s C R s C R R R R R s U s U R s C R R s C R R R s U o i 1224315

2o i 11222345o 1111++-=++⨯

⨯-

= ()()()s U s

C R R s C R s C R R R R R s U i 1521224315

2o 1++-

=