人教版数学必修四：2.4向量的数量积(2)(学生版)

课题：§2.4 向量的数量积（2） 总第____课时

班级_______________ 姓名_______________

【学习目标】

1．要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示，掌握向量垂直的坐标表示的充要条件；

2．两点距离公式及夹角公式．

【重点难点】

学习重点：平面向量数量积的坐标表示及由其推出的重要公式；

学习难点：向量数量积坐标表示在处理有关长度、角度、垂直问题中的应用．

【学习过程】

一、自主学习与交流反馈：

1．两个平面向量垂直的条件：

2．两个平面向量共线的坐标表示：

二、知识建构与应用：

1． 向量数量积的坐标表示：设1122(,),(,)a x y b x y == ，i 、j 分别是x 轴、y 轴上的单位向量，则：1i i ⋅=，1j j ⋅=，0i j j i ⋅=⋅=

因为1122,a x i y j b x i y j =+=+，

∴22112212121212()()a b x i y j x i y j x x i x y i j y x j i y y j ⋅=++=+⋅+⋅+1212x x y y =+. 从而得向量数量积的坐标表示公式：=⋅b a ．

2．长度、夹角、垂直的坐标表示： ①长度：设(,)a x y =则2cos0a a a a a ==∙=22x y +a ∴= ；

②两点间的距离公式：设1122(,),(,)A x y B x y 则2121(,)AB x x y y =--

=||AB ；

③夹角：设1122(,),(,)a x y b x y ==,a b 与的夹角为θ，则c o s a b

a b θ∙== ；

④垂直的条件：∵0a b a b ⊥⇔⋅=，即 ．

（注意○

1两向量垂直与向量共线的坐标表示的区别，○2对零向量只定义了平行，而不定义垂直，○3由于零向量的方向不确定，所以我们不定义零向量与其他向量的夹角）．

三、例题

例1 （1）已知(3,4),(4,3)a b =-=，求a 与b 的夹角；

（2）已知(2,1),(3,3)a b =-=-，求(3)(2)a b a b -⋅-．

例2 已知1,2a b ==，向量a 、b 的夹角为60︒，又(3)(2)ma b a mb +⊥-，求实数m 的值．

例3 已知(1,2),(1,)a b m ==-，若a 与b 的夹角为钝角，求m 的取值范围．

例4 在Rt ABC ∆中，(2,3)AB =，(1,)AC k =，求k 值．

四、巩固练习

1．已知(1,2),(3,2),(2,1)a b c ==-=-，分别求,,a a a b a c ⋅⋅⋅．

2．已知(2,8),(8,16)a b a b +=-=-，求a b ⋅．

3．设向量a 、b 满足8,3,12a b a b ==⋅=，求向量a 、b 的夹角．

4．求下列各组中两个向量a 、b 的夹角：

（1）(3,1),(23,2)a b ==-；（2）(1,1),(13,1a b ==-．

5．设a 是非零向量，a b a c ⋅=⋅，且b c ≠，求证：()a b c ⊥-．

五、回顾反思

六、作业批改情况记录及分析