大学物理质点和质点系的动量定理
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04 3-1 质点和质点系的动量定理
t2
F1＋F2 dt (m1v1 m2v2 ) (m1v10 m2v20 )
t1
作用在两质点组成的系统的合外力的冲量等于系统内两质 点动量之和的增量，即系统动量的增量。
2、多个质点的情况
t2 t2 n n n Fi外 dt＋ Fi内 dt m i v i m i v i 0 i 1 i 1 t1 i 1 t1 i 1 n
3-4 动能定理
一、功与功率
1、功
•恒力的功 力对质点所作的功等于该力在位移 方向上的分量与位移大小的乘积
F m
F
S
m
说明 •功是标量，没有方向，只有大小，但有正负 p/2，功W为正值，力对物体作正功； p /2，功W=0， 力对物体不作功； p /2，功W为负值，力对物体作负功，或 物体克服该力作功。 •单位：焦耳(J) 1J=1N· m
i i i
ex ex 若质点系所受的合外力为零 F Fi 0
则系统的总动量守恒，即
讨论
ex dp ex i F , F 0, P C dt
p pi
保持不变 .
i
1）系统的动量守恒是指系统的总动量不变，系 统内任一物体的动量是可变的, 各物体的动量必相 对于同一惯性参考系 .
W＝F S dW＝F dS
•变力的功 分成许多微小的位移元，在每一个 位移元内，力所作的功为
Z
dr
b
F
dW F dr F cos dr
总功
a O
Y
W
•合力的功
B
A
B X F dr F cosdr
大学物理 动量 动量守恒定律汇总
Fdt (m dm)v (mv dm 0) vdm vkdt
F k v 200 4 8 10
2
N
12
3-9 一小船质量M=100kg，船头到船尾长度l=3.6m。现 有一质量m=50kg的人从船尾走到船头时，船头将移动多 少距离？假定水的阻力不计。
Fi外
Fij
j
i
内力-----是质点系内各质点间的作用力； 外力------是质点系外物体对质点系内质点的力。
由牛顿第三定律，内力必定是成对出现，且每对内力 都沿两质点连线的方向。
3
i质点合力
t2
t1
( Fi外 f ji )dt mi vi 2 mi vi1
j 1
n 1
F i外 f
9
n
例2.5 一弹性球，质量m＝0.20kg，速度 v＝5m/s， 与墙碰撞后弹回.设弹回时速度大小不变，碰撞前后的 运动方向和墙的法线所夹的角都是α，设球和墙碰撞 的时间Δt＝0.05s，α＝60°，求在碰撞时间内，球和 墙的平均相互作用力. 解：以球为研究对象.设墙对 球的平均作用力为 f ，球在 碰撞前后的速度为 v1和 v 2 ， 由动量定理可得
2
t1 t2
Fx dt mv2 x mv1x
Iy Iz
t1 t2
Fy dt mv2 y mv1 y Fz dt mv2 z mv1z
2
t1
3
二 质点系的动量定理
如果研究的对象为多个质 点，则称为质点系 对质点系，受力可分为 “内力”和“外力”。
质点系
Fj外
Fji
§2.2 动量 动量守恒定律
力对时间的累积效应
大学物理——第2章-质点和质点系动力学
2 2 2 α + a1 cos2 α
a1 = cot α 方 向: tanθ = ax g
由式④得:
ay
θ 为 a 与 x 正向夹角
FN = m(g + a1) cosα
10
例2-2 阿特伍德机 (1)如图所示滑轮和绳子的质量均不计,滑 轮与绳间的摩擦力以及滑轮与轴间的摩擦力 均不计.且 m > m2 . 求重物释放后,物体 1 的加速度和绳的张力. 解: 以地面为参考系 画受力图,选取坐标如图
ar
ar
m1 m2
a
m g FT = m a1 1 1 m2g + FT = m2a2
a1 = ar a
FT 0
a2 = ar + a
m1 m2 ar = m + m (g + a) 1 2 a1 FT = 2m1m2 (g + a) P 1 m1 + m2
a2
y FT
y
P0 2
12
8
桥梁是加速度 a
例2-1 升降机以加速度a1上升,其中光滑斜面上有一物体m沿 斜面下滑. 求:物体对地的加速度 a ? y 斜面所受正压力的大小? 解: 由于升降机对地有加速度,为一非惯性 系,故选地面为参考系,设坐标如图.
FN
a1
a2
a = a2 + a1
在 x , y 方向上有:
G
α
x
ax = a2 a1 sin α a = a cosα 1 y
m1 m2
FT 0
m g FT = m a 1 1 m2 g + FT = m2a
m1 m2 a= g m1 + m2
2m m2 1 FT = g m + m2 1
a1 = cot α 方 向: tanθ = ax g
由式④得:
ay
θ 为 a 与 x 正向夹角
FN = m(g + a1) cosα
10
例2-2 阿特伍德机 (1)如图所示滑轮和绳子的质量均不计,滑 轮与绳间的摩擦力以及滑轮与轴间的摩擦力 均不计.且 m > m2 . 求重物释放后,物体 1 的加速度和绳的张力. 解: 以地面为参考系 画受力图,选取坐标如图
ar
ar
m1 m2
a
m g FT = m a1 1 1 m2g + FT = m2a2
a1 = ar a
FT 0
a2 = ar + a
m1 m2 ar = m + m (g + a) 1 2 a1 FT = 2m1m2 (g + a) P 1 m1 + m2
a2
y FT
y
P0 2
12
8
桥梁是加速度 a
例2-1 升降机以加速度a1上升,其中光滑斜面上有一物体m沿 斜面下滑. 求:物体对地的加速度 a ? y 斜面所受正压力的大小? 解: 由于升降机对地有加速度,为一非惯性 系,故选地面为参考系,设坐标如图.
FN
a1
a2
a = a2 + a1
在 x , y 方向上有:
G
α
x
ax = a2 a1 sin α a = a cosα 1 y
m1 m2
FT 0
m g FT = m a 1 1 m2 g + FT = m2a
m1 m2 a= g m1 + m2
2m m2 1 FT = g m + m2 1
第四章 动量定理与动量守恒定律
v dpi v v (e) v (i) = Fi = Fi + Fi dt
m1
v ex Fi
v in m i m2 Fi
求和, 求和 有
合外力 合内力
v v (e) v (i) dpi d v ∑ dt = dt ∑ pi = ∑Fi + ∑Fi
因为内力成对出现, 上式可写为: 因为内力成对出现 上式可写为
I x = ∫ Fxdt = mvx mvx0
t0 t
t
I y = ∫ Fydt = mvy mvy0
t0 t
I z = ∫ Fzdt = mvz mvz0
t0
May 31, 2010 Page #
ANHUI UNIVERSITY
大学物理学
第四章 第四章动量定理与动量守恒定律
(3) 在碰撞或冲击问题中 牛顿定律无法直接应用 而动 在碰撞或冲击问题中, 牛顿定律无法直接应用, 量定理的优点在于避开了细节而只讨论过程的总体效果. 量定理的优点在于避开了细节而只讨论过程的总体效果 (4) 动量定理仅适用于惯性系 且与惯性系的选择无关 动量定理仅适用于惯性系, 且与惯性系的选择无关. 如图, 锤从高度为h 例 如图 一重锤从高度为 =1.5m的地方由 的地方由 静止下落, 静止下落,锤与被加工的工件的碰撞后的 末速度为零. 若打击时间分别为10 末速度为零 若打击时间分别为 -1s, 10-2s, 10-3s, 10-4s,试计算这几种情形下平均冲力 , 与重力的比值. 与重力的比值 如图坐标系, 设重锤质量为m 解: 取如图坐标系 设重锤质量为 . 重锤初速度
10-1s 6.5 10-2s 56
Page #
由此解得
计算结果如下
t
大学物理第二章动能定理
例题3. 如图，一轻绳跨过一定滑轮，两边分别拴有质量
为m及M的物体，M离地面的高度为h: (1)若滑轮质量及
摩擦力不计，m与桌面的摩擦也不计，开始时两物体均静
止，求M落到地面时的速度(m始终在桌面上); (2)若m与
桌面的静摩擦系数和滑动摩擦系数均为，结果又如何？
解：
m
(1)不计摩擦,系统(m,M,地球)机械能守恒:
v
m
0 M f c
f
s
s
Wf Wf 0
N
v c
N
WN WN 0
质点系动能定理：
质点系的动能的增量等于作用于质点系的一切外力与
内力做功之和.
W ex
W in
n i1
1 2
mi vi2
n i1
1 2
mi vi20
2.2.1 质点系动量定理
作用于质点系的合外力的冲量等于质点系动量的增量.
t2
系统内所有质点对同一参考点角动量的矢量和称为
质点系的角动量.
L Li ri pi ri mivi
i
i
i
dL dt
d dt
Li
i
Mi外
i
Mi内
i
0
M外
M 外
dL dt
积分得：
t2 t1
M外dt
L2
L1
注意：只有外力矩对质点系的角动量变化有贡献，
内力矩对质点系的角动量变化没有贡献.
W
F dr
l
F dr
acb
F dr
bda
0
a
c
F dr F dr F dr
acb
adb
bda
d
3-1 质点和质点系的动量定理
在直角坐标系中， 在直角坐标系中，动量定理分量形式
v v v v I = Ixi + I y j + Izk
I x = ∫ Fx dt = mv x − mv0 x
t0 t t
I y = ∫ Fy dt = mv y − mv0 y
t0 t
I z = ∫ Fz dt = mvz − mv0 z
t0
t2
参考系
t2 时刻
动量定理
v v mv1 mv2 S系 系 v v v v S’系 m( v1 − u ) m( v2 − u ) 系
∫t
t2
1
v v v F (t )dt = mv 2 − mv1
动量定理常应用于碰撞问题
v v v ∫t1 mv2 − mv1 F= = t 2 − t1 t 2 − t1
例 1 一质量为 0.05kg、速率为 、速率为10m·s-1 的刚球 , 以 角的方向撞击在钢板上, 与钢板法线呈 45º 角的方向撞击在钢板上 并以相同的 速率和角度弹回来. 速率和角度弹回来 设碰撞时间为 0.05s . 求在此时间 内钢板所受到的平均冲力 F . 建立如图坐标系, 解 建立如图坐标系 由动量定理得
答：冲量的方向是动量增量的方向。 冲量的方向是动量增量的方向。
问题二：冲量大小或动量增量与哪两个因素有关？ 问题二：冲量大小或动量增量与哪两个因素有关？ 与哪两个因素有关
答：力与时间的增量；要产生同样的动量的增量， 力与时间的增量；要产生同样的动量的增量， 力大力小都可以：力大则时间短些； 力大力小都可以：力大则时间短些；力小则时间 长些。只要力的时间累积即冲量一样， 长些。只要力的时间累积即冲量一样，就产生同 样的动量增量。 样的动量增量。
2动量定理2
N = 3×10 ×(9.8 + 2×9.8×1.5 / 0.01)
3
顿 = 1.9×10 牛
6
解法二：考虑从锤自由下落到静止的整个过程， 解法二：考虑从锤自由下落到静止的整个过程， 动量变化为零。 动量变化为零。 重力作用时间为
动量定理
τ + 2h/ g
支持力的作用时间为τ 根据动量定理，整个过程合外力的冲量为零， 根据动量定理，整个过程合外力的冲量为零，即
动量定理
Ix = ∫t1 F dt = mv2x mv1x x
t2
I y = ∫t1 Fy dt = mv2 y mv y 1
t2
Iz = ∫t1 F dt = mv2z mv z z 1
t2
显然，动量定理在某一方向上也成立。 显然，动量定理在某一方向上也成立。
在一维情况下,力的整个作用 在一维情况下 力的整个作用 时间内， 时间内，平均力的冲量等于变 力的冲量
解： t时刻，链条下垂部分长度为 y 设
m2
λ
o
y
以链条为一系统有：
下垂部分所受重 力 P1 = m1 g ,
桌上部分所受重 力 P2 = m2 g , 桌上部分所受支持 力 FN = m2 g ,
m1
y
所以系统所受合外力为：F ex = m1 g , 其中 m1 = λ y
在dt间隔内，由动量定理可得： F ex dt = λ ygdt = dp
一.冲量 质点动量定理
重写牛顿第二定律的微分形式
Fdt = dp = d(mv)
考虑一过程， 考虑一过程，时间从t1-t2，两端积分
∫t F dt = ∫p d p = p2 p1 = mv2 mv1
质点和质点系的动量矩和动量矩定理
质点和质点系的动量矩和动量矩定理今天我们进入第十一章的学习这篇文章先学习《11-1 质点和质点系的动量矩》《11-2 动量矩定理》一、质点和质点系的动量矩1、质点的动量矩M O(mv)=r×mv 质点的动量对点O的矩[M O(mv)]z=M z(mv) 质点对点O的动量矩矢在某轴上的投影，等于质点对该轴的动量矩。
2、质点系的动量矩L O=∑M O(m i v i) 质点系的动量对点O的矩L z=∑M z(m i v i) 质点系的动量对z轴的矩[L O]z=L z 质点系对点O的动量矩矢在某轴上的投影，等于质点系对该轴的动量矩刚体平移时：可将质量集中于质心，作为一个质点计算其动量矩。
定轴转动刚体：L z=∑M z(m i v i)=∑m i v i r i=∑m i(ωr i)r i=ω∑m i r i2令：J z=∑m i r i2——刚体对z轴的转动惯量，则：L z=J zω二、动量矩定理1、质点的动量矩定理设O为定点,有称为质点的动量矩定理:质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数,等于作用力对同一点的矩.投影式:2、质点系的动量矩定理——质点系动量矩定理，即：质点系对于某定点O的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和。
投影式:内力不能改变质点系的动量矩.例高炉运送矿石用的卷扬机如图，已知鼓轮半径为R，质量为m1，鼓轮对转轴的转动惯量为J，作用在鼓轮上的力偶矩为M。
小车和矿石总质量为m2，轨道倾角为θ。
设绳的质量和各处摩擦不计，求小车的加速度a。
守恒定律质点动量矩守恒定律若M O(F)≡0 ，则M O(mv)=恒量；若M z(F)≡0，则M z(mv)=恒量例小球A、B 以细绳相联，质量均为m ，其余构件质量不计。
忽略摩擦，系统绕z轴自由转动，初始时系统角速度为ω0，当细绳拉断后，各杆与铅垂线成θ角，求这时的角速度ω。
解：1、取整体研究，受力分析知，系统受重力和约束力作用，外力对转轴的矩都等于0，因此系统对转轴的动量矩守恒2、列方程L z1=L z2L z1=2maω0a=2ma2ω0，L z2=2m(a+l sinθ)2ω今天的知识点你都掌握了吗？。
大学物理质点和质点系的动量定理
01
03
详细描述：冲量被定义为力和力的作用时间的乘积， 是改变物体动量的量。在直线运动中，冲量等于物体
动量的变化量。
04
总结词：冲量概念
质点在曲线运动中的动量定理应用
总结词：复杂应用 总结词：刚体运动
详细描述：质点在曲线运动中，动量定理的应用 需要考虑力的方向和大小随时间的变化。通过分 析力和速度的变化，可以深入理解物体运动的规 律。
质点
在物理学中，质点是一个理想化的模 型，用于描述具有质量的点在空间中 的运动。质点不考虑形状、大小和旋 转，只考虑其位置和质量。
质点系
质点系是由两个或多个质点组成的系 统。这些质点之间可以相互作用，如 万有引力、弹性力等。
动量的定义和计算方法
• 动量：物体的动量定义为质量与 速度的乘积，用符号p表示。计 算公式为p=mv，其中m为物体 的质量，v为物体的速度。
详细描述：刚体运动是质点在曲线运动中的一种 特殊情况，其特点是物体形状和质量分布不随时 间改变。动量定理在刚体运动中可以用来分析旋 转和角速度的变化。
质点系在碰撞中的动量定理应用
总结词：碰撞分析
详细描述：质点系在碰撞过 程中，动量定理是重要的分 析工具。通过分析碰撞前后 的动量和力的关系，可以确 定碰撞的性质（弹性、非弹 性）和能量损失情况。
总结词：动量守恒定律
详细描述：在理想情况下， 没有外力作用时，质点系内 的动量是守恒的。动量守恒 定律是动量定理的一种特殊 情况，广泛应用于物理和工 程领域。
03 质点和质点系的动量定理 的推导和证明
动量定理的推导过程
初始状态 假设一个质点在某个时刻的速度 为 (v)，质量为 (m)，则该质点的 动量为 (p = mv)。
大学物理-动量定理
υ
M
V
解：水平方向上车和人系统不受外力作用， 故动量守恒； υ m 设车和人相对地面速度 M 分别为V 和 υ V MV mv 0 m 即: V v ——两者运动方向相反 M
人相对于车的速度为：
υ
Mm υ' υ V υ M
to
t
④.平均冲力的计算由：
I F t
例：质量为 60kg 的撑杆跳运动员，从 5 米的横 杆跃过自由下落，运动员与地面的作用时间分别 为 1 秒和 0.1 秒，求地面对运动员的平均冲击 力。
解： 以人为研究对象，可分为两个运动过程，
1.自由下落过程—到达地面时的速率为：
v 2gh
2.与地面接触碰撞过程，受力分析，规定 向上为坐标正向。
§1.7 质点的动量定理 一、动量定理
动量
momentum momentum theorem
质点质量与速度的乘积，可以表征质点瞬时运动的量，称为动量。
p mv
dp F dt
单位：千克· 米/秒, kg· m/s
由Newton第二定律，得：
dv d (mv ) F ma m dt dt
例5.图示一圆锥摆，质量为m的小球在水平面内以角速度匀速转动。在 小球转动一周的过程中，求：
①小球动量增量的大小。 ②小球所受重力的冲量大小。 ③小球所受绳子拉力的冲量大小。
解： ①小球运动一周动量变化为0。
②
I mg mgT
2 mg
2 mg
③由①可知，小球所受重力和拉力的冲量为0，因此，拉力的冲量必然等 于小球重力冲量的负值，即：
注意
内力不改变质点系的动量
M
V
解：水平方向上车和人系统不受外力作用， 故动量守恒； υ m 设车和人相对地面速度 M 分别为V 和 υ V MV mv 0 m 即: V v ——两者运动方向相反 M
人相对于车的速度为：
υ
Mm υ' υ V υ M
to
t
④.平均冲力的计算由：
I F t
例：质量为 60kg 的撑杆跳运动员，从 5 米的横 杆跃过自由下落，运动员与地面的作用时间分别 为 1 秒和 0.1 秒，求地面对运动员的平均冲击 力。
解： 以人为研究对象，可分为两个运动过程，
1.自由下落过程—到达地面时的速率为：
v 2gh
2.与地面接触碰撞过程，受力分析，规定 向上为坐标正向。
§1.7 质点的动量定理 一、动量定理
动量
momentum momentum theorem
质点质量与速度的乘积，可以表征质点瞬时运动的量，称为动量。
p mv
dp F dt
单位：千克· 米/秒, kg· m/s
由Newton第二定律，得：
dv d (mv ) F ma m dt dt
例5.图示一圆锥摆，质量为m的小球在水平面内以角速度匀速转动。在 小球转动一周的过程中，求：
①小球动量增量的大小。 ②小球所受重力的冲量大小。 ③小球所受绳子拉力的冲量大小。
解： ①小球运动一周动量变化为0。
②
I mg mgT
2 mg
2 mg
③由①可知，小球所受重力和拉力的冲量为0，因此，拉力的冲量必然等 于小球重力冲量的负值，即：
注意
内力不改变质点系的动量
大学物理-第三章-动量守恒定律和能量守恒定律
20
★一对作用力与反作用力的功只与相对位移有关
f ji
ri
f ij
rij
rj
0
dW
jidWij
f
ji
dri
fij drj
f ji fij
fji f ji
(dd(rriidrrjj))
f ji
drij
S
S u
动量的相 对性和动量定 理的不变性
F(t)
t1 m
v1
光滑
v 2
m t2
参考系 t1 时刻 t2 时刻
动量定理
S系
S’系
mv1
mv2
m(v1 u) m(v2 u)
t2 t1
F (t )dt
mv2
mv1
5
例3-1: 作用在质量为1kg 的物体上的力 F=6t+3,如果物体在这
0＝m1(v1+v2)+m2v2
v2
m1v1 m1 m2
x
t 0
v2dt
m1 m1 m2
t 0
v1dt
L
t
0 v1dt
x m1L 0.8m m1 m2
负号表示船移动的方向与人前进的方向相反。
17
3-４ 动能定理
一、功的概念(work) 功率(power) 1、恒力的功
2、动能定理
2
1
或
F
dr
F
dr
1 2
mv22
3-2 质点系动量定理和质心运动定理
解：
dm = 2xσdx
a/ 2
y a
三角形质心坐标x 三角形质心坐标 c是
xc
∫ xdm = ∫ = ∫ dm ∫
0
a/
0
2 a = 2 3 2σxdx
2σx dx
2
O x dx
x
这个结果和熟知的三角形重心位置一致。 这个结果和熟知的三角形重心位置一致。
11
三、质心运动定理 右边: 右边:
r d 据质点系动量定理: 据质点系动量定理 ∑ F = (∑m v ).
质点系动量定理：在一段时间内， 质点系动量定理：在一段时间内，作用于质点系的 外力矢量和的冲量等于质点系动量的增量. 外力矢量和的冲量等于质点系动量的增量
1
v d n v 微分形式） Fi = (∑mivi ) （微分形式） ∑ dt i=1 i=1
n
其分量式
Fixdt = ∑mi vix − ∑mi vi 0x ∫t0 ∑ t ∫t0 ∑Fiydt = ∑miviy − ∑mivi0 y t Fizdt = ∑mi viz − ∑mi vi 0z ∫t0 ∑
z
dm ( x , y , z )
体分布 面分布 线分布
dm = ρdV
r r
x o
M
dm = σdS dm = λdl
y
dm ρ= dτ dm σ= ds dm λ= dl
dm：宏观小，微观大 宏观小，
xc =
r rc =
∫ ∫
xdm M ydm M
注意： 注意：
1.质心的坐标值与坐标系的选取有关； 2.质量分布均匀、形状对称的实物，质 心位于其几何中心处； 3.不太大的实物，质心与重心相重合。
大学物理质点和质点系的动量定理 动量守恒定律
I z Fz dt mv2 z mv1z
t1 t2
质点系动量定理 作用于系统的合外力的冲量等于 系统动量的增量.
F2 t1 ( F1 F12 )dt m1v1 m1v10 F21 F12 t2 F1 m2 ( F2 F21 )dt m2 v2 m2 v20 m1 t1 因为内力 F12 F21 0 ，故 t2 ( F1 F2 )dt (m1v1 m2 v2 ) (m1v10 m2 v20 )
注意：
ex ex 若质点系所受的合外力为零 F F 0 i i 则系统的总动量守恒，即 p pi 保持不变 . ex dp i ex 力的瞬时作用规律 F , F 0, P C dt
1）系统的动量守恒是指系统的总动量不变，系统 内任一物体的动量是可变的, 各物体的动量必相对于同 一惯性参考系 .
t0 i i i
可知
ex ex 若质点系所受的合外力为零 F F 0 i i 则系统的总动量守恒，即 p pi 保持不变 .
ex 力的瞬时作用规律 F ex dp , F 0, P C dt
i
2– 1 质点和质点系的动量定理 动量守恒定 律 动量守恒定律
I E
p mv
Fdt dp d (mv)
dp d (mv) F dt dt
t2 冲量 力对时间的积分（矢量） I Fdt
t1
t2
t1
Fdt p2 p1 mv2 mv1
2– 1 质点和质点系的动量定理 动量守恒定 律
mv1
F
t1 t2
质点系动量定理 作用于系统的合外力的冲量等于 系统动量的增量.
F2 t1 ( F1 F12 )dt m1v1 m1v10 F21 F12 t2 F1 m2 ( F2 F21 )dt m2 v2 m2 v20 m1 t1 因为内力 F12 F21 0 ，故 t2 ( F1 F2 )dt (m1v1 m2 v2 ) (m1v10 m2 v20 )
注意：
ex ex 若质点系所受的合外力为零 F F 0 i i 则系统的总动量守恒，即 p pi 保持不变 . ex dp i ex 力的瞬时作用规律 F , F 0, P C dt
1）系统的动量守恒是指系统的总动量不变，系统 内任一物体的动量是可变的, 各物体的动量必相对于同 一惯性参考系 .
t0 i i i
可知
ex ex 若质点系所受的合外力为零 F F 0 i i 则系统的总动量守恒，即 p pi 保持不变 .
ex 力的瞬时作用规律 F ex dp , F 0, P C dt
i
2– 1 质点和质点系的动量定理 动量守恒定 律 动量守恒定律
I E
p mv
Fdt dp d (mv)
dp d (mv) F dt dt
t2 冲量 力对时间的积分（矢量） I Fdt
t1
t2
t1
Fdt p2 p1 mv2 mv1
2– 1 质点和质点系的动量定理 动量守恒定 律
mv1
F
大学物理动量定理
子弹穿过两木块所用的时间分别为t1和t2，木块对子 弹的阻力为恒力F，则子弹穿出后，木块A的速度大小
为
，木块B的速度大小为
.
解：
F t1 m1vA m2vA
vA
F m1
t1 m2
F t2 m2vB m2vA
vB
F t2 m2
vA
F t2 m2
F m1
t1 m2
2-8. 一质量为m的质点在xoy平面上运动，其位置矢量
机械能守恒：
1 2
m2 v02
1 2
(m1
m2 )v2
1 2
kxm2 ax
1 xmax 2 x0
下次课内容：
§3-1 刚体运动的描述 §3-2-1 力矩 §3-2-2 刚体绕定轴转动定律
j
t
i
v bs
a in t
sin j]
t
i
b cost Fx m 2 x
j
dt
m2[x i y j ]
Fy m2 y
A(a,0) B(0, b)
Wx
0
a Fxdx m2
0 xdx 1 ma22
a
2
Wy
b
0 Fydy m 2
bydy 1 mb2 2
0
2
质点动能定理
W
为
r
a
cos
t
i b sin t j
(SI).
式中a，b， 是正值常
数, 且a > b.
(1)求质点在A点(a，0)和B 点(0，b)的动能; (2)求质点所 受的作用力 F 以及质点从A点运动到B点 的过程中 F 的分力Fx和Fy分别做的功.
解：
大学物理第5章角动量守恒定律
1 ml2 3
l
m
m 1.73
z2
o
l 2
G
JZ2
1 ml2 3
RGC G 不是质心
转动惯量的计算
例: 求半径为 R,总质量为 m的均匀圆盘绕垂直于盘面
通过中心轴的转动惯量 如下图:
解:
质量面密度
m R 2
J z r 2dm R r 2ds 0
Z ds
R r 2 2rdr 0
R r 2 m 2rdr
a 法向分量
an
v2 r
r 2
O
匀变速直线运动
匀变速定轴转动
v dS dt
a dv dt
v v0 at
S
v0t
1 2
at 2
v2 v02 2aS
d
dt
d
dt
0 t
0t
1t2
2
2 02 2
5.4 定轴转动刚体的角动量定理
1.刚体对转轴的力矩和角动量
z
角动量守恒
质点系的角动量定理
M J
4g
t
3 4
R
1 2
gt
2
LA
r
p
1 2
mpt3gmvg
mgt 0
orRA r源自（2） 对 O 点的角动量m
mv
r r R
LO r p (R r) p R p R mgt
Rg
LO Rmgt
2. 质点的角动量定理
角动量的时间变化率
dL
d
(r
p)
dr
p
r
dp
r 表示从O到速度矢量 v 的垂直距离, 则有
r sin s rs 2
大学物理动量守恒定律和能量守恒定律
比 外力做正功等于相应动能的增加； 较 外力做负功等于相应动能的减少。
注意:
1、计算势能必须规定零势能参考点。势能是相对量， 其量值与零势能点的选取有关。
2、势能函数的形式与保守力的性质相关，对应于一种 保守力的函数就可以引进一种相关的势能函数。
3、势能是属于以保守力形式相互作用的物体系统所共 有的。
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
守恒定律
动量守恒定律 机械能守恒定律 能量守恒定律
物理学大厦 的基石
3-1 质点和质点系的动量定理
一、冲量 质点的动量定理
F dpd(mv) dt dt
牛顿第二定律 动量 pm v
F d td pd(m v)
I t 1 t2 F d t p p 1 2 d p p 2 p 1 m v 2 m v 1
vv 21 vv 2m m 1v 1 rvm r 23 .1 2 7 .1 71 0 1 3 0m 3m /s /s
3-4 动能定理
一、功、功率
1、功
r
i
F
B
i
恒力功： W F s c o s F s
变力功
A
元功：
d W Fd r
取得有限位移 W dW r2Fdr r1
冲量： I t2 Fdt t1
力对时间的累积效应
作用于物体上的合外力的冲量等于物体动量的增量
——质点的动量定理
分量表示式
t1t2FxdtIx mv2xmv1x t1 t2FydtIymv2ymv1y t1t2FzdtIz mv2zmv1z
问题：动量增量方向？
o v0
x
冲量的方向？动量增量的 方向，一般与力的方向不一致。
功的单位：焦耳(J)
注意:
1、计算势能必须规定零势能参考点。势能是相对量， 其量值与零势能点的选取有关。
2、势能函数的形式与保守力的性质相关，对应于一种 保守力的函数就可以引进一种相关的势能函数。
3、势能是属于以保守力形式相互作用的物体系统所共 有的。
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
守恒定律
动量守恒定律 机械能守恒定律 能量守恒定律
物理学大厦 的基石
3-1 质点和质点系的动量定理
一、冲量 质点的动量定理
F dpd(mv) dt dt
牛顿第二定律 动量 pm v
F d td pd(m v)
I t 1 t2 F d t p p 1 2 d p p 2 p 1 m v 2 m v 1
vv 21 vv 2m m 1v 1 rvm r 23 .1 2 7 .1 71 0 1 3 0m 3m /s /s
3-4 动能定理
一、功、功率
1、功
r
i
F
B
i
恒力功： W F s c o s F s
变力功
A
元功：
d W Fd r
取得有限位移 W dW r2Fdr r1
冲量： I t2 Fdt t1
力对时间的累积效应
作用于物体上的合外力的冲量等于物体动量的增量
——质点的动量定理
分量表示式
t1t2FxdtIx mv2xmv1x t1 t2FydtIymv2ymv1y t1t2FzdtIz mv2zmv1z
问题：动量增量方向？
o v0
x
冲量的方向？动量增量的 方向，一般与力的方向不一致。
功的单位：焦耳(J)
质点和质点系的动量定理
质点和质点系的动量定理
质点和质点系的动量定理是物理学中的一个重要定理，可以用来描述质点和质点系的动量变化。
对于一个质点来说，动量定理可以表示为：质点的动量变化等于作用在质点上的力的时间积分。
具体表达式为：Δp = ∫ F dt
其中，Δp表示质点的动量变化，F表示作用在质点上的力，t 表示时间。
对于一个质点系来说，动量定理可以表示为：质点系的总动量变化等于作用在质点系上的外力的时间积分。
具体表达式为：ΔP = ∫ Fext dt
其中，ΔP表示质点系的总动量变化，Fext表示作用在质点系上的外力，t表示时间。
动量定理可以用来分析和解释质点或质点系在受到外力作用时的动量变化情况。
根据动量定理，当作用在质点或质点系上的力不为0时，质点或质点系的动量会发生变化，变化的大小与力持续的时间和力的大小有关。
质点系的动量定理
i
Fi
d dt
i
Pi
以 F 和 P 表F示系d统P的合外力和总动量，上式可写为：
dt
由此可得F“dt质点d系P的动微量分定形理式”：
t2
Fdt
P2
dP
P
积分形式
t1
P1
内力不改变系统的总动量，但会使系统内部动量重新分配。 只有外力才能改变系统的总动量。
的速度，动量和应是同一时刻的===动量之和。
2、系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。
3、在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程 ===中，往往可忽略外力（外力与内力相比小很多）— ======——近似守恒条件。
4、动量守恒可在某一方向上成立（合外力沿某一方 ===向为零。）——部分守恒条件
5、动量守恒定律在微观高速范围仍适用。是比牛顿 ===定律更普遍的最基本的定律
离S1＝100米,问另一块落地点与发射点的距离是多少？ （空气阻力不计，g=9.8m/s2)
解：已知第一块方向竖直向下
h
v1t
'
1 2
gt
'2
t ' 1s 为第一块落地时间
v1 v1y 14 7m / s
y v2
h
v1 h S1
x
炮弹在最高点，vy
0, 到最高点用时为t
好触到水平桌面上，如果把绳
的上端放开，绳将落在桌面上。
试证明：在绳下落的过程中，
任意时刻作用于桌面的压力，
等于已落到桌面上的绳重力的
x
三倍。
证明：取如图坐标，设t 时刻已有x
o
长的柔绳落至桌面，随后的dt时间
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t1
I
O
F t2 t
O
I
t1 t2 t
t1
动量定理常应用于碰撞问题
F
t1 mv2 mv1 t2 t1 t2 t1
在△p一定时, △t 越小,则F越大
t2
Fdt
mv
mv1
F
mv2
注意
第三章 动量守恒和能量守恒
9/14
物理学
第五版
3-1 质点和质点系的动量定理 例 1 一质量为0.05kg、速率为10m/s的刚球,以与钢 板法线呈45º 角的方向撞击在钢板上,并以相同的速率和 角度弹回来.设碰撞时间为0.05s.求在此时间内钢板所受 到的平均冲力 F 解:由动量定理得 F t mv mv mv1 2 1 建立如图坐标系 x
t2
物体由于运动具有的机械效果 Objects with the mechanical effect because of moving 冲量(Impluse) (矢量Vector)
I
t1
Fdt
力对时间的累积效应
The time accumulation effects of forces
作用于质点系的合外力等于质点系动量随 时间的变化率. The combined external force acting on the mass point system is equal to the momentum variation rate of the mass point system with respect to time.
则
y
两边同乘以ydy， 则
2
y
1 3 1 d yv 2 y gdy ydy yv d yv gy yv 3 2 dt y yv 1 2 2 g y d y yv d yv v ( gy ) 2 0 0 3
第三章 动量守恒和能量守恒
12/14
物理学
第五版
3-1
质点和质点系的动量定理
一 动量(Momentum)冲量(Impulse) 质点的动量定理(Theorem of momentum of amass point)
牛顿第二定律:动量为p的质点,在和外里F的作用下,其 动量随时间的变化率等于作用在质点上的合外力.
Newton’s Second law :When a mass point with momentum p is under the effect of the combined external force F, the time variation of the momentum is equal to the external force actingon the particle .
第三章 动量守恒和五版
3-1
质点和质点系的动量定理
注意
区分外力和内力
内力仅能改变系统内某个物体的动量， 但不能改变系统的总动量.
第三章 动量守恒和能量守恒
8/14
物理学
第五版
3-1
质点和质点系的动量定理
讨论
1、F 为恒力
F
F
I Ft
2、F 为变力
t2 I Fdt F (t2 t1 )
第三章 动量守恒和能量守恒
4/14
物理学
第五版
3-1
质点和质点系的动量定理
(Theorem of momentum of the mass point system) 对两质点分别应用质点动量定理 质点系
二
质点系的动量定理
m2 ( F F ) d t m v m v m1 t1 2 21 2 2 2 20 F12 F21 0 因内力 t2 t1 ( F1 F2 )dt (m1v1 m2 v2 ) (m1v10 m2 v20 ) n n t2 ex F dt mi vi mi vi 0
t2
t2
t1
( F1 F12 )dt m1v1 m1v10
F1
F21 F12
F2
t1
i 1
i 1
第三章 动量守恒和能量守恒
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物理学
第五版
3-1
质点和质点系的动量定理
t2
t1
n n ex F dt mi vi mi vi 0 i 1 i 1
dp d(mv) F Fdt dp d (mv) dt dt t2 dm 0 Fdt p2 p1 mv2 mv1
dt
t1
第三章 动量守恒和能量守恒
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物理学
第五版
3-1
质点和质点系的动量定理
动量(Momentum)
p mv
N ex F Fi
n
p0 mi vi 0
i 1
11
t2 ex I F dt
n p mi vi i 1
t1
第三章 动量守恒和能量守恒
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物理学
第五版
3-1
质点和质点系的动量定理
对于无限小的时间间隔内,质点系动量定理.
ex ex dp F dt dp , F dt
F m1 g yg
ex
m1
y
y
由质点系动量定理得
F dt dp
ex
第三章 动量守恒和能量守恒
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物理学
第五版
F yg F dt dp
ex
ex
3-1
质点和质点系的动量定理 m2
O
又
dp d( yv)
d yv yg dt
m1
ygdt d( yv)
第三章 动量守恒和能量守恒
3/14
物理学
第五版
3-1
质点和质点系的动量定理
在直角坐标系分量表示 In cartesian coordinate componet equations I t2 F dt mv mv 2x 1x x t1 x t2 I y t Fy dt mv2 y mv1 y 1 I t2 F dt mv mv 2z 1z z t1 z 质点在某方向上的动量增量,仅与质点 说明 (Description) 在该方向上所受外力的冲量有关． The momentum increment of the mass point on some direction only depends on the impulse of the extermal force on the same direction
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物理学
第五版
3-1 质点和质点系的动量定理 例 2 一柔软链条长为l,单位长度的质量为.链条放 在桌上,桌上有一小孔,链条一端由小孔稍伸下,其余部分 堆在小孔周围.由于某种扰动,链条因自身重量开始落下. 求链条下落速度与落下距离之间的关系.设链与各处的 摩擦均略去不计,且认为链条软得可以自由伸开 . 解 以竖直悬挂的链条 m2 和桌面上的链条为一系统, O 建立如图坐标 则
mv cos (mv cos ) 2mv cos
Fx t mv2 x mv1x
mv2
y
2mv cos F Fx 14.1 N 方向沿x轴反向 t
第三章 动量守恒和能量守恒
Fy t mv2 y mv1 y mv sin α mv sin 0
I p p0
质点系动量定理:作用于系统的合外力的冲量等于 系统动量的增量. The theorem of momentum of the mass point system: The impulse of the combined external forces acting on the mass point system equals the increment in momentum of that system.
第三章 动量守恒和能量守恒
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物理学
第五版
3-1
质点和质点系的动量定理
t2 I Fdt mv2 mv1
t1
质点的动量定理:在给定的时间间隔内,外力作 用在质点上的冲量,等于质点在此时间内动量 的增量.
Theorem of momentum of a mass point: In the given time interval, the impulse on a mass point by a external force is equal to the increment in the momentum of that mass point in the same time interval
I
O
F t2 t
O
I
t1 t2 t
t1
动量定理常应用于碰撞问题
F
t1 mv2 mv1 t2 t1 t2 t1
在△p一定时, △t 越小,则F越大
t2
Fdt
mv
mv1
F
mv2
注意
第三章 动量守恒和能量守恒
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第五版
3-1 质点和质点系的动量定理 例 1 一质量为0.05kg、速率为10m/s的刚球,以与钢 板法线呈45º 角的方向撞击在钢板上,并以相同的速率和 角度弹回来.设碰撞时间为0.05s.求在此时间内钢板所受 到的平均冲力 F 解:由动量定理得 F t mv mv mv1 2 1 建立如图坐标系 x
t2
物体由于运动具有的机械效果 Objects with the mechanical effect because of moving 冲量(Impluse) (矢量Vector)
I
t1
Fdt
力对时间的累积效应
The time accumulation effects of forces
作用于质点系的合外力等于质点系动量随 时间的变化率. The combined external force acting on the mass point system is equal to the momentum variation rate of the mass point system with respect to time.
则
y
两边同乘以ydy， 则
2
y
1 3 1 d yv 2 y gdy ydy yv d yv gy yv 3 2 dt y yv 1 2 2 g y d y yv d yv v ( gy ) 2 0 0 3
第三章 动量守恒和能量守恒
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3-1
质点和质点系的动量定理
一 动量(Momentum)冲量(Impulse) 质点的动量定理(Theorem of momentum of amass point)
牛顿第二定律:动量为p的质点,在和外里F的作用下,其 动量随时间的变化率等于作用在质点上的合外力.
Newton’s Second law :When a mass point with momentum p is under the effect of the combined external force F, the time variation of the momentum is equal to the external force actingon the particle .
第三章 动量守恒和五版
3-1
质点和质点系的动量定理
注意
区分外力和内力
内力仅能改变系统内某个物体的动量， 但不能改变系统的总动量.
第三章 动量守恒和能量守恒
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质点和质点系的动量定理
讨论
1、F 为恒力
F
F
I Ft
2、F 为变力
t2 I Fdt F (t2 t1 )
第三章 动量守恒和能量守恒
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3-1
质点和质点系的动量定理
(Theorem of momentum of the mass point system) 对两质点分别应用质点动量定理 质点系
二
质点系的动量定理
m2 ( F F ) d t m v m v m1 t1 2 21 2 2 2 20 F12 F21 0 因内力 t2 t1 ( F1 F2 )dt (m1v1 m2 v2 ) (m1v10 m2 v20 ) n n t2 ex F dt mi vi mi vi 0
t2
t2
t1
( F1 F12 )dt m1v1 m1v10
F1
F21 F12
F2
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i 1
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质点和质点系的动量定理
t2
t1
n n ex F dt mi vi mi vi 0 i 1 i 1
dp d(mv) F Fdt dp d (mv) dt dt t2 dm 0 Fdt p2 p1 mv2 mv1
dt
t1
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质点和质点系的动量定理
动量(Momentum)
p mv
N ex F Fi
n
p0 mi vi 0
i 1
11
t2 ex I F dt
n p mi vi i 1
t1
第三章 动量守恒和能量守恒
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质点和质点系的动量定理
对于无限小的时间间隔内,质点系动量定理.
ex ex dp F dt dp , F dt
F m1 g yg
ex
m1
y
y
由质点系动量定理得
F dt dp
ex
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F yg F dt dp
ex
ex
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质点和质点系的动量定理 m2
O
又
dp d( yv)
d yv yg dt
m1
ygdt d( yv)
第三章 动量守恒和能量守恒
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质点和质点系的动量定理
在直角坐标系分量表示 In cartesian coordinate componet equations I t2 F dt mv mv 2x 1x x t1 x t2 I y t Fy dt mv2 y mv1 y 1 I t2 F dt mv mv 2z 1z z t1 z 质点在某方向上的动量增量,仅与质点 说明 (Description) 在该方向上所受外力的冲量有关． The momentum increment of the mass point on some direction only depends on the impulse of the extermal force on the same direction
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3-1 质点和质点系的动量定理 例 2 一柔软链条长为l,单位长度的质量为.链条放 在桌上,桌上有一小孔,链条一端由小孔稍伸下,其余部分 堆在小孔周围.由于某种扰动,链条因自身重量开始落下. 求链条下落速度与落下距离之间的关系.设链与各处的 摩擦均略去不计,且认为链条软得可以自由伸开 . 解 以竖直悬挂的链条 m2 和桌面上的链条为一系统, O 建立如图坐标 则
mv cos (mv cos ) 2mv cos
Fx t mv2 x mv1x
mv2
y
2mv cos F Fx 14.1 N 方向沿x轴反向 t
第三章 动量守恒和能量守恒
Fy t mv2 y mv1 y mv sin α mv sin 0
I p p0
质点系动量定理:作用于系统的合外力的冲量等于 系统动量的增量. The theorem of momentum of the mass point system: The impulse of the combined external forces acting on the mass point system equals the increment in momentum of that system.
第三章 动量守恒和能量守恒
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质点和质点系的动量定理
t2 I Fdt mv2 mv1
t1
质点的动量定理:在给定的时间间隔内,外力作 用在质点上的冲量,等于质点在此时间内动量 的增量.
Theorem of momentum of a mass point: In the given time interval, the impulse on a mass point by a external force is equal to the increment in the momentum of that mass point in the same time interval