二阶常系数非齐次线性微分方程的解法及例题详解
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
y'''+p(x)y''+q(x)y'=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an…… y^(n+1)+py^(n)+qy^(n-1)=a0n!x+a1(n-1)! y^(n+2)+py^(n+1)+qy^(n)=a0n! 令y^n=a0n!/q(q≠0),此时，y^(n+2)=y^(n+1)=0。由
y*= xQk (x) ex
其中Q(x)是与p(x)同次的多项式，k按α不是特 征根、是单特征根或二重特征根，依次取0,1 或2.
将y*代入方程，比较方程两边x的同次幂的系 数（待定系数法），就可确定出Q(x)的系数而 得特解y*。
多项式法：
设常系数线性微分方程
y''+py'+qy =pm (x)pm ex
y=Y+y*.
两种特殊类型
e 1.f(x)= x Pm （x）型 e 2. f(x)= x[ P(lx) cos ωx+ (xP) )nsin ωx]型
例题
解法 通解=非齐次方程特解+齐次方程通解
对二阶常系数线性非齐次微分方程形式
ay''+by'+cy=p(x) ex
的特解y*具有形式
其中p，q，λ是常数，pm(x)是x的m次多项 式，令y=ze^(λz) ，则方程可化为：
F″(λ)/2!z″+F′(λ)/1!z′+F(λ)z=pm(x) ，这里 F(λ)=λ^2+pλ+q为方程对应齐次方程的特征 多项式。
升阶法：
设y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)，当f(x)为多项式时，设 f(x)=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an，此时，方程两 边同时对x求导n次，得
二阶常系数非齐次线性微分方程
二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是
y''+py'+qy=f(x)
其中p，q是常数，f（x）是给定的非零连续函数.
通解
如果y*是方程y''+py'+qy=f(x)的一个特解，Y 是它所对应的齐次线性微分方程 y''+py'+qy =0 的通解，
那么非齐次线性微分方程y''+py'+qy=f(x)的通 解就是
如果已知线性微分方程对应齐次方程的一 个特解，就可以用降阶法求出其解，线性 齐次微分方程的特解也可以用降阶法求出 。
则有 y'=dy/dx=Dy，y''=d^2y/dx^2=D^2y
于是y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)可化为(D^2+pD+q)y=f(x)， 令F(D)=D^2+pD+q，称为算子多项式， F(D)=D^2+pD+q即为F(D)y=f(x)，其特解为 y=f(x)/F(D) 。
降阶ห้องสมุดไป่ตู้：
y^(n+1)与y^n通过倒数第二个方程可得y^(n-1)，依次 升阶，一直推到方程y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)，可得到方 程的一个特解y(x)。
微分算子法：
微分算子法是求解不同类型常系数非齐次线性 微分方程特解的有效方法，使用微分算子法求 解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解记忆 较为方便，计算难度也可降低。引入微分算子 d/dx=D，d^2/dx^2=D^2，
y*= xQk (x) ex
其中Q(x)是与p(x)同次的多项式，k按α不是特 征根、是单特征根或二重特征根，依次取0,1 或2.
将y*代入方程，比较方程两边x的同次幂的系 数（待定系数法），就可确定出Q(x)的系数而 得特解y*。
多项式法：
设常系数线性微分方程
y''+py'+qy =pm (x)pm ex
y=Y+y*.
两种特殊类型
e 1.f(x)= x Pm （x）型 e 2. f(x)= x[ P(lx) cos ωx+ (xP) )nsin ωx]型
例题
解法 通解=非齐次方程特解+齐次方程通解
对二阶常系数线性非齐次微分方程形式
ay''+by'+cy=p(x) ex
的特解y*具有形式
其中p，q，λ是常数，pm(x)是x的m次多项 式，令y=ze^(λz) ，则方程可化为：
F″(λ)/2!z″+F′(λ)/1!z′+F(λ)z=pm(x) ，这里 F(λ)=λ^2+pλ+q为方程对应齐次方程的特征 多项式。
升阶法：
设y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)，当f(x)为多项式时，设 f(x)=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an，此时，方程两 边同时对x求导n次，得
二阶常系数非齐次线性微分方程
二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是
y''+py'+qy=f(x)
其中p，q是常数，f（x）是给定的非零连续函数.
通解
如果y*是方程y''+py'+qy=f(x)的一个特解，Y 是它所对应的齐次线性微分方程 y''+py'+qy =0 的通解，
那么非齐次线性微分方程y''+py'+qy=f(x)的通 解就是
如果已知线性微分方程对应齐次方程的一 个特解，就可以用降阶法求出其解，线性 齐次微分方程的特解也可以用降阶法求出 。
则有 y'=dy/dx=Dy，y''=d^2y/dx^2=D^2y
于是y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)可化为(D^2+pD+q)y=f(x)， 令F(D)=D^2+pD+q，称为算子多项式， F(D)=D^2+pD+q即为F(D)y=f(x)，其特解为 y=f(x)/F(D) 。
降阶ห้องสมุดไป่ตู้：
y^(n+1)与y^n通过倒数第二个方程可得y^(n-1)，依次 升阶，一直推到方程y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)，可得到方 程的一个特解y(x)。
微分算子法：
微分算子法是求解不同类型常系数非齐次线性 微分方程特解的有效方法，使用微分算子法求 解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解记忆 较为方便，计算难度也可降低。引入微分算子 d/dx=D，d^2/dx^2=D^2，