幂零矩阵的性质及的应用

幂零矩阵性质及应用

性质1：A 为幂零矩阵的充要条件是A 的特征值全为0。 证明：⇒

A 为幂零矩阵 k Z +∴∃∈ .0k s t

A =

令0λ为A 任意一个特征值，则00,.s t A ααλα∃≠= 由引理7知，0k λ为k

A 的特征值 00

.k k s t A ββλβ∴∃≠= 从而有0k λ=0即有00λ=

又有0k

A =，知00k

k

A A A ==⇒=

0*(1)(1)00k k E A A A ∴-=-=-=-⋅= 00λ∴=为A 的特征值。

由0λ的任意性知，A 的特征值为0。 ⇐

A 的特征值全为0

A ∴的特征多项式为()n f E A λλλ=-=

由引理2知，()0n f A A == 所以A 为幂零矩阵。 得证 性质2：A 为幂零矩阵的充要条件为0k k Z trA +∀∈=。

证明：⇒

A 为幂零矩阵，由性质1，知：

A 的特征值全为0 即120n λλλ==

==

由引理7，知 k

A 的特征值为120k k k n λλλ==

==

从而有 120k k k k n trA λλλ=++

+=

⇐由已知，120

k k k k n k Z trA λλλ+

∀∈=++

+=(1.1)

令12,,

,t λλλ为A 的不为0的特征值

且i λ互不相同重数为(1,2,

,)i

n i t =

由（1.1）式及引理7，得方程组

1122222

1122333

112211220000t t t t t t t t t t t n n n n n n n n n n n n λλλλλλλλλλλλ+++=⎧⎪+++=⎪⎪+++=⎨⎪⎪

⎪+++=⎩

(1.2)

由于方程组（1.2）的系数行列式为

12222121212

121212

11

11

()

t t t t

t

t

t

t

t

t

t t t i j j i t

B λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ≤<≤=

==∏-

又(1,2,)i

i t λ=互不相同且不为0，0B ∴≠

从而知，方程（1.2）只有0解，即0(1,2,

,)i n i t ==

即A 没有非零的特征值

A ∴的特征值全为0， 由性质1，得 A 为幂零矩阵 得证

性质3：若A 为幂零矩阵

则A 的若当标准形J 的若当块为幂零若当块，且J 和主对角线上的元素为0 证明：A 为幂零矩阵， 由性质1，知 A

的特征值全为0 由引理3，知 在复数域上，存在可逆矩阵T ，使得

12

1

s J J T AT J -⎛⎫

⎪

⎪= ⎪ ⎪⎝

⎭

其中11

i i i J λλ⎛⎫ ⎪

⎪= ⎪ ⎪⎝

⎭

阶数为(1,2,

,)i

n i s =

由引理4，知(1,2,

,)i i s λ=为J 和特征值

又A 与J 相似，由引理6，知A 与J 有相同的特征值 所以0(1,2,

,)i i s λ== 即J 的主对角线上的元素全为0

由引理8，知 (0)()0(1,2,,)i i n

n

i i J E J i s -===

12,,

,s J J J 为幂零矩阵 得证

性质4：若A 为幂零矩阵，则A 一定不可逆但有1,1A E E A +=-= 证明：A 为幂零矩阵，k Z +∴∃∈ .0k s t

A =

00k

k A A A ∴==⇒= A 一定不可逆

由性质1，得 A 的特征值为120n λλλ====

由引理7，得

,A E E A +-的特征值分别为 12

12011,101

n n λλλλλλ'''''''''====+===

==-= 且有1211n n A E λλλ''

'+=== 1211n n E A λλλ''''

''-===

即1,1A E E A +=-= 得证

性质5：若A E +为幂零矩阵，则A 非退化 证明：令12,,

,n λλλ为A 的特征值

若A 退化，则有 0A = 由引理7，得 12

0n A λλλ==

∴至少存在0

i λ=0为A 的特征值

又由引理7，得

110i λ+=≠为A E +的一特征值

这与A E +为幂零矩阵矛盾 得证A 为非退化

性质6：若A 为幂零矩阵，B 为任意的n 阶矩阵且有AB BA =，

则AB 也为幂零矩阵。 即与幂零矩阵可交换的矩阵也是幂零矩阵 证明：

A 为幂零矩阵 .0k k Z s t

A +

∴∃∈=

又AB BA = ()00k k k k

A B A B B ==⋅=

AB ∴也为幂零矩阵 得证 性质7：若A 为幂零矩阵且0k

A =， 则（1）1

21()

k E A E A A A ---=++++