湘教版数学八年级上册解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法

初中数学试卷

解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法

——形成精准思维模式，快速解题

◆类型一利用“三线合一”作辅助线

一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线)

1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.

(1)求证：DE＝DF；【方法11】

(2)若∠A＝90°，图中与DE相等的有哪些线段(不需说明理由)?

2．如图，△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA＝EC，求证：EB⊥AB.

二、构造等腰三角形

3．如图，△ABC的面积为1cm2，AP垂直∠ABC的平分线BP于P，则△PBC的面积为( )

A．0.4cm2

B．0.5cm2

C．0.6cm2

D．0.7cm2

◆类型二巧用等腰直角三角形构造全等

4．(2016·铜仁中考)如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上，求证：DE＝DF.

◆类型三等腰(边)三角形中截长补短构造全等

5．如图，已知AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于D，求证：BC＝AB＋CD.

参考答案与解析

1．(1)证明：连接AD.∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠EAD＝∠FAD.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°.∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADF，∴DE＝DF.

(2)解：若∠BAC ＝90°，图中与DE 相等的线段有AE 、AF 、BE 、CF 、DF .

2．证明：作EF ⊥AC 于F .∵EA ＝EC ，∴AF ＝FC ＝12AC .∵AC ＝2AB ，∴AF ＝AB .∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD .又∵AE ＝AE ，∴△ABE ≌△AFE (SAS)，∴∠ABE ＝∠AFE ＝90°，∴EB ⊥AB .

3．B 解析：延长AP 交BC 于点D .∵BP 平分∠ABC ，BP ⊥AD ，易得AB ＝BD ，AP ＝PD ，

∴S △ABP ＝S △BPD ，S △ACP ＝S △CPD ，∴S △PBC ＝12

S △ABC ＝0.5cm 2.故选B. 4．证明：如图，连接CD .∵AC ＝BC ，D 是AB 的中点，∴CD 平分∠ACB ，CD ⊥AB ，∴∠CDB ＝90°.又∵∠ACB ＝90°，∴∠BCD ＝∠ACD ＝45°，∠B ＝45°，∴∠ECD ＝∠B ＝∠BCD ，∴CD ＝BD .∵ED ⊥DF ，∴∠EDF ＝∠EDC ＋∠CDF ＝90°.又∵∠CDF ＋∠BDF ＝90°，∴∠EDC ＝∠FDB ，∴△ECD ≌△FBD (ASA)，∴DE ＝DF .

5．证明：如图，在线段BC 上截取BE ＝BA ，连接DE .∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠EBD ＝12

∠ABC .又∵BD ＝BD ，∴△ABD ≌△EBD (SAS)，∴∠BED ＝∠A ＝108°，∠ADB ＝∠EDB .又∵AB ＝AC ，∠A ＝108°，∴∠ACB ＝∠ABC ＝12

×(180°－108°)＝36°，∴∠CDE ＝∠DEB －∠C ＝108°－36°＝72°，∠DEC ＝180°－∠DEB ＝180°－108°＝72°.∴∠CDE ＝∠DEC ，∴CD ＝CE ，∴BC ＝BE ＋EC ＝AB ＋CD .