简谐运动 机械波多解问题

简谐运动、机械波的多解性简谐运动是质点运动的一种基本模型，它的基本特点就是周期性和对称性．在解答某些 问题时，如果能充分利用其对称性，不仅物理过程简单明了，而且解答也很简洁．波的传播和介质各质点的振动之间有密切的内在联系，在求解此类问题时，如果质点振动或波的传播方向不确定和波的传播时间不确定等，就容易出现多解现象．解题时往往人为地选定某一方向为波的传播方向或是质点的振动方向， 造成漏掉一个相反方向的可能解．如果解题中又不能透彻分析题意，合理使用已知条件，就会造成解答不完整，或用特解代替通解现象．简谐运动的多解性简谐振动的多值性 ：作简谐振动的质点，是一个变加速运动，质点运动相同的路程所需的时间不一定相同．简谐振动是周期性的运动，若运动的时间与周期存在整数倍的关 系，质点运动的路程是唯一的，若运动时间为周期的一半，运动的路程具有唯一性．若不具备以上条件，质点运动的位移是多值的．情形一：简谐振动的对称性引出的多值例1．一个做简谐运动的质点在平衡位置O 点附近振动，当质点从O 点向某一侧运动时，经3s 第一次过P 点，再向前运动，又经2s 第二次过P 点，则该质点再经 s 的时间第三次过P 点．分析与解： 由题意“从 O 点”出发，“过 P 点继续”运动知，P 点不是平衡位置和位移最大的特殊点，做出示意图，题中未明确质点第一次从 O 到P 的路径，因此需多向思维，考虑到可能的两种情况． 若质点沿图14-1中①的方向第一次过 P 点 ，历时3s ；由P 到b ，再由b 到P 共历时2s ，则由其对 称性知P 、b 间往返等时，各为1s ，从而可知4T =4s ，周期 T =16s ，第三次再过 P 点，设由P 向左到a ，再返回P ，历时一个周期 T 减去P 、b 间往返用的 2s ，需时t=(16—2)s=14s ．若沿图1中② 的方向第一次过 P 点，由对 称性可知，从 O 到P 的时间与从P 到O 的时间相等，设为t ’ ，则有：'3'22'4T t t -=+=由上式解得1'3t =s,163T =s ，质点第三次过 P 点历时10''23t T =-=s ，故此时的答案为：14s 或103s ． 情形二：运动方向性引出的多值性例2．一质点做简谐运动，从平衡位置开始计时，经过0.5s 在位移最大处发现该质点，则此简谐运动的周期可能是（ ）A.2sB.2s 3C.1s 2D.1s 4解：质点从平衡位置开始运动时，是先向发现点运动还是背离发现点运动，题目中并未说明，故分析时应考虑两种情况：若质点先向发现点运动，设周期为T 则，t =T n )41(+，且n=0、1、2、3…… 图14-1由上式可知答案A 正确；若质点先向背离发现点运动，设周期为T 则，t =T n )43(+，且n=0、1、2、3…… 由上式可知答案B 正确．情形三：周期性变化引出的多值性在解决与振动有关的问题时，要充分考虑到振动的周期性，由于振动具有周期性，所以此类问题往往答案不是一个而是多个．例3．如图14-2所示，光滑圆弧轨道的半径为R ，圆弧底部中点为O ，两个相同的小球分别在O 正上方h 处的A 点和离O 很近的轨道B 点，现同时释放两球，使两球正好在O 点相碰。

问h 应为多高？分析与解： 对A 球，它做自由落体运动，自h 高度下落至O 点212A h gt t =∴= 对B 球可视为单摆，延用单摆周期公式可求B 球到对B 球振动周期2B T π= 到达O 点的时间为 1()2424B T T n t n T =+=+ (0,1,2,n =2121244B n n t T ++⎛⎫⎛⎫∴==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212n +⎛⎫= ⎪⎝⎭要求两球相碰，则A B t t = ,212n π+⎛⎫= ⎪⎝⎭ 解得：22(21)8n h R π+= (0,1,2,)n =机械波的多解性机械波在传播过程中时间上和空间上的周期性、传播方向的双向性、以及质点振动方 向的不确定性都是形成波动问题多解的主要原因，解题时稍一疏忽就会出现漏解．情形一：时间 、距离不确定形成多解沿着波的传播方向，间距等于数倍波长的两相邻质点振动情况完全相同；在振动时间上，间隔等于整数倍周期的两相邻质点振动情况也完全相同，所以，已知条件若没有给定波传播的时间或没有给定波传播距离，就会出现多解现象．例4. 如图13-3所示，实线表示t时刻的图线，箭头表波的传播方向，虚线表示经14-2过时间Δt 后的波形图，已知波长为λ ，试求波的传播速度．分析与解： 因未给定波传播距离，比较实线波形和虚线波形，在时间Δt 内，波向右传播距离可能是3711,,,444λλλ ． 故3(),(0,1,2)4x n n λ∆=+= ，则波的传播速度通解为： 3(43)()/44x n v n t t t λλ∆+==+∆=∆∆，(0,1,2)n =情形二：方向不确定性出现多解波源起振后产生 的波可以在介质中向四周传播 ． 若题 中没有特别注明传播方 向，则求解时必须讨论其传播方向 ，从而导致了波的多解问题 ．例 5．如图14-4(甲)所示 ，绳中有一列正弦横波 ，沿x 轴传播 ，a 、b 是绳上两点，它们在x 轴上的距离小于一个波长，当 a 点振动到最高点时，b 点恰好经过平衡位置向上运 动．试在图上 a 、b 之间画出波形图．分析与解：本题没有注明波的传播方向，所以需分波向x +轴 ，x -轴方向传播讨论．由于a 、b 间距离小于一个波长．因此a 、b 间不足一个波形 ，其图像如图14-4(乙) 所示 ，①为波向x +轴传时波形 ，② 为波沿x -轴传时的波形．情形三：波的时间周期性而形成多解在波传播过程中，当经过的时间是周期的整数倍时，波形与原来相同，形成波的各质点的振动情况也与原来时刻相同．所以，已知条件没有给定传播时间与周期间的关系时，就会出现多解问题．如在解题时只分析传播时间∆t<T 的情况就会造成特解代替通解的漏解现象．例6． 一列横波在t=0和t=1 s 时刻的波形如下图 14-5中实线和虚线所示．由此可判定 此波的( )．A 波长一定是4 cm ；B 周期一定是4 S ；C 振幅一定是2 cm ；D 传播速度一定是1 cm ·S-1 分析与解：由图可直接得出振幅A=2 cm ， 波长4cm λ=，故A 、C 正确；但波的传播方向 和周期T 与∆t 之间的关系均未知，故周期与波速应有多解： 若波向右传播，则1()4t n T ∆=+从而图14-3图14-4 图14-514s s(0,1,2)1/441T n n n ===++ 所以110.01(41)(41)(0,1,2).v n m s n cm s n Tλ--==⨯+=+= 同理可得当波向左传播时443T s n =+ 1(43)(0,1,2).v n cm s n -=+= 故B 、D 错误．情形四：质点振动方向导致的多解问题例7． 如 图14-6所示 ，为一列简谐横波在某时刻的波形图，图中 P 点为介质中一质点，此时刻P 恰好位于平衡位置 ，已知波的周期为 0．4s ，则质点P 到达波峰的时间为多少？分析与解：根据质点的振动情况解决问题 如果质点 P 从此时刻开始向上运动，则需要经过14T 到达最高点，即0.1s; 如果质点 P 从此时刻开始向下运动，则需要经过34T 到达最高点，即0．3s.情形五：波长不确定出现的多解沿着波的传播方向，相隔整数倍个波长的两个质点振动的步调是完全相同的，所以当题 中已知条件没有明确波传播的距离和波长的关系时，会出现多解现象．例8. 如图14-7所示，一列横波沿x 正方向传播，波速大小为 600m ／s ，当离原点 3m 的A 质点恰在平衡位置且向上振动时，离原点6m 的B 质点正处于x 轴上方最大位移 5cm 处，试求此列波的频率．分析与解：根据题意可以判断出，AB 之间的距离3()4s n λ=+ (1,2,3n = 所以波长123434s n n λ==++ (1,2,3)n = 再根据v f λ=，可以得到200150v f n λ==+H Z情形六：形状的周期性造成的多解问题例９． 在机械波的传播方向上有a 、b 两 个质点，ab 间距为L ．某一时刻，当a 点处于正的最大位移处时，b 点刚好在平衡位置；经过一 段时间t 后，发现a 点在平衡位置，b 点在负的最大位移处。

若时间 t 小于一个振动周期T ，且波向右传播，则波的传播速度为多少?分析与解:该例题给出了波的传播方向，但未给出ab 间距为L 与波长之间的关系。

因此分析可知，可能会出现图14-8、图14-9两种情形。

图中点 b l 、b 2、b 3…… 表示满足条件的相差波长整数倍的点。

图14-6图14-7根据图14-8可知：ab 间距()1()4L n n N λ=+∈．由于 t<T ，所以，不论点b 在何处，满足条件的各点的振动时间均为34t T =，因此图14-8对应的传播速度为： 134,4(41)3Ln L v n N T n t t λ+===∈+ 根据图14-９可知：ab 间距()3()4L n n N λ=+∈．由于 t<T ，所以，不论点b 在何处，满足条件的各点的振动时间均为14t T =，因此图14-8对应的传播速度为： 34,4(43)Ln L v n N T t n t λ+===∈+情形六：质点振动图像导致的多解问题例10．一 列沿x +轴传播的简谐波 ，在1x =10 cm 和2x =110 cm 处的两点振动图线分 别如图14-10中实线和虚线所示，试求质点振动周期和简谐波的波长．分析与解 ：题目只给定了两个质点振动图像 ，从图像较易得出，振动周期为 4 s ，同时振动图像还揭示了质点的位置关系． 1x 质点在 t=0时刻位于正的最大位移处 ，2x 质点此时位于平衡位置且向上振动 ．但满足此条件的 ，位置有许多个．图14-11中的 A 、B 、C …… 等 ．因此,机械波的波长有多个答案．1x 、2x 间距遵循2114x x n λλ-=+，(0,1,2)n =图14-8 图14-9图14-10 图14-11从而可得 441m n λ=+ (0,1,2)n =练习 141．某简谐振动物体由平衡位置出发开始振动，频率为0.25 Hz ，它在什么时刻速度最大？什么时刻加速度最大？2．质点作简谐振动，从某位置开始经过3 s 又回到该位置，再经过4 s 质点离平衡位置的距离和原来相同，则它的周期多大？3．一列频率为50Hz 的横波在x 轴上传播,某时刻,在x =-2m 的质点A 正通过平衡位置向上运动时,在x =4m 处的质点恰好处于上方最大位移处(1)设这列波的波长大于6m ,若沿x 轴正方向传播,则波速多大?若沿x 轴负方向传播,则波速多大?(2)若这列波的波速为240m ／s ,求波的传播方向4．在坐标原点O 处有一波源S ,它沿y 轴做频率为50Hz 、振幅为2cm 的简谐运动,形成的波可沿x 轴正、负方向传播,波速为20m ／s ,开始振动时S 恰好通过O 点沿y 轴正方向运动,求:(1)当S 完成第一次全振动时,在图14-12上画出此时刻的波形图；(2)如果波传到坐标为x 1=2.7m 的M 点时,还要经历多少时间才能传到坐标为x 2=-2.9m 的N 点?波传到N 点时质点M 在什么位置?参考答案：１．2k s, (2k +1) s ２．14 s ，8 s ，14 / 3 s 3．(1)若向右传播6m 43=λ,λ=8m ,v =λf =400m /s ；若向左传播s /1200m f v ,24m ,6m 41====λλλ (2)8m .4f v ==λ两点间距离等于λ411.∴波向左传播４．(1)如图14-13(2)波传到M 点时.同时也传到了x ′2=-2.7m 的N ′点,NN ′=△x =0.2m 由△x =v △t ,所以△t =0.01s .这说明向右的波传到M 后,向左的波再经过半个周期波才传到N 点,即质点M 还要做半次全振动,所以M 正好位于平衡位置且向y 轴负方向运动图14-12图14-13。