五年级奥数春季班第13讲 概率初识

第十三讲概率初识

模块一、认识概率

例1．有数颗质量分布均匀的正方体骰子，六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，且相对的两面的和是7， （1）如果抛一颗骰子，数字“2”朝上的可能性是；

（2）如果抛2颗骰子，点数之和为6的概率为；点数之积为6的概率为； （3）如果抛2颗骰子，所得两个数的乘积大于10的可能性是；

（4）艾迪、薇儿和大宽三人玩掷骰子的游戏：将两颗骰子一起掷出，看朝上两个面的和是多少，和是6，算艾迪胜；和是7，算薇儿胜；和是8，算大宽胜。他们三人获胜的可能性大。

（5）如果抛7颗骰子投掷后，规定：向上七个面的数的和是10，则甲胜，向上7个面的数的和是39，则乙胜，则甲获胜的概率乙获胜的概率。（填“大于”、“小于”或“等于”） 解：（1）P =

1

6

； （2）两颗骰子中数字相加有6×6=36种情况，而点数之和为6，有1+5、2+4、3+3、4+2、5+1共5种情况，

所以概率P 1=

536

； 点数乘积为6，有1×6、2×3、3×2、6×1共4种情况，所以概率P 2=

19

； （3）乘积大于的情况有2×6、3×4、3×5、3×6、4×3、4×4、4×5、4×6、5×3、5×4、5×5、5×6、6×2、6×3、6×4、6×5、6×6共17种，所以概率P =

17

36

； （4）数字和为6的有1+5、2+4、3+3、4+2、5+1共5种；

数字和为7的有1+6、2+5、3+4、4+3、5+2、6+1共6种； 数字和为8的有2+6、3+5、4+4、5+3、6+2共5种； 所以薇儿的胜算最大；

（5）七颗骰子向上的面的数字和最小是7，接着是8、9、10；

最大是42，前面是41、40、39；它们离中心位置的距离一样，所以获胜的概率相同。

例2．艾迪在愉快的玩飞镖，飞镖的镖盘如图1所示，投掷到对应的区域得到对应的的分数，10分对应的圆半径为1，每向外一层对应的半径加1，投掷一镖后，假设艾迪没脱靶，请问：

图1 图2 （1）艾迪得到10分的概率是；

（2）艾迪得到的分数大于5分，小于8分的概率是； （3）艾迪至多得到8分的概率是。、；

（4）突然，艾迪发现了一种新型靶盘，如图2所示，红色区域称为幸运区，红色区域对应的圆心角是60°，投掷到红色区域也可以得10分，则艾迪得到10分的概率是。 解：（1）最外圈的大圆的面积是36π，得10分的中心小圆的面积是π，

5678910

所以概率P =

136

； （2）大于5分小于8分，即得6或7分，这个圆环的面积是(52−32)×π=16π，所以概率P =

164

=369

ππ； （3）至多得8分，可以把得9分和10分的情况排除掉，中心半径为2的小圆的面积为4π， 概率是1−

436=89

； （4）红色的扇形的面积是大圆面积的

16，即6π，再加上最小的圆的面积的56，即56

π， 所以得10分的面积为416π，所以得10分的概率为P =4141

366216

ππ÷=。

模块二、概率中的经典模型 例3．薇儿在玩抛硬币游戏：

（1）如果抛一枚硬币，前3次中，有2次正面朝上，1次正面朝下，问第4次抛硬币正面朝上的概率是。 （2）如果抛一枚硬币6次，有5次正面朝上的概率是； （3）如果抛一枚硬币6次，至少有1次正面朝上的概率是；

（4）如果抛两枚硬币1次，两枚都正面朝上的概率是；一枚正面朝上一枚背面朝上的概率是；至少一枚正面朝上的概率是。

解：（1）第4次是独立事件，概率还是

12

； （2）这是一个二项分布，概率是5

516113()()2232C ⨯⨯=；

（3）6次都是反面朝上的概率是164，所以至少1次正面向上的概率是1−164=63

64

；

（4）如果抛两枚硬币1次，两枚都正面朝上的概率是14；一枚正面朝上一枚背面朝上的概率是1

2

；至少一

枚正面朝上的概率是3

4

。

例4．袋子中有大小、形状都相同的红球、蓝球、绿球各2个： （1）从中无放回地摸出2个球，2个球都是红球的概率是；

（2）从中无放回地摸出2个球，2个球颜色相同的概率是；2个球颜色不同的概率是； （3）从中有放回地摸出2个球，2个球颜色相同的概率是；2个球颜色不同的概率是；

解：（1）从中无放回地摸出2个球，2个球都是红球的概率是111

3515⨯

=； （2）从中无放回地摸出2个球，2个球颜色相同的概率是113155⨯=；2个球颜色不同的概率是1

4

155-=

； （3）从中有放回地摸出2个球，2个球颜色相同的概率是1113333⨯⨯=；2个球颜色不同的概率是1

213

3

-=

。

例5．袋子中有大小和形状完全相同的1个红球和5个白球，A 、B 、C 、D 、E 、F 六人按顺序每人摸出1个球，谁摸到红球谁就获胜，那么：

（1）A 获胜的概率是；B 获胜的概率是；6个人中谁获胜的概率更大；

（2）如果规则改变：每个人摸完后都要把球再放回袋中，直到有人摸出红球，之后的人就不再摸球；在这种规则下，获胜的概率更大。

解：（1）A 获胜的概率是16；B 获胜的概率是16

；6个人中谁获胜的概率一样大；

（2）如果规则改变：每个人摸完后都要把球再放回袋中，直到有人摸出红球，之后的人就不再摸球；在这种规则下，A 获胜的概率更大。

模块三、生活中的概率

例6．学校打算在1月4日或1月10日组织同学们看电影。确定好日期后，老师告诉了班长，但是由于“四”和“十”发音接近，班长有10%的可能听错（把4听成10或者把10听成4），班长又把日期告诉了小明，小明也有10%的可能性听错。那么小明认为的看电影的日期是正确日期的可能性是%。 解：班长听对，小明也听对的可能是(1−10%)(1−10%)=81%，班长听错，小明也听错的可能是10%×10%=1%， 所以小明认为的看电影的日期是正确日期的可能性是82%。

随堂测试

1．甲、乙两个学生各从0~9这10个数字中随机挑选了两个不同的数字，则 （1）这两个数字的差是2的概率是； （2）这两个数字的差不超过2的概率是。

解：（1）随机挑选的种数是2

10C =45（种），而数字差是2的有（0，2）；（1，3）；……；（7，9），共8种情况；所以概率是

8

45

； （2）数字差为1的情况有9种，所以数字差不超过2的情况有17种，概率为

1745

。

2．如果飞镖随意的投向下图所示的木板上且不脱靶，那么飞镖落在木板上阴影部分的可能性是。

解：木板的面积是6×6=36，阴影部分的面积是132，所以飞镖落在木板上阴影部分的概率是13

72

。 注：正方形格点中图形的面积公式：S =N +

2

L

−1，其中N 是内部的点数，L 是周边的点数。

3．任意向上掷一枚硬币若干次，

（1）那么第4次掷硬币时正面向上的概率是。 （2）如果掷6次，有3次正面向上的概率是。

解：（1）概率是

12

； （2）概率是3

66120526416

C ⨯==。

4．袋子里有大小、形状都相同的小球5个其中白球3个，红球2个 （1）从中摸出两个球，这2个球都是白球的概率是；

（2）从中有放回的摸出两个球，这2个球颜色相同的概率是；颜色不同的概率是。