五年级奥数下册第六讲 数图形
五年级奥数——立体图形问题
年 级 五年级授课日期授课主题第6讲——立体图形问题教学内容i.检测定位通过解决立体图形问题可以培养我们的空间想象能力.许多时候拿出或自己做一个实物，亲自观察或动手操作一下，问题的解决会变得相当容易.【例1】如图6-1，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米、5厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得的多面体的表面积是___________平方厘米.分析与解 先求棱长分别是1厘米、2厘米、3厘米、5厘米这四个正方体的表面积之和，然后减去图中粘贴在一起部分的面积之和.）（）（611422233-611223355⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯+⨯.19440-234（平方厘米）== 说明 解答本题的关键是要能正确分析出粘贴部分有哪几个面，以及这几个面的面积分别是多少. 随堂练习1如图6-2，将一个长方形木条平均截成6段，每段长2米，表面积增加了120平方厘米.问这根木条原来体积是多少立方厘米？【例2】在一个长24分米，宽9分米，高8分米的水槽中注入高4分米的水，然后放入一个棱长为6分米的正方体铁块，问水位上升了多少分米？分析与解 首先应判断放入铁块后，水位是否能将铁块淹没.1. 假设上升水位能将铁块淹没，那么水位至少上升了6分米.由于放入的棱长为6分米的正方形铁块体积为（立方分米），216666=⨯⨯它放入水槽后水位将上升.1924216（分米）=÷÷加上原来已注入的水位高4分米.因此放入铁块后水槽中的水位高为（分米），514=+小于铁块的高6分米，因此上升的水位不能将整个铁块淹没.2. 假设水位上升了x 分米，列方程得 )4(66924+⨯⨯=⨯⨯x x ， 46+=x x ，).(8.0分米=x 答：水位上升了0.8分米. 随堂练习2一个长方体的水箱，从里面量长8分米、宽6分米.先倒入102升水，再放入一块棱长2分米的正方形铁块，这时水面离箱口2分米.问这个水箱的容积是多少立方分米（升）？【例3】正方体木块被砍掉一个角（这里的角，指三条线相交处），剩余部分最多有_____个角，最少有_____个角.分析与解 画图考虑几种情况，分别数出剩余部分有多少个角，再进行比较.截面如图6-3①，剩余部分最多有10个角；截面如图6-3②，剩余部分最少有7个角. 随堂练习3如图6-4由一个正五边形、五个长方形、五个等边三角形组成，它是一个立体图形的平面展开图，那么这个立体图形有______条棱.【例4】如图6-5，把2、4、6、8、10、12这6个数依次写在一个立方体的正面、背面、两个侧面以及两个底面上，然后把立方体展开，最左边的正方形上的数时12，问最右边有“？”的正方形上的数是什么？分析与解我们将展开图重新组合成立方体，令写2的面为正面得到下图6-6，可见到2与“？”相对，因此.4？随堂练习4沿图6-7的虚线折叠可以围成一个长方体.它的体积是多少？【例5】把正方体的6个面涂上六种不同的颜色，并画上朵数不同的花，各面的颜色和对应的花朵数目的情况如下表所示：现将上述大小相同，颜色、花朵分布完全一样的四个立方体拼成一个如图6-8所示的长方体，那么这个长方体的下底面共有多少朵花？分析与解如图6-8所示，黄与蓝、紫、红、绿相邻，所以黄与白相对；又紫与黄、蓝、白（它是黄的对面）、红相邻，所以紫与绿相对；从而红与蓝相对.据此可知4个下底面的颜色依次为紫、蓝、白、红色，它们对应的花朵数分别为5、3、4、1，其和为13.随堂练习5如例5，小立方体中各面的颜色与所对应的花朵数不变，四个立方体拼成的长方体如图6-9.那么这个长方体下底面共有多少朵花？颜色红黄蓝白紫绿花朵数目 1 2 3 4 5 6【例6】在一个正方形纸板的四角剪去一个大小相同的小正方形，便可以做成一个没有盖的纸盒，按图6-10中）（A 、）（B 、）（C 、）（D 四种方法做出来的纸盒中，容积最小的是_________，容积最大的是_________.分析与解）（A 的容积为（立方厘米）64444=⨯⨯ ）（B 的容积为（立方厘米）108663=⨯⨯ ）（C 的容积为（立方厘米）128882=⨯⨯ ）（D 的容积为（立方厘米）10010101=⨯⨯ 比较后可知，容积最小的是）（A ；容积最大的是）（C . 随堂练习6下面）（A 、）（B 、）（C 是三块形状不同的铁片，将每块铁片沿虚线弯折后焊接成一个无盖的开口为正方形的长方形铁箱，装水最多的水箱是由_______铁皮焊接的.想一想如图1，将1、2、3、4、5、6、7、8分别放置于正方体的8个顶点a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 、h 处，使每一个面上的4个数的和相等.答案如图②，每个面上的4个数的和为18.ii.针对培养1.如图是用棱长1厘米的立方体搭成的一个空间图形.问其体积是多少？表面积是多少？2.从一个长方体上截下一个体积是32立方厘米的长方体后，剩下的部分正好是棱长为4厘米的正方体.问原来这个长方体的表面积是多少平方厘米？3.一下图中可以拼成正方体的是（）4.一根铁丝围成的长方体，长15分米，宽8分米，高7分米.如果还用这根铁丝改围成一个正方体，那么这个正方体的棱长是多少分米？5.有三个完全一样的长方体，用三种不同的方法，分别切成了两个完全一样的长方体，结果它们的表面积分别增加了40、48、60平方厘米.想一想，原来的长方体的表面积是多少平方厘米，体积是多少立方厘米？6.一个长方体水箱，长5分米、宽4分米、深3分米，水面离箱口3厘米，如果把一块棱长2分米的正方体水泥块放入水中，这时箱内会溢出多少升水？7.有一个空的长方体容器A（如图①）和一个水深24厘米的长方体容器B（如图②）.现将容器B中的水倒一部分到容器A中，使两容器水的高度相同，这时两容器的水深为几厘米？8.如图，有一个“空心”大长方体，空心部分相对的两个面是通的，问这个“空心”大长方体是由多少个小木块组成的？（这些小木块是完全相同的正方体）9.从一个长方体上截下一个体积是100立方厘米的小长方体后，剩下部分正好是一个棱长为5厘米的正方体.原来长方体的表面积是多少平方厘米？10.用三个同样的长、宽、高分别是4厘米、3厘米和2厘米的小长方体，拼成一个表面积最大的长方体.这个大长方体的表面积是多少平方厘米？11.一个长方体木块，长5分米，宽3分米，高4分米，在它六个面上都涂满油漆，然后锯成棱长都是1分米的正方体木块.问锯成的木块中几个三面有油漆？两个面、一个面有油漆的各有多少个？有没有各个面都没有油漆的？12.一个长方体，如果长增加5厘米，则体积增加150立方厘米；如果宽增加4厘米，则体积增加160平方厘米；如果高增加3厘米，则体积增加144立方厘米.问长方体的表面积是多少平方厘米？。
五年级奥数-数图形.
练习2.数一数，下图中有多少个三角形？
12 3 4
1 234 5
(4+3+2+1)×2=20 个
(5+4+3+2+1)×3=45 个
例4.数一数，下图中有多少个角？
1
11
2
3
4
2
4+3+2+1=10 个
拓展1. 数一数，下图中有几个三角形？
拆除2条红线和蓝绿线后有三角 形 14个 2条红线返回后增加6个三角形
绿线返回后增加10个三角形
蓝线返回后增加14个三角形
还可以这样数： 单个三角形 16个 2个三角形组合16个 4个三角形组合8个
8个三角形组合4个
总共16+16+8+4=44 个
总共14+6+10+14= 44个
拓展2、数出下面图形中分别有多少个三 角形？
红线退出后有3个三角形。 红线返回后有增2个三角形。
20 16 8
20+16+8+4= 48 个
数一数，图中有多少个正方形？
51
5+4+1= 10 个
数一数，图中有多少个长方形？
3 13 3
20 3+3+3+1=
个
设想大 长方形消失 则有15+10-1=24个
还原大长方形则增4
个
总共24+4总= 共282个8个
数一数，下图中有多少个三角形？
还可以这样数：
线段总数=端点数×基本线段数÷2
数线段：方法二
31542
共5+4+3+2+1= 15条线段
小学奥数标准版巧数图形详解
段3线总段条条段共数4 ×3 ÷=12=条6条线
练一练
AB
C
D
E
AB C D E F
① 5+4+3+2+1=15（条）
FG ① 6+5+4+3+2+1=21（条） ② 7 ×6 ÷2=21（条）
② 6 ×5 ÷2=15（条）
线段条数=（端点数-1）+（端点数-2）+（端点
数-3）+……+1
或者
线段条数=端点数×（端点数-1） ÷2
分类数图形
认识基本的几何图形
AB
左端点 右端点
直线
线 段
AB
A
端点
线 段 射线
三角形
长方形
角
先自己独立数一数，再与同桌交流数的方法！
A
B
C
D
一共有多少条线段？
请跟我一起来数一数吧！
A
B
C
D
下图中有几条 线段呢？
以A为左端点的线 段条数 3以条B为左端点的线 段2以段条条条C为数数左1条端点的线
思路导航：数图形中有多少个长方形和数 三角形的方法一样，长方形是由长宽两对线 段围成，线段 CD上有4+3＋2＋1=10条线段， 其中每一条与 AC中一条线段对应，分别作 为长方形的长和宽，这里共有 6×1=6个长方 形 ； 而 AC 上 共 2 ＋ 1=6 条 线 段 也 就 有 10×6=18个长方形。
二图叠加后总共有2+8=10个正方形，16+28=44个三角形。
或直接数三角形16+16+8+4=44
8组合 4组合 单个 2组合
小学奥林匹克数学 竞赛数学 五年级 第6讲-几何计数
第6讲几何计数【例1】导引拓展篇第1题如图，数一数，图中有多少个三角形？包含1个小三角形的有25个包含4个小三角形的有13个包含9个小三角形的有6个包含16个小三角形的有3个包含25个小三角形的有1个++++=所以共有个251363148按照顺序数出图形个数【例2】导引拓展篇第2题数一数，两个图形中分别有多少个三角形？包含1块的三角形有5个；包含2块的三角形有4个；包含3块的三角形有1个；包含4块的三角形有1个；没有5块和6块的三角形；包含7块的大三角形1个；因此所有三角形一共有++++=5411112【例2】导引拓展篇第2题数一数，两个图形中分别有多少个三角形？ 共有12个三角形 增加10个三角形 增加10个三角形因此原图中共有个三角形． B C BA DEF12101032++=【例3】导引拓展篇第3题数一数下面的三个图形中分别有多少个三角形．整个五边形被分成了11块由1块构成的三角形有10个；由2块构成的三角形是10个；由3块构成的三角形共10个；由5块构成的三角形有5个．共有10＋10＋10＋5＝35个三角形。
【例3】导引拓展篇第3题数一数下面的三个图形中分别有多少个三角形．加上虚线就加上6个三角形变成35个三角形原图共有35－6＝29个三角形【例3】导引拓展篇第3题AB C增加了一条线段AC以AB为边增加三角形有4个，以BC为边增加三角形有2个，以AC为边增加三角形有6个，共增加12个共有35＋12＝47个三角形数一数下面的三个图形中分别有多少个三角形．【例4】导引拓展篇第4题数一数，图中有多少个三角形？两个部分中各有35个三角形第一种有10个第二种有5个原图中共有35×2＋10＋5＝85个三角形【例5】导引拓展篇第5题数一数图中共有多少个长方形？（正方形是特殊长方形）由1块组成的长方形共有7个由2块组成的长方形共有4个由3块组成的长方形共有2个由4块组成的长方形有1个由5块组成的长方形有1个由6块组成的长方形有1个由7块组成的长方形有1个图中共有长方形7＋4＋2＋1＋1＋1＋1＝17个【例6】导引拓展篇第5题如图所示的一个大菱形，那么图中共能数出多少个菱形？设最小的菱形边长为1边长为1的菱形共有4×4=16个边长为2的菱形共有3×3=9个边长为3的菱形共有2×2=4个边长为4的菱形有1×1=1个菱形共有16+9+4+1=30个2212＋（⋅⋅⋅⋅⋅⋅）1-nn＋＋【例7】导引拓展篇第7题这是一个长为9，宽为4的长方形网格，每一个小格都是一个正方形．请问：（1）从中可以数出多少个长方形？（2）包含黑点的长方形有多少个？(1)从5条横线中取2条横线共有种方法从10条竖线中取2条竖线共有中方法图中共有长方形 22510450C C ⨯=(2)黑点上面有2条横线，下面有3条横线所以有2×3=6种取法左边有6条竖线，右边有4条竖线 所以又4×6=24种取法 共有6×24=144个含黑点的长方形 21n 21m C C ++⨯m ×n 个网格中有 个长方形【例8】导引拓展篇第8题数一数，图中共有多少个长方形？左边阴影一共有长方形个 右方阴影一共有长方形个 被重复计算有个 图中一共包含长方形90+63-18=135个224690C C ⨯=227363C C ⨯=224318C C ⨯=【例9】导引拓展篇第9题图中共有多少个平行四边形？尖朝右、尖朝左和尖朝上三种最小的平行四边形有6个两个小平行四边形拼成的有6个三个小平行四边形拼成的有2个四个小平行四边形拼成的有1个共15个有15×3=45个平行四边形【例10】导引拓展篇第10题18个大小相同的小正三角形拼成了一个平行四边形．数一数，图中共有多少个梯形？左上右下的斜线、左下右上的斜线和竖线三种左上右下：6×3+4=22个梯形左下右上： 6×3+4=22个梯形竖线梯形：5×2+2=12个所以共有22+22+12=56个梯形【例11】导引拓展篇第11题木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵．用橡皮筋一共可以套出多少个不同的三角形？三角形由不在同一直线的三点组的 从12个点中任意选择3个点有 共线三点组共有12+8=20个 所以共有220-20=200个三角形220C 312【例12】导引拓展篇第12题方格纸上放了20枚棋子，以棋子为顶点，可以连出多少正方形？最小方格有9个小正方形小正方形个数有4个小正方形个数有2个小正方形个数有4个小正方形个数有2个一共有9+4+2+4+2=21个【例13】导引拓展篇第13题图中，共有多少个不同的曲边形？中间是1个五角星，边上是5个小块1个小块：5+5=10个曲边型2个小块： 3个小块: 4个小块: 5个小块:1个共有10+10+10+5+1=36个曲边型10C 25=10C 35=5C 45=【例14】导引拓展篇第14题一个2×3的网格中，每个小正方形的面积都是1．那么以格点为顶点，可以连成多少个面积为1的三角形？底是2高是1、底是1高是2底是2高是1： 底是1高是2： 底是1高是2又是底是2高是1：直角三角形重复 重复直角三角形为1×2直角三角形1×2的长方形中由4个这样的直角三角形 重复共有4×7=28种面积为1的三角形共有：50+48-28=70种4×2 +4×2×2 +4×2 +9×2 =50种 3×4×2 +2×3×4 =48种本讲知识点汇总一、按照顺序数出图形个数二、m ×n 的方格中长方形的个数为 三、正方形以及菱形的个数为 四、可以通过对称或者图形相似简化计数过程21n 21m C C ++⨯22211-n n ＋＋）＋（⋅⋅⋅⋅⋅⋅下节课见！。
小学五年级奥数课件：数数图形
因此，这个图中共有长方形 3×6=18个
数长方形的个数可以用公式：
长边上的线段数×宽边上的线段数=长方形的个 数
举一反三1
数数下面图形中分别有几个长方形？
1、
2、
10×6=60
3、
3×10=30
3＋2＋2=7
例2 数一数下面图形中有多少个正方形？（每个小方格为 边长为1个长度单位的小正方形）
1、
2、
3、
2×2＋1×1=5 16＋9＋4＋1=30 25＋16＋9＋4＋1=55
例2 数一数下面图形中有多少个正方形？（每个小方格为 边长为1个长度单位的小正方形）
例2 数一数下面图形中有多少个正方形？（每个小方格为 边长为1个长度单位的小正方形）
例2 数一数下面图形中有多少个正方形？（每个小方格为 边长为1个长度单位的小正方形）
例2 数一数下面图形中有多少个正方形？（每个小方格为 边长为1个长度单位的小正方形）
例2 数一数下面图形中有多少个正方形？（每个小方格为 边长为1个长度单位的小正方形）
例2 数一数下面图形中有多少个正方形？（每个小方格为 边长为1个长度单位的小正方形）
例2 数一数下面图形中有多少个正方形？（每个小方格为 边长为1个长度单位的小正方形）
例2 数一数下面图形中有多少个正方形？（每个小方格为 边长为1个长度单位的小正方形）
长边AB上一共有1+2=3条线段
数一数下图中有多少个长方形？
A
B
D
C
长边AB上一共有1+2=3条线段
数一数下图中有多少个长方形？
A
B
D
C
长边AB上一共有1+2பைடு நூலகம்3条线段
五年级奥数大纲
五年级奥数大纲 work Information Technology Company.2020YEAR桂林中美实验学校校本奥数教材大纲四年级上册部分第一讲、加减法的巧算本章是在学生熟练掌握四则运算基础上进行学习的，主要内容有：加法的巧算、减法的巧算、加减法混合的巧算。
具体主要介绍了三大块加减法巧算的一些技巧：一、“凑整”法是加减法巧算的主要方法：把能够凑成整十、整百、整千、、、的数相加；把接近整十、整百、整千、、、、的数看作所接近的整数进行简算。
二、根据算式中运算符号的特征运用加法结合律、加法交换律及一些基本运算性质和技巧进行简算。
（基本性质：a－(b－c)=a－b＋c a－b＋c = a－(b－c) a－(b＋c)= a－b－c a－b－c= a－(b＋c))三、“基准数加累计差”的方法进行简算。
通过本章的学习，要求学生掌握速算、巧算的一些基本技巧同时能够使计算准确、合理、快速、巧妙；在探索巧算方法与技巧的过程中培养学生的数感，发展和提高学生对问题的分析能力。
第二讲、乘除法的巧算本章是在学习了加减法的巧算基础上来学习乘法、除法、乘除混合的巧算。
加减法中的“凑整”巧算思想也同样可以运用到乘除法的巧算当中。
本章节主要介绍几种常见的乘除法巧算的方法和技巧：一、直接凑整乘和分解因数后凑整乘。
（5×2=10 25×4=100 125×8=1000 625×16=10000）；二、运用运算定律巧算：乘法交换律、乘法结合律和乘法分配律及它们的推广；三、利用积、商变化规律对算式进行适当变形简算；四、乘除混合运算中改变运算顺序或运算符号进行简算；五、乘除混合运算中运用运算规则进行简算。
本章的学习要求学生通过运用一些运算定律和运算规则及运算技巧熟练掌握乘法、除法、乘除混合的巧算，提高计算能力。
进一步培养学生数感，提高学生的观察、分析、综合能力。
第三讲、等差数列求和及运用本专题学习内容共分两章节：第一章：简单的等差数列求，第二章：等差数列的简单运用。
五年级奥数题：图形的计数
6I图形的计数1段. 2. 的边A 1A 12OA 2,OA 3,_____个三角形3. 4. 5. 数一数(1)(2)(2)6. 7. ),如果用线绳围正方形,最多可以围出_____个.8. 一块相邻的横竖两排距离都相等的钉板,上面有4⨯4个钉(如下左图).以每个钉为顶点,你能用9. 如下左图_____个.10. 数一数.二、解答题11. 如下左图中共有7层小三角形，求白色小三角形的个数与黑色小三角形的个数之比. 12. 134厘米、8厘米、914．将ABC ∆的每一边4等分，过各分点作边的平行线，在所得下图中有多少个平行四边形？———————————————答 案—————————————————————— 1．30由例1注可知图形中每边有3+2+1=6（条）线段，因此整个图形中共有6⨯5=30条线段. 2. 371A 6A 12分解成以OA6为公共边的两个三角形1A 6中共有5+4+3+2+1=15(个)三角形, OA 6A 12中共6+5+4+3+2+1=21(个)三角形,这样,图中共有15+21+1=37(个)三角形. 3. 15这样的问题应该通过分类计数求解.此题中的三角形可先分成含顶点C 的和不含顶点C 的两大类.含顶点C 的又可分成另外两顶点在线段AB 上的和在线段BD 上的两小类.分类图解如下:,每行都有6⨯3=18(个)梯形. 5. 108,36(1)因为长方形是由长和宽组成的,因此可分别考虑所有长方形的长和宽的可能种数.按照前面所介绍的线段的计数方法可分别求出长和宽的线段条数,将它们相乘就是所有长方形的个数.因为AB 边上有8+7+6+…+2+1=289⨯=36条线段，AD 边上有2+1=3条线段，所以图中一共有36⨯3=108个长方形.(2)三角形一共有6行,每行都有3+2+1=6(个),所以一共有6⨯6=36(个)三角形. 6. 30由例5注可知整个图形中共有12+22+32+42=30个正方形. 7. 50此类问题一般用分类方法计数.对正方形的边长分八类计数如下: 边长为AB 的正方形有16个； 边长为AC 的正方形有9个； 边长为AD 的正方形有4个； 边长为AE 的正方形有1个； 边长为DF 的正方形有9个； 边长为CF 的正方形有8个； 边长为BF 的正方形有2个； 边长为CG 的正方形有1个. 所以,最多可围出50个正方形. 8. 44因为正方形是特殊的长方形,所以可以把正方形看成长方形,这样就不必分别求正方形和长方形的个数,仍用分类计数的方法求解.先考虑有一组对边平行于BC 的长方形有多少个.这一类按其水平边的位置可分为6小类,即位置在BF 、FE 、EC 、FC 、BE 、BC .同样,其竖直边也分为6类.所以这一类有6⨯6=36个长方形.2个长方形..所以，共有9+4+2+4+2=2110． 30将原立体图形从左至右分类计算，共有11+7+5+7=30个.11. 白色小三角形个数=1+2+3+ (6)26)61(⨯+=21， 黑色小三角形个数=1+2+3+…+7=27)71(⨯+=28，所以它们的比=2821=43.12. 解法一本图中三角形的个数为(1+2+3+4)⨯4=40(个).下面求梯形的个数.梯形由两底唯一确定.首先在AB ,CD ,EF ,MN 中,考虑两底所在的线段,共有(4⨯3)÷2=6(种)选法；对上述四条线段中确定的两条线段，共有10（10=4+3+2+1）个梯形.共60个梯形.故所求差为20.解法二在图4个三角形,6个梯形,梯形比三角图形图形多2个.而在题图中,这种恰有10个.故题图中,梯形个数与三角形的个数之差为2⨯10=20(个).13. 边长2厘米的正方形:2⨯2=4(个) ……红色 边长4厘米的正方形(4-1)⨯4=12(个) ……红色 (4-2)⨯(4-2)=4(个) ……白色 边长8厘米的正方形(8-1)⨯4=28(个) ……红色 (8-2)⨯(8-2)=36(个) ……白色 边长9厘米的正方形(9-1)⨯4=32(个) ……红色 (9-2)⨯(9-2)=49(个) ……白色 所以,红色小正方形共有 4+12+28+32=76(个) 白色小正方形共有 4+36+49=89(个)[注]本题的要求是由边长为1厘米的红色和白色两种正方形,分别组成边长是2厘米,4厘米,8厘米,9厘米的大小不同的正方形,可以看作方阵问题来解.四周的小正方形是涂红色的,可看成是空心方阵,因此,涂红色正方形的个数等于4⨯(n-1).其他小正方形是涂白色的，可当作实心方阵，所以，涂白色的正方形的个数等于(n-2)⨯(n-2).比如,由边长为1厘米的正方形组成边长为9厘米的正方形,涂红色的小正方形的个数是:4⨯(9-1)=32(个),涂白色的小正方形的个数是:(9-2)⨯(9-2)=49(个).14. 将平行四边形分为三类:①尖角在上、下方；②尖角在左下、右上方；③尖角在左上、右下方.就第③类而言: 型6个；型3个，与其对称的3个；型1个，与其对称的1个；型1个；共15个.同理,第②、①类也分别含15个，故上述三类平行四边形共45个.[注]这样数平行四边行,很麻烦,又易出错.我们试图找到一种对应关系:先考虑任一边不与BC平行的平行四边形,延长各边必与BC有4个交点,特殊情况下,第二个交点与第三个交点重合；反过来，BC上的任意四点或三点决定一个平行四边形，也就是说，边不与BC平行的平行四边形的个数与BC上的四交点组和三交点组的数目一样多。
(完整版)五年级奥数-立体图形问题
课程五立体图形问题1。
长方体、正方体表面积的计算2.长方体、正方体的切割问题3.长方体、正方体的体积4.不规则物体的体积计算长方体和正方体的表面积应注意的问题(1）找出必备条件（长、宽、高或棱长）,如题中没有直接给出，则先求出必备条件，再求表面积(有盖还是无盖)。
（2）统一计量单位,单位不统一的，一般要通过化、聚,使单位统一后再计算。
（3)求所需用的面积材料时，一般用“进一法“取近似值。
（4)用同样多的立体拼图，由于拼法不同，重叠的次数不同，表面积就会发生变化，每重叠一次，就减少两个面;每切一刀，就增加两个面。
1.长方体和正方体的体积概念及其计算公式（1）长方体体积＝长×宽×高V 长方体＝abc（2） 正方体体积＝棱长×棱长×棱长V 正方体＝a 32.求不规则物体的体积水中物体的体积＝容器的底面积×水上升或下降的高度。
水上升或下降的高度＝水中物体的体积÷容器的底面积容器的底面积＝水中物体的体积÷水上升或下降的高度例1有一个长15厘米，宽10厘米，高8厘米的长方体,现在要在这个长方体中挖去一个棱长为5厘米的小正方体,那么剩下部分的表面积是多少？(1) (2） （3）分析与解法根据长方体的特征我们可以知道，挖去小正方体的位置有3种情况,可能是在面上，如图(1），可能在顶点上，如图（2），可能在棱上，如图（3)。
在面上时，可以用长方体的表面积＋小正方体4个面的面积；在角上时，正好等于长方体的表面积；在棱上时,要用长方体的表面积+小正方体2个面的面积。
学习目标 重 点 总 结解：原长方体表面积为:（15×10+15×8+10×8） ×2=700（平方厘米）在角上时,剩下部分的表面积是700（平方厘米）；在面上时，剩下部分的表面积是：700+5×5×4=800(平方厘米）在棱上时，剩下部分的表面积是:700＋5×5×2＝750(平方厘米）所以剩下部分的表面积是700平方厘米，或800平方厘米，或750平方厘米.说明：本题也是要考虑可能出现的各种情况，要做到不重不漏。
小学五年级数学下册奥数——组合图形面积
小学五年级数学下册奥数——组合图形面积【典型例题1】一个等腰直角三角形，最长的边是12厘米，这个三角形的面积是多少平方厘米？【对点演练1】1.求四边形ABCD的面积。
（单位：厘米）2.已知正方形ABCD的边长是7厘米，求正方形EFGH的面积。
【典型例题2】正图正方形中套着一个长方形，正方形的边长是12厘米，长方形的四个角的顶点把正方形的四条边各分成两段，其中长的一段是短的2倍。
求中间长方形的面积。
【对点演练2】1.（如下图）已知大正方形的边长是12厘米，求中间最小正方形的面积。
【典型例题3】四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，已知三角形AFH的面积是7平方厘米。
三角形CDH的面积是多少平方厘米？【对点演练3】1.图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，求阴影部分的面积。
【典型例题4】图中ABCD是长方形，三角形EFD的面积比三角形ABF的面积大6平方厘米，AB=4厘米，BC=6厘米。
求ED的长。
【对点演练5】1.如图，平行四边形BCEF中，BC=8厘米，直角三角形中，AC=10厘米，阴影部分面积比三角形ADH的面积大8平方厘米。
求AH长多少厘米？2.图中三个正方形的边长分别是1厘米、2厘米和3厘米，求图中阴影部分的面积。
综合练习1.有一个梯形，它的上底是5厘米，下底7厘米。
如果只把上底增加3厘米，那么面积就增加4.5平方厘米。
求原来梯形的面积。
2.求下图（上右图）长方形ABCD的面积（单位：厘米）。
3.下图中，甲三角形的面积比乙三角形的面积大多少平方厘米？4.图中BC=10厘米，EC=8厘米，且阴影部分面积比直角三角形EFG的面积大10平方厘米。
求平行四边形的面积。
五年级下册奥数题
五年级下册奥数题目录第一讲图形的变换图形的分割与拼接………………………………3-5第二讲因数与倍数数的整除特征一………………………………6-10第三讲因数与倍数数的整除特征二……………………………11-12第四讲因数与倍数奇数与偶数……………………………13-17第五讲因数与倍数最小公倍数与最大公因数……………………18-20第六讲因数与倍数最小公倍数与最大公因数……………………21-26第七讲长方体和正方体巧算表面积………………………………27-30 第八讲长方体和正方体巧算体积……………………………………31-35 第九讲分数的意义和性质……36-40 第十讲分数的加法和减法……41-44 第十一讲平均数问题……………45-49 第十二讲教学广角追及问题…………………………………50-54 第十三讲数学广角还原问题…55-58 第十四讲容斥原理………………59-62 第十五讲抽屉原理和最不利……63-67 第十六讲综合练习…………… 68-98 五年级下册奥数题第一讲图形的变换图形的分割与拼接1、把右图分成形状、大小都相同的四块,并且每个图形中要有一个“·”;2、把下图分成大小、形状相同的三块,使每一块都有一颗星,该怎么分割3、下图是由一个正方形和一个等腰直角三角形组成的,请把它分成大小、形状相同的四块;45、将图中五个图形拼成一个正方形6、将图中长方形切成两块,拼成一个正方形;97、将下图缺两角的长方形分割成两块,然后拼成一个正方形;8、将下图“T”字剪成四块,然后拼成一个正方形;第二讲因数与倍数数的整除特征一1、五位数73 28能被9整除, 里应该是几2、一梯形面积为1400平方米,高为50米,若两底的米数都是整数且可被8整除,求两底,此问题解的组数为多少3、A8919B能被66整除,这个六位数是多少4、期末考试六年级一班数学平均分是90分,总分是 95 ,这个班有多少名学生5、任意一个三位数连着写两回得到一个六位数,这个六位数一定能被7,11,13整除;为什么6、求无重复数字被75整除的五位数3A6B5有多少个7、已知一个两位数恰好是它的两个数字之和的6倍,求这个两位数;8、四位数能被2和3整除中应填 ;9、把789连续写次,所组成的数能被9整除,并且这个数最小;10、四位数36ab能同时被2,3,4,5,9整除,则36ab＝ ;11、把1,2,3这三个数字任意排列,可组成若干个三位数,在这些三位数中,能被11整除的是多少12、七位数22A333A能被4整除,且它的末两位数字组成的两位数3A是6的倍数,那么A等于多少13、同时能被3,4,5整除的最小的四位数是多少14、在十进制数中,各位数均是0或1,并且能被225整除的最小自然数是多少15、有一个1994位数a能被9整除,它的各位数字之和为b,b的各位数之和为c,则c多少16、从3、5、0、1这四个数字中任选出3个组成没有重复数字且同时能被3,5整除的三位数有那些第三讲因数与倍数数的整除特征二1、有一类数,每个数都能被11整除,并且各位数字之和是20,问这类数中,最小的数是多少2、在1~200这200个自然数中,能被6或8整除的数共有几个3、在小于5000的自然数中,能被11整除,并且各数位的数和为13的数,共有多少个4、一个六位数,它能被9和11整除,去掉这个六位数的首、尾两个数字,中间的四个数字是1997,问这个六位数是多少5、一个三位数被9除余7,被7除余5,被5除余3.问：这样的三位数有哪些6、从0~9这9个数字中选出4个数字,使它能被3,5,7,11整除;第四讲因数与倍数奇数与偶数1、1＋2＋3＋4＋…＋2001＋2002是奇数还是偶数2、有一列数：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55……从第三个数开始,每个数都是前两个数的和;那么在前1000个数中,有多少个奇数3、用0~9这10个数组成5个两位数,每个数只用一次,要求它们的和是奇数,那么这5个两位数的和最大是多少4、两个四位数相加,第一个四位数的每个数码都不小于5,第二个四位数仅仅是第一个四位数的数码调换了位置;某同学做出的答数是16246.试问该同学的答数正确吗如果正确,写出这两个四位数；如果不正确,请说明理由;5、若5×3×a×9×b是奇数,则整数a、b的奇偶性适合 ;奇b偶奇b奇偶b偶偶b奇6、a＋b＋c ＝奇数,a×b×c ＝偶数,则a、b、c的奇偶性适合 ;A.三个数都是奇数B.两个奇数一个偶数 C.一个奇数两个偶数 D.三个都是偶数7、a、b、c是任意给定的三个整数,那么乘积a＋bb＋c c＋a的奇偶性为 ;A.奇数B.偶数C.不能肯定,取决于a、b、b的奇偶性D.能肯定,取决于a、b、c的具体数值8、有四个互不相同的自然数,最大的数与最小的数之差是4,最大数与最小数之积是奇数,而这四个数的和是最小数之积是奇数,而这四个数的和是最小的两位数奇数,则这四个数的乘积是多少9、七个连续质数从大到小排列为a,b,c,d,e,f,g,已知它们的和是偶数,那么c等于多少10、A、B、C、E、F、G七盏灯各自装有一个拉线开关,开始B、D、F亮着,一个小朋友按从A到G,再从A到G,再从A到G的顺序依次拉开关,一共拉了2000次,这时亮着的灯是开着还是闭着第五讲因数与倍数最小公倍数与最大公因数1、求42,70和105的最小公倍数;2、能同时被2,3,5整除的最小的三位数是多少3、能同时被2,3,4,5,6,7,8,9整除的四位数有多少个4、求下面每组数的最小公倍数54和81 35和36 26和78 5、求下面每组中三个数的最小公倍数180,150和240 42,168和2526、求能被2,3,5整除的最小四位数;7、能同时被3,5,7除余1的最小的数是多少8、有一个数,同时能被9,10,15整除,满足条件的最大三位数是多少第六讲因数与倍数最小公倍数与最大公因数1、把长120厘米、宽80厘米的铁板裁成面积相等,最大的正方形而且没有剩余,可以裁成多少块2、用某数去除3705余9,去除4759余13,去除5079少3;求某数最大是几3、把长132厘米、宽60厘米、厚36厘米的木料锯成尽可能大的,同样大小的正方体木块,锯后不许有剩余耗损不计,能锯成多少块4、有一批书分给三个小组,平均每人正好分6本;如果只分给第一组,则平均每人分10本；如果只分给第三组,平均每人分得21本;第二组人数接近10人,每组各有多少人5、有一列数5,10,15…,5995,6000共1200个;其中12的倍数有多少个6、25和54的最大公约数是 ,于是,我们称这两个数互为；最小公倍数是 ;7、用96朵红花和72朵白花做成花束,如果每束花里红花的朵数相同,白花的朵数也相同,每束花里最少有多少朵花8、7月6日,宝柱从避暑山庄打电话给乾隆问好,贾六来看望乾隆,春喜在打扫房间;如果春喜每隔3天打扫一次,宝柱每隔6天打一次电话,贾六每隔5天看望一次,则至少经过几天问好、看望、打扫这三件事才能同时发生9、65,42,120的最小公倍数是 ;10、为了搞科学种田的实验,需要将一块长为75米,宽为60米的长方形土地划分为面积相当的小正方形土地,那么小正方形土地的面积最大是多少平方米11、两个数的最大公约数是18,最小公倍数180,两个数相差54,求这两个数各是多少12、有一种新型的电子钟,每到正点和半点都响一次铃,每过9分亮一次,如果中午12点时,它既响了铃,又亮了灯,那么下一次既响铃又亮灯要到什么时间13、爷爷现在的年龄是明明现在年龄的7倍,过几年之和是他的6倍,再过几年就分别是明明年龄的5倍,3倍,2倍,你能算出爷爷现在的年龄是多少吗第七讲长方体和正方体巧算表面积1、一个长方形铁箱,长12分米,宽8分米,高6.5米;如果把它的内外涂上油漆外底面不涂,每平方米用油漆0.25千克,涂这个铁箱要用油漆多少千克厚度忽略不计2、一个正方形木块,棱长是15厘米,从它的八个顶点处各截去棱长分别为1,2,3,4,5,6,7,8厘米的小正体,这个木块剩下部分的表面积最少是多少平方厘米3、建造一个长方体的游泳池,长30米,宽10米,深1.6米,池的四壁和底面用瓷砖铺砌,如果每平方米用瓷砖25块,共需多少块4、一个火柴盒长4.5厘米,宽3.5厘米,高2厘米,如果材料厚度不计,做这样一个火柴盒外壳和内芯共需多少平方厘米纸板5、油漆4根柱子,柱子截面是边长0.3米的正方形,柱子长5米,每平方米油漆费元,共要多少元6、一个长方体是宽的倍,宽是高的2倍,棱长总和是96厘米,这个长方体的表面积是多少平方厘米7、在一个棱长是3分米的正方体一个面的正和一个顶点处,各挖去一个棱长为1分米的正方体如下图,剩下形体的表面积是多少第八讲长方体和正方体巧算体积1、如下图,有一块土地,A地的面积是25平方米,B地的面积是15平方米,A地比B地高4米;现要把A地的土推到B地,使A,B两地同样高,这样B地可升高多少米2、一块长方形铁皮长24厘米,四角剪去边长3厘米的正方形后,然后通过折叠、焊接,做成一个无盖的长方体铁盒,铁盒的容积是486立方厘米;求原来长方形铁皮的面积;3、木工师傅用2厘米厚的木板做成一只有盖的长方体报箱,从外面量长64厘米,宽34厘米,高39厘米,这只报箱的容积是多少4、一根方钢长5米,它的横截面是一个边长2厘米的正方形,已知1立方米钢重7.8千克,一吨这样的钢材约有多少根保留整数5、底面是正方形的长方体,所有棱长之和是80厘米,已知高10厘米,求体积;6、长方体棱长之和是60分米,长是7分米,高是3分米,求长方体体积;7、如下图,有一堆土,甲处比乙处高50厘米,现在要把这堆土推平整,使甲处和乙处一样高,要从甲处取多少厘米厚8、一正方体木箱,从外面量得棱长52厘米,箱壁厚1厘米,求木箱容积;9、在一个棱长为3厘米的大立方体的顶部中央挖去一个棱长为1厘米的小立方体,求这个立方体的表面积和体积;第九讲分数的意义和性质1、一个分数,分子加上1后,其值为错误!,分子减1后,其值为错误!,求这个分数的值;2、有三个分数,错误!,错误!,错误!,这三个分数中最大的是哪一个分数最小的是哪一个分数3、分母是91的最简真分数一共有多少个这些最简真分数的和是多少4、一个分数是错误!,分子、分母同时加上多少后,可得错误!5、错误!的分母加上56,要使分数的大小不变,分子应加上多少6、下列分数中哪些能化成有限小数错误!,错误!,错误!,错误!,错误!,错误!,错误!7、把错误!,错误!,错误!,错误!按从大到小的顺序排列;8、错误!>错误!>错误!, 中可以填的最大数是多少9、分母是85的最简真分数一共有多少个这些真分数的和是多少10、比较分数错误!和错误!的大小;11、分数错误!,错误!,错误!,错误!,错误!中哪一个最大12、比较下列每组数中两个分数的大小：⑴错误!和错误!；⑵错误!和错误!；⑶错误!和错误!.第十讲分数的加法和减法1、计算错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!;1错误!-错误!+错误!-错误!+错误!-错误!+错误!- 错误!错误!+ 错误! +错误!+…+错误!;1- 错误!- 错误!- 错误!- 错误!- 错误!错误!×12+错误!×14+错误!×16+错误!×18 错误!×4+错误!×6+错误!×8+…+错误!×50错误!+错误!+错误!+错误!+错误!错误!+错误!+错误!+错误!+错误!+错误!+…+错误! +错误!+错误!+…错误!错误!+错误!+…+错误!第十一讲平均数问题1、小羽6次数学测验的平均成绩是分,第7次得了96分;小羽7次数学测验的平均成绩是多少分2、某校体育馆购买排球、篮球和足球共87只,共花去元,已知排球的数量是足球的4倍,排球每只元,足球每只34元,篮球每只元;问：学校体育馆购买排球、篮球、足球各多少只3、小羽前四次数学考试平均成绩是91分,为了使平均分达到96分,小明要连续几次考100分4、超市用每千克元奶糖45千克、每千克14元的巧克力糖57千克和若干每千克元的水果糖混合成每千克元的什锦糖;问：应放入水果糖多少千克5、小林读一本故事书,他前6天每天读25页,后3天共读120页;小林平均每天读多少页6、本学期,小亮数学前四个单元测验的平均成绩是85分,他是使前五个单元的平均成绩上升到87分,那么他第五单元必须要考多少分7、有三个数,甲数和乙数的平均数是82,甲数和丙数的平均数是,乙数和丙数的平均数是;甲、乙、丙三个数各是多少8、甲、乙、丙、丁四个数的平均数是10,甲、乙两数的平均数是8,求丙、丁两数的平均数9、A,B,C,D四个数,每次去掉一个数,求出其余三个数的平均数,得到下面四个数：23,26,30,33,那么A,B,C,D四个数的平均数是多少10、学校足球队18人合影留念,照6寸底片印3张价格是元的照片,另外还有加印让每人有一张,加印每张元;平均每人要付多少钱第十二讲教学广角追及问题1、甲骑自行车,乙骑摩托车,两人都要从东城到西城,自行车每小时行16千米,摩托车每小时行40千米;甲先出发小时,乙沿着同一条路线去追赶甲,多少时间后能追上甲2、小明和爸爸同时出门散步,小明向东走,每分钟行60米,爸爸向西走,每分钟行80米,5分钟后,爸爸调转方向去追赶小明;爸爸追上小明时一共走了多少米3、面包车以每小时60千米的速度从甲城开出,30分钟后,小轿车以每小时84千米的速度从甲城开出沿着同一行驶线路追赶面包车,多少小时后追上4、一列队伍长100米,以每分钟80米的速度前进,随队老师因有事从队尾赶到队首,以每分钟100米的速度追赶,经过几分钟才能赶到队首5、家离学校1.8千米,弟弟从家出发以每分钟60米的速度步行,哥哥在15分钟后骑自行车从家出发去追赶弟弟,自行车的速度是每分钟240米,哥哥在离家多远的地方追上弟弟哥哥追上弟弟后继续前行,到达学校后立即返回,不久与弟弟相遇,那么相遇处离学校多远6、兄妹两人同时从家出发去上学,哥哥每分钟走90米,妹妹每分钟走60米;哥哥到校门口时,发现未带课本,立即沿原路回家去取,在离学校180米处遇到妹妹;问：家距学校有多远7、龟兔赛跑,全程2000米;龟每分钟爬25米,兔每分钟跑320米;兔自以为速度快,在途中睡了一觉,结果龟到终点时,兔离终点还有400米;兔在途中睡了多少时间8、小华、小丽和小霞三人都要从甲地到乙地,早上6时,小华和小丽两人一同从甲地出发,小华每小时走5千米,小丽每小时4千米;小霞上午8时才从地出发,傍晚6时,小华和小霞同时到达乙地;小霞是在什么时间上小丽的第十三讲数学广角还原问题1、甲、乙、丙三个修路队合修一条公路,甲队修的是乙队的3倍,丙队修的是乙队的4倍;如果丙队每天修700米,3天可以超出任务500米;甲队修了米;2、粮食仓库里的粮食第一次运走它的一半少10吨,第二次运走剩下的一半6吨,第三次运走30吨后仓库里还剩下40吨粮食;求仓库原有粮食多少吨3、南南今年9岁,当他问爷爷今年有多少岁时,爷爷风趣地说：“把我的岁数加上5再乘以3,然后缩小10倍再减去12,正好与你的岁数相同;”问南南的爷爷有多少岁4、甲、乙两个化肥仓库共贮存化肥360吨;由于甲仓库修理空调设备,移走了100吨化肥放入乙仓库,待修好设备后,又从乙仓库拉回60吨化肥;这时甲仓库的化肥是乙仓库化肥的2倍;求甲、乙仓库原有化肥多少吨5、甲、乙、丙三个同学共有120张邮票;甲给乙13张邮票,乙给丙23张邮票,丙给甲3张邮票,这时,甲、乙、丙三人的邮票数正好相等;甲原来有邮票多少张6、1枝钢笔,所用的钱比所带的总钱数的一半多元；买了1枝圆珠笔,所用的钱比买钢笔后余下的钱的一半少元；又买了元的本子,最后还剩元;小明带了多少元钱7、一个数缩小10倍后再增加80,然后扩大3倍,再减去85得200.求这个数;8、红星彩印厂2005年对2004年的税后利润进行了统计,利润的一半将用作全厂职工的工资,剩下的要拿出350万扩建厂房,再用剩下的一半为职工建住房,2005年春节又要支出20万给职工过节,最后还剩下480万元;红星彩印厂2004年的税后利润是多少万元第十四讲容斥原理1、甲班和乙班共有83人,乙班和丙班共有86人,丙班和丁班共有88人;问甲班和丁班共有多少人2、在1至100的整数中,能被2整除或能被3整除的整除共有多少个3、在1~100的整数中,不是5的倍数也不是6的倍数有多少个4、某班共有45人,其中35人会中国象棋,30人会国际象棋,38人会围棋,40人会跳棋,可以肯定这个班至少有多少人以上四种棋都会5、有50个学生,他们穿的裤子是白色的或黑色的,上衣是蓝色的或红色的;若有14人穿的是蓝色上衣、白裤子,31人穿黑裤子,18人穿红上衣、黑裤子的学生有多少个;6、五年级一班共有45人,其中有35人会用电脑打字;这个班有男生23名,女生中有6人不会用电脑打字,那么男生有多少人会用电脑打字7、有36人参加田径运动会,每人至少参加两项比赛,已知有10人没有参加跳的项目,参加投掷项目的人数与同时参加跑和跳两个比赛项目的人数都是22人;问仅参加跳和投资两项的人数有多少8、在1~500中,不能被2整除,也不能被3整除,又不能被7整除的数有多少个;9、育才小学组织一次数学竞赛,共出了A、B、C三大题,至少做对一道题的有40人,其中做对A题的有15人,做对B题的有20人,做对C题的25人;如果三道题都做对的只有两人,那么只做对两道题的有多少人只做对一道题的又有多少人第十五讲抽屉原理和最不利原则1、有12个小朋友,阿姨至少要拿多少只苹果分给小朋友,方能保证至少有一个小朋友能得到两只或两只以上的苹果2、一个班里有59名同学,说明其中至少有两名同学在同一个星期里过生日;3、有5个小朋友,没人都从装有许多黑白围棋子的布袋里随意摸出3枚棋子;试证明这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的;4、学校体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球;现有66名同学来仓库拿球,要求每人至少拿一个球,至多拿2个球;问：至少有多少名同学所拿的球种类是完全一样的5、为了迎接外宾来学校参观,学校准备了红、黄、绿三种小旗,每个同学都左右两手各拿一面彩旗列队迎接外宾;至少有多少位同学才能保证其中至少有两个人不但所拿小旗颜色一样,而且左、右顺序也相同6、从10到20这11个自然数中,任取7个数,证明其中一定有两个数之和是29;7、“华杯”赛获奖的87名学生来自12所小学,证明：至少有8名学生来自同一所学校;8、52张扑克牌有红桃、黑桃、方块、梅花4种花色各13张,问：⑴至少从中取出多少张牌,才能保证有花色相同的牌至少2张；⑵至少从中取出几张牌,才能保证有花色相同的牌至少5张；⑶至少从中取出几张牌,才能保证有4种花色的牌；⑷至少取出几张牌,才能保证至少有2张梅花牌和3张红桃牌；⑸至少从中取出几张牌,才能保证至少有2张牌的数码或字母相同;第十六讲综合练习1.将下图分割成五个大小相等,形成相同的图形2.将下图分割成两块,然后拼成一个正方形;3.有一块长4.8米、宽3米的长方形地毯,现在把它铺到长4米、宽3.6米的房间中;请将它裁成形状相同、面积相等的两块,使其正好铺满房间;4.四块相同的不等腰的直角三角板,拼成一个外面是正方形,里面有正方形孔的图形;5.在□里填上适当的数字,使78□□既能被9整除,又能被2整除;6.在□内填上适当的数,使六位数32787□能被4或25整除;7.五年级有72名学生,课间加餐共交□□元,每人交了多少元8.在865后面补上3个数字,组成一个六位数,使它能被3,4,5整除,且使这个数值尽量可能的大;9.根据能被11整除的数的特征,判断下列数中哪几个能被11整除：3434 3443 52019 6886810.根据能被7,11,13整除的数的特征,判断能否被7,11,13整除;11.把三位数3AB接连重复地写下去,共写5个3AB,所得的数3AB3AB3AB3AB3AB恰好是91的倍数, 应是多少12.求一个最小的自然数A,使A×13的积的末四位数字组成的四位数是1999.13.1+2+3+…+1993的和是奇数还是偶数;14.元旦前夕,同学们相互送贺年卡;每人只能接到对方贺卡就一定回赠贺年卡,那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数,还是偶数为什么15.小华买了一本共有96张纸练习本,并依次将每张纸的正反两面编号即由第1页一直编到192页,小丽从这本练习本中撕下25张纸,并将写在它们上的50个编号相加;试问：小丽所加得的数能不能为199416.有1993个孩子,每人胸前有一个号码,号码从1到1993各不相同;能不能将这些孩子排成若干排,使每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号码数的和并说明理由;17.用一个数去除30,60,75,都能整除,这个数最大是多少18.一个数用3,4,5除都能整除,这个数最小是多少19.有三根铁丝,长度分别是120厘米、180厘米和300厘米;现在要把它们截成相等的小段,每根都不能有剩余,每小段最长多少厘米一共可以截成多少段20.加工某种机器零件,要经过三道工序;第一道工序每个工人每小时可完成3个零件,第二道工序每个工人每小时可完成10个,第三道工序每个工人每小时可完成5个,要使加工生产均衡,三道工序至少各分配几个工人21.甲数是36,甲、乙两数的最大公因数是4,最小公倍数是288,求乙数;22.已知两数的最大公因数是21,最小公倍数是126,求这两个数的和是多少23.已知两个自然数的和是50,它们的最大公因数是5,求这两个自然数;24.已知两个自然数的积为240,最小公倍数为60,求这两个数;25.在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体有图,求这个立体图形的表面积;26.在一个棱长为4厘米的正方体的上底面正中挖去一个棱长为1厘米的小正方体,求所得的立体图形的表面积;27.把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起,按右图中的方式拼成一个立体图形;求这个立体图形的表面积;28.一个正方体形状的木块,棱长为1米,沿着水平方向将它锯成3片,每片又按任意尺寸锯成4条,每条又按任意尺寸锯成5个块,共得到大大小小的长方体60块,如右图;这60块长方体表面积的和是多少平方米29.一个长方体的体积是288立方米,底面积是36平方厘米,它的高是多少30.把一块棱长123分米的正方体钢坯,熔铸成截面是9平方分米的长方体钢材,铸成的钢材长度是多少31.一个长方体模型,表面积是160平方厘米;这个长方体恰好能割成两个完全一样的正方体,那么,①其中一个正方体的体积是多少② 原来长方体的体积是多少32. 一只长15分米,宽12分米的长方体玻璃缸中,有10分米深的水,放入一块棱长为3分米的正方体铁块,铁块全部侵没在水中,并且没溢出,这时水面升高了多少厘米33. ⑴ 比较83和115的大小; ⑵ 比较83和187的大小; 34. ⑴比较125和169的大小 ⑵比较20062005和20082007的大小; 35. ⑴比较1111111和111111111的大小⑵比较87873232和878787323232的大小; 36. 在下面四个算式中,哪一个结果最小①15×1991 ②15÷43×32 ③÷54 ④ ×7473 37. 将61拆成两个不同的分数单位之和,你能找到几种不同的分拆方法38. 计算下面各题：21+41= ； 21+41+81= 21+41+81+161= 21+61+121+201+…+901 39. 计算：311⨯ +531⨯+751⨯+…+199519931⨯+199719951⨯40.甲、乙、丙三个村共同开山建路,甲村带了5箱炸药,乙村带了4箱炸药,丙村末带炸药;三村经协商后决定炸药共用,钱款平摊;经过计算,丙村应付给甲、乙两村炸药费共360元,甲、乙两村各应分得多少钱41.下面三个数的平均数是140,请将内的数字填上： , 8 27. 42.数学考试的满分是100分,六位同学的平均分是91分,这六个同学的分数各不相同,其中一个同学得65分,那么居第三名的同学至少得多少分43.有1500人报考的某学院入学考试,录取了300人,录取者的平均成绩。
五年级奥数举一反三第0506周之分类数图形尾数和余数
分类数图形、尾数和余数分类数图形专题简析：我们在数数的时候，遵循不重复、不遗漏的原则，不能使数出的结果准确但是在数图形的个数的时候，往往就不容易了。
分类数图形的方法能够帮助我们找到图形的规律，从而有秩序、有条理并且正确地数出图形的个数。
例题1下面图形中有多少个正方形?分析：图中的正方形的个数可以分类数，如由一个小正方形组成的有3=18个，2X2的正方形有5X 2=10个，3X 3的正方形有4X仁4个。
共有18+10 + 4=32个正方形。
练习一3,下图中共有多少个正方形，多少个三角形?6X因此图中1,下图中共有多少个正方形?例题2下图中共有多少个三角形?分析为了保证不漏数又不重复，我们可以分类来数三角形，然后再把数出的各类三角形的个数相加。
（1）图中共有6个小三角形；（2）由两个小三角形组合的三角形有3个；（3）由三个小三角形组合的三角形有4个；（4）由六个小三角形组合的三角形有1个。
所以共有6+3+4+仁14个三角形。
练习二1, 下面图中共有多少个三角形？3,数一数，图中共有多少个三角形?例题3数出下图中所有三角形的个数。
分析和三角形AFG —样形状的三角形有5个；和三角形ABF—样形状的三角形有10个；和三角形ABG-样形状的三角形有5个；和三角形ABE一样形的三角形有5个；和三角形AMD H样形状的三角形有5个，共35个三角形。
练习三数出下面图形中分别有多少个三角形例题4如下图，平面上有12个点，可任意取其中四个点围成一个正方形, 这样的正方形有多少个?分析把相邻的两点连接起来可以得到下面图形，从图中可以看出:（1）最小的正方形有6个；（2）由4个小正方形组合而成的正方形有2个；（3）中间还可围成2个正方形。
所以共有6+2+ 2=10个。
练习四1, 下图中共有8个点，连接任意四点围成一个长方形，一共能围成多少个长方形？•••・•••・2, 下图中共有6个点，连接其中的三点围成一个三角形，一共能围成多少个三角形?3, 下图中共有9个点，连接其中的四个点围成一个梯形，一共能围成多少个梯形？例题5数一数，下图中共有多少个三角形?1, 单一的小三角形有16个；2, 两个小三角形组合的有10个；3, 四个小三角形组合的有8个；4，八个小三角形组合的有2个。
新人教版五年级下册,奥数辅导第六周,长方体正方体
新人教版五年级下册，奥数辅导第六周，长方体正方体长方体和正方体班级：姓名：得分：3、一个正方体的棱长总和是48厘米，它的表面积是（），体积是（）。
4、把三个棱长为1分米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是（），体积是（）。
5、把一个棱长是a米的正方体木材，任意截成两个小长方体后，表面积比原来多（）。
6、把一个棱长为4厘米的正方体，分割成两个长方体，这两个长方体表面积总和是（）。
7、一个正方体的棱长扩大到原来的5倍，则表面积扩大到原来的（）倍，它的体积扩大到原来的（）倍。
8、一个长方体各条棱长和是96厘米，并且它的长是宽的2倍，宽与高相等，那么这个长方体的体积是（）立方厘米。
9、将两块棱长相等的正方体木块拼成一个长方体，已知长方体的棱长总和是48厘米。
则这个长方体的体积是（）10、将一个表面涂有红色的长方体分割成若干个体积为1立方厘米的小正方体，其中一点红色没有涂的小立方体只有3块。
原来长方体的体积是（）立方厘米。
6、用三个长3厘米，宽2厘米，高1厘米的长方体拼成一个大的长方体，这个大长方体的表面积最大是62平方厘米，最小是54平方厘米. 三、基础题。
1、一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米，表面积是多少平方厘米？3、有一个长8厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体木块，在它的左右两角各切掉一个正方体（如下图），求切掉正方体后的表面积和体积各是多少？6、把两个完全一样的长方体木块粘成一个大长方体，这个大长方体的表面积比原来两个长方体的表面积的和减少46平方厘米，而长是原来的2倍。
如果拼成的长方体的长是24厘米，那么它的体积是多少立方厘米？3. 用3个同样大小的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积比原来3个正方体的表面积之和少64平方厘米，求原来每个正方体的表面积？7、一根长80厘米，宽和高都是12厘米的长方体钢材，从钢材的一端锯下一个最大的正方体后，它的表面积减少了多少平方厘米？11、把一个长16 厘米，宽12厘米，高8厘米的长方体木块，锯成若干个棱长为2厘米的小正方体，（没有剩余）可以锯成多少个这样的小正方体？表面积一共增加多少平方方厘米？9、一个长方体，它的前面和上面的面积和是110平方厘米，且长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？1、把一个长、宽、高分别为8厘米、7厘米、3厘米的长方体铁块熔铸成一个高是12厘米的长方体铁块,这个长方体铁块的底面积是多少？6、如右图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？7、用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?- 2 -11、右图是一个表面被涂上红色的棱长为lO厘米的正方体木块，如果把它沿虚线切成8个正方体，这些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少平方厘米？12、右图是3层没有缝隙的小立方块组成的．如果它的外表面(包括底面)全都被涂成红色，那么把它们再分开成一个个小立方块时，有多少个小立方块恰有三面是红色的?本讲内容是在学生认识了长方体、正方体的面、棱、顶点等结构与特征，理解并熟练掌握了长方体、正方体的表面积、体积和容积的意义及计算方法，能进行几何体与其展开图之间的转化，并能灵活运用这些知识解决实际问题的基础上，进一步探索比较复杂的此类问题的解题方法。
高思导引五年级第6讲 几何计数—完整版
第6讲几何计数内容概述合理使用各种已学的计数方法来解决几何计数问题；学会利用图形的位置和形状进行恰当的分类；掌握方格表中长方形个数的计算方法；注意利用图形的对称性来简化计算。
兴趣篇1．如图6 -1，线段AB，BC，CD，DE的长度都是3厘米．请问：图中一共有多少条线段？这些线段的长度之和是多少厘米？答案：10条；60厘米解析：(1)图中最短的小线段共有4条：AB，BC，CD，DE;而由两条小线段组成的线段共有3条：AC，BD，CE;由三条小线段组成的线段共有2条：AD，DE;由四条小线段组成的最长线段只有一条：AE因此所有线段共有4+3+2+1=10条．(2)最短的线段每条长度都是3厘米，因此总长度为3×4=12厘米；由两条小线段组成的线段每条长度都是6厘米，总长度为6×3=18厘米；由三条小线段组成的线段每条长度都是9厘米，总长度为9×2=18厘米；由四条小线段组成的一条线段长度为12厘米，因此所有线段总长度为12+18+18+12=60厘米．2．小明把巧克力棒摆成了如图6-2所示的形状，其中每一条小短边代表一个巧克力棒．请问：(1) 一共有多少个巧克力棒？(2)这些巧克力棒共构成了多少个三角形？(3)嘴馋的小明吃掉一个巧克力棒后（图中两端带有箭头的小边），剩下的图形中还有多少个三角形？答案：(1) 30个 (2) 27个 (3) 22个解析：(1)先数横向的巧克力棒：共有四层，一共有1+2+3+4 =10个．根据图形的对称性，每个方向的巧克力棒个数都相同，所以图中一共有10 ×3=30个巧克力棒．(2)如果假设一段巧克力棒的长度为l，那么图形中的等边三角形边长可以是l，2，3，4，按边长把这些三角形分成四类分别计算：边长为1的三角形，从上往下一层一层来数，第一层有1个，第二层有3个，第三层有5个，第四层有7个，所以一共有1+3+5+7=16个；边长为2的三角形，第一、二层有1个，第二、三层有2个，第三、四层有4个，共7个；边长为3的三角形共3个；边长为4的三角形只有1个．因此，整个图形中共有16+7+3+l=27个三角形．(3)考虑吃掉一个巧克力棒后三角形会减少多少个，容易想到，减少的三角形都是以吃掉的巧克力棒为边（或边的一部分）的三角形．分类来数：这种三角形中边长为1的有2个，边长为2的有2个，边长为3的有1个，没有边长为4的，共5个．因此剩下的图形中还有27-5=22个三角形．3．如图6-3，它是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形．图中包含“*”的各种大小的正三角形一共有多少个？答案：6个解析：设图中小正三角形的边长为1．包含“*”的边长为1的正三角形只有1个，包含“*”的边长为2的正三角形有4个，包含“*”的边长为3的正三角形只有1个，所以图中包含“*”的各种大小的正三角形共有1+4+1=6个．4．数一数，图6-4中共有多少个三角形？答案：13个解析：若将图中的斜边去掉，容易算得剩下的图形中有6个三角形．此时再添上这条斜线，会多7个三角形，因此图中共有6+7 =13个三角形。
五年级下册同步奥数
目录第一讲分数加减（裂项相消） (2)第二讲分数乘法（乘法中的简算） (5)第三讲长方体和正方体（巧算表面积） (9)第四讲分数除法应用题 (15)第五讲长方体和正方体（巧算体积） (20)第六讲较复杂的分数应用题（寻找不变量） (25)第七讲等高模型 (30)第八讲综合演习（1） (34)第九讲综合演习（2） (36)第十讲填空专项训练（1） (38)第十一讲填空专项训练（2） (40)第十二讲量率对应 (43)第十三讲双单位1 (45)第十四讲方程法解题 (46)第十五讲应用题专训（1-3） (50)第十六讲期末测试 (60)第一讲 分数的加法和减法模块一 同分母分数加、减法【例题1】计算：12320152016201620162016+++⋅⋅⋅+【练习1】计算：10099100310021001+⋅⋅⋅+++【例题2】计算：154999954999549954954+++++【练习2】计算：9598999998999989998998+++++【例题3】计算：（1）201820171431321211⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯（2）201820162862642422⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯【练习3】322931183853523⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯【例题4】201820161861641421⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯【练习4】211911191971751⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯模块二 分数加减混合运算【例题1】乐乐喝了一杯牛奶的15，之后加满水，又喝了这杯的13。
再加满水，又喝了半杯。
又加满水，最后把这杯都喝了。
乐乐喝的牛奶多，还是水多？【练习1】聪聪喝一杯牛奶，喝了这杯牛奶的16，然后用水把杯子加满，又喝了一杯的13，然后又用水把杯子加满，第三次聪聪又喝了一半，又用水加满，最后他把一杯全喝完了，聪聪喝的牛奶多还是水多？【例题2】一杯纯牛奶，乐乐喝了半杯后，觉得有些凉，就兑满了热水。
五年级奥数——立体图形问题
年级五年级授课日期授课主题第6讲——立体图形问题教学内容i.检测定位通过解决立体图形问题可以培养我们的空间想象能力.许多时候拿出或自己做一个实物，亲自观察或动手操作一下，问题的解决会变得相当容易.【例1】如图6-1，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米、5厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得的多面体的表面积是___________平方厘米.分析与解先求棱长分别是1厘米、2厘米、3厘米、5厘米这四个正方体的表面积之和，然后减去图中粘贴在一起部分的面积之和.）（）（611422233-611223355.19440-234（平方厘米）说明解答本题的关键是要能正确分析出粘贴部分有哪几个面，以及这几个面的面积分别是多少.随堂练习 1如图6-2，将一个长方形木条平均截成6段，每段长2米，表面积增加了120平方厘米.问这根木条原来体积是多少立方厘米？【例2】在一个长24分米，宽9分米，高8分米的水槽中注入高4分米的水，然后放入一个棱长为6分米的正方体铁块，问水位上升了多少分米？分析与解首先应判断放入铁块后，水位是否能将铁块淹没.1.假设上升水位能将铁块淹没，那么水位至少上升了6分米.由于放入的棱长为6分米的正方形铁块体积为（立方分米），216666它放入水槽后水位将上升.1924216（分米）加上原来已注入的水位高4分米.因此放入铁块后水槽中的水位高为（分米），514小于铁块的高6分米，因此上升的水位不能将整个铁块淹没.2.假设水位上升了x 分米，列方程得)4(66924x x ，46x x，).(8.0分米x答：水位上升了0.8分米.随堂练习 2一个长方体的水箱，从里面量长8分米、宽6分米.先倒入102升水，再放入一块棱长2分米的正方形铁块，这时水面离箱口2分米.问这个水箱的容积是多少立方分米（升）？【例3】正方体木块被砍掉一个角（这里的角，指三条线相交处），剩余部分最多有_____个角，最少有_____个角.分析与解画图考虑几种情况，分别数出剩余部分有多少个角，再进行比较.截面如图6-3①，剩余部分最多有10个角；截面如图6-3②，剩余部分最少有7个角.随堂练习 3如图6-4由一个正五边形、五个长方形、五个等边三角形组成，它是一个立体图形的平面展开图，那么这个立体图形有______条棱.【例4】如图6-5，把2、4、6、8、10、12这6个数依次写在一个立方体的正面、背面、两个侧面以及两个底面上，然后把立方体展开，最左边的正方形上的数时12，问最右边有“？”的正方形上的数是什么？分析与解我们将展开图重新组合成立方体，令写2的面为正面得到下图6-6，可见到2与“？”相对，因此.4随堂练习 4沿图6-7的虚线折叠可以围成一个长方体.它的体积是多少？【例5】把正方体的6个面涂上六种不同的颜色，并画上朵数不同的花，各面的颜色和对应的花朵数目的情况如下表所示：颜色红黄蓝白紫绿花朵数目 1 2 3 4 5 6现将上述大小相同，颜色、花朵分布完全一样的四个立方体拼成一个如图6-8所示的长方体，那么这个长方体的下底面共有多少朵花？分析与解如图6-8所示，黄与蓝、紫、红、绿相邻，所以黄与白相对；又紫与黄、蓝、白（它是黄的对面）、红相邻，所以紫与绿相对；从而红与蓝相对.据此可知4个下底面的颜色依次为紫、蓝、白、红色，它们对应的花朵数分别为5、3、4、1，其和为13.随堂练习 5如例5，小立方体中各面的颜色与所对应的花朵数不变，四个立方体拼成的长方体如图6-9.那么这个长方体下底面共有多少朵花？【例6】在一个正方形纸板的四角剪去一个大小相同的小正方形，便可以做成一个没有盖的纸盒，按图6-10中）（A 、）（B 、）（C 、）（D 四种方法做出来的纸盒中，容积最小的是_________，容积最大的是_________.分析与解）（A 的容积为（立方厘米）64444）（B 的容积为（立方厘米）108663）（C 的容积为（立方厘米）128882）（D 的容积为（立方厘米）10010101比较后可知，容积最小的是）（A ；容积最大的是）（C . 随堂练习 6下面）（A 、）（B 、）（C 是三块形状不同的铁片，将每块铁片沿虚线弯折后焊接成一个无盖的开口为正方形的长方形铁箱，装水最多的水箱是由_______铁皮焊接的.想一想如图1，将1、2、3、4、5、6、7、8分别放置于正方体的8个顶点a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 、h 处，使每一个面上的4个数的和相等.答案如图②，每个面上的4个数的和为18.ii.针对培养1.如图是用棱长1厘米的立方体搭成的一个空间图形.问其体积是多少？表面积是多少？2.从一个长方体上截下一个体积是32立方厘米的长方体后，剩下的部分正好是棱长为4厘米的正方体.问原来这个长方体的表面积是多少平方厘米？3.一下图中可以拼成正方体的是（）4.一根铁丝围成的长方体，长15分米，宽8分米，高7分米.如果还用这根铁丝改围成一个正方体，那么这个正方体的棱长是多少分米？5.有三个完全一样的长方体，用三种不同的方法，分别切成了两个完全一样的长方体，结果它们的表面积分别增加了40、48、60平方厘米.想一想，原来的长方体的表面积是多少平方厘米，体积是多少立方厘米？6.一个长方体水箱，长5分米、宽4分米、深3分米，水面离箱口3厘米，如果把一块棱长2分米的正方体水泥块放入水中，这时箱内会溢出多少升水？7.有一个空的长方体容器A（如图①）和一个水深24厘米的长方体容器B（如图②）.现将容器B中的水倒一部分到容器A中，使两容器水的高度相同，这时两容器的水深为几厘米？8.如图，有一个“空心”大长方体，空心部分相对的两个面是通的，问这个“空心”大长方体是由多少个小木块组成的？（这些小木块是完全相同的正方体）9.从一个长方体上截下一个体积是100立方厘米的小长方体后，剩下部分正好是一个棱长为5厘米的正方体.原来长方体的表面积是多少平方厘米？10.用三个同样的长、宽、高分别是4厘米、3厘米和2厘米的小长方体，拼成一个表面积最大的长方体.这个大长方体的表面积是多少平方厘米？11.一个长方体木块，长5分米，宽3分米，高4分米，在它六个面上都涂满油漆，然后锯成棱长都是1分米的正方体木块.问锯成的木块中几个三面有油漆？两个面、一个面有油漆的各有多少个？有没有各个面都没有油漆的？12.一个长方体，如果长增加5厘米，则体积增加150立方厘米；如果宽增加4厘米，则体积增加160平方厘米；如果高增加3厘米，则体积增加144立方厘米.问长方体的表面积是多少平方厘米？。
巧数图形详解-小学奥数
题目三：数长方形
总结词
数长方形是巧数图形中的高级题目，主要考 察学生的空间想象力和细致的观察能力。
详细描述
题目通常会给出一张由不同形状组成的图形 ，其中包含长方形。学生需要通过空间想象 和细致的观察，数出长方形的数量。在数长 方形的过程中，学生需要注意长方形的定义 ，即两组相对边等长。此外，学生还需要注 意长方形可能存在不同的方向和旋转，确保
枚举法
总结词
逐一列举所有可能的情况，找出符合条件的结果。
详细描述
枚举法适用于图形数量较少、情况较为简单的问题。在解题时，需要逐一列举出 所有可能的情况，并逐一检验是否符合题目要求。通过排除不符合条件的情况， 最终找出符合条件的结果。
排除法
总结词
通过排除不符合条件的情况，逐步缩小范围，最终找出答案。
常见类型与实例
类型
常见的巧数图形题目包括数线段、数三角形、数正方形、数 立方体等。
实例
如数线段，给定一条直线段，在直线段上任意取n个点，将线 段分成n+1段，求这些小段的线段长度之和。
巧数图形的解题思路
观察
首先观察题目所给的图 形，寻找其中的规律或
特征。
分析
分析图形的构成和数量 关系，确定解进行逻 辑推理，得出正确的答
案。
计算
进行必要的计算，得出 最终答案。
02 巧数图形的解题技巧
观察法
总结词
通过细致观察图形特点，找出规律，解决问题。
详细描述
观察法是解决巧数图形问题的一种常用方法。在解题过程中，首先要仔细观察 图形，注意图形的形状、大小、对称性等特征，以及各图形之间的相互关系。 通过观察找出规律，从而解决问题。
详细描述
排除法是解决巧数图形问题的一种常用方法。在解题过程中，首先根据题目的要求和图形的特征，排除一些不可 能的情况。然后逐步缩小范围，最终找出符合条件的结果。排除法可以有效地减少计算量，提高解题效率。
五年级奥数基础教程图形的分割与拼接小学
五年级奥数基础教程图形的分割与拼接小学怎样把一个图形按照要求分割成若干部分？怎样把一个图形分割成若干部分后,再按要求拼接成另一个图形？这就是本讲要解决的问题。
例1请将一个任意三角形分成四个面积相等的三角形。
分析与解：本题要求分成面积相等的三角形,因此可以利用“同底等高的三角形面积相等”这一性质来分割。
方法一：将某一边等分成四份,连结各分点与顶点（见左下图）。
方法二：画出某一边的中线,然后将中线二等分,连结分点与另两个顶点（见右上图）。
方法三：找出三条边上的中点,然后如左下图所示连结。
方法四：将三条边上的中点两两连结（见右上图）。
前三种方法可以看成先将三角形分割成面积相等的两部分,然后分别将每部分再分割成面积相等的两部分。
本题还有更多的分割方法。
例2将右图分割成五个大小相等的图形。
分析与解：因为图中共有15个小正方形,所以分割成的图形的面积应该等于15÷5=3（个）小正方形的面积。
3个小正方形有和两种形式,于是可得到很多种分割方法,下图是其中的三种。
例3右图是一个4×4的方格纸,请在保持每个小方格完整的情况下,将它分割成大小、形状完全相同的两部分。
分析与解：因为分割成完全相同的两块,所以每块有8个小方格,并且这两块关于中心点对称。
下面是六种分割方法。
例4将下图分割成两块,然后拼成一个正方形。
分析与解：图形的面积等于16个小方格,如果以每个小方格的边长为1,那么拼成的正方形的边长应是4。
因为题图是缺角长方形,长为6宽为3,所以分割成两块后,右边的一块应向上平移1（原来宽为3,向上平移1使宽为4）,向左平移2（原来长为6,向左平移2使长为4）。
考虑到缺角这一特点,可做下图所示的分割和拼接。
例5有一块长4.8米、宽3米的长方形地毯,现在把它铺到长4米、宽3.6米的房间中。
请将它剪成形状相同、面积相等的两块,使其正好铺满房间。
分析与解：首先验证地毯的面积与房间的面积是否相等,然后考虑如何以可将原来的长分为4份,宽分为3份（见下页左上图）,现在的长与宽如下页右上图。
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陈铭数学工作室 五年级 第六讲 数图形 姓名：
1、下图中共有（ ）个直角三角形。
2、下图中共有（ ）个三角形。
3、下图中共有（ ）个正方形。
4
、下图中共有（ ）个三角形。
5、下图中共有（ ）个长方形。
6
、下图中共有（ ）个梯形。
7、右图中共有（）个正方形。
8、三角形中从一个顶点到底边画一条线段可以得到3个三角形，画两条线段可以得到6个三角形，画十条线段呢？
9、平面上八条线段可以将平面最多分成多少部分？
10、三个同样大小的正方形，摆在适当的位置，最多可数出多少个正方形？
11、平面上有16个点，每个点上钉上钉子，形成一个4×4的钉阵，现有许多皮筋，问：能套出多少个正方形？
12、一个3×3的正方形钉阵，拔掉一个钉子后（如下图），连接任意三点围成一个三角形，共能围成多少个三角形？
2 陈铭数学工作室。