线性代数下03有理系数多项式
第九节 有理系数多项式

f (x) 的一阶导数; f (x) 的导数 f (x) 称为 f (x) 的 二阶导数; 等等. f (x) 的 k 阶导数记为 f (k)(x) .
§1.6 重因式
多项式导数的基本公式: ( f (x) + g(x) ) = f (x) + g (x) , (c f (x) ) = c f (x) , ( f (x) g(x) ) = f (x) g(x) + f (x) g(x) , 可推广 ( f m (x) ) = m ( f m -1(x) f (x) ) . 可推广
如果 f (x) 的标准分解式为
r2 f ( x) cp1r1 ( x) p2 ( x) psrs ( x),
§1.6 重因式
那么 p1(x) , p2(x) , … , ps(x) 分别是 f (x) 的 r1 重,
r2 重 , … , rs 重因式. 指数 ri = 1 的那些不可约因式
因此
从而
p (x) | ( kg(x) p(x) + p (x) g(x) ) ,
pk (x) | f (x), 证毕
§1.6 重因式
所以 p (x) 是 f (x) 的 k - 1 重因式.
推论 1 如果不可约多项式 p(x) 是 f (x) 的 k 重因式(k 1),那么 p(x) 是 f (x) , f (x) , … , f (k-1)(x) 的因式,但不是 f (k)(x) 的因式. 证明 根据定理1 对 k 作数学归纳法即得. 证毕
高等代数
第一章 多项式 Polynomial
第六节 重因式
§1.6 重因式
一、重因式的概念
定义 1 不可约多项式 p(x) 称为多项式 f (x) 的 k 重因式,如果 pk(x) | f (x) , 但 pk+1(x) | f (x) . 如果 k = 0 , 那么 p(x) 不是 f (x) 的因式;如果 k = 1 , 那么 p(x) 称为 f (x) 的单因式;如果k > 1 ,那么 p(x) 称为 f (x) 的重因式.
有理系数多项式

有理系数多项式有理系数多项式(Rational Coefficient Polynomials)是数学中的重要概念之一。
它是指系数为有理数的多项式,即多项式中的各项系数都是有理数。
在代数学中,有理系数多项式的研究与应用广泛,涉及到多个领域,如代数几何、代数拓扑、数论等。
本文将从不同角度探讨有理系数多项式的相关内容。
一、有理系数多项式的定义与性质有理系数多项式是指形如P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0的多项式,其中a_i为有理数,x为变量,n为非负整数。
有理系数多项式具有以下性质:1. 多项式的次数:多项式的次数是指最高次项的次数。
例如,P(x) = 2x^3 + 3x^2 - 4x + 1的次数为3。
2. 多项式的系数:多项式中的系数是指各项中变量的系数。
例如,P(x) = 2x^3 + 3x^2 - 4x + 1中的系数为2、3、-4和1。
3. 多项式的加法与乘法:多项式的加法是指将两个多项式相加,乘法是指将两个多项式相乘。
例如,P(x) = 2x^3 + 3x^2 - 4x + 1和Q(x) = x^2 - 2x + 3的和为R(x) = 2x^3 + 4x^2 - 6x + 4,积为S(x) = 2x^5 + 4x^4 - 7x^3 - 14x^2 + 13x - 3。
4. 多项式的因式分解:多项式的因式分解是指将一个多项式表示为多个因式的乘积。
例如,多项式P(x) = x^2 - 4可以分解为P(x) = (x- 2)(x + 2)。
有理系数多项式在数学中有着广泛的应用,以下是其中一些重要的应用领域:1. 代数几何:代数几何是研究代数方程与几何图形之间关系的数学分支。
有理系数多项式在代数几何中发挥着重要作用,如研究曲线、曲面的方程、性质等。
2. 代数拓扑:代数拓扑是研究代数结构与拓扑空间之间关系的数学分支。
有理系数多项式在代数拓扑中被广泛应用,如研究拓扑空间的同调群、同伦群等。
复系数,实系数,有理系数多项式

其中 g(x) 是整系数多项式,且各项系数没有异于 ±1 的公因子. 例如
2 4 2 4 2 2 x − 2x − x = (5x −15x2 − 3x). 3 5 15
定义4.1 如果一个非零的整系数多项式
g (x) = bnxn + bn-1xn-1 + … + b0 的系数 (bn , bn-1 , … , b0 )=1,也就是说,它们 是互素的,它就称为一个本原多项式. 引理2 任何一个非零的有理系数多项式 f (x) 都可以 表示成一个有理数 r 与一个本原多项式 g (x) 的乘积: f (x) = r g(x) . 且这种表示法除了差一个正负号外是唯一的.
定理4.3 如果多项式 f (x) , g(x) 的次数都不超过 n ,而它们 对 n + 1 个不同的数 α1 , α2 , … , αn+1 有相同的值,即 f (αi ) = g(αi ) i = 1 , 2 , … , n + 1 , 那么 证明 f (x) = g(x) . 由定理的条件,有 f (αi ) - g(αi ) = 0 , i = 1 , 2 , … , n + 1 , 即,多项式 f (x) - g(x) 有 n + 1 个不同的根. 如果 f (x) - g(x) ≠ 0 ,那么它是一个次数不超过 n的多项式, 由定理 4.2它至多有n 个根,不可能有 n + 1 个根. 4.2 因此, f (x) = g(x) . 证毕
2. 性质 引理 3 (高斯(Gauss)引理) 两个本原多项式
的乘积还是本原多项式= anxn + an-1xn-1 + … + a0 , g (x) = bmxm + bm-1xm-1 + … + b0
高等代数第二版课件§1[1].9_有理系数多项式
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② v an , u a0
第一章
多项式
由定理1.9.3,要求整系数多项式 f x 的有理根, 只要求出最高次项系数的因数 v1 , v2 ,, vk 以及常数项 ui 这样的 a0 的因数 u1, u2 ,, ut 。然后对形如 vj 有理数用综合除法来检验,如果最高次系数为1,则 整系数多项式f的有理根只能是整根。
第一章
多项式
二、整系数多项式的有理根 定理1.9.3:设
f x an xn an1xn1 a0 ,
是一个整系数多项式,若有理数 u v 是整系数 多项式 f x 的一个根,这里u,v是互素的整数, 则
u ① f x x q x , q x Z x , v
第一章 多项式
引理(高斯定理): 两个本原多项式的乘积仍是本原多项式。
第一章
多项式
问题: C上不可约多项式只能是一次,R上不可约多项 式只能是一次和含非实共轭复根的二次多项式,Q上 不可约多项式的特征是什么?下面的Eisenstein的判 别法回答了这个问题。 定理1.9.2(Eisenstein判别法):
f x 2x4 5x3 7 x2 7 x 1 的有理根。 例1.9.3:求
解:2的因数是1, 2, 1的因数是 1,
1 故 f x 可能的有理根只能是 1, 2 1 对1, 用综合除法逐一检验知:
f x 的有理根只能是 1 2 。
第一章 多项式
§9
有理系数多项式
本节讨论有理数域上多项式的可约性,以及如 何求Q上多项式的有理根,由于 f x 与 cf x 在 Q x 上的可约性相同。因此讨论 f x 在Q上的可约
有理数域上的多项式

定理2.16 设f ( x)是一个整系数多项式, 0 f ( x) n(n 0). f ( x)在有理数域上可约当且 仅当f ( x)可分 解为两个次数都小于 n的整系数多项式的乘积 .
定理2.17(艾森施坦因(Eisenstein)判别法) 设
取p=2,则有 p 2, p 4, p 6,但p†1,p2†2. 由Eisenstein判别法,g( y )在 上不可约,
从而f ( x )在 上不可约.
Hale Waihona Puke 说明:对于某些整系数多项式来说,作适当线性代换后 再用Eisenstein判别法判定它是否可约是个可行的
办法,但未必总是凑效的.也就是说,存在 整系 数 多项式 f ( x ), 无论作怎样的代换 x ay b, 都不能 使 f (ay b) g( y ) 满足Eisenstein判别法的条件(其中 a,
2.8
有理数域上的多项式
有理数域上的多项式简称有理 系数多项式.本节我们讨论有理系 数多项式的可约性以及有理系数多 项式的有理根的求法.
一、有理系数多项式的可约性
定义 2.12 如果整系数多项式 f ( x) a0 a1 x a2 x 2 an x n 的系数互素,即 (a0 , a1 , a2 ,, an ) 1, 则称f ( x)是一个本原多项式 .
注意:
① Eisenstein判别法是判断不可约的充分条件,而 非必要条件. 也就是说,如果一个整系数多项式
不满足Eisenstein判别法的条件,则它可能是可约的, 也可能是不可约的.
② 有些整系数多项式 f ( x ) 不能直接用Eisenstein 判别法来判断其是否可约,此时可考虑用适当的 代换 x ay b (a , b Z, a 0), 使 f (ay b) g( y ) 满足Eisenstein判别法的条件,从而来判定原多项 式 f ( x )不可约.
1.9 有理系数多项式

有理根在该集合内,但该集合内的数不一定都是 f ( x ) 的有理根. 例1 求方程 2 x4 x3 2 x 3 0 的有理根.
1 3 , 解: 该方程可能的有理根为 1, 3, , 用综合除法或直接代入 2 2 验证可知该方程仅有有理根 x = 1 .
例1 证明 f ( x) x3 5x 1在有理数域上不可约. 证明: 若 f ( x) 在有理数域上可约,至少有一个一次因式,即有一个有 理根, 但其有理根只能是 1 , 直接验证可知 1 均不是其根, 所以 f ( x) 在 有理数域上不可约. 三 艾森斯坦因(E isen stein )判别法 7 (定理 13) 设 f ( x) an xn an1xn1 a0 是整系数多项式, 若存在 一个素数 p ,使得 1. p|an ; 2. p|an1, an2 , , a0 ; 3. p 2 |a0
考察 h( x) 的系数 di j a0bi j ai 1bj 1 aibj ai 1bj 1 ai j b0 ,
p是素数 因 p|di j , a0 , , ai 1, b0 , , bj 1 ,故 p|aib j p|ai 或 p|b j ,
不一定满足 E ei senst n 条件,或说不满足 E ei ai senst n 条件的多项式也 ai 可能是不可约的(如 x 2 1是不可约多项式,但不满足此条件). 有时, 不能用 E ei senst n 条件直接判定, ai 但将 f ( x) 变形后则可
以使用此条件.
命 题 : f ( x ) 中 令 x y a(a Z ) 得 g ( y) f ( y a) f ( x), g ( y) 在 Q 上同时可约或不可约 . 证 明 : 仅 证 g ( y ) 不 可 约 f ( x) 不 可 约 . 假 定 f ( x ) 在 Q 上可约, 即
有理系数多项式

有理系数多项式
有理系数多项式是指多项式的系数都是有理数的多项式。
在代数学中,多项式是一种非常重要的数学对象,它可以用来描述各种数学问题,如方程的解、函数的性质等。
有理系数多项式在代数学中也有着重要的应用,下面我们来详细了解一下。
有理系数多项式可以用来解决方程的问题。
我们知道,一元n次方程的一般形式为:
a0x^n + a1x^(n-1) + ... + an-1x + an = 0
其中,a0, a1, ..., an都是实数或复数。
如果我们将a0, a1, ..., an都限定为有理数,那么这个方程就是有理系数多项式方程。
对于这种方程,我们可以使用代数学中的基本定理,即任何一个有理系数多项式方程都可以分解为一些一次或二次多项式的乘积。
这样,我们就可以通过求解一次或二次方程来求解原方程。
有理系数多项式还可以用来描述函数的性质。
我们知道,函数的导数是描述函数变化率的重要工具。
对于有理系数多项式函数,我们可以通过求导数来研究它的性质。
具体来说,我们可以通过求导数来确定函数的最大值、最小值、拐点等重要性质,从而更好地理解函数的行为。
有理系数多项式还可以用来描述几何问题。
我们知道,代数学和几何学是密切相关的。
对于有理系数多项式,我们可以将它们看作是
在平面上的曲线,从而研究它们的几何性质。
例如,我们可以通过求导数来确定曲线的切线和法线,从而更好地理解曲线的形状和行为。
有理系数多项式在代数学中有着重要的应用。
它们可以用来解决方程的问题、描述函数的性质和研究几何问题。
因此,学习有理系数多项式是代数学学习的重要内容之一。
(完整版)有理系数多项式

§9 有理系数多项式作为因式分解定理的一个特殊情形,有每个次数≥1的有理系数多项式都能分解成 不可约的有理系数多项式的乘积.但是对于任何一个给定的多项式,要具体地作出它的 分解式却是一个很复杂的问题,即使要判别一个有理系数多项式是否可约也不是一个 容易解决的问题,这一点是有理数域与复数域、实数域不同的.在这一节主要是指出有 理系数多项式的两个重要事实:第一,有理系数多项式的因式分解的问题,可以归结为整(数)系数多项式的因式分解问题,并进而解决求有理系数多项式的有理根的问题。
第二,在有理系数多项式环中有任意次数的不可约多项式。
一、有理系数多项式的有理根1.有理系数多项式与整系数多项式 设011)(a x a x a x f n n n n +++=--是一个有理系数多项式。
选取适当的整数c 乘)(x f ,总可以使)(x cf 是一个整系数多项式. 如果)(x cf 的各项系数有公因子,就可以提出来,得到)()(x dg x cf =,也就是)()(x g cdx f =其中)(x g 是整系数多项式,且各项系数没有异于±1的公因子。
2.整系数多项式如果一个非零的整系数多项式011)(b x b x b x g n n n n +++=-- 的系数01,,,b b b n n - 没有异于±1的公因子,也就是说它们是互素的,它就称为一个本原多项式。
上面的分析表明,任何一个非零的有理系数多项式)(x f 都可以表示成一个有理数r 与一个本原多项式)(x g 的乘积,即)()(x rg x f =。
可以证明,这种表示法除了差一个正负号是唯一的。
亦即,如果)()()(11x g r x rg x f ==,其中1(),()g x g x 都是本原多项式,那么必有)()(,11x g x g r r ±=±=因为)(x f 与)(x g 只差一个常数倍,所以)(x f 的因式分解问题,可以归结为本原多项式)(x g 的因式分解问题.3.本原多项式)(x g 的因式分解问题.下面进一步指出,一个本原多项式能否分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积 与它能否分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积的问题是一致的。
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则 fg cn m x n m cn m 1 x n m 1 c1 x c0
其中ck a0bk a p bk p ak b0
反证法:若fg不是本原多项式,则存在素数p, s.t. p | c0 , p | c1 , , p | cm n | ai , p | bj 但由f,g是本原的知,存在i,j, 使得 p 考虑 ci j a0bi j ai 1b j 1 ai b j ai 1b j 1 ai j b0 利用取最小i,j的技巧(射螃蟹技巧), 可推出矛盾!
ri 1 qi 1ri ri 1 rs 1 qs 1rs rs 1
rs qs 2 rs 1
上讲复习
Bezout等式:gcd(f,g)=d ⇒ uf + vg = d 反之, uf + vg = d ⇒ gcd(f,g) | d
2、互素多项式:gcd(f,g)=1 ⇐⇒ uf + vg = 1 3、唯一分解定理:
本讲提要
有理系数多项式 & 线性映射复习
一、 [x]与 [x], 及Gauss引理
二、整系数多项式的有理零点 三、Eisenstein判则 四、复习:线性映射与矩阵
4
一、 [x]与 [x], 及Gauss引理
问题:ℚ[x]与 [x]有和区别何联系?
n n 1 f ( x ) a x a x a1 x a0 [ x ] 对任意有理系数多项式 n n 1
r r r F[x]中: f ( x ) cp11 ( x ) p22 ( x ) pss ( x ) r2 中: n p1r1 p2 psrs
4、 [x]中的因式分解:
完全分解为一次项 韦达公式 ,⋯,
f ( x ) c ( x c1 ) r1 ( x c2 ) r2 ( x c s ) rs
, 其中 k=1,2,···,n
5、 [x]中的因式分解:
实根孤独虚根成对 分解为1、2次项
f ( x ) c ( x c1 ) r1 ( x c2 ) r2 ( x ck ) rk ( x 2 p1 x q1 ) m1 ( x 2 pl x ql ) ml
《线性代数2》
杨晶
第三讲
2012年 3月 5日
有理系数多项式 & 线性映射复习
1
上 讲 复 习
特性 乘法交换(交换环) 乘法消去律(无零因子) 可比大小(全序关系) 带余除法(欧氏环) 整除关系+可约性 公约数 唯一分解定理(UFD)
整数环 √ √ 数值 √ √,素数合数 最大公因子,最小公倍数 √
r s, f1 ( x ) f2 (x )
其中 r , s , f1 , f2 [ x ] primitive. 问题:本原多项式有何运算规律?
6
定理1 (Gauss引理) 两个本原多项式的乘积仍然是本原多项式. 证明思路:设
f an x n an 1 x n 1 a1 x a0 g bm x m bm 1 x m 1 b1 x b0
5
更具体地,有以下两个Claims: Claim 1:ℚ[x]中多项式总可写为一个有理数及一个本原多 项的乘积, 即
f ( x ) rf1 ( x )
ห้องสมุดไป่ตู้
( r , f1 [ x ] primitive )
Claim 2: ℚ[x]中多项式 f 若有上述两种不同的写法,即
f ( x ) rf1 ( x ) sf2 ( x ),
7
定理2 设非零多项式 f ∈ [x],则 f gh ( g , h [ x ] , deg g ,deg h deg f ) f pq ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������