线性代数下03有理系数多项式
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
, 其中 k=1,2,···,n
5、 [x]中的因式分解:
实根孤独虚根成对 分解为1、2次项
f ( x ) c ( x c1 ) r1 ( x c2 ) r2 ( x ck ) rk ( x 2 p1 x q1 ) m1 ( x 2 pl x ql ) ml
《线性代数2》
杨晶
第三讲
2012年 3月 5日
有理系数多项式 & 线性映射复习
1
上 讲 复 习
特性 乘法交换(交换环) 乘法消去律(无零因子) 可比大小(全序关系) 带余除法(欧氏环) 整除关系+可约性 公约数 唯一分解定理(UFD)
整数环 √ √ 数值 √ √,素数合数 最大公因子,最小公倍数 √
r s, f1 ( x ) f2 (x )
其中 r , s , f1 , f2 [ x ] primitive. 问题:本原多项式有何运算规律?
6
定理1 (Gauss引理) 两个本原多项式的乘积仍然是本原多项式. 证明思路:设
f an x n an 1 x n 1 a1 x a0 g bm x m bm 1 x m 1 b1 x b0
r r r F[x]中: f ( x ) cp11 ( x ) p22 ( x ) pss ( x ) r2 中: n p1r1 p2 psrs
4、 [x]中的因式分解:
完全分解为一次项 韦达公式 ,⋯,
f ( x ) c ( x c1 ) r1 ( x c2 ) r2 ( x c s ) rs
ri 1 qi 1ri ri 1 rs 1 qs 1rs rs 1
rs qs 2 rs 1
上讲复习
Bezout等式:gcd(f,g)=d ⇒ uf + vg = d 反之, uf + vg = d ⇒ gcd(f,g) | d
2、互素多项式:gcd(f,g)=1 ⇐⇒ uf + vg = 1 3、唯一分解定理:
多项式环F[x] √ √ 次数 (deg 0=-∞) √ √,不可约多项式 √,首1GCD √
1、最大公因式:
公因式+最大 条件, d(x)=gcd(f(x),g(x)) 约定:GCD为首一多项式 : 从而GCD唯一! 算法:辗转相除法
r1 q1r0 r1 r0 q2 r1 r2 r1 q3r2 r3
5
更具体地,有以下两个Claims: Claim 1:ℚ[x]中多项式总可写为一个有理数及一个本原多 项的乘积, 即
f ( x ) rf1 ( x )
( r , f1 [ x ] primitive )
Claim 2: ℚ[x]中多项式 f 若有上述两种不同的写法,即
f ( x ) rf1 ( x ) sf2 ( x ),
7
定理2 设非零多项式 f ∈ [x],则 f gh ( g , h [ x ] , deg g ,deg h deg f ) f pq ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
本讲提要
有理系数多项式 & 线性映射复习
一、 [x]与 [x], 及Gauss引理
二、整系数多项式的有理零点 三、Eisenstein判则 四、复习:线性映射与矩阵
4
一、 [x]与 [x], 及Gauss引理
问题:ℚ[x]与 [x]有和区别何联系?
n n 1 f ( x ) a x a x a1 x a0 [ x ] 对任意有理系数多项式 n n 1
总存在
c ,s.t . cf ( x ) [ x ]
把cf(x)的系数的最大公因子d提出来得 cf ( x ) dg ( x ) d f ( x ) g ( x ) rg ( x ) 即 c 其中r=d/c∈ℚ,g(x)∈ [x]系数的最大公因子为 定义1 (本原多项式) 设g(x)∈ [x],若它的系数的最大公因子 为 ,则称Fra Baidu bibliotek(x)是本原多项式(primitive polynomial). 说明:ℚ[x]与 [x]中的多项式均可化为本原多项式来研究.
则 fg cn m x n m cn m 1 x n m 1 c1 x c0
其中ck a0bk a p bk p ak b0
反证法:若fg不是本原多项式,则存在素数p, s.t. p | c0 , p | c1 , , p | cm n | ai , p | bj 但由f,g是本原的知,存在i,j, 使得 p 考虑 ci j a0bi j ai 1b j 1 ai b j ai 1b j 1 ai j b0 利用取最小i,j的技巧(射螃蟹技巧), 可推出矛盾!
5、 [x]中的因式分解:
实根孤独虚根成对 分解为1、2次项
f ( x ) c ( x c1 ) r1 ( x c2 ) r2 ( x ck ) rk ( x 2 p1 x q1 ) m1 ( x 2 pl x ql ) ml
《线性代数2》
杨晶
第三讲
2012年 3月 5日
有理系数多项式 & 线性映射复习
1
上 讲 复 习
特性 乘法交换(交换环) 乘法消去律(无零因子) 可比大小(全序关系) 带余除法(欧氏环) 整除关系+可约性 公约数 唯一分解定理(UFD)
整数环 √ √ 数值 √ √,素数合数 最大公因子,最小公倍数 √
r s, f1 ( x ) f2 (x )
其中 r , s , f1 , f2 [ x ] primitive. 问题:本原多项式有何运算规律?
6
定理1 (Gauss引理) 两个本原多项式的乘积仍然是本原多项式. 证明思路:设
f an x n an 1 x n 1 a1 x a0 g bm x m bm 1 x m 1 b1 x b0
r r r F[x]中: f ( x ) cp11 ( x ) p22 ( x ) pss ( x ) r2 中: n p1r1 p2 psrs
4、 [x]中的因式分解:
完全分解为一次项 韦达公式 ,⋯,
f ( x ) c ( x c1 ) r1 ( x c2 ) r2 ( x c s ) rs
ri 1 qi 1ri ri 1 rs 1 qs 1rs rs 1
rs qs 2 rs 1
上讲复习
Bezout等式:gcd(f,g)=d ⇒ uf + vg = d 反之, uf + vg = d ⇒ gcd(f,g) | d
2、互素多项式:gcd(f,g)=1 ⇐⇒ uf + vg = 1 3、唯一分解定理:
多项式环F[x] √ √ 次数 (deg 0=-∞) √ √,不可约多项式 √,首1GCD √
1、最大公因式:
公因式+最大 条件, d(x)=gcd(f(x),g(x)) 约定:GCD为首一多项式 : 从而GCD唯一! 算法:辗转相除法
r1 q1r0 r1 r0 q2 r1 r2 r1 q3r2 r3
5
更具体地,有以下两个Claims: Claim 1:ℚ[x]中多项式总可写为一个有理数及一个本原多 项的乘积, 即
f ( x ) rf1 ( x )
( r , f1 [ x ] primitive )
Claim 2: ℚ[x]中多项式 f 若有上述两种不同的写法,即
f ( x ) rf1 ( x ) sf2 ( x ),
7
定理2 设非零多项式 f ∈ [x],则 f gh ( g , h [ x ] , deg g ,deg h deg f ) f pq ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
本讲提要
有理系数多项式 & 线性映射复习
一、 [x]与 [x], 及Gauss引理
二、整系数多项式的有理零点 三、Eisenstein判则 四、复习:线性映射与矩阵
4
一、 [x]与 [x], 及Gauss引理
问题:ℚ[x]与 [x]有和区别何联系?
n n 1 f ( x ) a x a x a1 x a0 [ x ] 对任意有理系数多项式 n n 1
总存在
c ,s.t . cf ( x ) [ x ]
把cf(x)的系数的最大公因子d提出来得 cf ( x ) dg ( x ) d f ( x ) g ( x ) rg ( x ) 即 c 其中r=d/c∈ℚ,g(x)∈ [x]系数的最大公因子为 定义1 (本原多项式) 设g(x)∈ [x],若它的系数的最大公因子 为 ,则称Fra Baidu bibliotek(x)是本原多项式(primitive polynomial). 说明:ℚ[x]与 [x]中的多项式均可化为本原多项式来研究.
则 fg cn m x n m cn m 1 x n m 1 c1 x c0
其中ck a0bk a p bk p ak b0
反证法:若fg不是本原多项式,则存在素数p, s.t. p | c0 , p | c1 , , p | cm n | ai , p | bj 但由f,g是本原的知,存在i,j, 使得 p 考虑 ci j a0bi j ai 1b j 1 ai b j ai 1b j 1 ai j b0 利用取最小i,j的技巧(射螃蟹技巧), 可推出矛盾!