复系数,实系数,有理系数多项式

二、复系数多项式
以上我们讨论了在一般数域上多项式, 下面 考察在复数域与实数域上多项式. 复数域与实数域既然都是数域，因此前面所 得的结论对它们也是成立的. 但是这两个数域又有 它们的特殊性，所以某些结论就可以进一步具体化. 对于复数域，我们有下面重要的定理：
定理 4.4(代数基本定理) 每个次数 ≥ 1 的复系数多项
每个次数 ≥ 1 的复系数多项式在复数域上都可 以唯一地分解成一次因式的乘积. 因此，复系数多项式具有标准分解式
f ( x ) = an ( x − α 1 ) ( x − α 2 )
l1
l2
( x − αs ) ,
ls
其中 α1 , α2 , … , αs 是不同的复数，l1 , l2 , …, ls 是正整数. 标准分解式说明了每个 n 次复系数多
第四节
复系数、实系数、 有理系数多项式
一、多项式函数
在这一节， 我们将从函数的观点来考察多项式. 设 f (x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 (1) 是 F[x] 中的多项式，α 是 F 中的数，在 (1) 中用 α 代 x 所得的数 anα n + an-1α n-1 + … + a1α + a0 称为 f (x) 当 x = α 时的值，记为 f (α ) . 时的值 此时，多项式 f (x) 就定义了一个数域 F上的函数. 我们称为数域F 上的多项式函数. 当F是实数域时，就是数学分析中讨论的多项式函数.
f (α ) = anα n + an-1α n-1 + … + α0 = 0 .
定理 4.6 （实系数多项式因式分解定理）每个次数≥1 的实系数多项式 f (x) 在实数域上都可以唯一地分解 成一次因式与二次不可约因式的乘积.
证明 定理对一次多项式显然成立.
假设定理对次数 < n 的多项式结论成立. 则当 f (x) 是 n 次实系数多项式时, 由代数基本定理, f (x) 在复数域内一定有一根 α . 如果 α 是实数，那么 数域内 f (x) = (x - α ) f1(x) , 其中 f1(x) 是 n - 1 次实系数多项式.
p | b0 , … , p | bj-1 , p | bj .
考察 h (x) 的系数 di+j , 由乘积的定义 di+j = aibj + ai+1bj-1 + ...+ai+j b0 + ai-1bj+1 + ai-2bj+2 + … +a0bi+j 由假设，p 整除di+j ，p 整除右 端aibj 以外的每一项， 但是 p 不能整除 aibj . 矛盾！因此， h (x) 是本原多项式． 证毕
2 例如， 方程 x − 2 = 0 在有理数域上没有根， 但在实数域 上有根： x = ± 2.
2 又如，方程 x + 1 在实数域上没有根，但是，在复数域上 有根：
x = ± i.
定理 4.2 F[x] 中 n 次多项式 ( n ≥ 0 ) f (x)在数
域 F中的根不可能多于 n 个，重根按重数计算.
项式恰有 n 个复根(重根按重数计算) .
三、实系数多项式
引理1 如果 α 是实系数多项式 f (x) 的复根，那么
α 的共轭数 α 也是 f (x) 的根. P20,习题1.4.6
证明 设 f (x) = anxn + an-1xn-1 + … + a0 , 由假设 其中 a0 , a1 , … , an 是实数. 两边取共轭数，有 f (α ) = anα n + an-1α n-1 + … + a0 = 0 , 这就是说， f (α ) = 0， α 也是 f (x) 的根. 证毕
如果 α 不是实数， 那么 α 也是 f (x) 的根且 α ≠ α . 于是 f (x) = (x - α ) (x - α ) f2(x) .
显然 (x - α ) (x - α ) = x2 - ( α + α )x + αα 是一实系 数二次不可约多项式. 从而 f2(x) 是 n - 2 次实系数
任意一个有理系数多项式总可转化 为整系数多项式．
介绍一类重要的整系数多项式： 介绍一类重要的
1、本原多项式
设 f (x) = anxn + an-1xn-1 + … + a0 是一有理系数多项式. 选取适当的整数 c 乘 f (x) ， 总可以使 c f (x) 是一整系数多项式. 如果 c f (x) 的 各项系数有公因子，就可以提出来，得到 c f (x) = d g(x) ， 也即
ls 2
k1
( x2 + pr x + qr )kr ,
其中 c1 , … , cs , p1 , … , pr , q1 , … , qr 全是实数， l1 , … , ls , k1 , … , kr 是正整数，并且 x2 + p i x + qi ( i = 1 , 2 , … , r ) 在实数域上是不可约的，即, 适合条件 在实数域上 pi2 - 4 qi < 0, i = 1 , 2 , … , r .
式在复数域中有一根. 利用根与一次因式的关系(定理 4.1 及其推论) 代数基本定理可以等价地叙述为： 每个次数 ≥ 1 的复系数多项式，在复数域上一 定有一个一次因式.
注释
在复数域上所有次数大于 1 的多项式
全是可约的. 即，不可约多项式只有一次多项式. 于是，因式分解定理在复数域上可以叙述成：
定理 4.5 (复系数多项式因式分解定理)
多项式. 由归纳法假设， f1(x) 或 f2(x) 可以分解成 一次与二次不可约多项式的乘积，因此，实系数多 项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二 次不可约因式的乘积.
证毕
实系数多项式的标准分解式
f ( x) = an ( x − c1 )
l1
( x − cs ) ( x + p1 x + q1 )
证明
零次多项式有零个根, 对零次多项式定理成立.
设 degf (x)=n > 0 , 把 f (x) 分解成不可约多项式的 乘积:
f ( x) = a ( x − r1 )
α1
( x − rl )
αl
plα+l+1 ( x) 1
pαs ( x), s
其中， pi ( x) > 1,(i = l + 1, , s) deg
( x -α ) | f (x) . 由这个关系，我们可以定义重根的概念. α 称 为 f (x) 的 k 重根，如果 ( x -α ) 是 f (x) 的 k 重因式. 重根 重因式 当 k = 1 时，α 称为单根；当 k > 1 时，α 称为重
根.
推论 1 如果不可约多项式 p(x) 是 f (x) 的 k
2. 性质 引理 3 (高斯(Gauss)引理) 两个本原多项式
的乘积还是本原多项式.
证明
设
f (x) = anxn + an-1xn-1 + … + a0 , g (x) = bmxm + bm-1xm-1 + … + b0
是两个本原多项式， 它们的乘积设为 h (x) = f (x) g (x) =dn+mxn+m + dn+m-1xn+m-1 + … + d0 采用反证法证. 如果 h (x) 不是本原多项式， (x) 的 则h 系数 dn+m , dn+m-1 , …, d0 有 一异于 ± 1 的公因子，
推论 如果数域 F上的 n次多项式f(x)在F上有 n+1 个不同的根，则它恒等于零。
证明 由已知条件，有 f (αi ) = 0 , i = 1 , 2 , … , n + 1 , 即，f(x)与零多项式对 n + 1 个不同的数 α1 , α2 , … , αn+1 有相同的值， 由定理 4.３， f (x) = 0 . 证毕
d f ( x ) = g( x ) , c
其中 g(x) 是整系数多项式，且各项系数没有异于 ±1 的公因子. 例如
2 4 2 4 2 2 x − 2x − x = (5x −15x2 − 3x). 3 5 15
Hale Waihona Puke Baidu
定义4.1 如果一个非零的整系数多项式
g (x) = bnxn + bn-1xn-1 + … + b0 的系数 （bn , bn-1 , … , b0 ）＝１，也就是说，它们 是互素的，它就称为一个本原多项式. 引理２ 任何一个非零的有理系数多项式 f (x) 都可以 表示成一个有理数 r 与一个本原多项式 g (x) 的乘积： f (x) = r g(x) . 且这种表示法除了差一个正负号外是唯一的.
定理4.3 如果多项式 f (x) , g(x) 的次数都不超过 n ，而它们 对 n + 1 个不同的数 α1 , α2 , … , αn+1 有相同的值，即 f (αi ) = g(αi ) i = 1 , 2 , … , n + 1 , 那么 证明 f (x) = g(x) . 由定理的条件，有 f (αi ) - g(αi ) = 0 , i = 1 , 2 , … , n + 1 , 即，多项式 f (x) - g(x) 有 n + 1 个不同的根. 如果 f (x) - g(x) ≠ 0 ，那么它是一个次数不超过 n的多项式， 由定理 4.2它至多有n 个根，不可能有 n + 1 个根. 4.2 因此， f (x) = g(x) . 证毕
四、有理系数多项式
对于有理系数多项式: f (x) = anxn + an-1xn-1 + … + a0
问题
(1) 有理系数多项式能否相互转化为整系 数多项式? (2) 整系数多项式存在有理根的条件？ 整系数多项式有一次有理式的条件？ (3) 在Q[x]上，不可约多项式的条件？
(4) 在Q[x]上，不可约多项式的最高次数是多少？
那么就有一个素数 p 能整除 h (x) 的每一个系数. 因为 f (x) 是本原的，所以 p不能同时整除 f (x) 的每一个系数. 令 ai 是第一个不能被 p 整除的系数，即
p | a0 , … , p | ai-1 , p | ai .
同样地， g (x) 也是本原的, 令 bj是第一个不能被 p 整除的系数， 即
如果
f (x) = r g(x) = r1 g1(x) ,
其中 g(x) , g1(x) 都是本原多项式， 那么必有 r = ± r1 , g(x) = ± g1(x) . 因为 f (x) 与 g(x) 只差一个常数倍，所以有理 系数多项式 f (x)的因式分解问题，可以归结为本原 多项式 g(x) 的因式分解问题. 下面我们先介绍本原多项式的性质．
f (x) = ( x -α ) q(x) + f (α )
如果 f (x) 在 x = α 的函数值 f (α ) = 0，那么α 就称为 f (x) 的一个根或零点. 由余数定理： 零点 f (x) = ( x -α ) q(x) + f (α ) , 得到根与一次因式的关系：
推论 α 是 f (x) 的根的充分必要条件是
重因式(k ≥ 1)，那么 p(x) 是 f (x) , f ′(x) , … , f (k-1)(x) 的因式，但不是 f (k)(x) 的因式.
一元代数方程
f ( x ) = a n x n + a n −1 x n −1 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1 x + a0 = 0
的基本问题是：它有无根？有多少根？如何求出它 的全部根？ 当n较大时，这是一个复杂问题，且与x的范围有关．
利用带余除法，我们得到下面常用的定理：
定理 4.1 (余数定理) 用一次多项式 x -α 去除
多项式 f (x) ，所得的余式是一个常数，这个常数 等于函数值 f (α) .
证明 用 x -α 去除 f (x) ，设商为 q(x) , 余式
为一常数 c ，于是 以 α 代 x ，得 f (x) = ( x -α ) q(x) + c . f (α ) = c . 证毕
由定理 4.1的推论与根的重数定义，f (x) 在数域 F 中 4.1 中根的个数等于分解式中一次因式的个数， 这个数目为 α1 + α 2 +
+ α l ≤ n.
证毕
问题
不同的多项式会不会定义出相同 的函数呢？
即，是否可能有 f (x) ≠ g(x) , 而对于 F 中所有的数 α 都有 f (α ) = g(α ) ？ 由定理 4.2 不难对这个问题给出一个否定的回答.