八年级上预科第二讲
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A．2000 米 B．3000 米 C．4000 米 D．5000 米
4
A、6cm2
B、8cm2
C、10cm2
D、12cm2
11．已知，如图，一轮船以 16 海里/时的速度从港口 A 出发向东北方向航行，另一轮船 以 12 海里/时的速度同时从港口 A 出发向东南方向航行，离开港口 2 小时后，则两船相 距（ ）
A、25 海里 B、30 海里
C、35 海里
D、40 海里
B、36cm2
C、48cm2
D、60cm2
7．等腰三角形底边上的高为 8，周长为 32，则三角形的面积为（ ）
Βιβλιοθήκη BaiduA、56
B、48
C、40
8．三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是(
D、32 )
A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形.
9．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境， 已知这种草皮每平方米售价 a 元，则购买这种草皮至少需要（ ）
A．121
B．132
C．120
D．110
二、填空题（每小题 5 分，共 40 分）
6．求下列直角三角形中未知边的长度：
b=______
c=______．
7．△ABC 中，∠C=90°，c+a=9.8，c-a=5，则 b=_____．
8．如图 1，小明将一张长为 20cm，宽为 15cm 的长方形纸减去了一角，量得 AB=3cm， CD=4cm，则剪去的直角三角形的斜边长为_______．
D、a=3,b=4,c=5
2．若线段 a，b，c 组成 Rt△，则它们的比为（ ）
A、2∶3∶4 B、3∶4∶6 C、5∶12∶13
D、4∶6∶7
3．Rt△一直角边的长为 11，另两边为自然数，则 Rt△的周长为（ ）
A、121
B、120
C、132
D、不能确定
4．如果 Rt△两直角边的比为 5∶12，则斜边上的高与斜边的比为（ ）
勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；
联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
课堂练习
1．下列各组数中，以 a，b，c 为边的三角形不是 Rt△的是（ ）
A、a=1.5，b=2,c=3
B、a=7,b=24,c=25
C、a=6,b=8,c=10
（2）验证 c2 与 a2+b2 是否具有相等关系，若 c2＝a2+b2，则△ABC 是以∠C 为直角的 直角三角形
（若 c2>a2+b2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若 c2<a2+b2，则△ABC 为锐角 三角形）。
（定理中 a ，b ，c 及 a2 b2 c2 只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形 三边长 a ， b ， c 满足 a2 c2 b2 ，那么以 a ， b ， c 为三边的三角形是直角三角形，但 是 b 为斜边）
3
14．如图 6，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸地点 C 偏离了想要 达 到的 B 点 140 米，（即 BC=140 米），其结果是他在水中实际游了 500 米（即 AC=500 米），求该河 AB 处的宽度． 1 5．如图 7，根据图上条件，求矩形 ABCD 的面积．
16．如图 8，一艘轮船以 16 海里 /时的速度离开港口 O，向东南方向 航行，另一艘船在 同样同时同地以 12 海里/时的速度向东北方向航行，它们离开港口半小时分别到达 A、 B，求 A、B 两点的距离? 17． 为了丰富少年儿童的业余文化生活，某社区在 如图 9 所示 AB 所在的直线上建一 图书阅览室，本社区有两所学校所在的位置在点 C 和 D 处．CA⊥AB 于 A，DB⊥AB 于 B， 已知 A B=25 km，CA=15km，DB=10km，试问：阅览室 E 应建在距 A 多少㎞处，才能 使它到 C、D 两所学校的距离相等？ 18．下面几组数：①7，8，9；②12，9，15；③m2+n2，m2﹣n2，2mn（m，n 均为正整数，m＞n）；④a2，a2+1，a2+2．其中一定能构成直角三角形的三边长 是（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 29．如图，韩彬同学从家（记作 A）出发向北偏东 30°的方向行走了 4000 米到 达超市（记作 B），然后再从超市出发向南偏东 60°的方向行走 3000 米到达卢 飞同学家（记作 C），则韩彬家到卢飞家的距离为（ ）
图1
图2
图3
9．王师傅在操场上安装一副单杠 ，要求单杠与地面平行，杠与两撑脚垂直，如图 2 所 示，撑脚长 AB、DC 为 3m，两撑脚间的距离 BC 为 4m，则 AC=____m 就符合要求．
10．如图 2，一架云梯长 10 米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面 6 米，要使梯子顶 端离地面 8 米，则梯子的底部在水平面方向要向左滑动_____米．
11．如图 4 是一长方形公园，如果某人从 景点 A 走到 景点 C，则至少要走___ __米．
图4
图5
12．一个等腰直角三角形的面积是 8，则它的直角边长为______．
13．如图 5，以直角三角形的三边为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积 S1、S2、S 3 之 间的关系是______．
三、解答 题
八年级上预科第二讲
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系 a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角 形。
要点诠释：
勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过 “数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：
（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；
A、450a 元
B、225a 元 C、150a 元
A
E
D
D、300a 元
北
20m 150° 30m
A
东
第 10 题图
B
F
C南
第 12 题图
第 11 题图
10．已知，如图长方形 ABCD 中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点 B 与点 D 重
合，折痕为 EF，则△ABE 的面积为（ ）
A．8
B．10 C．12
D．13
4．一个木工师傅测量了一个等腰三角形的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其 它的数据弄混了，请你帮助他找出来，是第（ ）组．
2
A．13，12，12
B．12，12，8
C．13，10，12
D．5，8，4
5．如果直角三角形有一直角边是 11，另外两边长是连续自然数，那么它的周长是（ ）．
A、60∶13 B、5∶12
C、12∶13
1
D、60∶169
5．如果 Rt△的两直角边长分别为 n2－1，2n（n>1），那么它的斜边长是（ ）
A、2n
B、n+1
C、n2－1
D、n2+1
6．已知 Rt△ABC 中，∠C=90°，若 a+b=14cm，c=10cm，则 Rt△ABC 的面积是（ ）
A、24cm2
课后作业
1、直角三角形两条直角边的长分别是 3 和 4，则斜边上的高是（ ）．
A．5
B．1
C．1．2
D．2．4
2．如果梯子的底端离建筑物 5 米，13 米长的梯子可以达到建筑物的高度是（ ）．
A．12 米
B．13 米
C．14 米
D．15 米
3．△ABC 中，AD 是高，AB=17，BD=15，CD=6，则 AC 的长是（ ）．
4
A、6cm2
B、8cm2
C、10cm2
D、12cm2
11．已知，如图，一轮船以 16 海里/时的速度从港口 A 出发向东北方向航行，另一轮船 以 12 海里/时的速度同时从港口 A 出发向东南方向航行，离开港口 2 小时后，则两船相 距（ ）
A、25 海里 B、30 海里
C、35 海里
D、40 海里
B、36cm2
C、48cm2
D、60cm2
7．等腰三角形底边上的高为 8，周长为 32，则三角形的面积为（ ）
Βιβλιοθήκη BaiduA、56
B、48
C、40
8．三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是(
D、32 )
A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形.
9．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境， 已知这种草皮每平方米售价 a 元，则购买这种草皮至少需要（ ）
A．121
B．132
C．120
D．110
二、填空题（每小题 5 分，共 40 分）
6．求下列直角三角形中未知边的长度：
b=______
c=______．
7．△ABC 中，∠C=90°，c+a=9.8，c-a=5，则 b=_____．
8．如图 1，小明将一张长为 20cm，宽为 15cm 的长方形纸减去了一角，量得 AB=3cm， CD=4cm，则剪去的直角三角形的斜边长为_______．
D、a=3,b=4,c=5
2．若线段 a，b，c 组成 Rt△，则它们的比为（ ）
A、2∶3∶4 B、3∶4∶6 C、5∶12∶13
D、4∶6∶7
3．Rt△一直角边的长为 11，另两边为自然数，则 Rt△的周长为（ ）
A、121
B、120
C、132
D、不能确定
4．如果 Rt△两直角边的比为 5∶12，则斜边上的高与斜边的比为（ ）
勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；
联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
课堂练习
1．下列各组数中，以 a，b，c 为边的三角形不是 Rt△的是（ ）
A、a=1.5，b=2,c=3
B、a=7,b=24,c=25
C、a=6,b=8,c=10
（2）验证 c2 与 a2+b2 是否具有相等关系，若 c2＝a2+b2，则△ABC 是以∠C 为直角的 直角三角形
（若 c2>a2+b2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若 c2<a2+b2，则△ABC 为锐角 三角形）。
（定理中 a ，b ，c 及 a2 b2 c2 只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形 三边长 a ， b ， c 满足 a2 c2 b2 ，那么以 a ， b ， c 为三边的三角形是直角三角形，但 是 b 为斜边）
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14．如图 6，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸地点 C 偏离了想要 达 到的 B 点 140 米，（即 BC=140 米），其结果是他在水中实际游了 500 米（即 AC=500 米），求该河 AB 处的宽度． 1 5．如图 7，根据图上条件，求矩形 ABCD 的面积．
16．如图 8，一艘轮船以 16 海里 /时的速度离开港口 O，向东南方向 航行，另一艘船在 同样同时同地以 12 海里/时的速度向东北方向航行，它们离开港口半小时分别到达 A、 B，求 A、B 两点的距离? 17． 为了丰富少年儿童的业余文化生活，某社区在 如图 9 所示 AB 所在的直线上建一 图书阅览室，本社区有两所学校所在的位置在点 C 和 D 处．CA⊥AB 于 A，DB⊥AB 于 B， 已知 A B=25 km，CA=15km，DB=10km，试问：阅览室 E 应建在距 A 多少㎞处，才能 使它到 C、D 两所学校的距离相等？ 18．下面几组数：①7，8，9；②12，9，15；③m2+n2，m2﹣n2，2mn（m，n 均为正整数，m＞n）；④a2，a2+1，a2+2．其中一定能构成直角三角形的三边长 是（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 29．如图，韩彬同学从家（记作 A）出发向北偏东 30°的方向行走了 4000 米到 达超市（记作 B），然后再从超市出发向南偏东 60°的方向行走 3000 米到达卢 飞同学家（记作 C），则韩彬家到卢飞家的距离为（ ）
图1
图2
图3
9．王师傅在操场上安装一副单杠 ，要求单杠与地面平行，杠与两撑脚垂直，如图 2 所 示，撑脚长 AB、DC 为 3m，两撑脚间的距离 BC 为 4m，则 AC=____m 就符合要求．
10．如图 2，一架云梯长 10 米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面 6 米，要使梯子顶 端离地面 8 米，则梯子的底部在水平面方向要向左滑动_____米．
11．如图 4 是一长方形公园，如果某人从 景点 A 走到 景点 C，则至少要走___ __米．
图4
图5
12．一个等腰直角三角形的面积是 8，则它的直角边长为______．
13．如图 5，以直角三角形的三边为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积 S1、S2、S 3 之 间的关系是______．
三、解答 题
八年级上预科第二讲
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系 a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角 形。
要点诠释：
勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过 “数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：
（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；
A、450a 元
B、225a 元 C、150a 元
A
E
D
D、300a 元
北
20m 150° 30m
A
东
第 10 题图
B
F
C南
第 12 题图
第 11 题图
10．已知，如图长方形 ABCD 中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点 B 与点 D 重
合，折痕为 EF，则△ABE 的面积为（ ）
A．8
B．10 C．12
D．13
4．一个木工师傅测量了一个等腰三角形的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其 它的数据弄混了，请你帮助他找出来，是第（ ）组．
2
A．13，12，12
B．12，12，8
C．13，10，12
D．5，8，4
5．如果直角三角形有一直角边是 11，另外两边长是连续自然数，那么它的周长是（ ）．
A、60∶13 B、5∶12
C、12∶13
1
D、60∶169
5．如果 Rt△的两直角边长分别为 n2－1，2n（n>1），那么它的斜边长是（ ）
A、2n
B、n+1
C、n2－1
D、n2+1
6．已知 Rt△ABC 中，∠C=90°，若 a+b=14cm，c=10cm，则 Rt△ABC 的面积是（ ）
A、24cm2
课后作业
1、直角三角形两条直角边的长分别是 3 和 4，则斜边上的高是（ ）．
A．5
B．1
C．1．2
D．2．4
2．如果梯子的底端离建筑物 5 米，13 米长的梯子可以达到建筑物的高度是（ ）．
A．12 米
B．13 米
C．14 米
D．15 米
3．△ABC 中，AD 是高，AB=17，BD=15，CD=6，则 AC 的长是（ ）．