第十二章数学物理方程和定解条件
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物
问题的提出 ——数学描述
理
现
象
问题的解决 ——求解过程
物理问题导出的函数方程
偏微分方程
积分方程
数学物理方程=来自物理问题的偏微分方程（二阶线性偏微分方程）
◆ 静电势和引力势满足的拉普拉斯方程 ◆ 波的传播所满足的波动方程 ◆ 热传导问题和扩散问题中的热传导方程 ◆ 描写电磁场运动变化的麦克斯韦方程组 ◆ 作为微观物质运动基本规律的薛定谔方程和狄拉克方程
由牛顿第二定律可知
dm
2u t 2
[P(
x
dx,
t
)
P(
x,
t
)]S
若杆的密度为 ，则 dm dx S
dx
S
2u t 2
[
P
(
x
dx,
t
)
P
(
x,
t
)]S
2u t 2
P x
略去杆长方向的形变，根据胡克定律，P E u x
E 是杆的杨氏模量，是物质常数
2u t 2
E
2u x 2
0
令 a E ，则杆的纵振动方程为
当弦在横向上受到外力作用时，有
dx
2u t 2
T
2u x 2
dx
f
dx
f ：单位长度上所受的外力
因此，
2u t 2
a2
2u x 2
f
非齐次项 f 是单位质量所受的外力
12.2 杆的纵振动方程
类似地处理杆的纵振动方程
一根均匀细杆沿杆长方向作小振动，假设在垂直杆长方向
的任一截面上各ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的振动情况（即位移）完全相同，并且不考
温度，若介质内存在温度差，而温度变化不大时，则热流密度 q 与 温度梯度 u 成正比，比例系数 k 称为热导率，k 的大小与介质材
料和温度有关，若温度变化不大时，k 近似地与温度 u 无关。
q ku
负号表示热流方向与温度变化方向相反，即热量由高温流向低温。
均匀各向同性介质中的热传导方程
如图，介质内部的一个长方体微元，建立坐标系使坐标面与 长方体表面重合。从时刻 t 到时刻 t+dt ，沿 x 轴方向流入长方体 微元的热量为：
虑在垂直方向上相应发生的形变。
取杆长方向为 x 轴方向，垂直 于杆长方向的截面均用它的平衡位
P( x, t )S x
P( x dx,t)S
x dx
置 x 标记，在任一时刻 t ，此截面 相对于平衡位置的位移为 u(x, t) ， 对于杆的一小段 (x, x+dx) 通过两端 截面所受到的弹性力分别为 P(x, t)S 和 P(x+dx, t)S 。如图，其中 P(x, t) 为 x 处的截面在时刻 t 时，单位面 积所受的弹性力。
数学物理方法—— 第十二章 数学物理方程和定解条件
物理问题中的微分方程
物理规律的数学描述
常微分方程
偏微分方程
描述对象
具有有限多个自由度的系统
具有无限多个自由度的连续介质或场
以下导出常见的几个数学物理方程
12.1 弦的横振动方程
物理问题
完全柔软的均匀弦，沿水平直线绷紧后以某种方式
激发，在铅直平面内作小振动，求弦的横振动方程。
用数理方程研究物理问题的步骤：
导出或写出定解问题 求解定解问题
建立数理方程 确定定解条件
讨论解的适定性（存在性、唯一性、稳定性），作物理解释
数理方程的建立：
将所研究的系统中的一小部分分割出来 根据物理学的规律，用数学语言表达这个规律
（牛顿第二定律、能量守恒定律等） 化简整理
定解条件
初始条件：物理过程初始状态的数学表达式 t 的 n 阶偏微分方程需要 n-1 个初始条件 才能确立一个特解
y
取弦的平衡位置为 x 轴，
T
两端分别为 x = 0 和 x = l ，设
2
u(x, t) 为弦上一点 x 在时刻 t
的横向位移。如图，弦上一小 段 dx 两端 x 和 x + dx 处受到
1
T
弹性力 F 的作用。
ox
x x dx
y
∵弦完全柔软
∴ F = T ：切向应力，无法向力
dx 足够小，可视为质点，它在 x
即
u 1,
u
因此，在准确到
的一级项的条件下，
x
x
sin tan u
x
cos 1
（略去了u 的三级项） x
（略去了u 的二级项） x
方程变为：Txdx Tx 0 Txdx Tx
（弦中各点张力相等，T 不随 x 变化）
方程化为：
dx
2 t
u
2
T
u x
x
dx
u x
x
T
2u x2 dx
边界条件：物理过程边界状况的数学表达式
衔接条件：不同介质组成的系统，在两种不同介质 的交界处需要给定的条件
定解问题的求解方法
形波法 分离变量法 积分变换法 格林函数法 保角变换法 变分法
三类定解问题
方程 + 初始条件 = 初值问题 方程 + 边界条件 = 边值问题 积分变换法方程 + 初始条件 + 边界条件 = 混合问题
2u t 2
T
2u x 2
0
令 a T ，则
2u t 2
a2
2u x 2
0
a：弦的振动传播速度（后面证明）
可以证明：小振动条件下，张力 T 与时间 t 无关。
一小段弦的伸长：ds dx du2 dx2 dx
ds du
dx
1
u
2
1dx
x
o
u x
2
∵ 弦的总长度不随时间变化 由胡克定律知，引起弦长度变化的应力 T 不随时间变化， 前面已证 T 不随 x 变化 ∴ T 是一个恒量
2u t 2
a2
2u x 2
0
杆的纵振动 弦的横振动
机理不完全相同，偏微分方程形式完全一样。
波动方程：
2u t 2
a 2
2u
0
2
2 x 2
2 y 2
2 z 2
是拉普拉斯算符
12.3 热传导方程
推导热传导方程的方法与前面完全相同
不同之处：具体的物理规律不同
波动方程——牛顿第二定律、胡克定律 热传导方程——能量守恒定律、热传导的傅里叶定律 热传导的傅里叶定律 设 u(x, y, z, t) 表示连续介质内空间坐标为 (x, y, z) 点在时刻 t 的
z
[(qx )x (qx )xdx ]dydzdt
z dz
dz y dy
(x, y, z)
x dx
dy
x
k
u x
x
k
u x
x dx
dydzdt
2u k x2 dxdydzdt
方向及垂直方向上的动力学方程
1
为：
T
(T cos )xdx (T cos )x 0 o
(T
sin ) xdx
(T
sin )x
dm
2u t 2
T 2
x
x x dx
牛顿第二定律 忽略了重力的作用
tan1
u x
x
tan 2
u x
x dx
均匀弦 dm dx
小振动
弦两端的位移之差 u(x+dx, t) －u(x, t) 与 dx 相比是一个小量
问题的提出 ——数学描述
理
现
象
问题的解决 ——求解过程
物理问题导出的函数方程
偏微分方程
积分方程
数学物理方程=来自物理问题的偏微分方程（二阶线性偏微分方程）
◆ 静电势和引力势满足的拉普拉斯方程 ◆ 波的传播所满足的波动方程 ◆ 热传导问题和扩散问题中的热传导方程 ◆ 描写电磁场运动变化的麦克斯韦方程组 ◆ 作为微观物质运动基本规律的薛定谔方程和狄拉克方程
由牛顿第二定律可知
dm
2u t 2
[P(
x
dx,
t
)
P(
x,
t
)]S
若杆的密度为 ，则 dm dx S
dx
S
2u t 2
[
P
(
x
dx,
t
)
P
(
x,
t
)]S
2u t 2
P x
略去杆长方向的形变，根据胡克定律，P E u x
E 是杆的杨氏模量，是物质常数
2u t 2
E
2u x 2
0
令 a E ，则杆的纵振动方程为
当弦在横向上受到外力作用时，有
dx
2u t 2
T
2u x 2
dx
f
dx
f ：单位长度上所受的外力
因此，
2u t 2
a2
2u x 2
f
非齐次项 f 是单位质量所受的外力
12.2 杆的纵振动方程
类似地处理杆的纵振动方程
一根均匀细杆沿杆长方向作小振动，假设在垂直杆长方向
的任一截面上各ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的振动情况（即位移）完全相同，并且不考
温度，若介质内存在温度差，而温度变化不大时，则热流密度 q 与 温度梯度 u 成正比，比例系数 k 称为热导率，k 的大小与介质材
料和温度有关，若温度变化不大时，k 近似地与温度 u 无关。
q ku
负号表示热流方向与温度变化方向相反，即热量由高温流向低温。
均匀各向同性介质中的热传导方程
如图，介质内部的一个长方体微元，建立坐标系使坐标面与 长方体表面重合。从时刻 t 到时刻 t+dt ，沿 x 轴方向流入长方体 微元的热量为：
虑在垂直方向上相应发生的形变。
取杆长方向为 x 轴方向，垂直 于杆长方向的截面均用它的平衡位
P( x, t )S x
P( x dx,t)S
x dx
置 x 标记，在任一时刻 t ，此截面 相对于平衡位置的位移为 u(x, t) ， 对于杆的一小段 (x, x+dx) 通过两端 截面所受到的弹性力分别为 P(x, t)S 和 P(x+dx, t)S 。如图，其中 P(x, t) 为 x 处的截面在时刻 t 时，单位面 积所受的弹性力。
数学物理方法—— 第十二章 数学物理方程和定解条件
物理问题中的微分方程
物理规律的数学描述
常微分方程
偏微分方程
描述对象
具有有限多个自由度的系统
具有无限多个自由度的连续介质或场
以下导出常见的几个数学物理方程
12.1 弦的横振动方程
物理问题
完全柔软的均匀弦，沿水平直线绷紧后以某种方式
激发，在铅直平面内作小振动，求弦的横振动方程。
用数理方程研究物理问题的步骤：
导出或写出定解问题 求解定解问题
建立数理方程 确定定解条件
讨论解的适定性（存在性、唯一性、稳定性），作物理解释
数理方程的建立：
将所研究的系统中的一小部分分割出来 根据物理学的规律，用数学语言表达这个规律
（牛顿第二定律、能量守恒定律等） 化简整理
定解条件
初始条件：物理过程初始状态的数学表达式 t 的 n 阶偏微分方程需要 n-1 个初始条件 才能确立一个特解
y
取弦的平衡位置为 x 轴，
T
两端分别为 x = 0 和 x = l ，设
2
u(x, t) 为弦上一点 x 在时刻 t
的横向位移。如图，弦上一小 段 dx 两端 x 和 x + dx 处受到
1
T
弹性力 F 的作用。
ox
x x dx
y
∵弦完全柔软
∴ F = T ：切向应力，无法向力
dx 足够小，可视为质点，它在 x
即
u 1,
u
因此，在准确到
的一级项的条件下，
x
x
sin tan u
x
cos 1
（略去了u 的三级项） x
（略去了u 的二级项） x
方程变为：Txdx Tx 0 Txdx Tx
（弦中各点张力相等，T 不随 x 变化）
方程化为：
dx
2 t
u
2
T
u x
x
dx
u x
x
T
2u x2 dx
边界条件：物理过程边界状况的数学表达式
衔接条件：不同介质组成的系统，在两种不同介质 的交界处需要给定的条件
定解问题的求解方法
形波法 分离变量法 积分变换法 格林函数法 保角变换法 变分法
三类定解问题
方程 + 初始条件 = 初值问题 方程 + 边界条件 = 边值问题 积分变换法方程 + 初始条件 + 边界条件 = 混合问题
2u t 2
T
2u x 2
0
令 a T ，则
2u t 2
a2
2u x 2
0
a：弦的振动传播速度（后面证明）
可以证明：小振动条件下，张力 T 与时间 t 无关。
一小段弦的伸长：ds dx du2 dx2 dx
ds du
dx
1
u
2
1dx
x
o
u x
2
∵ 弦的总长度不随时间变化 由胡克定律知，引起弦长度变化的应力 T 不随时间变化， 前面已证 T 不随 x 变化 ∴ T 是一个恒量
2u t 2
a2
2u x 2
0
杆的纵振动 弦的横振动
机理不完全相同，偏微分方程形式完全一样。
波动方程：
2u t 2
a 2
2u
0
2
2 x 2
2 y 2
2 z 2
是拉普拉斯算符
12.3 热传导方程
推导热传导方程的方法与前面完全相同
不同之处：具体的物理规律不同
波动方程——牛顿第二定律、胡克定律 热传导方程——能量守恒定律、热传导的傅里叶定律 热传导的傅里叶定律 设 u(x, y, z, t) 表示连续介质内空间坐标为 (x, y, z) 点在时刻 t 的
z
[(qx )x (qx )xdx ]dydzdt
z dz
dz y dy
(x, y, z)
x dx
dy
x
k
u x
x
k
u x
x dx
dydzdt
2u k x2 dxdydzdt
方向及垂直方向上的动力学方程
1
为：
T
(T cos )xdx (T cos )x 0 o
(T
sin ) xdx
(T
sin )x
dm
2u t 2
T 2
x
x x dx
牛顿第二定律 忽略了重力的作用
tan1
u x
x
tan 2
u x
x dx
均匀弦 dm dx
小振动
弦两端的位移之差 u(x+dx, t) －u(x, t) 与 dx 相比是一个小量