12同角三角函数的基本关系式与诱导公式

12同角三角函数的基本关系式与诱导公式

1. 同角三角函数的基本关系

(1) 平方关系：______________________． (2) 商数关系：______________________ 2. 诱导公式

记忆规律：_______________________ 题型1 同角三角函数的基本关系式 例1 已知－π2

5.

(1) 求sin 2x －cos 2x 的值； (2) 求tanx

2sinx ＋cosx 的值．

例2 化简： (

1＋sin α

1－sin α

－

1－sin α

1＋sin α

)·(

1＋cos α

1－cos α

－

1－cos α

1＋cos α

)．

题型2 诱导公式及其运用 例3 已知α是第三象限角，

且f(α)＝sin （π－α）cos （2π－α）tan （α＋π）

tan （－α－π）sin （－α－π）.

① 若cos ⎝

⎛⎭⎫α－3π2＝1

5，求f(α)的值；

② 若α＝－1 860°，求f(α)的值．

题型3 同角三角函数的基本关系与诱导公式的综合应用

例4 在△ABC 中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cosA ＝－2cos(π－B)，求△ABC 的三个内角．

练习

1. (2015·汕头模拟改编)已知sin(3π－α)＝－2sin ⎝⎛⎭

⎫π

2 ＋α，则sin αcos α等于__________．

2. (2015·海口模拟改)记cos(－80°)＝k ，那么tan100°＝__________．

3. 已知在△ABC 中，sinA ＋cosA ＝15

.

(1) 求sinA·cosA ；

(2) 判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3) 求tanA 的值．

4. (1) 求证：1＋2sin （3π－α）sin ⎝⎛⎭⎫π

2＋αcos 2（2π－α）－cos 2

α＝tan α＋1

tan α－1

； (2) 已知cosB ＝ cos θsinA ，cosC ＝sin θsinA ，求证：sin 2A ＋sin 2B ＋sin 2C ＝2.

13三角函数的图象和性质

1. 周期函数的定义

周期函数的概念：__________________________________________________________；函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期均为T＝_____；

函数y＝Atan(ωx＋φ)的周期为T＝_________．

3. 五点法作图

在确定正弦函数y ＝sinx 在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是

_______________________________________________________________． 4. 函数 y ＝Asin(ωx ＋φ)的特征

若函数y ＝Asin (ωx ＋φ) (A ＞0，ω＞0，x ∈(－∞，＋∞))表示一个振动量时，则A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1

T 叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．

题型1 “五点法”与“变换法”作图

例1 设函数f(x)＝sin ωx ＋3cos ωx (ω＞0)的周期为π. (1) 求它的振幅、初相；

(2) 用“五点法”作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；

(3) 说明函数f(x)的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．

题型2 三角函数的性质

例2 已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)(0<ω<1，0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M ⎝⎛⎭⎫34π，0对称．

(1) 求φ，ω的值；

(2) 求f(x)的单调递增区间；

(3) x ∈⎣⎡⎦⎤－3π4，π

2，求f(x)的最大值与最小值．

题型3 由图象或性质求函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的解析式

例3 下图为函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的一段图象． (1) 请写出这个函数的一个解析式；

(2) 求与(1)中函数图象关于直线x ＝2π对称的函数图象的解析式．

题型4 三角函数的应用

例4如图，一个水轮的半径为4 m ，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计算时间．

(1) 将点P 距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数； (2) 点P 第一次到达最高点大约需要多少时间？

练习

1. (2015·苏锡常镇二模)函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象向左平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π

2个单位后，所

得函数图象关于原点中心对称，则φ＝________．

2. 已知函数f(x)＝Atan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f(x)的部分图象如图，则f ⎝⎛⎭

⎫π

24＝________．

3. 已知函数f(x)＝Asin (ωx ＋φ)(x ∈R ，ω，A>0，0<φ<π

2)的最大值为2，最小正周期

为π，直线x ＝π

6

是其图象的一条对称轴．

(1) 求函数f(x)的解析式；

(2) 求函数g(x)＝f ⎝⎛⎭⎫x －π12－f ⎝⎛⎭

⎫x ＋π

12的单调递增区间．

4. 有两个函数f(x)＝asin ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3，g(x)＝btan ⎝⎛⎭⎫kx －π3(k>0)，它们的周期之和为3

2π且

f ⎝⎛⎭⎫π2＝

g ⎝⎛⎭⎫π2，f ⎝⎛⎭⎫π4＝－3g ⎝⎛⎭

⎫π

4＋1，求这两个函数，并求g(x)的单调递增区间．