小学奥数 7-9-1 概率.教师版

“统计与概率”主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象,兼有应用性和趣味性，其内容及延伸贯穿于初等数学到高等数学，因此成为小学数学中新增内容．

1.能准确判断事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性问题．

2.运用排列组合知识和枚举等计数方法求解概率问题．

3.理解和运用概率性质进行概率的运算．

一、概率的古典定义

如果一个试验满足两条：⑴试验只有有限个基本结果；

⑵试验的每个基本结果出现的可能性是一样的．

这样的试验，称为古典试验．对于古典试验中的事件A ，它的概率定义为：()m P A n =

，n 表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目，m 表示事件A 包含的试验基本结果数．小学奥数中所涉及的概率都属于

古典概率．其中的m 和n 需要我们用枚举、加乘原理、排列组合等方法求出．

二、对立事件

对立事件的含义：两个事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，那么这两个事件叫作对立事件

如果事件A 和B 为对立事件（互斥事件），那么A 或B 中之一发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率之和，为1，即：()()1P A P B +=．

三、相互独立事件

事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件．

如果事件A 和B 为独立事件，那么A 和B 都发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率之积，即：()()()P A B P A P B ⋅=⋅．

模块一、概率的意义

【例 1】 气象台预报“本市明天降雨概率是80%”．对此信息，下列说法中正确的是________．

①本市明天将有80%的地区降水． ②本市明天将有80%的时间降水．

③明天肯定下雨． ④明天降水的可能性比较大．

【考点】概率的意义 【难度】1星 【题型】填空

【关键词】希望杯，决赛

教学目标

例题精讲

知识要点

7-9-1.概率

【解析】降水概率指的是可能性的大小，并不是降水覆盖的地区或者降水的时间．80%的概率也不是指肯定下雨，100%的概率才是肯定下雨．80%的概率是说明有比较大的可能性下雨．

【答案】④

【例 2】约翰与汤姆掷硬币，约翰掷两次，汤姆掷两次，约翰掷两次，……，这样轮流掷下去．若约翰连续两次掷得的结果相同，则记1分，否则记0分．若汤姆连续两次掷得的结果中至少有1次硬币的

正面向上，则记1分，否则记0分．谁先记满10分谁就赢．赢的可能性较大（请填汤

姆或约翰）．

【考点】概率的意义【难度】2星【题型】填空

【关键词】走美杯，5年级，决赛，第7题

【解析】连续扔两次硬币可能出现的情况有（正，正）；（正，反）；（反，正）；（反，反）共四种情况。约翰扔的话，两种情况记1分，两种情况记0分；汤姆扔的话三种情况记1分，一种情况记0分。所以汤姆赢得的可能性大。

【答案】汤姆

【例 3】在某个池塘中随机捕捞100条鱼，并给鱼作上标记后放回池塘中，过一段时间后又再次随机捕捞200尾，发现其中有25条鱼是被作过标记的，如果两次捕捞之间鱼的数量没有增加或减少，那么

请你估计这个池塘中一共有鱼多少尾？

【考点】概率的意义【难度】2星【题型】解答

【解析】200尾鱼中有25条鱼被标记过，没所以池塘中鱼被标记的概率的实验得出值为252000.125

÷=，所以池塘中的鱼被标记的概率可以看作是0.125，池塘中鱼的数量约为1000.125800

÷=尾．

【答案】800

【例 4】一个小方木块的六个面上分别写有数字2、3、5、6、7、9，小光、小亮两人随意往桌面上扔放这个木块．规定：当小光扔时，如果朝上的一面写的是偶数，得1分．当小亮扔时，如果朝上的一

面写的是奇数，得1分．每人扔100次，______得分高的可能性比较大．

【考点】概率的意义【难度】2星【题型】填空

【解析】因为2、3、5、6、7、9中奇数有4个，偶数只有2个，所以木块向上一面写着奇数的可能性较大，即小亮得分高的可能性较大．

【答案】小亮得分高的可能性较大

【例 5】一个骰子六个面上的数字分别为0，1，2，3，4，5，现在来掷这个骰子，把每次掷出的点数依次求和，当总点数超过12时就停止不再掷了，这种掷法最有可能出现的总点数是＿＿＿＿.

【考点】概率的意义【难度】4星【题型】填空

【解析】掷的总点数在8至12之间时，再掷一次，总点数才有可能超过12（至多是17）．当总点数是8时，再掷一次，总点数是13的可能性比总点数超过13的可能性大．当总点数在9至12之间时，再掷一次，总点数是13的可能性不比总点数是14，15，16，17的可能性小．

例如，总点数是11时，再掷一次，出现05的可能性相同，所以总点数是1116的可能性相同，即总数是13的可能性不比总数点数分别是14，15，16的可能性小，综上所述，总点数是13的可能性最大．

【答案】总点数是13的可能性最大．

【例 6】从小红家门口的车站到学校，有1路、9路两种公共汽车可乘，它们都是每隔10分中开来一辆．小红到车站后，只要看见1路或9路，马上就上车，据有人观察发现：总有1路车过去以后3分钟就来

9路车，而9路车过去以后7分钟才来1路车．小红乘坐______路车的可能性较大．

【考点】概率的意义【难度】4星【题型】填空

【解析

显然由上表可知每10分钟乘坐1路车的几率均为

710，乘坐9路车的几率均为310

，因此小红乘坐1 路车的可能性较大．

【答案】1 路车的可能性较大

模块二、计数求概率

【例 7】 如图所示，将球放在顶部，让它们从顶部沿轨道落下，球落到底部的从左至右的概率依次是_______．

【考点】计数求概率 【难度】3星 【解析】 每到一个岔口，球落入两边的机会是均等的，因此，故从左至右落到底部的概率依次为116、14、38

、14、116

． 【答案】左至右落到底部的概率依次为

116、14、38、14、116．

【例 8】 一辆肇事车辆撞人后逃离现场，警察到现场调查取证，目击者只能记得车牌是由2、3、5、7、9

五个数字组成，却把它们的排列顺序忘记了，警察在调查过程中，如果在电脑上输入一个由这五个

数字构成的车牌号，那么输入的车牌号正好是肇事车辆车牌号的可能性是______．

【考点】计数求概率 【难度】3星 【题型】填空

【解析】 警察在调查过程中，在电脑上输入第一个数字可能是2、3、5、7、9中的任何一个，有5种可能，

第二位数字有4种可能，……，第五位数字有1种可能，所以一共有54321120⨯⨯⨯⨯=种可能，则

输入正确车牌号的可能性是1120

． 【答案】1120

【例 9】 分别先后掷2次骰子，点数之和为6的概率为多少?点数之积为6的概率为多少?

【考点】计数求概率 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 根据乘法原理，先后两次掷骰子出现的两个点数一共有6636⨯=．

将点数为6的情况全部枚举出来有：

()1,5()2,4()3,3()4,2()5,1

点数之积为6的情况为：

()()()()1,62,33,26,1

两个数相加和为6的有5组，一共是36组，所以点数之和为6的概率是536； 点数之积为6的概率为

41369

=． 【答案】（1）536，（2）19 【例 10】 甲、乙两个学生各从09这10个数字中随机挑选了两个数字（可能相同），求：⑴这两个数字的

差不超过2的概率，⑵两个数字的差不超过6的概率．

【考点】计数求概率 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 ⑴两个数相同（差为0）的情况有10种，