高三第一轮复习之函数的周期性

函数的周期性

一、基础知识 1.周期函数的定义

对于函数)(x f y =，如果存在一个常数0T ≠，能使得当x 取定义域内的一切值时，都有

)()(x f T x f =+，则函数)(x f y =叫做以T 为周期的周期函数。

2.与周期相关的结论

(1)周期函数具有无数多个周期，如果它的周期存在着最小正值，就叫做它的最小正周期.并不是任何周期函数都有最小正周期，如常量函数)()(R x a x f ∈=； (2)周期函数的定义域是无界的；

(3)若T 为)(x f y =的周期，则nT )0(≠∈n Z n 且也是)(x f y =的周期

(4)若函数()f x 恒满足()()f x a f x b +=+，则()f x 是周期函数，b a -是它的一个周期； (5)若函数()f x 恒满足()()f x a f x +=-(0)a ≠，则()f x 是周期函数，2a 是它的一个周期； 推论：若函数()f x 恒满足()()f x a f x b +=-+()a b ≠，则()f x 是周期函数，2a b -是它的一

个周期；

（4）（5）以及周期性定义可概括为：“和或差为0型”即0)()(=+±+b x f a x f 型

(6)若函数()f x 恒满足1

()()

f x a f x +=

(0)a ≠，则()f x 是周期函数，2a 是它的一个周期； 推论：若函数()f x 恒满足1

()()

f x a f x b +=+()a b ≠，则()f x 是周期函数，2a b -是它的一个

周期；

(7)若函数()f x 恒满足1

()()

f x a f x +=-

(0)a ≠，则()f x 是周期函数，2a 是它的一个周期； 推论：若函数()f x 恒满足1

()()

f x a f x b +=-+()a b ≠，则()f x 是周期函数，2a b -是它的一

个周期；

（6）（7）可概括为：“乘积为1±型”即1)()(±=+⋅+b x f a x f 型

(8)若函数()f x 是偶函数，且关于直线(0)x a a =≠对称，则()f x 是周期函数，2a 是它的一个周期；

推论：若函数关于直线,()x a x b a b ==≠对称，则()f x 是周期函数，2a b -是它的一个周期； (9)若函数()f x 是奇函数，且关于直线(0)x a a =≠对称，则()f x 是周期函数，4a 是它的一个周期；

推论：若函数关于点(,0)a 、直线()x b a b =≠对称，则()f x 是周期函数，4a b -是它的一个周期；

(10)若函数()f x 是奇函数，且关于点(,0)(0)a a ≠对称，则()f x 是周期函数，2a 是它的一个周期； 推论：若函数关于点(,0)a 、(,0)()b a b ≠对称，则()f x 是周期函数，2a b -是它的一个周期。 （8）（9）（10）可概括为：“满足两个对称型”即“两条对称轴或两个对称中心或一个对称中心，一

条对称轴”型

（11）分式递推型：即函数)(x f 满足)()

(1)

(1)(b a b x f b x f a x f ≠+-++=

+

由)()(1)(1)(b a b x f b x f a x f ≠+-++=

+得)

2(1

)2(b x f a x f +-=+，进而得

1)2()2(-=+⋅+b x f a x f ，由前面的结论得)(x f 的周期是b a T -=4

二、练习题 （一）、选择题

1.（1996全国卷）设()f x 是()+∞∞-,上的奇函数，()()x f x f -=+2，当10≤≤x 时，()x x f =，则()=5.7f （ ） A.0.5

B.－0.5

C.1.5

D.－1.5

2.（2005福建卷）)(x f 是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且0)2(=f ，则方程)(x f =0在区

间()6,0内解的个数的最小值是（ ）

A ．5

B ．4

C ．3

D ．2

3. 已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()2(x f x f -=+，则)6(f 的值为（ ）

A.1-

B.0

C.1

D.2 4. 设函数))((R x x f ∈为奇函数，且)2()()2(,2

1

)1(f x f x f f +=+=

，则)5(f 等于（ ） A. 0 B. 1 C. 2

5

D. 5

5. 设()f x 是定义在R 上以6为周期的函数，()f x 在(0,3)内单调递减，且()y f x = 的图像关于直线3x =对称，则下面正确的结论是（ ）

.A (1.5)(3.5)(6.5)f f f << .B (3.5)(1.5)(6.5)f f f << .C (6.5)(3.5)(1.5)f f f << .D (3.5)(6.5)(1.5)f f f << 6.(2009山东卷理)定义在R 上的函数)(x f 满足=)(x f ⎩⎨⎧>---≤-0

),2()1(0

),1(log 2x x f x f x x ，则)2009(f 的

值为( )

A. -1

B. 0

C. 1

D. 2

7.（2009湘潭一中月考）已知定义在R 上的函数()f x 满足3()()2

f x f x =-+且=-=-)1()2(f f

1-,(0)2f =,则(1)(2)(2008)(2009)f f f f ++++=…（ ）

A.2-

B.1-

C.0

D.1

8.（2009广东三校一模）定义在R 上的函数()x f 是奇函数，又是以2为周期的周期函数,则

=++)7()4()1(f f f ( )

A.-1

B.0

C.1

D.4

9．(陕西长安二中2008月考)定义在R 上的偶函数)(x f 满足=+)1(x f )(x f -，且在]0,1[-上单调递增，设)3(f a =， )2(f b =，)2(f c =，则c b a ,,大小关系是( ) A ．c b a >> B ．b c a >> C ．a

c b >> D ．a b c >>

10. 设函数()f x （x R ∈）是以3为周期的奇函数，且()()11,2f f a >=，则( ) .A 2a > .B 2a <- .C 1a > .D 1a <- 11. 函数()f x 既是定义域为R 的偶函数，又是以2为周期的周期函数，若()f x 在[]1,0- 上是减

函数，那么()f x 在[]2,3上是( )

.A 增函数 .B 减函数 .C 先增后减函数 .D 先减后增函数

12. 设偶函数()f x 对任意x R ∈，都有1

(3)()

f x f x +=-，且当[]3,2x ∈--时，()2f x x =，则

(113.5)f =( )

.A 27

- .B 27 .C 15- .D 1

5

13. 定义在R 上的函数()f x 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期．

若将方程()0f x = 在闭区间[]T T -，上的根的个数记为n ，则n 可能为( ) .A 0

.B 1

.C 3

.D 5

14. 定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当

]2

,

0[π

∈x 时，x x f sin )(=，则)3

5(

π

f 的值为( )

.A 2

1-

.B 2

1

.C 2

3- .D

2

3 15.（普宁市城东中学09届月考）已知)(x f 是定义在R 上的函数，且满足)1()1(x f x f -=+，则“)(x f 为偶函数”是“2为函数)(x f 的一个周期”的 ( )

A ．充分不必要条件；

B ．必要不充分条件；

C ．充要条件；

D ．既不充分也不必要条件