中北大学信号与系统第5章

信号与系统
第5章 连续时间信号的抽样
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5.1.5 利用内插从样本值重建信号
以理想抽样为例
fs ( t ) f ( t ) T ( t )
n


f ( nTs ) ( t nTs )
n
1 1 Fs j F j P j 2π TS
2π
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Ts不变,
s不变
Ts 2π Ts 第一个零点 s Ts 脉冲宽度 ，离原点越远。
理想抽样 0, 矩形脉冲 t
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5.1.3 时域抽样定理
的范围，则信号 f t 可用等间隔的抽样值来惟一地表示。 1 1 其抽样间隔必须不大于 ，即Ts m 2πf m ， 2 fm 2 fm 或者说最低抽样率为 2 f m。 一个频带受限的信号 f (t )，若频谱只占据 m ~ m
n
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零阶保持内插
F[ j( n
S
)]Sa(
Ts
2
)e
j
Ts
2
补偿低通特性
T j s e 2 H 0 r ( j ) Sa( Ts ) 2 0
s 2 s 2
0

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奈奎斯特(Nyquist) 抽样频率和抽样间隔 重建原信号的必要条件： 2 s 2π f s 2 m 2 2π f m Ts 不满足此条件，就会发生频谱混叠现象。
1 即 抽样频率f s 2 f m 是必要条件，或抽样间 隔 Ts 。 2 fm 1 Ts 是最大抽样间隔 , 称为“奈奎斯特抽样间 隔”。 2 fm
f s 2 f m 是最低允许的抽样频率 , 称为“奈奎斯特抽样频率”
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例如音频信号：0～3.4 kHz，
f s min 6800 Hz, Ts max 1 , 2 fm
f m 3.4 k Hz, f s 2 f m ,
1 若取 f s 8000 Hz, 则Ts 125 s 8000
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F j
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抽样定理示意图
f(t) 1 o
fs(t)

t
o m m
1 F s j Ts


s
o T s
fs(t)

t
o m
s m
s

1 F s j Ts

o T s
t
s
s s m m
o
TS
t
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（2）频谱结构
Fs j F f t p t
p t P j 2 π
n
1 F j P j 2π
n s
P n

n s pt 的谱系数 Pn Sa Ts 2 ns P j 2 π Sa ns
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dB 0
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f c 5kHz
f s / 2 7.5kHz
-20 -40 -60 -66 -80 0 2 4 6 8 10 kHz
当信号有效带宽fa已知时，若取抗混叠滤波器 的截止频率fc≈fa，当滤波器具有-50～-60dB/倍频 程衰减率，那么滤波后的信号以fs=3fa抽样即可。
TS
C o C

滤除高频成分，即可恢复原信号
1
F j
o m m

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5.1.2 矩形脉冲抽样
（1）抽样信号
连续信号
f(t)
抽样信号
f t

pt
f s t
o
t
p(t)
抽样脉冲
o
TS
fS(t)
t
fs t f t p t
s m
s m m
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S 2 m 1

F S j
TS
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由抽样信号恢复原信号 理想低通滤波器
Ts H j 0

S
c c
o m
S m
S

H j
F j Fs j H j f t fs t h t
n

Ts
2
ns Fs j Sa F j ns Ts n 2 ns Sa F j ( ns ) Ts n 2

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A/D
f ( n)
量化编码
p( t )
周期脉冲 信号
fs t f (t ) p(t )
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5.1.1 理想抽样（周期单位冲激抽样）
（1）抽样信号
连续信号
f t

T t

抽样信号
f s t
f t F j
(m m )
限带 信号
p t P j , fs t Fs j
s s s
抽样脉冲
p( t ) T ( t )
n
(t nT ) ( n )
n
fs ( t ) f ( t ) T ( t )
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1 G200 t Sa100ω 200 利用傅里叶变换的对称性 1 π Sa100t 2π G200 ω G200 ω 200 100 f(t)的波形和频谱图如下
即
f t

100
F jω
1

π π 100 100
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5.1 5.2 5.3 5.4
时域抽样定理（5） 频域抽样定理（29） 信号的截断与时窗（31） 信号的量化（35）
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5.1 时域抽样定理
抽样原理图：
f (t )
fs (t )
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5.1.4 频率混叠效应和抽样频率的选择
如果采样时,不满足采样定理的要求，就一定 会在fs(t)的频谱周期延拓时出现频谱混叠的现象。
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减小频率混叠效应有两种途径：
（1）提高信号的抽样频率，即减小抽样周期， 但是代价是抽样更多的数据； （2）对被抽样的信号预先进行抗混叠滤波处理， 将非带限信号变成带限信号，然后按抽样定理 抽样。 通常将旨在减小抽样频率混叠效应的滤波器 称抗混叠滤波器，它实际是一种具有较好截止特 性的的低通滤波器，一般具有-50～-60dB/倍频 程衰减率。
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频谱结构图示
f(t) 1
F j
o p(t) 1
t
o m m

s
P j
2π

o Ts
t 相 乘 卷 积
so s


f s t
F s j
Ts
o T s
t
o s m s

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对频谱的影响
2π 因为 s , Ts
f(t) 1
F j
o p(t)
(1)
t
o m m

P j
s


o
TS fs(t)
t 相 乘

s
o
卷 积


s F s j 1 Ts

o T s
t
s
o m s
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（3）几点认识
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说明
f t Ts
c
π
n
f (nT ) Sa t nT
s c s

• 连续信号f(t)可以展开成Sa函数的无穷级数，级数的系 数等于抽样值f(nTs)。 • 也可以说在抽样信号fs(t)的每个抽样值上画一个峰值 为f(nTs) 的Sa函数波形，由此合成的信号就是fs(t) 。
当 s 2m，则有c m , Ts 2π
s

c
π
c
s
此时f t
n
f (nT ) Sa t nT
s

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Fs 0 ( j ) Fs ( j ) H ( j )
F j( n )
s

理想低通滤波器： c Ts H j c 0
h t Ts
c
π
Sa c t
t
c f t f s ( t ) ht f ( nTs ) ( t nTs ) Ts Sa c n π c Ts f ( nTs ) Sa c t nTs π n



f ( nTs ) ( t nTs )
1 1 Fs j F f t T t 2π F j T T s
n
F j( n )
s

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（2）冲激抽样信号的频谱
t
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
100
O
100

所以信号的频带宽度为 ωm 50 fm Hz 2π π
ωm 100 rad/s
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最高抽样频率（奈奎斯特频率）为
100 f N 2 fm Hz π
奈奎斯特间隔（即最大允许抽样间隔）为 1 π TN s fN 100
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求信号f ( t ) Sa(100t )的频宽，若对 f ( t )进行均匀冲激 抽样，求奈奎斯特频率 f N 和奈奎斯特抽样间隔 TN 。
要求出信号的频宽，首先应求出信号的傅里叶变换 F ( j ) 。
τ 已知 Gτ t τ Sa 2 τ 令 100ω , 则τ ＝ 200 2 所以 G200 t 200 Sa 100ω
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中北大学信息与通信工程学院 主讲：陈友兴
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5.0 引言
在一定条件下，一个连续信号完全可以用该信 号在等时间间隔点上的瞬时值（样本值）表示，并 且可以利用这些样本值把信号全部恢复出来，这个 性质来自于抽样定理。 例如，电影就是由一组按时序的单个画面组成，当 以足够快的速度看这些时序样本时，我们就会感觉 到是原来连续活动景象的重现。 图像、语音信号
1 （1）n=0时，Fs j T F j ， s
包含原信号的全部信息，幅度差
Ts 倍；

s
F s j 1 Ts

（2） Fs j 以 s 为周期的连续
o m s

谱，有新的频率成分，即F j 的
周期性延拓； （3）若接一个理想低通滤波器， 其增益为 Ts ，截止频率 m c s m 虑除高频成分，即可重现原信号


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数字信号处理系统的基本组成框图
xa (t )
x ( n)
抗混叠滤波器
y ( n)
A/D变换器
y (t )
数字信号处理器
ya (t )
D/A变换器
模拟滤波器
抽样是从连续信号到离散信号的桥梁，也是对信号进 行数字处理的第一个环节 如何将模拟信号转化为数字信号？即信号的数字采 集，这种转化应是以不丢失模拟信号的信息为原则 如何从连续时间信号的离散时间样本不失真地恢复 原来的连续时间信号？