随机变量的特征函数
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第四章 大数定律与中心极限定理
4.1特征函数
内容提要
1. 特征函数的定义 设X 是一个随机变量,称)()(itX e E t =ϕ为X 的特征函数,其表达式如下
(),()().(), 在离散场合, 在连续场合,itx i i
itX itx x e P X x t E e t e p x dx ϕ+∞-∞
⎧=⎪==-∞<<+∞⎨⎪⎩∑⎰
由于1sin cos 22=+=tx tx e itx ,所以随机变量X 的特征函数)(t ϕ总是存在的.
2. 特征函数的性质 (1) 1)0()(=≤ϕϕt ;
(2) ),()(t t ϕϕ=-其中)(t ϕ表示)(t ϕ的共 轭; (3) 若Y =aX +b ,其中a ,b 是常数.则);()(at e t X ibt Y ϕϕ=
(4) 若X 与Y 是相互独立的随机变量,则);()()(t t t Y X Y X ϕϕϕ⋅=+
(5) 若()l E X 存在,则)(t X ϕ可l 次求导,且对l k ≤≤1,有);()0()(k k k X E i =ϕ (6) 一致连续性 特征函数)(t ϕ在),(+∞-∞上一致连续
(7) 非负定性 特征函数)(t ϕ是非负定的,即对任意正整数n ,及n 个实数
n t t t ,,,21 和n 个复数n z z z ,,21,有 ;0)(11≥-∑∑==j k j n
k n
j k z z t t ϕ
(8) 逆转公式 设F (x )和)(t ϕ分别为X 的分布函数和特征函数,则对F (x )的任意两个点21x x <,有
=-+--+2
)0()(2)0()(1122x F x F x F x F ;)(21
lim
2
1dt t it e e T
T itx itx T ϕπ⎰-+∞→-
特别对F (x )的任意两个连续点21x x <,有
;)(21
lim
)()(2
112dt t it e e x F x F T
T itx itx T ϕπ
⎰-+∞→-=-
(9) 唯一性定理 随机变量的分布函数有其特征函数唯一决定;
(10) 若连续随机变量X 的密度函数为p (x ),特征函数为).(t ϕ如果
+∞<⎰
+∞
∞
-dt t )(ϕ,
则
dt t e x p itx )(21)(ϕπ
⎰
∞
+∞
--=
3. 常用的分布函数特征表
习题与解答4.1
1. 设离散随机变量X 的分布列如下,试求X 的特征函数.
解 t i t i it x e e e t 321.02.03.04.0)(+++=ϕ
2. 设离散变量X 服从几何分布 .,2,1,)1()(1 =-===-k p p k X P k 试求X 的特征函数,并以此求E(X )和V a r(x ).
解 记q =1-p , 则
it
it
K it
it k k itk itx
qe pe q e pe p q
e e E t -====∑∑+∞
=+∞
=-1)()()(1
1
1
ϕ,
()
2
'
1)(it it
qe ipe t -=
ϕ,
4
2'
')
1()1(2)1()(it it
it it it it qe qe qe pe qe pe t -=----=ϕ, p q p i X E 1
)1()0(1)(2
'=-==ϕ,
242''21)1()1(2)1()0(1)(p
q
q q pq q p i X E +=--+-==ϕ,
2
2222)1(1)]([)()(p
q
p p q X E X E X Var =-+=
-= 3.设离散随机变量X 服从巴斯卡分布 ,)1(11)(r
k r p p r k k X P --⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--== ,1,
,k r r =+试求X 的特征函数.
解 设r X X X ,,,21 是相互独立同分布的随机变量,且都服从参数为p 的几何分布Ge(p ),则由上一题知j X 的特征函数为
,1)(X it
it
qe
pe t j -=ϕ 其中q =1-p . 又因为r X X X X +++= 21,所以X 的特征函数为
∏=-==r
j r
it
it x X qe pe t t j 1
)1()()(ϕϕ. 4.求下列分布函数的特征函数,并由特征函数求其数学期望和方差.
(1)dt e a x F x t a ⎰∞--=2)(1 (a >0); (2) dt a t a x F x
⎰∞-+=2
221
)(π (a >0). 解 (1)因为此分布的密度函数为 ,2
)(1x
a e a x p -= .+∞<<∞-x 所以此分布的特征函数为
010
()22
itx ax itx
ax a a
t e e dx e
e dx ϕ+∞
--∞=⋅+
⋅⎰⎰
(cos sin )(cos sin )22
ax ax
a a
tx i tx e dx tx i tx e dx +∞
--∞=+⋅++⋅⎰⎰