高中数学必修4(必修四)课件第一章：三角函数

思考3 集合S＝{α|α＝k·360°－30°，k∈Z}表示与角－30°终边 相同的角，其中最小的正角是多少度？已知集合S＝{α|α＝45° ＋k·180°，k∈Z}，则角α的终边落在坐标系中的什么位置？ 答 330°；第一或第三象限的角平分线上.
例1 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它 们是第几象限角. (1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′. 解 (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－ 150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角. (2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边 相同的角是290°角，它是第四象限角. (3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内， 与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角.
过去我们学习了0°～360°范围的角，但在实际问题中还会遇 到其他角.如在体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛中，常常 听到“转体1080°”、“踺子后手翻转体 180°接前直空翻 540°”等这样的解说.因此，仅有0°～360°范围内的角是不够 的，我们必须将角的概念进行推广.
探究点一 角的概念的推广
角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是
.如果
角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何第一几个象象限限角.
3.终边相同的角
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β
＝
}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成
角α与
的和.
α＋k·360°，k∈Z
整数个周角
探要点·究所然
情境导学
第一章 三角函数
§1.1 任意角和弧度制
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑点
02
探要点
03 究所然
当堂测
查疑缺 04
明目标、知重点
1.了解角的概念. 2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义. 3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合 符号表示这些角.
填要点·记疑点
1.角的概念
例2 写出终边在y轴上的角的集合. 解 所有与90°终边相同的角构成集合 S1＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}. 所有与270°角终边相同的角构成集合 S2＝{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z}. 于是，终边在y轴上的角的集合S＝S1∪S2 ＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z} ＝{β|β＝90°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝90°＋(2k＋1)·180°，k∈Z} ＝{β|β＝90°＋n·180°，n∈Z}.
角α的集合
{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}
第一象限
{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}
第二象限
{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}
第三象限
{α|k·360°－90°<α<k·360°，k∈Z}
第四象限
探究点三 终边相同的角
思考2 如图，已知角α＝120°，根据角的定义，则 β、－α、－β、γ分别等于多少度？ 答 －240°；－120°；240°；480°.
思考3 经过10小时，分别写出时针和分针各自旋转所形成的角. 答 经过10小时，时针旋转形成的角是－300°，分针旋转形成的角 是－3 600°.
探究点二 象限角与终边落在坐标轴上的角
思考1 象限角定义中说：角的始边与x轴的非负半轴重合，如 果改为与x轴的正半轴重合行不行，为什么？ 答 不行，因为始边包括端点(原点).
思考2 是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？终边落 在坐标轴上的角经常用到，下表是终边落在x轴、y轴各半轴上的 角，请完成下表. 答 不是，因为一些特殊角终边可能落在坐标轴上；如果角的终 边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.
思考1 在同一直角坐标系中作出390°，－330°，30°的角，并观 察这三个角终边之间的关系和角的大小关系. 答 终边相同，并相差360°的整数倍. 思考2 对于任意一个角α，与它终边相同的角的集合应如何表示？ 答 所有与α终边相同的角，连同α在内，可以构成一个集合 S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角， 都可以表示成角α与整数个周角的和.
思考1 我们在初中已经学习过角的概念，角可以看作从同一点出发 的两条射线组成的平面图形.这种定义限制了角的范围，也不能表示具 有相反意义的旋转量.那么，从“旋转”的角度，对角如何重新定义？ 正角、负角、零角是怎样规定的？ 答 一条射线OA绕着端点O旋转到OB的位置所形成的图形叫做角， 射线OA叫角的始边，OB叫角的终边，O叫角的顶点. 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫 做负角，如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角.
反思与感悟 解答本题可先利用终边相同的角的关系β＝α＋ k·360°，k∈Z，把所给的角化归到0°～360°范围内，然后利 用0°～360°范围内的角分析该角是第几象限角.
跟踪训练1 判断下列角的终边落在第几象限内： (1)1 400°； (2)－2 016°. 解 (1)1 400°＝3×360°＋320°，∵320°是第四象限角， ∴1 400°也是第四象限角. (2)－2 016°＝－6×360°＋144°，∴－2 016°与144°终边相同. ∴－2 016°是第二象限角.
(1)角的概念：角可以看成平面内 一条射线 绕着 端点 从一个
位置
到另一个位置所成的图形.
旋转
(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类
类型
定义
按 正角
逆时针方向旋转
的角
形成
按 顺时针方向旋转
形
负角
成的角
一条射 没有作任何旋转
零角 线
，称
它形成了一个零角
图示
2.象限角
角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，
终边所在的位 置
x轴正半轴 x轴负半轴 y轴正半轴 y轴负半轴
角的集合
{α|α＝k·360°，k∈Z} {α|α＝k·360°＋180°，k∈Z} {α|α＝k·360°＋90°，k∈Z} {α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}
思考3 下表是终边落在各个象限的角的集合，请补充完整.
α终边所在的 象限