4.4 向量的夹角与长度

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4．4 向量的夹角与长度

例1．已知.2,120,4||,2||垂直与使向量值求的夹角为与b a b ka k b a b a +-== 例2．已知ABCD 是平行四边形，求证：|).|||(|2|||2222+=+ 例3．已知非零和量.,274;573的值求垂直与垂直与且向量的夹角为与θθb a b a b a b a b a ---+ 例4．已知,1)()(,2||,,=+⋅-=b a b a a b a 且满足是非零向量 （1）求22)()(b a b a ++-

（2）若.,3θ的夹角与求-=⋅

【备用题】

如果一个角的两边平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补.

【基础训练】

1．已知的值为则的夹角为与b a b a b a ⋅==,3

,6||,3

1||π

（ ）

A ．2

B ．±2

C ．1

D ．±1

2．等式①00=⋅a ②00=⋅a ③||||||b a b a =⋅ ④22||a a =其中正确的个数为

（ ）

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A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

3．下列命题①||||||b a b a =⋅ ②22||a a = ③)()(c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅ ④)()()(b a b a ⋅=⋅λλλ其中正确

命题的个数为

（ ） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

4．在ΔABC 中，=⋅===c b a 则 30,4,3__________________. 5．已知方向上的投影长为在则与,60,4|| =________________.

6．已知b a j i j i a y x j i 与则轴上的单位向量且分别是,346,125,,+=-=夹角的余弦值为___________. 【拓展练习】

1．已知=+⋅-=-=)(),3,2()4,3(b a a b a 则

（ ）

A ．－13

B ．7

C ．6

D ．26 2．已知的夹角为则,),3,3(),3,1(-==

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（ ）

A ．6

π

B ．

3

π

C ．

2

π

D ．π3

2

3．已知||)sin ,(cos ),sin ,(cos PQ Q P 则ββαα的最大值为

（ ）

A ．2

B ．2

C ．4

D ．22 4．λ和实数已知向量b a ,，下列等式中错误的是

（ ）

A

．a =||

B ．||||||b a b a =⋅

C ．b a b a ⋅=⋅λλ)(

D ．||||||b a b a ≤⋅

5．已知与则向量方向的投影为在单位向量向量,3,2||-=的夹角为

（ ）

A ．30°

B ．60°

C ．120°

D ．150°

6．若等于则||,743,374AB j i OB j i OA -=+-=_____________. 7．向量)3,3(),1,3(-==b a 的夹角是_____________.

8．已知b a b a 在则),2,0(),3,1(=-=方向上的投影是_____________.

9．已知=⋅+⋅+⋅=++===则且,,32||,3||,3||________________.

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10

是菱形的充要条件是对角线.⊥

11．已知.||),5

7,51(,1||||b a b a b a --=+==求

12．设在四边形ABCD 中，,,,,,a d d c c b b a d DA c CD b BC a AB ⋅=⋅=⋅=⋅====且问该四边形

ABCD 是什么图形.

13．在向量c b a ,,之间，该等式. ⎪⎩⎪⎨

⎧-=⋅⋅⋅=++)

23(:3:1)(:)(:)(0

a c c

b b a

c b a 成立，当

,1||,1||时求时==a a

求||||和的值.

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14．若,,中每两个向量的夹角均为60°，且||,2||,6||,4||++===求的值.