厄米算符的本征值与本征函数

∫ ∫ 组成正交归一系：
π 0
2π 0
Ylm*
(θ
,ϕ
)Yl′m
(θ
,
ϕ
)
sin
θdθdϕ
=
δ ll′
(8)
(7)和(8)可合写为
∫ ∫π 0
2π 0
Ylm*
(θ
,
ϕ
)Yl′m′
(θ
,
ϕ
)
sin
θdθdϕ
=
δ δll′ mm′
(9)
4
综合上述讨论可得如下结论：既然厄米算符本征函数总可以取为正交归一化的，所以以后凡是
提到厄米算符的本征函数时，都是正交归一化的，即组成正交归一系。
6. 实例
1). 动量本征函数组成正交归一系
∫ψ *pv′ (rv)ψ pv (rv)drv = δ ( pv − pv ′)
当 pv ≠ pv ′ 时，
∫ψ *pv′ (rv)ψ pv (rv)drv = 0
把(3)与(4)式合写为
∫ψ m*ψ ndτ = δmn
②. 连续谱正交归一条件表示为：
∫ψ λ*ψ λ′dτ = δ (λ − λ′)
③. 正交归一系 满足上式的函数系ψn或ψλ称为正交归一（函数）系
5. 简并情况 如果Â的本征值An是fn度简并的，则属于本征值An的本征态有fn个：ψnα，α=1,2,…, fn
满足本征方程：
2
Aˆψ nα = Anψ nα
α = 1, 2,L, fn
一般说来，这些函数并不一定正交。但是可以证明由这 fn 个函数可以线性组合成fn 个独立的新函 数，它们仍属于本征值An且满足正交归一化条件。
算符Â本征值An简并的本质是：当An确定后还不能唯一的确定状态，要想唯一的确定状态还得寻 找另外一个或几个力学量算符，Â算符与这些算符两两对易，其本征值与An一起共同确定状态。
①. lz 本征函数
角动量算符 lˆz 的本征函数
ψ m (ϕ) =
1 eimϕ 2π
(m = 0,±1,±2,K)
组成正交归一系：
∫ 2πψ 0
* m
(ϕ
)ψ
m′ (ϕ)dϕ
=
Байду номын сангаас
δ mm′
(7)
②. lˆ2 本征函数
3
角动量平方算符 lˆ2 属于本征值 l(l + 1)h 2 的本征函数 Ylm
Ylm (θ ,ϕ ) = Nlm Pl m (cosθ )eimϕ
1
3). 力学量算符和力学量之间的关系 测量力学量A时所有可能出现的值，都对应于线性厄米算符Â的本征值An（即测量值是本征值之
一），该本征值由力学量算符Â的本征方程
Aˆψ n = Anψ n
n = 1, 2,L
当体系处于Â的本征态ψn时，则每次测量所得结果都是完全确定的，即An。
4. 厄米算符的本征函数的正交性
即属于动量算符不同本征值的两个本征函数ψ pv′ 与ψ pv 相互正交。这是所有厄密算符的本征函数所共
有的。
2). 线性谐振子能量本征函数组成正交归一系
线性谐振子的能量本征函数
−1α 2x2
ψ n = N ne 2 H n (αx)
∫ 组成正交归一系：
∞ψ
−∞
n*ψ
n′ dx
=
δ
nn′
3). 角动量本征函数组成正交归一系
∫ ∫ 例 1： ∞ ψ * xφdx = ∞ (xψ )*φdx （Q x 为实数）
−∞
−∞
∫ ∫ 例 2：
∞ψ
−∞
*
pˆ xφdx
=
∞ −∞
(
pˆ xψ
)*φ
dx
例 3：证明 Hˆ = pˆ x2 + V (x) 为厄密算符 2m
综上所述：表示力学量的算符必为线性、厄密算符，线性厄密算符不一定是力学量算符。
§3.5 厄米算符的本征值与本征函数
1. 厄米算符的平均值 定理 I：体系任何状态ψ下，其厄米算符的平均值必为实数。（证明） 逆定理：在任何状态下，平均值均为实数的算符必为厄米算符。（证明） 推论：设 Â 为厄米算符，则在任意态ψ之下
∫ ∫ A2 = dτψ * Aˆ 2ψ = dτ ( Aˆψ )* Aˆψ ≥ 0
Aˆψ
n
dτ
= An
ψ m*ψ ndτ
3). 分立谱、连续谱正交归一表示式 ①. 分立谱正交归一条件分别为：
∫ψ n*ψ ndτ = 1
归一化条件
∫ψ m*ψ ndτ = 0 (m ≠ n)
正交性
引用δmn称为克朗内克（Kronecker）符号，它具有如下性质：
δ mn
=
⎧⎪0 ⎨ ⎪⎩ 1
m≠n m=n
2. 厄米算符的本征方程 1) . 涨落
涨落定义为 (ΔA)2 = ( Aˆ − A)2
证明: (ΔA)2 = ( Aˆ − A)2 ≥ 0
2) . 力学量的本征方程 若体系处于一种特殊状态，在此状态下测量 A 所得结果是唯一确定的，即：
(ΔA)2 = 0
则称这种状态为力学量 A 的本征态。
( Aˆ − A)ψ = 0 或 Aˆψ = 常数×ψ
可把常数记为An，把状态记为ψn，于是得：
Aˆψ n = Anψ n
(1)
其中An,ψn分别称为算符Â的本征值和相应的本征态，式(1)即算符Â的本征方程。 定理 II：厄米算符的本征值必为实。（证明）
3. 量子力学中的力学量用线性厄米算符表示
1). 表示力学量的算符必为线性算符；
2). 表示力学量的算符必为厄密算符。
1). 正交性的定义
∫ 如果两函数ψ1和ψ2满足关系式 ψ 1*ψ 2dτ = 0 ，则称ψ1和ψ2相互正交。
2). 定理 III：厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交。（证明）
∫ ∫ ( Aˆψ m )*ψ ndτ = Am ψ m*ψ ndτ
∫ ∫ ∫ ( Aˆψ m )*ψ ndτ =
ψ
* m