厄米算符的本征值与本征函数
【原子物理与量子力学】第4章 力学量用厄米算符表达
本章小结
谢 谢!
本节内容结束
例6：在坐标表象中
pˆ * (i)* i pˆ
定义11：厄米共轭算符
算符 的厄米共轭算符定义为
*Aˆ d ( Aˆ )*d
( , Aˆ ) ( Aˆ ,)
实际上，算符的厄米共轭算符等价于共轭转置算符，即
证明：
Aˆ ( Aˆ T )*
于是，有
Aˆ ( Aˆ T )*
推论4：
1. 量子力学的基本对易式
下面以第一个式子为例证明，设ψ为任意波函数则 由ψ的任意性得
以上对易式概括为
2.角动量对易式
角动量算符 在直角坐标系下
运用算符运算
角动量分量与坐标分量之间的对易关系
记忆方法：从左至右以 x y z x依次循环指标为正，任何一
个指标错位即为负，相同指标则为零。
在量子力学中常把它称为是把算符“作用”到波函数上,作用 的结果是得到了另外一个波函数.
（二） 算符的运算规则
如果量子力学的力学量F在经典力学中有对应的力学量，则
表示这个力学量的算符 Fˆ ,将 pˆ 代入由经典表示式 F(r, p) ，即
F F (r, p) Fˆ F (r,i)
例如，角动量算符
不确定度关系推导
若K 算是符一个Fˆ 力和学量Gˆ算不符对或易普时通，的常数记。为首F先ˆGˆ定义GˆFˆ [Fˆ ,Gˆ ] iKˆ
F F F , G G G
[ F,G] [F,G] i K
注意，
F,G
仍为厄米算符，若巧妙设计积分
I ( ) | ΔFˆ iΔGˆ |2 d 0
某一测量值Ai的次数mi与总测量次数的M之比mi/M称为Ai 的概率，记为Pi。因此上式可用测量概率来表示
量子力学——算符
换另一种方法，设定
其中，
是狄拉克δ函数。
这性质不是普通的正交归一性。称这性质为狄拉克正交归一性。因为这性质，动量算符的 本征函数是完备的。也就是说，任意波函数 都可以表达为本征函数的线性组合：
其中，系数
是
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三、角动量算符
在量子力学里，角动量算符(angular momentum operator) 是一种算符，类比于经典的角动量。在原子物理学涉及旋 转对称性(rotational symmetry)的理论里，角动量算符占有 中心的角色。角动量，动量，与能量是物体运动的三个基 本特性
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2.1动量算符 导引 (3)
将上述两个方程代入方程 (1)，可以得到
使用分部积分法，
(2) (3)
方程 (2) 与 (3) 的减差是
所以， 对于任意波函数 ，这方程都成立。 为
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因此，我们可以认定动量算符
。
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2.2 （动量算符）本征值与本征函数 (1)
假设，动量算符 的本征值为 的本征函数是 ：
采用球坐标。展开角动量算符的方程：
其中， 转换回直角坐标，
，分别为径向单位矢量、天顶角单位矢量、与方位角单位矢量。
其中， 所以，
，分别为 x-单位矢量、y-单位矢量、与 z-单位矢量。 分别是
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3.5 (角动量) 本征值与本征函数 (2)
角动量平方算符是 其中，
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3.5 (角动量) 本征值与本征函数 (3)
思考
与
的交换算符，
由于两者的对易关系不等于 0 ， 与 同的基底量子态。一般而言，
厄米算符的本征值和本征函数
厄米算符的本征值和本征函数厄米算符的本征值和本征函数是一种量子力学中非常重要的概念，它们可用于解释原子、分子和其他微观物体上的各种物理性质。
它们也是量子力学方程中最重要的部分，因为它们可以用来描述物体在不同情况下的行为。
厄米算符本征值(eigenvalue)是一个复数值，它代表了对应算符作用在相应状态上得到的实际结果。
这个数值由施加到物体上的力或能量决定，而不同的力和能量会产生不同的本征值。
厄米算符本征函数(eigenfunction)是一个复数函数，它代表了对应的状态的形式，它包含了物体的物理性质，比如其位置、运动和能量等信息。
它们可以用来描述物体在不同情况下的行为，并且可以用来解释物理系统的演化和发展。
比如，厄米算符本征函数可以用来描述原子核的结构，以及电子在量子力学中的行为等。
厄米算符本征值和本征函数之间具有密切的关系，它们是相互依赖的。
它们可以用来解释一个物理系统的行为，以及相关物理性质的变化。
比如，厄米算符本征值可以用来表示量子力学系统中电子所处的能量状态，而本征函数则可以用来描述这些状态的形式，从而可以解释该系统的物理性质和行为。
厄米算符本征值和本征函数的计算通常需要解决复杂的方程，这些方程的形式取决于描述原子、分子等物体的力学模型。
比如，如果要求解原子核的本征值和本征函数，就需要解决相应的核力学方程。
厄米算符本征值和本征函数在量子力学中有着重要的作用，它们可以用来解释原子、分子和其他微观物体的物理性质和行为。
它们可以用来识别物体的能量状态，从而可以解释物理系统的演化和发展。
此外，厄米算符本征值和本征函数的计算也是量子力学的重要组成部分，它们可以用来描述物理系统的行为。
量子力学第三章-1
二、力学量的平均值 三、例题
一、力学量的可能值
1、力学量算符本征函数组成完全系（完备系） (1) 函数的（完全性）完备性 有一组函数φn(x) (n=1,2,...),如果任意函数ψ(x)可以按这组函 数展开: ψ ( x) = c φ ( x)
n
n
即
c n = ∫ φ ( x )ψ ( x )dx
∗ n
证明：当 ψ (x)已归一时，cn 也是归一的。
证： 1 = ∫ ψ ( x)ψ ( x)dx = ∫ ∑ cnφn ∑ cmφm dx n m * = ∑ ∑ cn * cm ∫ φnφmdx = cn * cmδ nm
∑
n
n n
则称这组函数φn(x) 是完全（完备）的。 例如：动量本征函数组成完备系
r r r r Ψ ( r , t ) = ∫ c( p, t )ψ p ( r )d 3 p r r r r 或 ψ ( r ) = ∫ c( p )ψ p ( r )d 3 p
(2) 力学量算符的本征函数组成完备系 I、 数学中已经证明某些满足一定条件的厄密算符其本征函数组成 完备系（参看：梁昆淼，《数学物理方法》P324），即若： ˆ Fφ = λ φ
ˆ 2、角动量算符 Lz 本征函数
φm (ϕ ) =
1 imϕ e m=0, ± 1, ± 2... 2π
组成正交归一系
∫
π
2π
0
* φm (ϕ )φm′ (ϕ )dϕ = δ mm′
ˆ 3、角动量算符 L2 本征函数
Ylm (θ , ϕ ) = N lm Pl m (cos θ )eimϕ
厄米算符本征值和本征函数
AB BA
（3.3.8）
d.任何算符总可分解为
i
（3.3.9）
令
1
米算符。2
、 1
2i
，则 和 均为厄
3.3 厄米算符的本征值和本征函数
厄米算符的平均值、本征值、本征函数具有下列性质：
① 厄米算符的平均值是实数，因为
*
O
*
m
Om
*
m
由
O m n Om m n
及O的厄米性质，O m n m O n ，及
m O n On m n
3.3 厄米算符的本征值和本征函数
得
(Om On ) m n 0
又因 On Om
得
m n 0
得证。若本征函数是正交归一化的，则有
* dr
*
dr
* dr
*
*
（3.3.10）
② 在任何状态下平均值均为实数的算符必为厄米算符。
③ 厄米算符的本征值为实数。厄米算符在本征态中的平均 值就是本征值。
④ 厄米算符属于不同本征值的本征函数正交。
⑤ 厄米算符的简并的本征函数可以经过重新组合后使它正 交归一化。
成立，而且 1 、 2 为任意波函数。为此令 1 2 ，利
用（1）式得
(1 2 ) O(1 2 ) O(1 2 ) (1 2 )
（2）
因为 O在 1、 2 中的平均值也是实数，所以上式又写为
1 O 2 2 O1 O1 2 O 2 1
（3）
3.3 厄米算符的本征值和本征函数
对 1和 2作变换，令
第三章-量子力学中的力学量(下)
1= ∫ψ ψdV = ∑∑c c ∫ψ ψ dV =∑∑c c δ =∑cn
* * n m * n m * n m nm n m n m n
2
第5(6)节 算符与力学量的关系 5(6
ˆ 量子力学基本假定：力学量 对应厄米算符 对应厄米算符, 量子力学基本假定：力学量F对应厄米算符 算符F的本征函数构成 描述时， 完全系。当系统由归一化 归一化波函数 完全系。当系统由归一化波函数 ψ = ∑ cnψ n 描述时，测量力学
角动量算符本征函数
* Y lm (θ , ϕ )Y l ' m ' (θ , ϕ )d Ω ≡ ∫ 2π
波函数 ψ
r p
r (r ) =
1 e ( 2πh )3 / 2
r r ip⋅ r h
波函数 Ylm (θ , ϕ ) = N lm Pl|m| (cosθ )e imϕ
* d ϕ ∫ sin θ d θ Y lm (θ , ϕ )Y l 'm ' (θ , ϕ ) = δ ll 'δ mm ' ∫ 0 0
的结果必定是对应算符的本征值， 量F的结果必定是对应算符的本征值，测量到本征值 f n 的几率 的结果必定是对应算符的本征值 是 cn 2。 ˆ 如果测量F的结果为 如果测量 的结果为 fn， 波函数塌缩为ψ = ∑cnψn →ψn (Fψ n = f nψ n ) 。
力学量和算符
第三章 力学量和算符内容简介：在上一章中，我们系统地介绍了波动力学，它的着眼点是波函数 。
用波函数描述粒子的运动状态。
本章将介绍量子力学的另一种表述，它的着眼点是力学量和力学量的测量，并证实了量子力学中的力学量必须用线性厄米算符表示。
然后进一步讨论力学量的测量，它的可能值、平均值以及具有确定值的条件。
我们将证实算符的运动方程中含有对易子，出现 。
§ 3.1 力学量算符的引入 § 3.2 算符的运算规则§ 3.3 厄米算符的本征值和本征函数 § 3.4 连续谱本征函数§ 3.5 量子力学中力学量的测量 § 3.6 不确定关系 § 3.7 守恒与对称在量子力学中。
微观粒子的运动状态用波函数描述。
一旦给出了波函数，就确定了微观粒子的运动状态。
在本章中我们将看到：所谓“确定”，是在能给出概率以及能求得平均值意义下说的。
一般说来。
当微观粒子处在某一运动状态时，它的力学量，如坐标、动量、角动量、能量等，不同时具有确定的数值，而具有一系列可能值，每一可能值、均以一定的概率出现。
当给定描述这一运动状态的波函数 后，力学量出现各种可能值的相应的概率就完全确定。
利用统计平均的方法，可以算出该力学量的平均值，进而与实验的观测值相比较。
既然一切力学量的平均值原则上可由 给出，而且这些平均值就是在 所描述的状态下相应的力学量的观测结果，在这种意义下认为，波函数描写了粒子的运动状态。
力学量的平均值对以波函数(,)r t ψ 描述的状态，按照波函数的统计解释，2(,)r t ψ表示在t 时刻在 r r d r →+中找到粒子的几率，因此坐标的平均值显然是:()2*(,)(,)(,) 3.1.1r r t rdr r t r r t dr ψψψ∞∞-∞-∞==⎰⎰坐标r 的函数()f r的平均值是：()()()*(,)(,) 3.1.2f r r t f r r t dr ψψ∞-∞=⎰现在讨论动量的平均值。
第四章 力学量用厄米算符表达
ˆ ˆ ˆ Fψ = Aψ + Bψ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 称算符 F 等于 A 与 B 之和。写作 F = A + B
。
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 例3：哈密顿算符 H = T + V 就是动能算符 T 与势能算符 V
之和。算符求和满足交换律与结合律，
ˆ ˆ ˆ ˆ A+ B = B + A
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A + ( B + C ) = ( A + B) + C
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ l = r × p = r × (−i ∇) = −i r × ∇
如果没有经典力学表达式的量子力学力学量，比如电子的自旋， 它的算符由量子力学独立建立。
Atomic physics and quantum mechanics
9
三
算符运算的基本性质
定义1：线性算符
由于态叠加原理，在量子力学中的力学量算符应是线性算符， 所谓线性算符，即是具有如下性质
式中c1、c2为任意常数。
Atomic physics and quantum mechanics
20
定义9：转置算符
ˆ ˆ 算符 A 的转置算符 AT 定义为
ˆ Tφ = dτφ Aψ ∗ ˆ dτψ ∗ A ∫ ∫ ˆ ˆ (ψ , ATφ ) = (φ ∗, Aψ ∗)
式中 ψ 与 例5：证明
∫
+∞ −∞
⎡⎛ ∂ ⎞ T ∂ ⎤ dxψ ∗ ⎢⎜ ⎟ + ⎥ φ = 0 ∂x ⎥ ⎢ ⎝ ∂x ⎠ ⎣ ⎦
ψ ∗, φ 任意
∂ ⎛ ∂ ⎞ + =0 ⎜ ⎟ ∂x ⎝ ∂x ⎠
21
T
Atomic physics and quantum mechanics
物理-线性厄米算子 力学量算子
Lx ypz zpy Ly zpx xpz Lz xpy ypx
即：
Lˆx ypˆ z zpˆ y i
(y z ) z y
Lˆ y zpˆ x xpˆ z i
(z x ) x z
Lz
xpˆ y ypˆ x i
(x y ) y x
Lˆ x
-i
(y z ) z y
x
xˆ,
p
i
Tˆ 2 2 2m
量子力学的第四条基本假设：
量子力学中的每个力学量 F 都用一个线性厄米算子 Fˆ 表示。测量力学量 Fˆ 的可能值谱就是算子Fˆ 的本征值
谱；仅当系统处在 Fˆ 的某个本征态 n时，测量力学量 F 才能得到唯一确定的结果Fn，即算子Fˆ 属于本征态 n
的本征值。
[xˆ j , pˆi ] i ij i, j x, y, z
根据对不同变量的微分可交换，有 [ pˆi , pˆ j ] 0 i, j x, y, z
[xˆi , xˆ j ] 0 i, j x, y, z
[Aˆ , Bˆ ] Aˆ Bˆ BˆAˆ
不难证明，对易子满足下列恒等式：
1, 2 是两个任意波函数, , 是两个任意常数。
厄米算子：
对两个任意波函数 (x)和 (x)，算子 Fˆ 还具有性质：
*(x)Fˆ(x)dV (x)[Fˆ (x)]*dV
称 Fˆ 是厄米算子。 例：验证动量算子 pˆ i 是线性厄米算子。
证明：取它的一个分量,它的线性性可由微分算子线性看
d dx
(
x)
i
(x) xpˆ x (x)
[xpˆ x pˆ x x] (x) i (x)
由于 (x)是任意波函数
[xpˆ x pˆ x x] i
量子力学3-2
m
1
| m | l
由Legendre多项式的正交关系
1
P
l
m
( ) P ( )d
m l'
2
(l m)!
2l 1 (l m)!
ll '
m l , l 1, ,1,0,1, l 1,l
(2l 1个)
17
可以定义归一化的θ部分的波函数 （为实数）
如何去区分这些简并态呢？
3
§3.3 共同本征函数 §3.3.1 不确定度关系的严格证明
ˆ 在算符A的本征态中测量力学量A，可以得到 确定值，并不出现涨落。如果测量B，则不一定 能得到确定值。
例如，由于粒子的波粒二象性，其位置与动量 不能够同时完全确定，而其不确定度由下式确定
x p
4
x0 y0 z0 (r ) (r r0 ) ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 )
p( p x , p y , p z )
﹟
相应的本征值为
r0 ( x0 , y0 , z0 )
﹟
12
在讲述两个力学量的共同本征函数的一 般原则以前，先讨论角动量的本征态。
lm ( ) (1)
m
(2l 1)(l m)! 2(l m)!
Pl (cos )
m
并满足归一化关系
0
lm
l 'm sin d ll '
ˆ2 , L ) 的正交归一的共同本征函数为 这样， L ˆ z (
18
Ylm ( , ) (1)
m
(2l 1)(l m)! 4 (l m)!
第11讲3厄米算符和连续谱3-4
ˆ ˆ * * O * O n m 取共轭 O n n n
ˆ O O O 所以 n m n m m m n m
得到 On n m Om n m Om On m n 结论 m n 0——正交 合并： m n mn 正交归一
量子力学
主讲：林洁丽
alishalin@
电子与信息工程学院光信息工程系
2012年9月
第三章 矩阵力学
提纲
§3.1 力学量的平均值 §3.2 算符的运算规则 §3.3 厄米算符的本征值和本征函数 §3.4 连续谱本征函数（简介） §3.5 量子力学中力学量的测量值 §3.6 不确定性原理
厄密算符的本征值是实数的证明
厄密算符的本征值是实数的证明（经典题目） 利用厄密算符定义：ψ*ÂΦdx=(Âψ)*Φdx，可以 证明密算符的本征值是实数。 设厄密算符Â属于本征态ψ的本征值为λ，则 Âψ=λψ 令Φ=ψ则有：ψ*Âψdx=(Âψ)*ψdx 利用本征方程上式左边和右边分别得到： 左边=ψ*λψdx=λψ*ψdx，右边=(λψ)* ψdx=λ*ψ*ψdx， 所以λψ*ψdx =λ*ψ*ψdx，即λ=λ*，因此λ 是实数。
返回
厄米算符典型特性
厄米算符的本征值是实数
ˆ dr O ˆ dr O O
ˆ O dr
O
逆定理：在任何状态下平均值为实数的算 符必定是厄米算符。
返回
厄米算符本征函数系的完备性
通过算符本征方程求得的一组本征函数是
n
任何满足同样边界条件且在同样区间内定 义的波函数都可以由它展开（因为）：
曾谨言《量子力学教程》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-力学量用算符表达(圣才出品)
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（2）算符的标积
定义一个量子体系的任意两个波函数（态）ψ 与 的“标积”
以下为常用算符标积运算公式：
式中 c1 与 c2 为任意常数．
7．转置算符 算符 Â 的转置算符 A 定义为
特例 对于
利用
（h 是一个普适常数，不为 0），则有
2．（l2,lz）的共同本征态 称为球谐（spherical harmonic）函数，它们满足
l2 和 lz 的本征值者都是量子化的．l 称为轨道角动量量子数．m 称为磁量子数．
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式中
称为 Levi—Civita 符号，是一个三阶反对称张量，定义如下：
②角动量算符与动量算符之间的对易关系 ③角动量算符之间的对易关系 分开写出，即
5．逆算符 设
能够唯一地解出 ψ，则可以定义算符 Â 之逆 Â－1 为
6．算符的函数与标积 （1）算符函数 给定一函数 F（x），其各阶导数均存在，幂级数展开收敛，
3．对易力学量完全集（CSCO）与对易守恒量完全集（CSCCO）
（1）对易力学量完全集
设有一组彼此独立而且互相对易的厄米算符
，它们的共同本征态记为
也，表示一组完备的量子．设给定一组量子数 a 之后，就能够确定体系的唯一一个可能状
态，则我们称（Aˆ1，Aˆ2， ）构成体系的一组对易可观测量完全集（complete set of
式中 ψ 与 φ 是任意两个波函数．
8．复共轭算符与厄米共轭算符 算符 Â 的复共轭算符 Â*．定义为
H(三章2讲)算符本征函数系【优质PPT】
第三章：量子力学中的力学量
第二讲：算符本征函数系
一、所有力学量算符都是线性厄密算符
Aˆ
(c11
c2 2 )
c（1 Aˆ 1） c（2 Aˆ
）
2
Ψ*Aˆ dτ= (Aˆ Ψ)* dτ
(, Aˆ ) (Aˆ , )
二、（厄密）算符对易式
0, 称 为 不 对 易
4. 知道体系初始时刻的态函数及其所处的力场，通过解薛定 谔方程即可确定以后各时刻的体系的态函数。
作业：1.
２.证明 厄米算符本征函数的正交归一性。 ３. 试述波函数是Hilbert空间的一个矢量
正因为如此，我们常称波函数为态矢量！
tips:若本征函数本来是归一的，可以把正交与归一合并
本征分立谱：
n * nd 1
m * nd 0
定义：mn＝1， m n
0, m n
即：
m
* nd
mn
( m , n ) mn
三、厄密算符的本征方程
定义：
Aˆ a
如上式，若厄密算符作用于一波函数，结果等于一个常数乘以 这个波函数，则称这个方程为厄密算符的本征方程。
并称a 是Aˆ 的本征值， 为属于a 的本征函数，
测量公设：在任意态下对力学量A进行测量，其测量值必是 相应于算符Aˆ 的本征值{an}之一 ；当体系处于算符A的某一本 征态 n 时，则每次测量值是完全确定的，即为an
cnn n
(n (x ''),n (x ')) (x '' x ')
封闭性：
(n (x ''),n (x ')) (x '' x ')
厄米算符本征函数的正交性
3.4 厄米算符本征函数的正交性 力学量算符本征值，本征函数,厄米算符 现讨论厄米算符的本征函数的基本性质，正交性 动量算符的本征函数pψ本征值为p32*1()(2)()i p rp p p r cec d p p ψπψψτδ⋅'=='=-⎰*0p p p pd ψψτ''≠=⎰属于动量算符不同本征值的两个本征函数,p p ψψ'相互正交 厄米算符的特点：本征函数正交 证明：设力学量算符ˆF， 本征值 123,,,n λλλλ 本征函数 123,,,nφφφφ取属于不同本征值的任意两个本征波函数波函数k l λλ≠因为k lλλ≠所以 *0k l d φφτ=⎰以上证明过程对分立谱，连续谱都成立但注意：对分立谱k λ组成分立谱，波函数k φ已归一*1k k d φφτ=⎰由以上两式*k l kl d φφτδ=⎰ 其中1,0,kl k l k l δ=⎧=⎨≠⎩对连续谱λ 组成分立谱，波函数λφ归一为δ函数*()d λλφφτδλλ''=-⎰满足以上两式的函数系，称为正交归一系。
以上无简并情况简并情况---〉同一本征值对应多个波函数（状态）如力学量算符ˆF的一个本征值n λ是f度简并此处多讲！一般来说以上这些函数在满足本征方程外，还有更大的自由，所以并不一定相互正交 但我们总可以用个2f 常数,,1,2,,ij A i j f=把以上f个函数ni φ线性组合成f个新函数ni ψ相互正交上结论能否成立，关键是能否找到2f 个常数i j A ，使组成的新函数n i ψ满足正交归一即*n j n j j j d ψψτδ''=⎰即f个新函数n iψ相互组合，共有22(1)222ff f f fC -==-个类似以上的方程且''0j j j j δ≠=由归一性*11,2,,n j n j d j fψψτ==⎰共f个找到2f 个常数i j A ，使组成的新函数n i ψ 满足正交归一受限制方程数2222222ff f f N f fC f -=+=+=+ 系数i j A 有2f 个 ，大于方程的个数N ，所以总可以找到2f 个系数i j A 组成f个新函数n i ψ满足正交性且新函数是力学量ˆF的本征函数，本征值为n λ 即例：力学量算符ˆF某本征值λ2度简并本征函数1,2φφ本征值为λ设正交归一的波函数11111222211222c c c c ϕφφϕφφ=+=+由正交归一***1211220,1,1d d d ϕϕτϕϕτϕϕτ===⎰⎰⎰已作过的几个厄米算符的本征函数线性谐振子，能量算符222(1)(),2a x n n n n n n N eH ax E ψω-+==角动量ˆzL201,0,1,2,()()im m m m mm e m mϕππφφϕφϕδ''==±±=⎰角动量平方22,(,)(cos ),(1),(21)mim lm lm l L Y N P e l l l ϕθϕθ=++氢原子能量22222121212222222222sR srZe H r r Ze H rM μμμ=-∇-∇----∇∇=-内部运动能量波函数 3.5 算符与力学的关系 力学量 算符表示算符 厄米算符本征值方程 本征值、本征函数如果算符F 表示力学量 F ，那么体系处于算符F 的本征态φ时，力学量F 有确定的值，这个值就是算符F 在φ态的本征值λ一般情况，体系并不在本征函数所描述的态上，而是一个任意的态ψ上 ？有确定值吗？ 测量该力学量得什么？ 波函数能给出给力学量的什么信息？ 态的叠加 假设体系处于1()r ψ，测量某力学量A,得1a 假设体系处于2()r ψ，测量某力学量A,得2a 则1122c c ψψψ=+也是体系的可能状态 （c 为任意复数）称1122c c ψψψ=+是 1()r ψ 和2()r ψ的叠加态在该态上测量力学量A 有时出现1a 有时出现2a出现的几率分别为 21c 22c力学量A 的平均值是：数学上已知证明 如ˆF是满足一定条件的厄米算符，它的正交归一本征函数nφ对应本值n λ，则任一函数可按n φ展开 式中ic 与x 无关，本征函数n φ的这种性质称完全性，即组成完全系 其他例子：矢量表示rxi y j zk =++函数的级数展开0()0vs v f b b νρρ∞+==≠∑函数的三角函数展开()sin()n n f x A nx ∞==∑系数n c 如何求？***()m m n n nn m n n mn mnnx dx c dxc dx c c φψφφφφδ====∑⎰⎰∑∑⎰即*()m m c x dx φψ=⎰系数n c 的平方和等于 1 系数n c 物理意义？ 数学上n c 时含有n φ的大小物理上含有量子态份额的多少，2nc 是测量力学量ˆF得n λ的几率力学量与算符关系的一个基本假定表示力学量的算符ˆF都是厄米算符，它们的本征函数n φ组成完全系，当体系处于波函数()x ψ所描写的状态时，测量力学量F 所得的数值，必定是算符ˆF的本征值之一，测得的几率是2nc .正确性，由整个理论与实验结果符合而得到验证 由以上假定，力学量平均值2*n nnF c F F dx λψψ→==∑⎰证明*********2**()()()()m m n n mnm n m n m n m n n mnmnm n n m n m n n mnmn mnn n nF dx c F c dxc c F dx c c dx c c dx c c c FF x dx F x dxψψφφφφφλφλφφλδλψψψψ========∑∑⎰⎰∑∑⎰⎰∑∑⎰∑⎰⎰对含连续谱情况 ()()()n n n x c x c x d λλψφφλ=+∑⎰其中*()()c x x dx λλφψ=⎰由22*()()11nnx x dx cc d λψψλ=→+=∑⎰⎰对连续部分对含连续谱情况下2c d λλ是什么意义 是测力学量F 得值在范围d λλλ→+内的几率 平均值22n nn n nF c F c d λλλ=→=∑⎰*F F dxψψ=⎰有分立，连续22*n n n nF c c d F dx λλλψψ=+=∑⎰⎰例：求氢原子处于基态时，电子动量的几率分布分析基态1001()r a r eψ-=给出了随 r 的分积布,几率密度2100ψ按动量算符的本征函数展开，系数c λ 即为动量分布其中动量本征函数321()(2)ip rp r eψπ⋅=微元2sin d r drd d τθθϕ= orxyzpθ2322cos 2302201cos 23cos 1221sin (2)1sin (2)12cos (2)or i p ra p r ipr a r r ipr a r o c eer drd d eer d d dra eer drd a ππθθϕθθθθϕππθθϕππθπ--⋅-∞-===-∞--===⋅⋅==-⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰2323232222202[]/[](2)(2)2[](2)r i iprpra r o riiprpra o r air ee epr dr a a ireeedr a p a pπππ-∞-=-∞-==⋅--=-=⎡⎤+⎣⎦⎰⎰32011()()32002[](2)2[00]11(2)()()ri iprpra r i i p r p r a a r r iree edra pieedr dri i a pp p a a ππ-∞-=-+--∞∞===-=--+-+--⎰⎰⎰11()()0322200032220002[]11(2)()()211[]11(2)()()i ip r p r a a r ie e i i a p p p a a ii i a p p p a a ππ-+--∞=-=++--=++-322200000203222000222000322222003220003222222222000211[](2)()()2()11[]()()(2)2()()()()(2)2()4(2)()()(2)iia p ia p a p a a i a ia p ia p a p i a ia p ia p a p a pi a i a p a a p a p a pπππππ+=++-+=++---+=+-==++()pc p 是p p= 的函数，动量的几率密度352422228()o p a p c a p ωπ==⎡⎤+⎣⎦当氢原子处基态时，电子动量的绝对值在范围p p dp →+内的几率积分时利用公式224(1)32x dx x π∞=+⎰。
厄米算符的本征值与本征函数详解演示文稿
三、厄米算符的本征值与本征函数(5)
2、几个定理（1）
定理1：厄米算符的本征值必为实数。
设 Aˆ 为厄米算符， n 和 An 为该算符的本征态与本
征值，即：Aˆ n An n
【证明】：设 A 为 Aˆ 在本征态 m 下的平均值，即：
A
* m
Aˆ
md
3r
四、角动量的本征值与本征函数（1）
n
( Aˆ *
* m
)d
3r
n A~ˆ
* m
d
3r
* m
Aˆ
n
d
3r
* m
An
n
d
3r
An
m* nd 3r
即：
n
(
Aˆ *
* m
)d
3r
An
m* nd 3r
已证明：
n
(
Aˆ *
* m
)d
3r
Am
m* nd 3r
Am m* nd 3r An m* nd 3r
即( Am An ) m* nd 3r 0, Am An ,
*[( Aˆ A) ][( Aˆ A) ]* d 3r ( Aˆ A) 2 d 3r 0
( Aˆ A) 0, 或者Aˆ 常数
改记为： Aˆ n An n
三、厄米算符的本征值与本征函数(3)
1、本征函数（本征态）和本征值（2）
Aˆ n An n
n 0,1,2,3,
定Aˆ理和：厄(r)米，算若符Aˆ＋的平Aˆ均，值即为Aˆ 实 A~数ˆ * 。
则
A
*
(r )
Aˆ
(r )d
3r
厄米算符的本征值与本征函数
19
四、角动量的本征值与本征函数（3）
2、角动量 z 分量的本征值与本征函数(1)
设本征值与本征函数为 和 lz ，本征方程为：
i
lz
ln
ilz /
解为： () C exp( ilz / ) 其中 C 为归一化常数
当 2 ，系统将回到原来的位置，由波函数的
单值性要求，有： ( 2 ) () ，即：
A ，可能
出现各种不同的结果，根据概率论，所得结果的平均将趋
于一个确定值，即平均值（期望）：A ， A *Aˆd 3r 每次测量结果则围绕平均值有一个涨落（方差）。定
义为： Aˆ 2 ( Aˆ A)2 *( Aˆ A)2d 3r
因为 Aˆ 是厄米算符，A 必为实数，因此 Aˆ 也是厄米算符 Aˆ ( Aˆ A) Aˆ A Aˆ A Aˆ
exp( ilz ( 2 ) / ) exp( ilz / ) e(2ilz /) 1 lz m, m 0,1,2 是量子化的
相应的本征函数： m () Ceim , m 0,1,2 20
四、角动量的本征值与本征函数（4）
2、角动量 z 分量的本征值与本征函数(2)
由归一化条件，有：
根据前述的推论2：Aˆ 2 *( Aˆ A)2d 3r 0
7
三、厄米算符的本征值与本征函数(2)
1、本征函数（本征态）和本征值（2）
Aˆ 2 *( Aˆ A)2d 3r 0 若 Aˆ 2 *( Aˆ A)2d 3r 0 ，涨落为零，其物理含
义为：测量 A 所得的结果是唯一确定的，换句话说，测量
Aˆ 和
(r)，若Aˆ＋
Aˆ ，即Aˆ
~ Aˆ *
~
则 A 2 *( Aˆ)2d 3r * Aˆ *( Aˆ )d 3r
厄米算符的本征值与本征函数
1、本征值与本征函数
处于ψ 态中，测量力学量A，可得到各种 值，这些值有一定的几率分布。
对于都用ψ来描述其状态的大量相同体系进 行多次测量，所得结果进行统计平均将趋向 于一个确定的值。
见下表：
28
1
(1) A1 p1 A2 p2 A3 p3
A0
(2) A1 p'1 A2 p'2 A3 p'3
p (r)
1 (2 )3/2
ei
p
r
/
为 p/的单色平面波。
28
19
在量子力学中，平面波代表粒子处在动量 一定、在空间各处出现的概率都相同的状态， 这是一种理想化的型。它不能用通常的办 法归一化，而是采用 函数的形式“归一化”。
28
20
(4)一维自由粒子的能量本征态。
则有
px ' (x)
1 ei px ' x/ 2
px '*(x) px "(x) dx ( px ' px")
平面波的“归一化”就用δ函数的形式表示 了出来。
28
18
在三维情况下，动量算符的本征值方程是
i p (r) p p (r)
动量算符的本征值 在直角坐标系中的三个分量px, py和pz 均为实数。动量本征值方程的解是
(A)2 ( Aˆ A)* *( Aˆ A)d | ( Aˆ A ) |2 d 0
如果体系处于一种特殊状态，测量 A 所得 结果唯一确定，即涨落 (A)2 0，
则这种状态称为力学量A的本征态。
28
第12讲厄米算符的本征值和本征函数、算符与力学量的关系
d
d
1
ˆ d ( F ˆ ) * d * F *F 2 2 1 ˆ 1 ) * 2 d ( F 2 ˆ 1
ˆ d ( F ˆ ) * ] [ d ( F ˆ ) * d * F ˆ ] [ d 1 * F 2 1 2 2 1 2 1
（四）实例
（1）动量本征函数组成正交归一系 （2）线性谐振子能量本征函数组成正交归一系
（3）角动量本征函数组成正交归一系
1. Lz 本征函数
2. L2本征函数
（4）氢原子波函数组成正交归一系
§6 算符与力学量的关系
（一）力学量的可能值
（1） 力学量算符本征函数组成完备系
（2） 力学量的可能值和相应几率
i 1 i 1
Fn nj
因为
j , j 1,2, , f
f2 - f(f+1)/2 = f(f-1)/2 ≥ 0，
算符 F 本征值 Fn简并的本质是： 当 Fn 确定后还不能唯一的确定状 态，要想唯一的确定状态还得寻找 另外一个或几个力学量算符，F 算 符与这些算符两两对易，其本征值 与 Fn 一起共同确定状态。
（2）分立谱、连续谱正交归一表示式
1. 分立谱正 交归一条 件分别为： 3. 正交归一系
n * n d 1 m * n d 0
m
* nd 0
[证毕]
m
* n d mn
2. 连续谱正 交归一条 件表示为：
* d ( )
1. ψ nj是本征值Fn的本征函数。
2. 满足正交归一条件的f个新函数ψnj可以组成。 为此只需证明线性 叠加系数 Aji 的个 数 f 2 大于或等于 正交归一条件方程 个数即可。
量子力学习题解答-第3章
=c
2.
b * 1 a
ò
f
* 1
( x ) g ( x ) dx + c ò f ( x ) g ( x ) dx = c
展开系数 C ( p, t ) 称为动量表象的波函数，我们可在动量表象用波函数 C ( p, t ) 来研究这个 态。 Y 的性质都是唯一确定的，无论用什么表象研究都是一样的。
ˆ 的本征态为分立谱 f 时， 当力学量 F n Y = å cn f n ,
n
cn = f n Y
ˆ 表象中，可以方便的用矩阵形式来表示各种量子力学的公式。这个表象的波函数（展 在 F ˆ 表示为一个方矩阵 开系数 {c 可表示为一列矩阵，算符 G n } æ c æ G11 G12 1 ö ç c ÷ çG 22 ç 2 ÷ ç 21 G Ψ = ç M ÷ G = ç ... ... ç ÷ ç ç cn ÷ ç Gn1 ... ç M ÷ ç ... ... è ø è
2
测量力学量 Q ，得到的可能结果必是 Q 本征值中的一个，得到 q n 几率为 c n 。对系综测量 力学量 Q （具有大量相同 Y 态系综中的每一个 Y 进行测量）所得的平均值（期待值）为
Q = å qn cn
n
2
ˆ Ydx 计算方法等价。 这与用 Q = ò Y Q
*
ˆ 具有连续谱的本征函数系 如果力学量 Q
a a
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即属于动量算符不同本征值的两个本征函数ψ pv′ 与ψ pv 相互正交。这是所有厄密算符的本征函数所共
有的。
2). 线性谐振子能量本征函数组成正交归一系
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
线性谐振子的能量本征函数
−1α 2x2
ψ n = N ne 2 H n (αx)
∫ 组成正交归一系：
∞ψ
−∞
n*ψ
n′ dx
=
δ
nn′
3). 角动量本征函数组成正交归一系
综合上述讨论可得如下结论：既然厄米算符本征函数总可以取为正交归一化的，所以以后凡是
提到厄米算符的本征函数时，都是正交归一化的，即组成正交归一系。
6. 实例
1). 动量本征函数组成正交归一系
∫ψ *pv′ (rv)ψ pv (rv)drv = δ ( pv − pv ′)
当 pv ≠ pv ′ 时，
∫ψ *pv′ (rv)ψ pv (rv)drv = 0
1). 正交性的定义
∫ 如果两函数ψ1和ψ2满足关系式 ψ 1*ψ 2dτ = 0 ，则称ψ1和ψ2相互正交。
2). 定理 III：厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交。（证明）
∫ ∫ ( Aˆψ m )*ψ ndτ = Am ψ m*ψ ndτ
∫ ∫ ∫ ( Aˆψ m )*ψ ndτ =
ψ
* m
2. 厄米算符的本征方程 1) . 涨落
涨落定义为 (ΔA)2 = ( Aˆ − A)2
证明: (ΔA)2 = ( Aˆ − A)2 ≥ 0
2) . 力学量的本征方程 若体系处于一种特殊状态，在此状态下测量 A 所得结果是唯一确定的，即：
(ΔA)2 = 0
则称这种状态为力学量 A 的本征态。
( Aˆ − A)ψ = 0 或 Aˆψ = 常数×ψ
§3.5 厄米算符的本征值与本征函数
1. 厄米算符的平均值 定理 I：体系任何状态ψ下，其厄米算符的平均值必为实数。（证明） 逆定理：在任何状态下，平均值均为实数的算符必为厄米算符。（证明） 推论：设 Â 为厄米算符，则在任意态ψ之下
∫ ∫ A2 = dτψ * Aˆ 2ψ = dτ ( Aˆψ )* Aˆψ ≥ 0
∫ ∫ 组成正交归一系：
π 0
2π 0
Ylm*
(θ
,ϕ
)Yl′m
(θ
,
ϕ
)
sin
θdθdϕ
=
δ ll′
(8)
(7)和(8)可合写为
∫ ∫π 0
2π 0
Ylm*
(θ
,
ϕ
)Yl′m′
(θ
,
ϕ
)
sin
θdθdϕ
=
δ δll′ mm′
(9)
4
①. lz 本征函数
角动量算符 lˆz 的本征函数
ψ m (ϕ) =
1 eimϕ 2π
(m = 0,±1,±2,K)
组成正交归一系：
∫ 2πψ 0
* m
(ϕ
)ψ
m′ (ϕ)dϕ
=
δ mm′
(7)
②. lˆ2 本征函数
3
角动量平方算符 lˆ2 属于本征值 l(l + 1)h 2 的本征函数 Ylm
Ylm (θ ,ϕ ) = Nlm Pl m (cosθ )eimϕ
Aˆψ
n
dτ
= An
ψ m*ψ ndτ
3). 分立谱、连续谱正交归一表示式 ①. 分立谱正交归一条件分别为：
∫ψ n*ψ ndτ = 1
归一化条件
∫ψ m*ψ ndτ = 0 (m ≠ n)
正交性
引用δmn称为克朗内克（Kronecker）符号，它具有如下性质：
δ mn
=
⎧⎪0 ⎨ ⎪⎩ 1
m≠n m=n
∫ ∫ 例 1： ∞ ψ * xφdx = ∞ (xψ )*φdx （Q x 为实数）
−∞
−∞
∫ ∫ 例 2：
∞ψ
−∞
*
pˆ xφdx
=
∞ −∞
(
pˆ xψ
)*φ
dx
例 3：证明 Hˆ = pˆ x2 + V (x) 为厄密算符 2m
综上所述：表示力学量的算符必为线性、厄密算符，线性厄密算符不一定是力学量算符。
可把常数记为An，把状态记为ψn，于是得：
Aˆψ n = Anψ n
(1)
其中An,ψn分别称为算符Â的本征值和相应的本征态，式(1)即算符Â的本征方程。 定理 II：厄米算符的本征值必为实。（证明）
3. 量子力学中的力学量用线性厄米算符表示
1). 表示力学量的算符必为线性算符；
2). 表示力学量的算符必为厄密算符。
1
3). 力学量算符和力学量之间的关系 测量力学量A时所有可能出现的值，都对应于线性厄米算符Â的本征值An（即测量值是本征值之
一），该本征值由力学量算符Â的本征方程
Aˆψ n = Anψ n
n = 1, 2,L
当体系处于Â的本征态ψn时，则每次测量所得结果都是完全确定的，即An。
4. 厄米算符的本征函数的正交性
把(3)与(4)式合写为
∫ψ m*ψ ndτ = δmn
②. 连续谱正交归一条件表示为：
∫ψ λ*ψ λ′dτ = δ (λ − λ′)
③. 正交归一系 满足上式的函数系ψn或ψλ称为正交归一（函数）系
5. 简并情况 如果Â的本征值An是fn度简并的，则属于本征值An的本征态有fn个：ψnα，α=1,2,…, fn
满足本征方程：
2
Aˆψ nα = Anψ nα
α = 1, 2,L, fn
一般说来，这些函数并不一定正交。但是可以证明由这 fn 个函数可以线性组合成fn 个独立的新函 数，它们仍属于本征值An且满足正交归一化条件。
算符Â本征值An简并的本质是：当An确定后还不能唯一的确定状态，要想唯一的确定状态还得寻 找另外一个或几个力学量算符，Â算符与这些算符两两对易，其本征值与An一起共同确定状态。