上海交通大学流体力学第一章

2
2 g (z s z0 ) r
2 9.81 2 11.82 0.53
rad/s
pc 2 p0 1000 N m2
pw2
2 2 ω2 R 11.822 0.752 p0 ρ g ( 0) 100 9810 2g 2 9.81
1000 39294 40294 ( N/m2 )
等加速直线运动(3-2)
2. 压强分布 由压强全微分式积分得压强分布式
dp ( f x dx f y dy f z dz ) ( adx gdz )
p ( ax gz ) C
设坐标原点在液罐底部中点， 静
止时的液位为z 0 , 即 x = 0，z = z 0 ，

A
ydA yc A
yc 为面积A形心的纵坐标, hc yc sin 为淹深。
F gyc sin A ghc A pc A
F pc A
pc 为形心压强。表明作用在面积A上的总压力大小等于形心 压强乘以面积 。
C1.5.2
平壁总压力作用点(4-1)
C1.5.2 平壁总压力作用点 1、积分法 设压强中心为D，由力矩合成法则 总压力
z s z0
2r 2
2g
取 r = 0.5 m, zs = 2 m, z0 =1 m
[例C1.4.2]
匀角速度旋转运动液体的相对平衡(3-2)
ω1
2 g ( z s z0 ) r
2 9.81 (2 - 1) 5.91 rad / s 0.75
pc1= p 0 + ρg z0 = 1000 + 9807×1 = 10806 N/m2 p w1= p 0+ρg H =1000 + 9807×2 = 20612 N/m2
C1.2.2
等压面
C1.2.2
等压面
沿等压面 压强增量为零，即 f dr 0 。或
f x dx f y dy f z dz 0
称为等压面微分方程式，上式表明 体积力处处与等压面垂直。
静止流体中等压面为水平面; 绕垂直轴旋转的流体中，等 压面为旋转抛物面。
C1.2.3 流体平衡的条件(2-1)
专
C1. 流体的平衡
题
篇
C2. 不可压缩无粘性流体平面势流 C3. 不可压缩粘性流体内流 C4. 不可压缩粘性流体外流
C5. 可压缩流体流动基础
C1.2.1
欧拉平衡方程(2-1)
C1.1 引言(工程背景) C1.2 流体平衡微分方程 C1.2.1 欧拉平衡方程
对静止流体 由N-S 方程

u=v=w=0 0
已知: 一封闭圆筒，高H = 2m，半径R=0.5m，注水高H0 = 1.5 m，压强为 p0=1000 N /m2。圆筒开始旋转并逐渐加速 求: (1）当水面刚接触圆筒顶部时的ω1、pc1 (中心) 及pw1 (边缘) ； (2 ) 当气体刚接触圆筒底部的ω2、pc 2 及pw 2。 解： 建立坐标系Oxyz ,原点O在底部中心，静止时 z = H 。 0 0 (1)当边缘水位刚达顶部时， 由自由面方程式
[例C1.2.3] 贸易风：流体平衡条件
大气满足完全气体状态方程
p = RρT
(B1.4.5)
设在赤道和北极地区离地面相同高度处压强相 同，但由于太阳光照射强度不同，两处温度相 差悬殊，由（B1.4.5）式相应的密度不相同，因此大气密度除了沿高度
变化外还随地球纬度改变而改变，等压面与等密度面（虚线）不重合
， f ( fx, fy, fz ) 0
Dv f － p 2v Dt
可得欧拉平衡方程
f p 0
体积力 压强梯度 压强分布
常数时，直接求解
( p ) ，联立求解
C1.2.1
欧拉平衡方程(2-2)
由欧拉平衡方程
f p
p p fy , fx , y x
d p = ρ1 (fx d x + fy d y + fz d z ) d p =ρ2 (fx d x + fy d y + fz d z )
1
A B
2
两式分别除以ρ1 和ρ2 ，再相减可得
(
1
1

1
2
)dp 0
由于ρ1≠ρ2，要使上式成立, 只有dp = 0，证明分界面必为等压面。 讨论： 当容器以恒角速度绕中轴旋转，两种液体均处于相对平衡状态 时其分界面也是等压面。
2g 代入压强分布式，令h = zs- z ，可得
z s z0
p p0 ρ g ( z0 z) ( z0 zs ) p0 ρ g ( zs z)
p0 ρ g h
证明在垂直方向的压强分布规律仍与静止液体中一样。
[例C1.4.2]
匀角速度旋转运动液体的相对平衡(3-1)
(见右图），造成大气层的非正压性，不满足流体平衡条件。 形成在赤道处大气自下向上，然后在高空自赤道流向北极；在北 极大气自上向下，最后沿洋面自北向南吹的大气环流。通常将沿洋面 自北向南吹的风称为贸易风。
C1.3
流体静力学基本方程(2-1)
C1.3
流体静力学基本方程
v2 p gz 常数 2
2
I r2 A
yC A yc（r2 查附录表FD1 ） yD yC 2 A r 2 A yc e
e r2
表FD1
称为压强中心对形心的纵向偏心距。同理可得
x D xc f
f
I yC A
f 称为压强中心对形心的横向偏心距,当图形对称时为零。
[例C1.5.2]
2 r 2 p p0 g ( z0 z ) 2g
C1.4.2
等角速度旋转运动(2-2)
3. 等压面 由 dp ( 2 xdx 2 ydy gdz ) 0 积分得
2r 2
2
gz C
C不同值时得一簇旋转抛物面。自由液面(r = 0， z = z0)上C =－g z0。设自由液面垂直坐标为ｚs ， 方程为 2r 2
讨论：在第二种情况中, 若没有 顶盖限制，边缘水位将上升至
hw 2
2 2 2 R
2g
3m
C1.5
均质流体对平壁的压力(2-1)
C1.5
均质液体对平壁的总压力
1. 工程 背景：压力容器，水坝，潜艇，活塞等； 结构强度，安全性能，运动规律等。
2. 条件：均质液体，体积力为重力。
C1.5.1 平壁总压力大小
fz f y y z
fz z
即体积力必须有势： f , 为势函数
重力是有势力
f g gk ( gz )
因此均质流体在重力场中能保持平衡状态。
C1.2.3 流体平衡的条件(2-2)
2. 对正压流体，ρ=ρ(p) 引入一个压强函数
P( )
将伯努利方程
用于静止流体
gz
p

常数
(a)
上式适用于全流场，表示总势能守恒。若写成
p z 常数 g
(b)
表示总水头保持不变。 (a) , (b) 式均称为流体静力学基本方程。适用条件：连通的 同种均质重力流体。
C1.3
流体静力学基本方程(2-2)
流体静力学基本方程的常用形式为
p1 p2 z1 z2 g g
FyD ydF gsin y 2dA
A A
F ghc A gyc Asin
设面积惯性矩
I x y 2dA
A
可得
Ix yD yC A
C1.5.2
平壁总压力作用点(4-2)
建立辅助坐标系 C ,由平行移轴定理
I x yc A I
再引入关于 轴的回转半径 r
dP dp
dp

上式成立的充要条件也是体积力必须有势。因此正压流体在 重力场中也能保持平衡状态。
均质流体（如淡水）和正压流体（如等温的空气）在平 衡时，等压面、等势面、等密度面三者重合：
f x dx f y dy f z dz
p = 0
,
= 0
3. 对斜压流体ρ=ρ(p，T)，可以证明不能在重力场中保持平 衡。如赤道和极地的大气，大范围的海水等。
p = p 0,，可得C = p 0+ρg z 0
压强分布式为
a p p0 ρ g z0 z g
x
C1.4.1
等加速直线运动(3-3)
3. 等压面 由dp = －ρ(adx+gdz) = 0 ，等压面方程为 ax+gz=C C不同时得一簇平行斜平面，自由液面(x = 0 , z = z 0 )上C = g z 0 。 设自由液面垂直坐标为z s ，方程为
求:
矩形平壁总压力：积分法(2-1)
已知: 矩形闸门长×宽= l×b = 4×2m2, b边与自由液面平行, l 边θ=30°。 闸门顶边分别位于(1)水面内；(2)水下H = 2 m深处时的水总压力 F大小和压强中心D的纵向偏心距e 。
图示斜平壁和坐标系Oxy , O点在 自由液面上，y轴沿斜平壁向下。 在面积A上取面元dA ，纵坐标y ， 淹深为
h y sin
C1.5.1 平壁总压力大小(2-2)
作用在dA 和A上的总压力
dF ghdA gysin百度文库dA
F= dF=ρ gsinθ ydA
A A
在几何上面积A 对x 轴的面积矩
(2)当气体接触圆筒底部时，设顶部液面线的半径为r2，由空气容积不变
1 2 r2 H R 2 ( H-H 0 ) 2 2( H - H 0 ) r2 R H
2(2 - 1.5) = 0.75 2 0.53m
[例C1.4.2]
匀角速度旋转运动液体的相对平衡(3-3)
在自由面方程中z 0 = 0，z s = 2 m，r = 0.53 m
说明两点的测压管水头相等。
p1 改变引起 p2同时改变，这就是帕斯卡原理. 当 z1 , z2保持不变时，
C1.4 均质液体相对平衡(3-1)
C1.4
均质液体相对平衡
当液体以等加速度a 作直线运动或以等角速度（向心加速度 a 2 r )旋转并达到稳定时，液体象刚体一样运动，N-S方程
a f g p
等角速度旋转运动(2-1)
C1.4.2 等角速度旋转运动 设液体以等角速度ω绕中心轴z 轴旋转
1. 体积力
fx=ω2x ，fy=ω2y ，fz= －g 2. 压强分布
dp ( 2 xdx 2 ydy gdz )
积分得
p g(
2r 2
2g
z )C
设坐标原点在底部中点，自由液面最低点的坐 标r = 0，z = z0 ，压强p = p0 ,可得C = p0+ρg z0 .压强分布式为
或
ax gzs gz0 ax z0 - z s g
代入压强分布式，令h = zs－z ，可得
p p0 ρ g ( z0 z) ( z0 zs ) p0 ρ g ( zs z) p0 ρgh
证明在垂直方向压强分布规律与静止液体一样。
C1.4.2
( f g－a ) p
fg 为重力。上式与欧拉平衡方程形式相同，f = fg – a 也是有势 力。符合平衡条件，称为液体的相对平衡。 C1.4.1 等加速直线运动
设液体以等加速度a 沿水平方向作直线运动 1. 体积力分量
f x = -a , f y = 0 , fz = -g
C1.4.1
p p p dp dx dy dz x y z
p fz z
( f x dx f y dy f z dz ) f dr
称为压强全微分式，表示体积力在任何方向 dr的投影 为该方向的压强增量。
[例C1.2.2]
两种液体的分界面：等压面
设密度分别为ρ1 和ρ2 的两种互不相混的液体放在同一容器中，试证明当 它们处于平衡状态时其分界面必为等压面。 解： 在分界面上任取相邻 d r 的两点 A 和 B ，dp = pA- pB 。 对液体1 对液体2
C1.2.3 流体平衡的条件 1. 对均质流体，ρ = 常数, 压强全微分式化为
p d f x dx f y dy f z dz 上式成立的充分必要条件是
f y
f x , x y
fx x
f x f z , z x
fy y