解直角三角形的应用中考练习题含答案

解直角三角形的应用练习题

参考答案与试题解析

一．选择题（共5小题）

1．（2012•襄阳）在一次数学活动中，李明利用一根栓有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD．如图，已知小明距假山的水平距离BD为12m，他的眼镜距地面的高度为1.6m，李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C，此时，铅垂线OE经过量角器的60°刻度线，则假山的高度为（）

A．（4+1.6）m B．（12+1.6）m C．（4+1.6）m D．4m

考点：解直角三角形的应用．

分析：

根据已知得出AK=BD=12m，再利用tan30°==，进而得出CD的长．

解答：解：∵BD=12米，李明的眼睛高AB=1.6米，∠AOE=60°，

∴DB=AK，AB=KD=1.6米，∠CAK=30°，

∴tan30°==，

解得CK=4（米），

即CD=CK+DK=4+1.6=（4+1.6）米．

故选：A．

点评：

本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意得出tan30°==解答是解答此题的关键．

2．（2014•随州）如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得

∠BCD=60°，又测得AC=100米，则B点到河岸AD的距离为（）A．100米B．50米C．

米

D．50米

考点：解直角三角形的应用．

专题：几何图形问题．

分析：过B作BM⊥AD，根据三角形内角与外角的关系可得∠ABC=30°，再根据等角对等边可得BC=AC，然后再计算出∠CBM的度数，进而得到CM长，最后利用勾股定理可得答案．解答：解：过B作BM⊥AD，

∵∠BAD=30°，∠BCD=60°，

∴∠ABC=30°，

∴AC=CB=100米，

∵BM⊥AD，

∴∠BMC=90°，

∴∠CBM=30°，

∴CM=BC=50米，

∴BM=CM=50米，

故选：B．

点评：此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是证明AC=BC，掌握直角三角形的性质：30°角所对直角边等于斜边的一半．

3．（2014•衡阳）如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB 的坡度i=1：1.5，则坝底AD的长度为（）

A．26米B．28米C．30米D．46米

考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．

专题：几何图形问题．

分析：先根据坡比求得AE的长，已知CB=10m，即可求得AD．

解答：解：∵坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，

∴AE=1.5BE=18米，

∵BC=10米，

∴AD=2AE+BC=2×18+10=46米，

故选：D．

点评：此题考查了解直角三角形的应用中的坡度坡角的问题及等腰梯形的性质的掌握情况，将相关的知识点相结合更利于解题．

4．（2014•西宁）如图1，某超市从一楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°，则二楼的层高BC约为（精确到0.1米，sin42°≈0.67，tan42°≈0.90）（）

A．10.8米B．8.9米C．8.0米D．5.8米

考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．

专题：几何图形问题．

分析：延长CB交PQ于点D，根据坡度的定义即可求得BD的长，然后在直角△CDA中利用三角函数即可求得CD的长，则BC即可得到．

解答：解：延长CB交PQ于点D．

∵MN∥PQ，BC⊥MN，

∴BC⊥PQ．

∵自动扶梯AB的坡度为1：2.4，

∴==．

设BD=5k米，AD=12k米，则AB=13k米．

∵AB=13米，

∴k=1，

∴BD=5米，AD=12米．

在Rt△CDA中，∠CDA=90゜，∠CAD=42°，

∴CD=AD•tan∠CAD≈12×0.90≈10.8米，

∴BC≈5.8米．

故选：D．

点评：本题考查仰角和坡度的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．

5．（2014•临沂）如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B、C之间的距离为（）

A．20海里B．10海里C．20海里D．30海里

考点：解直角三角形的应用-方向角问题．

专题：几何图形问题．

分析：如图，根据题意易求△ABC是等腰直角三角形，通过解该直角三角形来求BC的长度．

解答：解：如图，∵∠ABE=15°，∠DAB=∠ABE，

∴∠DAB=15°，

∴∠CAB=∠CAD+∠DAB=90°．

又∵∠FCB=60°，∠CBE=∠FCB，∠CBA+∠ABE=∠CBE，

∴∠CBA=45°．

∴在直角△ABC中，sin∠ABC===，

∴BC=20海里．

故选：C．

点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题．解题的难点是推知△ABC是等腰直角三角形．

二．填空题（共5小题）

6．（2009•仙桃）如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A处测得广告牌B点、C点的仰角分别为52°、35°，则广告牌的高度BC 为 3.5米（精确到0.1米）．（sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70；sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28）

考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

专题：应用题；压轴题．

分析：图中有两个直角三角形△ABD、△ACD，可根据两个已知角度，利用正切函数定义，分别求出BD 和CD，求差即可．

解答：解：根据题意：在Rt△ABD中，有BD=AD•tan52°．

在Rt△ADC中，有DC=AD•tan35°．

则有BC=BD﹣CD=6（1.28﹣0.70）=3.5（米）．

点评：本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．7．（2009•安徽）长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了2（）m．

考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．

专题：压轴题．

分析：利用所给角的正弦函数求两次的高度，相减即可．

解答：

解：由题意知：平滑前梯高为4•sin45°=4•=．

平滑后高为4•sin60°=4•=．

∴升高了2（）m．

点评：本题重点考查了三角函数定义的应用．

8．（2014•宁波）为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出17个这样的停车位．（≈1.4）

考点：解直角三角形的应用．

专题：调配问题．

分析：如图，根据三角函数可求BC，CE，由BE=BC+CE可求BE，再根据三角函数可求EF，再根据停车位的个数=（56﹣BE）÷EF+1，列式计算即可求解．

解答：

解：如图，BC=2.2×sin45°=2.2×≈1.54米，

CE=5×sin45°=5×≈3.5米，

BE=BC+CE≈5.04，

EF=2.2÷sin45°=2.2÷≈3.14米，