化归思想方法在解题中的应用

化归思想方法在解题中的应用

汕头金平职业技术学校李顺生

摘要：化归，指的是转化与归结．即把数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换、转化，归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题，从而最终解决原问题的一种思想。近几年高考，随着试题由知识立意向能力立意的转变，不断加大化归思想的考查力度。如此，重视化归思想在高中数学教学中的应用显得尤其重要。

关键词：新课程解题渗透化归数学思想

近几年高考试题十分重视数学思想方法的考查，特别是考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。

美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只能满足于解出来，只有做到对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。

在中学数学中，化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略。所谓的化归，指的是转化与归结。即把数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换、转化，归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题，从而最终解决原问题的一种思想。

化归应遵循一定的原则：（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利运用熟知的知识、经验和问题来解决。（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过以简单问题的解决，达到复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困

难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。

一、 等价转化

转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。

例1.求,23x

x y -= ]2,1[∈x 的最小值。 [分析] 本题有多种解法，如换元，两边平方，把分母中的x 移进根号内等办法转化成常规题解决，但当我们注意到1+2=3，1×2=2时，解法就可更灵活一些，结合等价变换，一种新解法呼之欲出。

[解] 21≤≤x

0)2)(1(≤--∴x x

0232≤+-∴x x

223x x ≥-∴

123≥-∴x

x 即1≥y ，当=x 1或=x 2时，1=y

∴函数的最小值为1

二、一般与特殊的转化

当面临的数学问题由一般情况难以解决，可以从特殊情况来解决，反之亦然，这种方法在选择题，填空题中非常适用。

例2.椭圆14922

=+y x 的焦点为F 1，F 2，点P 为其上的动点，当

∠F 1PF 2为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是 。

[分析]若∠F 1PF 2=90O ，点P 在以F 1F 2为直径的圆上，则圆与椭圆方程联立，

求出点P 的坐标。

[略解] 55351492222±=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+x y x y x 由此可知点P 的横坐标的取值范围是

5

53553<<-x [注]本题若采用解析法设动点的坐标，列不等式求解则计算量太大，抓住

临界值直角这一关键，简化了运算，将钝角转化为直角，将一般转化为特殊，其作用是不言而喻的。

三、正与反的相互转化

对有些从“正面进攻”很难奏效或运算较繁的问题，可以用迂回战术攻其反面，再利用“对立互补”的思想使正面得以解决。

例3.某射手射击1次击中目标的概率是0.9他连续射击4次且他各次射击是否击中目标是相互独立的，则他至少击中目标1次的概率为 。

[分析]至少击中目标一次的情况包括1次、2次、3次、4次击中目标共四种情况，可转化为其对立事件：一次都未中，来求解

[略解]他四次射击未中1次的概率P 1=44C 0.14=0.14

∴他至少射击击中目标1次的概率为1－P 1=1－0.14=0.9999

四、数与形的相互转化

数形结合就是将问题的数量关系的抽象概念赋予几何意义或将图形问题转化为数量关系，从而获得简捷而一般的解决方法。

例4.如果实数y x ,满足3)2(22=+-y x ，那么

x y 的最大值是（ ） A.21 B.33 C.2

3 D.3 [分析]由于方程3)2(22=+-y x 表示的曲线以)0,2(A 为

圆心，以3为半径的圆（如右图所示），满足方程的y

x ,是圆上的点),(y x P ；而x

y 是坐标原点)0,0(与圆上各点连线的斜率，所以题目可转化为求原点)0,0(与圆上各

点连线的斜率的最大值。结合图像，易知直线kx y =与圆3)2(22=+-y x 相切的时候，直线OP 的斜率k 就是所求斜率的最大值。

[略解] 32||,3||π

=∠⇒==POA OA AP

3tan =∠∴POA

即所求x

y 的最大值是3，故选D 。 五、高维转化为低维

例5. 如图，正三棱锥P-ABC 中，各条棱的长都是2，E 是侧棱PC 的中点，D

是侧棱PB 上任一点，求△ADE 的最小周长。

[分析]：把空间问题化归成平面问题，是立体几何中化归思想最重要的内容， 有这种思想作指导，结合图形如图1，由于AE 是定长： 32

32=⨯ ，故只要把侧面PAB 、PBC 展开，那么当A 、D 、E 三点共线时的AE 长，即AD+DE 的最小值。在图2的∆AED 中 ，PA=2， PE=1，∠APE=1200，故依余弦定理有AE 2=22+12-2⨯⨯⨯12COS1200=7。所以AE=7，于是得∆AED 的最小周长为73+。

六、整体与局部的转化

众所周知，整体问题是由局部问题构成，研究某些整体问题可以从它的局部问题切入。

例6.函数时，且当都有满足对任意0),1()()(,)(<++=+x xy

y x f y f x f y x x f )21()1

31()111()51(0)(2f n f f f x f n >+++++> ，求证：都有 [分析]观察对应法则的结构，局部对通项变形。整体将不等式左边数列的和用“裂项法求和”化简，创造使用题设进行证明。

[略解]赋值检验知)(x f 为奇函数，且当0)(0<>x f x 时，都有。