第七章_缝隙流动

§7-5 平行圆盘缝隙流动
由圆柱坐标系N－S方程式可得
u
1 dp ( z ) z 2 dr
圆盘缝隙中沿径向的压强分布为
p
6 qV
3
ln
r2 p2 r
6qV
呈对数分布规律
ln r2 r1
压力差为 两圆盘A和B平行地相距，如图所 示，液流从中心向四周径向流出。由 于缝隙高度很小，流动呈层流。 探讨这种流动，采用柱坐标系是 比较方便的。因为平行圆盘间的流动 是径向的，所以对称于中心轴线z，这 样运动参数就与无关。又因为缝隙高 度很小，所以
u
p z ( z ) z U (1 ) 2l
由边界条件
z 0, z , u U u0
第一项是由压强差造成的流动，沿间隙 高度速度呈抛物线分布，称为压差流； 第二项是由下平板运动造成的流动，间 隙中的流速呈线性分布，称为剪切流。
得
C1 p U , C2 U 2l
所以活塞受到的力F为
3 D D D F F p F UL[ ( ) 3 3( ) 2 4( )] 4
§7-3 倾斜平板间缝隙流动
但是倾斜平板缝隙与平行平板缝隙不同之处 在于沿流动方向的压强变化率 dp 不是常数， p dx 因此不能用 代替 dp 。
l dx
这个流量应为活塞下行排挤下腔的流量
D 2 Q U 4
即
p 3 U D 2 D( ) U 12L 2 4
p 6UL D ( ) 2 3
则
由此可得活塞上压差p所需的力Fp为 解 活塞在F力作用下向下以U速度运动，这 时活塞下的部分油液要经过活塞与壳体间的 同心环缝流至上腔。这是一个压差－剪切联 合作用下的缝隙流动问题，活塞向下运动， 而压差流动方向向上，则由环缝向上流出的 流量Q为
气 p0 油
胶膜

d
l
水泵将水池中的水送水塔，两液面高差H=20m，输水管 道直径D=20cm，总长L=100m。文吐利流量计的喉部直 径d=7.5cm，流量系数Cq=0.98。如果U型差压计汞柱差 Δh=10cm，水泵总效率为70%，管道沿程阻力系数λ=0.03， 不计管道局部损失，求水泵所需功率。
将h与的函数关系代入，则 设柱塞的半径为r1，缸半径为r2， 0＝r2－ r1 为同心时的缝隙高度， e 为偏心距， ＝ e/0 为相对偏心距。缸与柱塞形成的缝隙 高度 h 是个变量，它随 角而变。由于 h 相 对于r1和 r2 为小量，而且e与 r1 和r2相比更 为小量，于是由图中的几何关系可得
D 2 3 D 3 D Fp p UL[ ( ) 3 ( ) 2 ] 4 4 2
活塞除压差力Fp外，还作用有粘性力F。因 为缝隙中流速分布为
p 3 U Q D( ) 12L 2
u
p z ( z ) z U (1 ) 2L
活塞上的剪切应力0为
2 b h12 h2 qV p 6l h1 h2
h1 2 ) 1 p p1 p h h ( 1 )2 1 h2 渐缩倾斜固定平板缝隙中的压力分布规律为上凸曲线，收缩程度越大，曲线上凸越大。 在渐扩倾斜固定平板缝隙中的压力分布规律为下凹曲线，扩大程度越大，曲线下凹越 多 (
§7-4 圆锥缝隙流动
u x u u ( z ), u y u z 0 p p dp p 0 , 0 , y z x dx
bh3 dp bhU qV 12 dx 2
压力沿x轴向变化率为
dp 6 U 12 2 3 qV dx h bh
倾斜缝隙任意点的压强为
h AB OB OA r2 (r1 e cos ) 0 e cos 0 (1 cos )
qV
2 0
p 03 U [ (1 cos )3 0 (1 cos )]r1d 12l 2
3 积分得 q d1p 0 (1 1.5 2 ) d1 0U V 12l 2
通过整个平板间隙的流量qV为
qV ubdz
0

得
b 3 p b qV U 12 l 2
泄漏流量也是由两种运动造成的，当压差流动和平板运动的U方向 一致时取“＋”号，相反时取“－”号。
二、功率损失与最佳缝隙
以左图所示的流动为例，压差流动的 方向和下平板的运动方向一致。于是，由 压差引起的泄漏功率损失NQ为
du p U ( 2 z ) dz z 0 2 L p U 2L
0

z 0
6UL D U 3U D U ( ) ( ) 2 L 3 2 2 2
由此向上的剪切力F 为
F DL 0 DL[ 3U D U 3 D 2 D ( ) ] UL [ ( ) 4 ( )] 2 2 2
p p1
6qV 1 1 6U 1 1 ( 2 2) ( ) btg h1 h tg h1 h
倾斜缝隙两端的压强差为
2 6qV h12 h2 6U h2 h1 p p1 p2 ( 2 2 ) ( ) btg h1 h2 tg h1h2
利用关系式
对于不可压缩流体，忽略质量力时，N-S 方程可简化为
u 0 x
p p2 p dp p 1 x dx l l
2u d 2u 2 2 z dz
于是方程第一式为
于是
d 2u 1 dp p dz2 dx l
对z积分两次得
u p 2 z C1 z C 2 2l
平板长为l，宽为b，缝隙高度
b l
由后两式可看出压力p仅沿x方向变化， 并且u仅是z的函数，由于平板缝隙大 小沿x方向是不变的，因此p在x方向 的变化率是均匀的，因此
ux u
u y uz 0
由连续性方程，可得
组成缝隙的平板y向的尺寸较大，u 则是很小 y 的，可以忽略不计。
第七章 缝隙流动
缝隙流动属于层流范畴。 缝隙中液体产生运动的原因有二 ：一种是由 于存在压差而产生流动，这种流动称为压差流。 另一种是由于组成缝隙的壁面具有相对运动而 使缝隙中液体流动，称为剪切流，两者的叠加 称为压差-剪切流。
§7-1 平行平板间缝隙流动
一、速度分布规律和流量
1 p 2u 2 0 x z 1 p 0 y 1 p 0 z
ur u
uz 0
u 0
p p1 p2

3
流量为
qV
3p 6 ln(r2 r1 )
。
上圆盘所受的总作用力为
2 2 6 q r r r F (r22 r12 ) p2 3 V [ 2 1 r12 ln( 1 )] 2 r2
(r22 r12 ) p2
b 3 p b 3 p NQ pqV p( U ) pb( U) 12 l 2 12 l 2
由于运动平板作用于边界流体上的剪切摩擦力F为
F bl bl du dz z 0
F b( Ul p ) 2
由剪切摩擦力F引起的功率损失NF为
所以使功率损失最小的缝隙高度0为
0
2Ul p
上式即为平行平板间缝隙流动中最佳间隙的计算公式
§7-2 圆柱环形缝隙流动 一、同心圆柱环形缝隙流动
通过缝隙中的流量可以将b= d1代入 平行平板缝隙流量公式
d1 3 p d1 qV U 12 l 2
两同心圆柱面形成的缝隙，内圆柱直径为 d1，外圆柱直径为d2，间隙高度为＝(d2 －d1)/2。 由于缝隙尺寸很小，我们可以把同心环 形缝隙近似地看作宽度为 d1的平行平板 缝隙，因此缝隙中的流速分布可以按平行 平板公式计算
在液压技术中常常会由于加工误差或其它原因将柱塞、活塞等加工成一定 锥度的圆锥体，装入阀体或缸体中就形成了由外圆柱面和内圆锥面构成的环形 缝隙流动。由于缝隙的高度和柱塞半径相比为微小量，因而将其展开后可看成 是倾斜平板缝隙流动。
渐缩环形缝隙，如果内圆锥体偏向下 方，按公式分别绘出圆锥体上方和下方的 压力分布曲线。圆锥体下方缝隙较小一侧 的压力大于圆锥体上方缝隙较大一侧的压 力，因此形成向上的合力F将内圆锥压向同 心位置。这个合力称为“恢复力”，它能 使内圆锥与外圆柱自动保持同心。
式中的正负号选取与前述相同。当U＝0时 可得纯压差流动的流量为
d1p 03 qV (1 1.5 2 ) 12l
【例】一活塞式阻尼器如图所示，活塞直径为D，长为L，活塞与壳体间半径 间隙为，设活塞与壳体内径均无锥度，当活塞杆上作用F力，活塞将向下以 U速度运动，求F力，设油液粘度为，并认为无偏心 。
tg (h1 h2 ) / l
பைடு நூலகம்
可得流量为
qV
倾斜平板缝隙内压强分布p为
bh1h2 h1h2 ( p U ) h1 h2 6l
h1 2 ) 1 6U (h h2 ) x h p p1 p 2 h h (h1 h2 ) ( 1 )2 1 h2 (
对于固定不动的倾斜平板，即U=0的纯压差，流量和压力分布规律分别为
N F FU bU ( Ul p ) 2
总功率损失N为
N N Q N F b( p lU ) 12l
2 3 2
同样可证明，当压差流动 和剪切流动方向相反时， 总功率损失仍为此式 。
0即为所求的最佳间隙
dN d 0
0
dN p 2 2 lU 2 b( 2 )0 d 4l
式中的正负号的选取方法与平行平 板缝隙流动相同。
二、偏心圆柱环形缝隙流动
我们在任意角 处取一微小圆弧CB，它对应 的圆弧角为d，则CB＝r1 d，由于CB为一 个微小长度，因而这段缝隙中的流动可近似 看作为平行平板间的缝隙流动，所以流过偏 心圆柱环形缝隙的总流量为
qV
2 0
h3 p h ( U )r1d 12 l 2
由N-S方程
u
1 2 dp z ( z hz) U (1 ) 2 dx h
若间隙宽度为b，则流过任一截面的流量qV为 某一平板相对于另一平板成一角度放置 时，两板间的液体流动称为倾斜平板间缝隙 流动。由于倾斜角较小，在平板两端的压强 差p1－p2，或一个平板以U速度，都使缝隙中 的液体近似平行的速度运动，于是有
如果下平板运动方向向左，则前式第二项前符号取“－”。
u
p z ( z ) z U (1 ) 2l
如果下平板固定不动，上平板以U速度运动，则流速公式为：
u
p z ( z ) z U ( ) 2l
上式中，如上平板向右运动取“＋”号，向左运动取“－”号。
几种可能的速度分布图形
渐扩环形缝隙，如果内圆锥体偏向下 方，按公式分别绘出圆锥体上方和下方的 压力分布曲线。圆锥体下方缝隙较小一侧 的压力小于圆锥体上方缝隙较大一侧的压 力。因此形成的合力F将内圆锥推向下方， 直到接触外圆锥面为止。这个合力称为 “卡紧力”，它能使内圆锥与外圆柱出现
“卡死”现象。
减小卡紧力的有效方法就是如图所示的开平衡 槽。平衡槽均衡柱塞周围的压强，不容易出现偏心， 自然也就不会出现卡紧力。
r [r22 r12 2r12 ln( 1 )] 2 ln(r2 r1 ) r2
p
下圆盘所受的总作用力为
F r22 p2
3qv
3
(r22 r12 )
r22 r12 F r p2 p 2 ln(r2 r1 )
2 2
如图所示，缸中储油和气，由弹性胶膜隔开，柱塞直 径d=100mm，油的粘度为=0.01Pa s，经单边间隙 =0.3mm，长l=100mm的环形缝隙流出至大气，油的 密度，假若用水力直径dH(dH=4A/)表示临界雷诺数 Recr=1100，试确定出现液体层流时，气体的压强p0的 最大值为多少？