第2讲矩阵与变换学生

第2讲 矩阵与变换

考情解读 本讲从内容上看，主要考查二阶矩阵的基本运算，考查矩阵的逆运算及利用系数矩阵的逆矩阵求点的坐标或曲线方程等．从形式上看，以解答题为主，本节知识是高考中数学教材和高等数学教材的接轨知识，一般以基础题目为主，难度不大．又经常与其他知识结合，在考查基础知识的同时，考查转化与化归等数学思想，以及分析问题、解决问题的能力．分值为10分．

1．矩阵乘法的定义

一般地，我们规定行矩阵[a 11，a 12]与列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21的乘法规则为[a 11，a 12]⎣⎢⎡⎦⎥⎤

b 11b 21＝[a 11b 11＋a 12b 21]，

二阶矩阵⎣⎢

⎡⎦⎥⎤

a

b c

d 与列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 的乘法规则为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a

b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

ax ＋by cx ＋dy . 说明：矩阵乘法MN 的几何意义为对向量的连续实施的两次几何变换(先T N 后T M )的复合变换． 一般地，对于平面上的任意一个点(向量)(x ，y )，若按照对应法则T ，总能对应惟一的一个

平面点(向量)(x ′，y ′)，则称T 为一个变换，简记为T ：(x ，y )→(x ′，y ′)或T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦

⎥⎤x ′y ′.

2．几种常见的平面变换

(1)恒等变换；(2)伸缩变换；(3)反射变换；(4)旋转变换；(5)投影变换；(6)切变变换． 3．矩阵的逆矩阵 (1)逆矩阵的有关概念

对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵．若二阶矩阵A 存在逆矩阵B ，则逆矩阵是唯一的，通常记A 的逆矩阵为A －1

，A －1

＝B . (2)逆矩阵的求法

一般地，对于二阶可逆矩阵A ＝⎣⎢

⎡⎦

⎥⎤

a

b c

d (ad －bc ≠0)，

它的逆矩阵为A －1

＝

⎣⎢⎢⎡⎦

⎥⎥⎤d ad －bc －b

ad －bc －c ad －bc a ad －bc .

(3)逆矩阵的简单性质

①若二阶矩阵A ，B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且(AB )－1

＝B －1A －1

. ②已知A ，B ，C 为二阶矩阵，且AB ＝AC ，若矩阵A 存在逆矩阵，则B ＝C . (4)逆矩阵与二元一次方程组

对于二元一次方程组⎩

⎪⎨

⎪⎧

ax ＋by ＝m ，

cx ＋dy ＝n (ad －bc ≠0)，若将X ＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

x y 看成是原先的向量，而将B

＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n 看成是经过系数矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤a b c d (ad －bc ≠0)对应变换作用后得到的向量，则可记为矩

阵方程AX ＝B ，⎣⎢

⎡⎦⎥⎤a b c

d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤m n ，则X ＝A －1B ，其中A －1＝

⎣⎢⎢⎡⎦

⎥⎥⎤d ad －bc －b

ad －bc －c ad －bc a ad －bc .

4．二阶矩阵的特征值和特征向量 (1)特征值与特征向量的概念

设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的一个属于特征值λ的一个特征向量． (2)特征向量的几何意义

特征向量的方向经过变换矩阵A 的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ>0)，或者方向相反(λ<0)，特别地，当λ＝0时，特征向量就被变成了零向量． (3)特征多项式

设λ是二阶矩阵A ＝⎣⎢

⎡⎦⎥⎤

a

b c

d 的一个特征值，它的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

x y ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤

x y 满足二元一次方程组⎩

⎪⎨

⎪⎧

ax ＋by ＝λx ，cx ＋dy ＝λy ，故⎩

⎪⎨

⎪⎧

λ－a

x －by ＝0，

－cx ＋λ－d y ＝0.

(*)

由特征向量的定义知α≠0，因此x ，y 不全为0，此时D x ＝0，D y ＝0，因此，若要上述二元

一次方程组有不全为0的解，则必须有D ＝0，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪

λ－a －b －c λ－d ＝0.

定义：设A ＝⎣⎢

⎡⎦⎥⎤

a

b c

d 是一个二阶矩阵，λ∈R ，我们把行列式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪

⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2

－(a ＋d )λ＋ad －bc . 称为A 的特征多项式． (4)求矩阵的特征值与特征向量

如果λ是二阶矩阵A 的特征值，则λ一定是二阶矩阵A 的特征多项式的一个根，它满足f (λ)

＝0.此时，将λ代入二元一次方程组(*)，就可以得到一组非零解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，于是，非零向量⎣⎢⎡⎦

⎥

⎤

x 0y 0即为A 的属于λ的一个特征向量.

热点一 常见矩阵变换的应用 例1 已知曲线C ：xy ＝1.

(1)将曲线C 绕坐标原点逆时针旋转45°后，求得到的曲线C ′的方程； (2)求曲线C 的焦点坐标和渐近线方程．

(2013·福建)已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝⎣⎢

⎡⎦

⎥⎤1

20

1对应的变换作用下变为直

线l ′：x ＋by ＝1. (1)求实数a ，b 的值；

(2)若点P (x 0，y 0)在直线l 上，且A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

x 0y 0，求点P 的坐标．

热点二 二阶矩阵的逆矩阵

例2 设矩阵M ＝⎣⎢

⎡⎦

⎥⎤

a

00

b (其中a >0，b >0)．

(1)若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1

；

(2)若曲线C ：x 2

＋y 2

＝1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′：x 2

4

＋y 2

＝1，求a ，

b 的值．