债券价格的利率分析

y
。
久期法则6：稳定年金的久期由下式给出：
1y y
(1
T y)T
1
这里，T为支付次数，y是每个支付期的年 金收益率。
久期法则7：息票债券的久期等于 1y 1yT(cy) y c[(1y)T1]y
这里，c为每个支付期的息票利率，T 为支付次数，y是每个支付期的年金收益率。
久期法则8：当息票债券以面值出售时， 法则7可简化为
1 y[1 y
1 (1 y)T
]
4.3 债券的凸度
4.3.1 久期的局限性
根据式（4-3’），债券价格变化的百分 比作为到期收益率变化的函数，其图形是一 条斜率为-D*的直线。因此，当债券收益变化 时，可以这条直线对新产生的价格进行估计。
例如，图4-3中的债券A为30年期、8％息 票利率、初始到期收益率8％的债券，可知其 初始修正久期为11.26年。所以，当收益上升 1个基点时，债券价格将下跌11.26×0.0001＝ 0.001126，即0.1126％。也就是说，根据修正 久期，可以估计债券价格将跌至998.874元。 而根据式（2-1）可以计算出此时的价格为 998.875元。
思考：结合上例，如何来理解久期与到期期 限的区别？
表4-2 两种债券的久期计算
名称
(1)
至支付的 时间/年
债券A
8％债券
0.5
1.0
1.5
2.0
总计
债券B
零息票债券 0.5～1.5
2.0
总计
(2) 支付/元
40 40 40 1040
0 1000
(3)
半年5%折现 支付/元
(4) 权重
38.095 36.281 34.553 855.611 964.540
0.0395 0.0376 0.0358 0.8871 1.0000
0
0
822.70
百度文库
1.0
822.70
1.0
(5) (1)×(4)
0.0198 0.0376 0.0537 1.7742 1.8853
0 2 2
4.2.2 利用久期测度利率敏感性
将式（4-1）看作P与1+y之间的函数， 可以有
d(1 d P y)tT 1(1 tC yt)t 11 1yP D
一张T年期债券，t时刻的现金支付为Ct （1≤t≤T），与债券的风险程度相适应的收益 率为y。则债券的价格为
P
T t 1
Ct (1 y)t
（4-1）
债券久期为
Ct
D T t[ (1 y)t ]
t 1
P
（4-2）
例、息票利率为8％和零息票两种债券。 表4-2给出了这两种债券久期的计算。结果 表明，零息票债券的久期就等于它的到期期 限，而息票债券的久期比它的到期期限短。
第4章 久期与凸度
4.1 债券价格的利率敏感性 4.2 债券的久期 4.3 债券的凸度
4.1 债券价格的利率敏感性
思考：如何从经济学意义上解释债券价格与 收益之间存在反向变动关系？
4.1.1 债券定价法则
关于债券价格的利率敏感性，以下6条 法则已经得到证明：
1）债券价格与收益呈反向变动关系：当 收益上升时，债券价格下降；当收益下降时， 债券价格上升。
久期法则2：到期日相同时，债券的久 期随着息票利率的降低而延长。
久期法则3：当息票利率相同时，债券 的久期通常随着债券到期期限的增加而增 加，但久期的增加速度慢于到期期限的增 加速度。
久期法则4：在其他因素都不变，债券的到 期收益率较低时，息票债券的久期较长。
久期法则5：无限期债券的久期为
1
y
2）债券收益变化引起的价格变化具有不 对称性，即由收益上升引起的价格下降幅度 低于由收益的等规模（相同的基本点）下降 引起的价格上升的幅度。
3）长期债券比短期债券具有更强的利率 敏感性，即对于等规模的收益变动，长期债券 价格的变动幅度大于短期债券。
4）当到期期限增加时，价格对收益变化 的敏感性以一下降的比率增加，即债券价格的 利率敏感性的增加低于相应的债券期限的增加。
0.00
15
23.14
0.00
30
5.35
8.00
5
92.28
8.00
15
84.63
8.00
30
81.07
10.00
5
100.00
10.00
15 100.00
10.00
30 100.00
到期收益率（％） 9.00 8.00 64.39 67.56 26.70 30.83 7.13 9.51 96.04 100.00 91.86 100.00 89.68 100.00
上述6条法则中的后面4条指出了影响 利率敏感性的三个主要因素，即到期期限、 息票利率和到期收益率。从表4-1中的数 据可以看出这三个因素是如何影响利率敏 感性的。同时，第1条和第2条法则也能够 由表中的数据得到体现。
表4-1 9种债券的价格
息票利 到期期 率（％） 限（年） 10.00
0.00
5
61.39
5）债券的息票利率越高/低，由收益变动 引起的价格变动的百分比越小/大。也就是说， 息票利率较高的债券，其价格的利率敏感性低 于息票利率较低的债券。
6）当债券的初始到期收益率较低时，价 格的利率敏感性较高。
图4-1中四种债券的收益-价格关系曲线可 以说明上述6条法则。
4.1.2 影响利率敏感性的因素
思考：在上面的例子中，2年期息票债券的久 期为1.8853年。如果有期限为1.8853年的一张 零息票债券，两者的利率敏感性是否相同？
4.2.3 什么决定久期
影响利率敏感性的因素包括到期期限、 息票利率和到期收益率。以下的8个法则归 纳了久期与这三个因素之间的关系。图4-2 表明了这些法则。
久期法则1：零息票债券的久期等于它 的到期时间。
对于P和1+y的微小变化，有
P D(1 y)
P
1y
（4-3）
这表明，债券价格的利率敏感性与久 期成比例。
令D*=D/(1+y)，Δ(1+y)=Δy，式（4-3）可 以写为
P D*y P
（4-3’）
通常定义D*=D/(1+y)为“修正久期”。式 （4-3’）表明，债券价格变化的百分比恰好 等于修正久期与债券到期收益率变化的乘积。 因此，修正久期可以用来测度债券在利率变 化时的风险暴露程度。
103.96 108.11 108.14 117.29 110.32 122.62
7.00 70.89 35.63 12.69 104.16 109.20 112.47 112.47 127.57 137.42
4.2 债券的久期
4.2.1 久期的含义
久期也称为麦考利期限，或有效期限，
它是债券的每次息票利息或本金支付时间的 加权平均，权重则是每一时点的现金流的现 值在总现值（即债券价格）中所占的比例。