实际问题与二次函数第三课时教案
人教版九年级上册22.3实际问题与二次函数(最大利润问题)教案教学设计
5.总结：对本节课的内容进行总结，强调二次函数在实际问题中的应用。
6.课后作业：布置与最大利润问题相关的作业，让学生在课后进一步巩固所学知识。
教学评价：
1.课堂表现：关注学生在课堂上的参与程度，积极思考、提问的表现。
2.作业完成情况：评价学生对最大利润问题解决方法的掌握程度。
（2）鼓励学生尝试用不同的方法解决同一问题，提高他们的思维灵活性和创新意识。
3.拓展作业：
（1）引导学生关注生活中的最大利润问题，如超市促销、工厂生产等，要求学生运用所学知识进行分析，并提出解决方案。
（2）鼓励学生查找相关资料，了解二次函数在其他领域的应用，如经济学、管理学等。
4.作业要求：
（1）要求学生在作业本上规范书写，保持卷面整洁。
4.通过对最大利润问题的探讨，培养学生的数感和运用数学知识解决实际问题的能力。
（二）过程与方法
1.通过小组合作、讨论交流等形式，培养学生合作探究、解决问题的能力。
2.引导学生运用数学建模的思想，从实际问题中抽象出数学模型，提高学生的数学思维能力。
3.运用数形结合的方法，让学生在解决最大利润问题的过程中，深入理解二次函数的性质和图像。
（2）新课：讲解二次函数在实际问题中的应用，通过例题让学生体会最大利润问题的解决方法。
（3）练习：设计不同难度的练习题，让学生在解决最大利润问题的过程中，巩固所学知识。
（4）总结：对本节课的重点知识进行总结，强调二次函数在实际问题中的应用。
3.教学策略：
（1）关注学生的个体差异，实施分层教学，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
人教版数学九年级上册 教案：22.3《实际问题与二次函数》
人教版数学九年级上册教案：22.3《实际问题与二次函数》一、教学目标1.理解实际问题与二次函数之间的关系。
2.掌握解决实际问题的二次函数模型建立方法。
3.能够应用二次函数解决实际问题。
二、教学重难点1.掌握如何将实际问题抽象为二次函数模型。
2.解决实际问题时的思维过程和方法。
三、教学准备1.课本《人教版数学》九年级上册。
2.教学投影仪。
3.讲义、笔、纸等。
四、教学过程1. 导入新知识通过提问学生，引导他们回顾上节课学习的内容，并复习二次函数的定义、图像和性质。
2. 引入实际问题给出一个实际问题，例如：小明用压岁钱买了一台照相机，照相机的价格是x 元，如果每售出一台照相机，他能从中获利5x - x^2 元。
请问小明应该以多少价格售出照相机，才能使利润最大化？3. 建立二次函数模型解释给出问题，并引导学生思考如何建立二次函数模型。
提示学生需要确定自变量和因变量，并分析问题中的关系。
通过与学生互动，引导出二次函数模型：利润函数 P(x) = 5x - x^2。
4. 解决问题通过对利润函数进行求导，并求得导函数为0的临界点 x = 2.5。
由此可得，当照相机的价格为2.5元时，小明的利润最大化。
5. 拓展实际问题给出更多类似的实际问题，例如：某体育用品店销售护膝，价格为x元一副，销量为100 - 5x副。
请问店家应该以多少价格销售护膝，才能使利润最大化？引导学生分析问题并建立二次函数模型。
通过解法流程的讲解，帮助学生掌握解决实际问题的方法。
6. 总结回顾对本节课学习的内容进行总结回顾。
重点强调实际问题与二次函数之间的联系，以及解决实际问题的方法。
五、课堂练习根据给出的实际问题，学生单独完成建立二次函数模型，并求解出最优解。
1.某农场种植西瓜，每亩土地种植西瓜数量为x只，销量为100x - 2x^2只。
请问农场应该种植多少只西瓜，才能使销售额最大化？2.某旅游公司举办一次旅行，每人收费为x元，游客的数量为200 - 10x人。
人教版九年级数学RJ上册精品教案 第22章 二次函数 实际问题与二次函数 第3课时二次函数与拱桥问题
第3课时二次函数与拱桥问题教师备课素材示例●情景导入(1)欣赏一组石拱桥的图片(如图)，观察桥拱的形状．这组石拱桥图案中，桥拱的形状和抛物线像吗？有关桥拱的问题可以用抛物线知识来解决吗？(2)步行街广场中心处有高低不同的各种喷泉(如图)，喷泉喷出的水柱的形状和抛物线像吗？有关喷泉的问题可以用抛物线知识来解决吗？【教学与建议】教学：从学生生活中熟知的拱桥和喷泉问题引入新课，为探索二次函数的实际应用提供背景材料．建议：让学生欣赏这一组图片以后，引入问题．●置疑导入问题1：现实生活中你一定见过各式各样的抛物线形拱桥吧？能不能利用二次函数的知识解决与之相关的问题呢？（问题1图）（问题2图）问题2：如图中的抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水面下降1m，水面宽度增加多少？【教学与建议】教学：从学生熟知的拱桥图片入手，建立数学模型．建议：(1)先复习二次函数解析式的形式；(2)观察图象，找出点和坐标，建立平面直角坐标系，探索函数解析式．【例1】(1)某桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的解析式为y＝－125时，这时水面宽度AB为(C)A．－20mB．10mC．20mD．－10m(2)如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m ，拱桥的跨度为10m ，桥洞与水面的最大距离是5m ，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m 的景观灯，则两盏景观灯之间的水平距离是__5__m__．【例2】(1)在中考体考前，某九年级学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y ＝－112x 2＋23x ＋53，由此可知该生此次实心球训练的成绩为__10__m. (2)如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB ，喷水口A 距地面2m ，喷出水流的运动路线是抛物线，如果水流的最高点P 到喷水枪AB 所在直线的距离为1m ，且到地面的距离为3.6m.①建立适当平面直角坐标系，确定抛物线解析式；②求水流的落地点D 到喷水枪底部B 的距离．解：①建立平面直角坐标系，如图．由题意，得P(1，3.6)，AB ＝2，A(0，2).设抛物线解析式为y ＝a(x －1)2＋3.6.将A(0，2)代入，解得a ＝－1.6，∴抛物线的解析式为y ＝－1.6x 2＋3.2x ＋2；②当y ＝0时，有－1.6x 2＋3.2x ＋2＝0，解得x 1＝2.5，x 2＝－0.5(舍去)，∴BD ＝2.5，∴水流的落地点D 到喷水枪底部B 的距离为2.5m ．高效课堂 教学设计1．让学生能够用二次函数知识解决拱桥问题．2．让学生能够根据实际问题构建二次函数模型．▲重点建坐标系解决拱桥问题．▲难点建立适当的坐标系解决抛物线形实际问题．◆活动1 新课导入现实生活中你一定见过各式各样的抛物线形拱桥(如图)吧？能不能利用二次函数的知识解决与之相关的问题呢？◆活动2 探究新知教材P51探究3.提出问题：(1)对于抛物线形拱桥，要是能知道此抛物线的解析式就好了．你能确定这条抛物线的表达式吗？(2)水面下降1m的含义是什么？怎样把距离转化成坐标？如何求宽度增加多少？你能先在图中建立一个恰当的平面直角坐标系，使抛物线形拱桥转化为坐标系中的抛物线吗？(3)你还有其他的解决方法吗？学生完成并交流展示．◆活动3 知识归纳1．将线段长度转化为点的坐标问题．2．利用点的坐标以及抛物线的特点，设出函数解析式并求解．3．利用函数解析式求点的坐标，转化为线段的长度．◆活动4 例题与练习例1 如图①，三孔桥截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB＝20m，顶点M距水面6m(即MO ＝6m)，小孔顶点N距水面4.5m(即NC＝4.5m)．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图②中的平面直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF.图①图②解：设大孔对应的抛物线的函数解析式为y＝ax2＋6.依题意，得B(10，0)，∴a ×102＋6＝0，解得a ＝－0.06，即y ＝－0.06．例2 如图，小明的父亲在相距2m 的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方A ，B 距地面高都是2.5m ，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1m 的小明距较近的那棵树0.5m 时，头部刚好接触到绳子C 处，求绳子的最低点距地面的距离为多少米？解：建立如图所示的平面直角坐标系．可设它的函数解析式为y ＝ax 2＋k.把B(1，2.5)，C(－0.5，1)代入，可求得a ＝2，k ＝0.5，∴抛物线的解析式为y ＝2x 2＋0.5.∵a ＝2＞0，∴y 有最小值，∴当．练习1．欢欢在今年的校运会跳远比赛中跳出了满意的一跳，函数h ＝3.5t －4.9t 2(t 的单位：s ，h 的单位：m)可以描述她跳跃时重心高度随时间的变化关系，则她起跳后到重心到达最高时所用的时间是__514__s. 2．某学校九年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高209m ，与篮圈中心的水平距离为7m ，当球出手后水平距离为4m 时到达最大高度4m ，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3m.(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？(2)此时，若对方队员乙在甲面前1m 处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m ，则他能否获得成功？解：(1)能投中；(2)当x ＝1时，y ＝3＜3.1，∴能成功．◆活动5 课堂小结利用二次函数解决抛物线形问题的一般步骤：①建立适当的直角坐标系；②写出抛物线上的关键点的坐标；③运用待定系数法求出函数解析式；④求解数学问题；⑤求解抛物线形实际问题．1．作业布置(1)教材P57习题22.3第3题；(2)对应课时练习．2．教学反思。
九年级数学上册《实际问题与二次函数》教案、教学设计
4.巩固练习，拓展提高
设计具有梯度的练习题，让学生在掌握基本知识的基础上，逐步提高解决问题的能力。同时，布置拓展提高题，激发学生的创新思维，培养其数学素养。
5.反思评价，促进成长
在教学过程中，注重引导学生进行自我反思，评价自己在解决问题过程中的表现。教师应及时给予反馈，肯定学生的优点，指出不足，促进学生不断成长。
四、教学内容与过程
（一）导入新课，500字
在导入新课环节，我将利用生活中的实例来激发学生的兴趣，引导他们思考实际问题与二次函数之间的联系。我会向学生展示一个抛物线形状的拱桥图片，并提出问题：“同学们，你们知道这座拱桥的最大高度是多少吗？我们如何运用二次函数来求解这个问题？”通过这个问题，让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发他们的探究欲望。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础和逻辑思维能力，他们已经掌握了二次函数的基本概念、性质和图像，能够解决一些简单的二次函数问题。但在实际问题与二次函数的结合上，学生可能还存在以下问题：一是将实际问题转化为数学模型的能力不足，二是运用二次函数解决实际问题时，缺乏对问题深入分析的能力。此外，部分学生对数学学习的兴趣和自信心有待提高。针对这些情况，教师应注重以下几点：1.引导学生从实际问题中发现数学问题，培养其数学建模能力；2.设计具有挑战性的问题，激发学生的探究欲望，提高其解决问题的能力；3.创设轻松愉快的学习氛围，鼓励学生积极参与，增强其学习数学的自信心。通过有针对性的教学策略，使学生在掌握知识的同时，提高解决问题的能力和学习兴趣。
4.培养学生团结协作、互相帮助的精神，使其在合作中成长，体验团队的力量。
本章节教学设计以实际问题为载体，以二次函数为主线，引导学生运用数学知识解决生活中的问题。在教学过程中，注重培养学生的独立思考、合作交流、创新实践能力，使其在掌握知识的同时，提高综合素质。通过本章节的学习，使学生认识到数学在生活中的重要作用，激发学生学习数学的兴趣，为学生的终身发展奠定基础。
2017年秋九年级数学上册 22.3 实际问题与二次函数(第3课时)教案 (新版)新人教版
实际问题与二次函数教学内容22.3 实际问题与二次函数（3）．教学目标1．根据不同条件建立合适的直角坐标系．2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．教学重点1．根据不同条件建立合适的直角坐标系．2．将实际问题转化成二次函数问题．教学难点将实际问题转化成二次函数问题．教学过程一、导入新课复习二次函数y ＝ax 2的性质和特点，导入新课的教学．二、新课教学探究3 下图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4 m ．水面下降1 m ，水面宽度增加多少？教师引导学生审题，然后根据条件建立直角坐标系．怎样建立直角坐标系呢？ 因为二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数．为解题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴建立直角坐标系． 教师可让学生自己建立直角坐标系，然后求出二次函数的解析式．设这条抛物线表示的二次函数为y ＝ax 2．由抛物线经过点(2，－2)，可得这条抛物线表示的二次函数为y ＝－21x 2．当水面下降1m 时，水面宽度就增加26－4 m ．三、巩固练习 一个涵洞成抛物线形，它的截面如右图所示，现测得，当水面宽AB ＝1.6 m 时，涵洞顶点与水面的距离为2.4 m ．这时，离开水面1.5 m 处，涵洞宽ED 是多少？是否会超过1 m ？分析：根据已知条件，要求ED 的宽，只要求出FD 的长度．在如右图的直角坐标系中，即只要求出D 点的横坐标．因为点D在涵洞所成的抛物线上，又由已知条件可得到点D 的纵坐标，所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点D 的横坐标．2．让学生完成解答，教师巡视指导．3．教师分析存在的问题，书写解答过程．解：以AB 的垂直平分线为y 轴，以过点O 的y 轴的垂线为x 轴，建立直角坐标系． 这时，涵洞的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为y ＝ax 2 (a ＜0) ①因为AB 与y 轴相交于C 点，所以CB ＝AB 2＝0.8（m ），又OC ＝2.4 m ，所以点B 的坐标是(0.8，－2.4)．因为点B 在抛物线上，将它的坐标代人①，得－2.4＝a ×0.82所以a ＝－154因此，函数关系式是 y ＝－154x 2 ②∵OC ＝2.4 m ，FC ＝1.5 m ，∴OF ＝2.4―1.5＝0.9（m ）．将y ＝－0.9代入②式得－0.9＝－154x 2 解得 x 1＝56，x 2＝―56． 涵洞宽ED ＝256≈0.98＜1．四、课堂小结今天你学习了什么？有什么收获？五、布置作业习题22.3 第6、7题．。
数学：26.3实际问题与二次函数(3课时)教案(人教新课标九年级下)
课题：26.3实际问题与二次函数（1）教学目标：1、知识与技能：经历数学建模的基本过程.2、方法与技能：会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.3、情感、态度与价值观：体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值. 教学重点和难点：重点：二次函数在最优化问题中的应用.难点：例1是从现实问题中建立二次函数模型，学生较难理解.教学方法：学生学法：教学设计：一、创设情境、提出问题给你长8m的铝合金条，设问：①你能用它制成一矩形窗框吗？②怎样设计，窗框的透光面积最大？③如何验证？二、观察分析，研究问题演示动画，引导学生观察、思考、发现：当矩形的一边变化时，另一边和面积也随之改变.深入探究如设矩形的一边长为x 米，则另一边长为(4-x)米，再设面积为ym 2,则它们的函数关系式为x x y 42+-=，并当x =2时，即当设计为正方形时，面积最大=4(m 2)引导学生总结，确定问题的解决方法：在一些涉及到变量的最大值或最小值的应用问题中，可以考虑利用二次函数最值方面的性质去解决.步骤：第一步设自变量；第二步建立函数的解析式；第三步确定自变量的取值范围；第四步根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值（在自变量的取值范围内）.三、例练应用，解决问题在上面的矩形中加上一条与宽平行的线段，出示图形设问：用长为8m 的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，问窗框的宽和高各是多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？ 引导学生分析，板书解题过程.变式（即课本例1）：现在用长为8米的铝合金条制成如图所示的窗框（把矩形的窗框改为上部分是由4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形），那么如何设计使窗框的透光面积最大？（结果精确到0.01米）四、知识整理，形成系统1、这节课学习了用什么知识解决哪类问题？2、解决问题的一般步骤是什么？应注意哪些问题？3、学到了哪些思考问题的方法？三、布置作业：1、必做题：2、选做题：课题：26.3实际问题与二次函数(2)教学目标：1、知识与技能：继续经历利用二次函数解决实际最值问题的过程.2、方法与技能：会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离等函数最值问题.3、情感、态度与价值观：发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值.教学重点：利用二次函数的知识对现实问题进行数学地分析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题.教学难点：例2将现实问题数学化，情景比较复杂.教学方法：学生学法：教学过程：一、复习：1、利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是：(1)列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围.(2)在自变量取值范围内，运用公式或配方法求出二次函数的最大值和最小值.2、上节课我们讨论了用二次函数的性质求面积的最值问题.出示上节课的引例的动态图形（在周长为8米的矩形中）（多媒体动态显示）设问：（1）对角线（L）与边长（x）有什何关系？（2）对角线（L）是否也有最值？如果有怎样求？L与x 并不是二次函数关系，而被开方数却可看成是关于x 的二次函数，并且有最小值.引导学生回忆算术平方根的性质：被开方数越大（小）则它的算术平方根也越大（小）.指出：当被开方数取最小值时，对角线也为最小值.二、例题讲解例题2：B船位于A船正东26km处，现在A、B两船同时出发，A船发每小时12km的速度朝正北方向行驶，B船发每小时5km的速度向正西方向行驶，何时两船相距最近？最近距离是多少？多媒体动态演示，提出思考问题：（1）两船的距离随着什么的变化而变化？(2)经过t小时后，两船的行程是多少？两船的距离如何用t来表示？设经过t小时后AB两船分别到达A’，B’，两船之间距离为A’B’=AB'2+AA'2 =(26-5t)2+(12t)2=169t2-260t+676 .（这里估计学生会联想刚才解决类似的问题）因此只要求出被开方式169t2-260t+676的最小值，就可以求出两船之间的距离s 的最小值.解:设经过t时后，A，B AB两船分别到达A’，B’，两船之间距离为S=A ’B ’=AB'2+AA'2 =(26-5t)2+(12t)2 =169t 2-260t+676 = 169（t-1013 ）2+576 （t>0） 当t=1013 时，被开方式169（t-1013）2+576有最小值576. 所以当t=1013 时，S 最小值=576 =24（km ）答：经过1013时，两船之间的距离最近，最近距离为24km 练习：直角三角形的两条直角边的和为2，求斜边的最小值.三、小结应用二次函数解决实际问题的一般步骤四、 布置作业1、必做题：2、选做题：课题：26.3实际问题与二次函数(3)教学目标：1、知识与技能：继续经历利用二次函数解决实际最值问题的过程.2、会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离等函数最值问题.3、发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值.教学重点和难点：重点：利用二次函数的知识对现实问题进行数学地分析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题.难点：例3将现实问题数学化，情景比较复杂.教学方法：学生学法：教学过程：一、例题讲解例3某饮料经营部每天的固定成本为200元,某销售的饮料每瓶进价为5元.(1)若记销售单价比每瓶进价多x元时，日均毛利润(毛利润＝售价－进价－固定成本)为y元，求y关于x的函数解析式和自变量的取值范围；(2)若要使日均毛利润达到最大，销售单价应定为多少元(精确到0.1元)？最大日均毛利润为多少？二、作业：1、必做题：2、选做题：。
九年级数学： 22.3.3拱桥问题教案10
22.3实际问题与二次函数(3)教案学情分析：通过前几节课的学习，学生已经学习了二次函数定义、图像和性质，学习了列方程、不等式和函数解决实际问题，已接触了最大利润,最大面积等问题，体验了如何从实际问题中抽象出二次函数模型，为本节课的学习奠定了基础。
在本节中，需要建立适当的直角坐标来分析和解决问题。
教学目标：1.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，正确建立坐标系，并运用二次函数的图象、性质解决实际问题．2.通过建立平面直角坐标系解决实际问题中变量之间的函数关系,获得用数学方法解决实际问题的经验.3.在解决实际问题过程中使学生体验数学建模思想,培养学生分析问题、解决实际问题的能力, 感受数学模型思想在实际问题中的应用价值.教学重点：建立坐标系，利用二次函数的图象、性质解决实际问题． 教学难点：建立适当的平面直角坐标系,实际问题转化为数学问题. 教学过程： 一、复习回顾：1.问题：解决前几节课所讲的实际问题时，你用到了什么知识？所用知识在解决生活中问题时，还应注意什么？ (1)由于抛物线c bx ax y ++=2的顶点是最低（高）点，当abx 2-=时, 二次函数c bx ax y ++=2有最小（大）值ab ac 442- .(2)列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围. (3)在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大值或最小值.2.已知一个二次函数的图象过点(0,1),它的顶点坐标是(8,9),求这个二次函数的解析式. 解：设所求二次函数解析式为)0(9)8(2≠+-=a x a y ∵ 函数图象经过点（0，1）∴19)80(2=+-a 解得：81-=a∴所求的二次函数解析式是 9)8(812+--=x y 即12812++-=x x yOxyOxyOxyOxy3.已知二次函数的图象经过A (0，1)，B (1，3)，C (-1，1)三点.求二次函数的解析式. 解：设所求二次函数解析式为)0(2≠++=a c bx ax y ∵ 函数的图象经过点A (0，1)，B (1，3)，C (-1，1)∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=131c b a c b a c 解得： ⎪⎩⎪⎨⎧===111c b a∴所求的二次函数解析式是 12++=x x y 二、合作探究：问题：图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ，水面下降1m ，水面宽度增加多少？ 思考：（1）求宽度增加多少需要什么数据？（2）表示水面宽的线段的端点在哪条曲线上？ （3）如何求这组数据？需要先求什么？ （4）怎样求抛物线对应的函数的解析式？ 问题:如何建立直角坐标系？oyx-2-121 -1 -2 -31二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数，为解题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴建立直角坐标系．解: 如图以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴建立如下直角坐标系 可设这条抛物线表示的二次函数为y =2ax (a ≠0）.由抛物线经过点（2，－2），可得222-=⋅a解得：21-=a这条抛物线表示的二次函数为221x y -=当水面下降1m 时，水面的纵坐标为y = －3. 请你根据上面的函数表达式求出这时的水面宽度． 解：当 y= -3时，2213x -=-. 水面的宽度62m水面下降1m ，水面宽度增加)462(-m. 三、巩固应用：如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位AB 时，水面宽20米，水位上升3米，就达到警戒线CD ，这时水面宽为10米.(1)求抛物线形拱桥的解析式.(2)若洪水到来时,水位以每小时0.2米的速度上升,从警戒线开始,再持续多少小时就能达到拱桥顶? (3)在正常水位时,有一艘宽8米,高2.5米的小船能否安全通过这座桥?解: （1）如图以水面AB 所在的直线为x 轴， 以AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系。
人教版九年级数学下册精品教案 实际问题与二次函数3个课时
22．3 实际问题与二次函数第1课时 几何图形的最大面积1．经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系．2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值．3．能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题．一、情境导入孙大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD .设AB 边的长为x 米，矩形ABCD 的面积为S 平方米．当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值．二、合作探究探究点：最大面积问题 【类型一】利用二次函数求最大面积小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S (单位：平方米)随矩形一边长x (单位：米)的变化而变化．(1)求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)当x 是多少时，矩形场地面积S 最大？最大面积是多少？解析：利用矩形面积公式就可确定二次函数．(1)矩形一边长为x ，则另一边长为60－2x 2，从而表示出面积；(2)利用配方法求出顶点坐标．解：(1)根据题意，得S ＝60－2x 2·x ＝－x 2＋30x .自变量x 的取值范围是0＜x ＜30. (2)S ＝－x 2＋30x ＝－(x －15)2＋225，∵a ＝－1＜0，∴S 有最大值，即当x ＝15(米)时，S 最大值＝225平方米．方法总结：二次函数与日常生活的例子还有很多，体现了二次函数这一数学模型应用的广泛性．解决这类问题关键是在不同背景下学会从所给信息中提取有效信息，建立实际问题中变量间的二次函数关系．【类型二】利用二次函数判断面积取值成立的条件用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x 米，面积为y 平方米．(1)求y 关于x 的函数关系式；(2)当x 为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．解析：(1)先表示出矩形的另一边长，再利用矩形的面积公式表示出函数关系式；(2)已知矩形的面积，可以转化为解一元二次方程；(3)求出y 的最大值，与70比较大小，即可作出判断．解：(1)y ＝x (16－x )＝－x 2＋16x (0＜x ＜16)；(2)当y ＝60时，－x 2＋16x ＝60，解得x 1＝10，x 2＝6.所以当x ＝10或6时，围成的养鸡场的面积为60平方米；(3)方法一：当y ＝70时，－x 2＋16x ＝70，整理得：x 2－16x ＋70＝0，由于Δ＝256－280＝－24＜0，因此此方程无实数根，所以不能围成面积为70平方米的养鸡场．方法二：y ＝－x 2＋16x ＝－(x －8)2＋64，当x ＝8时，y 有最大值64，即能围成的养鸡场的最大面积为64平方米，所以不能围成70平方米的养鸡场．方法总结：与面积有关的函数与方程问题，可通过面积公式列出函数关系式或方程． 【类型三】最大面积方案设计施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM 为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系(如图所示)．(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标；(2)求出这条抛物线的函数关系式；(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB ，使A 、D 点在抛物线上，B 、C 点在地面OM 上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB 、AD 、DC 的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．解：(1)M (12，0)，P (6，6)．(2)设这条抛物线的函数关系式为y ＝a (x －6)2＋6，因为抛物线过O (0，0)，所以a (0－6)2＋6＝0，解得，a ＝－16，所以这条抛物线的函数关系式为：y ＝－16(x －6)2＋6，即y ＝－16x 2＋2x . (3)设OB ＝m 米，则点A 的坐标为(m ，－16m 2＋2m )，所以AB ＝DC ＝－16m 2＋2m .根据抛物线的轴对称，可得OB ＝CM ＝m ，所以BC ＝12－2m ，即AD ＝12－2m ，所以l ＝AB ＋AD ＋DC ＝－16m 2＋2m ＋12－2m －16m 2＋2m ＝－13m 2＋2m ＋12＝－13(m －3)2＋15.所以当m ＝3，即OB ＝3米时，三根木杆长度之和l 的最大值为15米．三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，引导学生设计有助于学生设计表格，经历计算、观察、分析、比较的过程，直观地看出变化情况.第2课时商品利润最大问题1．经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系．2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值．3．能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题．一、情境导入红光旅社有100张床位，每床每日收费10元，客床可全部租出，若每床每日收费提高2元，则租出床位减少10张，若每床每日收费再提高2元，则租出床位再减少10张，以每提高2元的这种方式变化下去，每床每日应提高多少元，才能使旅社获得最大利润？二、合作探究探究点一：最大利润问题【类型一】利用解析式确定获利最大的条件为了推进知识和技术创新、节能降耗，使我国的经济能够保持可持续发展．某工厂经过技术攻关后，产品质量不断提高，该产品按质量分为10个档次，生产第一档次(即最低档)的新产品一天生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，每件可节约能源消耗2元，但一天产量减少4件．生产该产品的档次越高，每件产品节约的能源就越多，是否获得的利润就越大？请你为该工厂的生产提出建议．解析：在这个工业生产的实际问题中，随着生产产品档次的变化，所获利润也在不断的变化，于是可建立函数模型；找出题中的数量关系：一天的总利润＝一天生产的产品件数×每件产品的利润；其中，“每件可节约能源消耗2元”的意思是利润增加2元；利用二次函数确定最大利润，再据此提出自己认为合理的建议．解：设该厂生产第x 档的产品一天的总利润为y 元，则有y ＝[10＋2(x －1)][76－4(x－1)]＝－8x 2＋128x ＋640＝－8(x －8)2＋1152.当x ＝8时，y 最大值＝1152.由此可见，并不是生产该产品的档次越高，获得的利润就越大．建议：若想获得最大利润，应生产第8档次的产品．(其他建议，只要合理即可)【类型二】利用图象解析式确定最大利润某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y 1(元)与销售时间第x 月之间存在如图①所示(一条线段)的变化趋势，每千克成本y 2(元)与销售时间第x 月满足函数关系式y 2＝mx 2－8mx ＋n ，其变化趋势如图②所示．(1)求y 2的解析式；(2)第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？解：(1)由题意可得，函数y 2的图象经过两点(3，6)，(7，7)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －24m ＋n ＝6，49m －56m ＋n ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝18，n ＝638.∴y 2的解析式为y 2＝18x 2－x ＋638(1≤x ≤12)． (2)设y 1＝kx ＋b ，∵函数y 1的图象过两点(4，11)，(8，10)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝11，8k ＋b ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－14，b ＝12.∴y 1的解析式为y 1＝－14x ＋12(1≤x ≤12)．设这种水果每千克所获得的利润为w 元．则w ＝y 1－y 2＝(－14x ＋12)－(18x 2－x ＋638)＝－18x 2＋34x ＋338，∴w ＝－18(x －3)2＋214(1≤x ≤12)，∴当x ＝3时，w 取最大值214，∴第3月销售这种水果，每千克所获的利润最大，最大利润是214元/千克． 三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策.第3课时 拱桥问题和运动中的抛物线1．掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．2．利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．3．能运用二次函数的图象与性质进行决策．一、情境导入某大学的校门是一抛物线形的水泥建筑物(如图所示)，大门的宽度为8米，两侧距地面4米高处各挂有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，请你确定校门的高度是多少？二、合作探究探究点一：建立二次函数模型【类型一】运动轨迹问题某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高209米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3米．(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？(2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？解析：这是一个有趣的、贴近学生日常生活的应用题，由条件可得到出手点、最高点(顶点)和篮圈的坐标，再由出手点、顶点的坐标可求出函数表达式；判断此球能否准确投中的问题就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上；判断盖帽拦截能否获得成功，就是比较当x ＝1时函数y 的值与最大摸高3.1米的大小．解：(1)由条件可得到球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为A (0，209)，B (4，4)，C (7，3)，其中B 是抛物线的顶点．设二次函数关系式为y ＝a (x －h )2＋k ，将点A 、B 的坐标代入，可得y ＝－19(x －4)2＋4.将点C 的坐标代入解析式，得左边＝右边，即点C 在抛物线上，所以此球一定能投中．(2)将x ＝1代入解析式，得y ＝3.因为3.1＞3，所以盖帽能获得成功．【类型二】拱桥、涵洞问题如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米．水面下降1米时，水面的宽度为________米．解析：如图，建立直角坐标系，设这条抛物线为y ＝ax 2，把点(2，－2)代入，得－2＝a ×22，a ＝－12，∴y ＝－12x 2，当y ＝－3时，－12x 2＝－3，x ＝± 6.故答案为2 6.方法总结：在解决呈抛物线形状的实际问题时，通常的步骤是：(1)建立合适的平面直角坐标系；(2)将实际问题中的数量转化为点的坐标；(3)设出抛物线的解析式，并将点的坐标代入函数解析式，求出函数解析式；(4)利用函数关系式解决实际问题．如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系．(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标； (2)求出这条抛物线的函数关系式；(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD－DC－CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？解析：解决问题的思路是首先建立适当的坐标系，挖掘条件确定图象上点的坐标M(12，0)和抛物线顶点P(6，6)；已知顶点坐标，可设二次函数关系式为y＝a(x－6)2＋6，可利用待定系数法求出二次函数关系式；再利用二次函数上某些点的坐标特征，求出有关“支撑架”总长AD＋DC＋CB二次函数的关系式，根据二次函数的性质，求出最值，从而解决问题．解：(1)根据题意，分别求出M(12，0)，最大高度为6米，点P的纵坐标为6，底部宽度为12米，所以点P的横坐标为6，即P(6，6)．(2)设此函数关系式为y＝a(x－6)2＋6.因为函数y＝a(x－6)2＋6经过点(0，3)，所以3＝a(0－6)2＋6，即a＝－112.所以此函数关系式为y＝－112(x－6)2＋6＝－112x2＋x＋3.(3)设A(m，0)，则B(12－m，0)，C(12－m，－112m2＋m＋3)，D(m，－112m2＋m＋3)．即“支撑架”总长AD＋DC＋CB＝(－112m2＋m＋3)＋(12－2m)＋(－112m2＋m＋3)＝－16m2＋18.因为此二次函数的图象开口向下．所以当m＝0时，AD＋DC＋CB有最大值为18.三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，建立二次函数模型，解决生活中的实际问题.。
人教版九年级上册数学22.3实际问题与二次函数(教案)
1.教学重点
-二次函数在实际问题中的应用：本节课的核心是让学生掌握如何将实际问题转化为二次函数模型，从而利用数学工具解决具体问题。例如，通过分析物体的抛物线运动，建立速度与时间的关系，进而求解物体的最大高度或最远距离。
-二次函数的性质及其图像：重点讲解二次函数的开口方向、顶点、对称轴等性质，并通过图像加深理解，使学生能够熟练运用这些性质解决实际问题。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次函数的基本概念。二次函数是形如y=ax²+bx+c的函数，它能够描述许多抛物线形状的现象。它在物理学、经济学等领域有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设一个物体以抛物线轨迹运动，我们要计算它的最大高度和飞行距离。这个案例将展示二次函数在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
五、教学反思
在今天的课堂上，我们探讨了实际问题与二次函数的关联，尝试将抽象的数学概念应用到具体的生活实例中。我注意到，在理论介绍环节，学生对二次函数的基本概念掌握得还算扎实，但在案例分析时，一些学生在构建数学模型上遇到了困难。这让我意识到，将实际问题转化为数学语言，对他们来说是一个不小的挑战。
在实践活动和小组讨论中，学生们的参与度很高，大家积极讨论、动手实践，课堂氛围相当活跃。我特别高兴看到他们在讨论中互相启发，共同解决问题。然而，我也发现有些小组在分析问题时，还是局限于表面的理解，未能深入挖掘问题背后的数学原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
九年级数学下册 12 二次函数yax h2的图象与性质(第3课时)教案 (新版)湘教版 教案
第3课时二次函数y=a(x-h)2的图象与性质【知识与技能】1.能够画出y=a(x-h)2的图象，并能够理解它与y=ax2的图象的关系，理解a,h对二次函数图象的影响.2.能正确说出y=a(x-h)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.【过程与方法】经历探索二次函数y=a(x-h)2的图象的作法和性质的过程，进一步领会数形结合的思想. 【情感态度】1.在小组活动中体会合作与交流的重要性.2.进一步丰富数学学习的成功体验,认识到数学是解决实际问题的重要工具,初步形成积极参与数学活动的意识.【教学重点】掌握y=a(x-h)2的图象及性质.【教学难点】理解y=a(x-h)2与y=ax2图象之间的位置关系，理解a,h对二次函数图象的影响.一、情境导入，初步认识1.在同一坐标系中画出y=12x2与y=12(x-1)2的图象，完成下表.2.二次函数y=12(x-1)2的图象与y=12x2的图象有什么关系？12(x-1)2,当x取何值时，y的值随x值的增大而增大？当x取何值时，y的值随x值的增大而减小?二、思考探究，获取新知归纳二次函数y=a(x-h)2的图象与性质并完成下表.三、典例精析，掌握新知例1 教材P12例3.【教学说明】二次函数y=ax2与y=a(x-h)2是有关系的，即左、右平移时“左加右减”. 例如y=ax2向左平移1个单位得到y=a(x+1)2,y=ax2向右平移2个单位得到y=a(x-2)2的图象. 例2 已知直线y=x+1与x轴交于点A，抛物线y=-2x2平移后的顶点与点A重合.①水平移后的抛物线l的解析式；②若点B（x1,y1),C(x2,y2)在抛物线l上，且-12＜x1＜x2，试比较y1,y2的大小.解:①∵y=x+1,∴令y=0，则x=-1,∴A（-1,0)，即抛物线l的顶点坐标为（-1，0），又∵抛物线l是由抛物线y=-2x2平移得到的，∴抛物线l的解析式为y=-2(x+1)2.②由①可知，抛物线l的对称轴为x=-1,∵a=-2＜0,∴当x＞-1时，y随x的增大而减小，又-12＜x1＜x2,∴y1＞y2.【教学说明】二次函数的增减性以对称轴为分界，画图象取点时以顶点为分界对称取点.四、运用新知，深化理解1.二次函数y=15(x-1)2的最小值是（）2.抛物线y=-3(x+1)2不经过的象限是（）A.第一、二象限B.第二、四象限C.第三、四象限D.第二、三象限3.在反比例函数y=kx中，当x＞0时，y随x的增大而增大，则二次函数y=k(x-1)2的图象大致是（）4.（1）抛物线y=13x2向平移个单位得抛物线y=13(x+1)2;(2)抛物线向右平移2个单位得抛物线y=-2(x-2)2.5.（某某某某中考）已知抛物线y=a(x-h)2的对称轴为x=-2,且过点（1，-3）.(1)求抛物线的解析式;(2)画出函数的大致图象;(3)从图象上观察,当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，函数有最大值（或最小值）？【教学说明】学生自主完成，教师巡视解疑.【答案】1.C 2.A 3.B 4.(1)左,1 (2)y=-2x25.解：(1)y=-13(x+2)2 (2)略（3）当x＜-2时，y随x增大而增大；当x=-2时，y有最大值0.五、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么?还有哪些疑惑?2.在学生回答的基础上,教师点评:(1)y=a(x-h)2的图象与性质；（2）y=a(x-h)2与y=ax2的图象的关系.12第1、2题.2.完成同步练习册中本课时的练习.通过本节学习使学生认识到y=a(x-h)2的图象是由y=ax2的图象左右平移得到的，初步认识到a,h对y=a(x-h)2位置的影响，a的符号决定抛物线方向，|a|决定抛物线开口的大小，h 决定向左右平移；从中领会数形结合的数学思想.。
223 实际问题与二次函数(第3课时)(教案)
备课人：王 帅 审核人：胡哲 授课时间：2015年10月 日
一、新知探究 ： 3]：图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水 2 m 时，水面宽 4 m . 水面下降 1 m 水面宽度增加多少？ 想一想：二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数．从而求出水面下降
1 m 时，水面宽度增加多少?
②可设这条抛物线表示的二次函数为：
【归纳】(1)用二次函数知识解决拱桥类的
实际问题一定要建立适当的直角坐标系．解题简便．
教学内容 课前预习：1.函数y=ax 2
条_______，它的______，对称轴是______，当时，开口向上，当a______O
抛物线y=2
1x 的顶点坐标是有一座抛物线拱桥，正常水位时桥下水面20米，拱顶距离水面如图26-3-12所示的直角坐标系中，求（3）你学到了哪些思考问题的方法？1．能力培养
2．学案中课后作业部分．
22.3 实际问题与二次函数（第例3： 习题。
第3课时 实际问题与二次函数(3)(教案)
第3课时实际问题与二次函数（3）【知识与技能】能根据实际问题构建二次函数模型，并利用函数性质来解决实际问题.【过程与方法】再次经历利用二次函数解决实际问题的过程，进一步体验数学建模思想，培养学生解决实际问题的能力.【情感态度】进一步体会数学知识的应用价值，感受数学来自于生活又服务于生活，激发学习数学的兴趣.【教学重点】用函数知识解决实际问题，感受数学建模思想.【教学难点】根据抛物线型实际问题，建立恰当的平面直角坐标系，建立二次函数模型.一、情境导入，初步认识问题1 如图所示，交通运输业的不断发展使得人们的日常生活越来越便利，隧道的开凿也让许多天堑变通途.一般情况下，隧道都有一定高度，超过高度的车辆无法通过，因此，在隧道入口处常常会设有提醒司机的限高标志.同学们，这个隧道的外形轮廓是不是很像我们学过的二次函数图形？如果已知一辆车的高度和隧道设计的相关数据，你能判断出该车是否能安全通过隧道吗？问题2如图所示，我想班上很多同学都喜欢篮球这项运动，都希望有天能像林书豪和姚明那样在NBA的赛场上驰骋吧？其实篮球运动中很多问题也涉及到了我们现在所学的二次函数.【教学说明】教师演示一些图片：拱桥，喷泉，投篮等，创设一些学生熟悉的情境，提高学生的学习兴趣，引入新知.二、思考探究，获取新知【设计说明】要解决上述问题，我们往往要通过建立合理的平面直角坐标系后，建立二次函数模型，然后根据模型找出实际生活中的数据与模型中的哪些量相对应，将实际语言转化为数学语言.问题（教材第51页探究3）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降1m，水面宽度增加多少？【教学说明】教学时，为了便于学生探究，教师可设置如下问题予以引导：①对于抛物线形拱桥，要是能知道此抛物线表达式就好了.你能确定这条抛物线的表达式吗？（设置疑问，激发学生的求知欲望.）②你能先在图中建立一个恰当的平面直角坐标系，使抛物线形拱桥转化为坐标系中的抛物线吗？不妨试试看，并尝试着求出此时抛物线的表达式.（同学间可相互交流，教师巡视，及时予以指导，鼓励学生用多种方法建立平面直角坐标系，并尝试求出相应抛物线表达式.在这一过程中应让学生体验到恰当的尝试过程中体验探究发现的快乐，体会数学的最优化思想.）在学生完成上述探究后，结合相应的图象，师生一同完成本题的解答.三、运用新知，深化理解1.一自动喷灌设备的喷流情况如右图所示，设水管AB在高出地面1.5米的B处有一自动旋转的喷水头，其喷出的水流成抛物线形.喷头B与水流最高点C 的连线与水管AB之间夹角为135°（即∠ABC=135°），且水流最高点C比喷头B高2米.试求水流落点D与A点的距离.（精确到0.1米）2.如图，一位篮球运动员在离篮筐水平距离4m处跳起投篮，球沿一条抛物线运行，球的出手高度为1.8m.当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度，然后准确落入篮筐内.已知篮筐中心离地面的距离为3.05m,你能求出球所能达到的最大高度约是多少吗？（精确到0.01m）【教学说明】这个环节的教学自主性很强，可以让学生在小组内完成，也可以采用分组的方法进行.教师巡视，对优胜者给予鼓励，让他们体验成功的快乐；对尚有困难的学生应给予指导，鼓励他们探究下去.最后教师可展示优秀者作品，或在黑板上进行评析，尽量让学生能掌握这类建立坐标系的问题的解法.【答案】1.解：如图所示，以A为坐标原点，AD所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系.连BC,则∠ABC=135°，过C 点作CE ⊥x 轴，垂足为E ，又过B 点作BF ⊥CE ，垂足为F.由题意易证四边形AEFB 为矩形，∴∠ABF=90°，∴∠CBF=135°-90°=45°，∴∠BCF=45°，Rt △CBF 为等腰直角三角形，又由题意易知AB=1.5米，CF=2米，∴BF=CF=2米,而CE=CF+EF=CF+AB=3.5米，则B （0，1.5），C （2，3.5）.设该图象解析式为y=a(x-h)2+k,则y=a(x-2)2+3.5,将B （0，1.5）代入可求得a=-12. ∴y=-12(x-2)2+3.5.设D （m,0）代入，得m=7≈4.6.（负值已舍去）即DA=4.6米.2.解：如图所示，以篮框所在直线为y 轴，地面所在直线为x 轴，其交点为坐标原点O.建立平面直角坐标系，设篮框中心点为A 点，运动员出手点为B 点，顶点为C 点，依题意可得A(0,3.05),B(-4,1.8),设C(-1.5,m ），设抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c,将A 、B 代入可求得1.8=16a-4b+3.05①又由图象可知-2b a=-1.5,b=3a,将其代入①中，可求得a=-0.3125,则b=-0.9375. ∴y=-0.3125x 2-0.9375x+3.05.则m=244ac b a≈3.75（m ）. 即球所能达到的最大高度约是3.75m.四、师生互动，课堂小结1.构建二次函数模型解决实际应用问题时，应关注自变量的取值范围并结合二次函数性质进行探讨；2.对具有抛物线形状的实际问题，应能根据图形的特征建立恰当的平面直角坐标系，这样能更快捷的解决问题，应注意体会.1.布置作业：从教材习题22.3中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课后作业”部分.本课时教学与上一课时基本相同，所不同的是教学时应注意建立正确的直角坐标系，使类似于抛物线的实际问题转化为平面直角坐标系中的抛物线.教学时教师仍可采用分步设问的形式让学生回答并让学生相互交流.教师应鼓励学生用多种方法建立平面直角坐标系，并求出相应抛物线表达式，在这一过程中让学生体验探究发现的快乐，体会数学的最优化思考.。
2022年人教版九年级数学上册第二十二章二次函数教案 实际问题与二次函数(第3课时)
22.3 实际问题与二次函数（第3课时）一、教学目标【知识与技能】能根据实际问题构建二次函数模型,并利用函数性质来解决实际问题.【过程与方法】再次经历利用二次函数解决实际问题的过程,进一步体验数学建模思想,培养学生解决实际问题的能力.【情感态度与价值观】进一步体会数学知识的应用价值,感受数学来自于生活又服务于生活,激发学习数学的兴趣.二、课型新授课三、课时第3课时,共3课时。
四、教学重难点【教学重点】用函数知识解决实际问题,感受数学建模思想.【教学难点】根据抛物线型实际问题,建立恰当的平面直角坐标系,建立二次函数模型.五、课前准备课件、三角尺、铅笔等.六、教学过程（一）导入新课出示课件3:如图是一个二次函数的图象,现在请你根据给出的坐标系的位置,说出这个二次函数的解析式类型.（二）探索新知探究建立平面直角坐标系解答抛物线形问题出示课件5:如图,一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分,拱桥的跨度是4.9米,水面宽是4米时,拱顶离水面2米.现在想了解水面宽度变化时,拱顶离水面的高度怎样变化．你能想出办法来吗？教师问:你能想出办法来吗？(出示课件6)学生答:建立函数模型.教师问:这是什么样的函数呢？学生答:拱桥的纵截面是抛物线,所以应当是个二次函数.教师问:怎样建立直角坐标系比较简单呢？(出示课件7)学生答:以拱顶为原点,抛物线的对称轴为y轴,建立直角坐标系,如图．教师问:从图看出,什么形式的二次函数,它的图象是这条抛物线呢？学生答:由于顶点坐标系是（0.0）,因此这个二次函数的形式为2.y ax = 教师问:如何确定a 是多少？(出示课件8)学生答:已知水面宽4米时,拱顶离水面高2米,因此点A （2,-2）在抛物线上,由此得出-2=a ×22,解得1.2a =-因此,212y x =-,其中｜x ｜是水面宽度的一半,y 是拱顶离水面高度的相反数,这样我们就可以了解到水面宽度变化时,拱顶离水面高度怎样变化．教师问:由于拱桥的跨度为4.9米,因此自变量x 的取值范围是:2.45 2.45x -≤≤.现在你能求出水面宽3米时,拱顶离水面高多少米吗？(出示课件9)学生答:水面宽3m 时,3,2x =从而2139 1.125,228y ⎛⎫=-⨯=-=- ⎪⎝⎭ 因此拱顶离水面高1.125m.教师问:建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？(出示课件10) 师生共同总结如下:出示课件11:例1 图中是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2m,水面宽4m,水面下降1m时,水面宽度增加了多少？学生独立思考后,师生共同总结如下:(出示课件12,13,14)解法一:如图所示以抛物线的顶点为原点,以抛物线的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系.∴可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为y=ax2.当拱桥离水面2m时,水面宽4m.即抛物线过点(2,-2),∴-2=a×22,∴a=-0.5.∴这条抛物线所表示的二次函数为y=-0.5x2.当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-3,这时有-3=-0.5x², 解得x=±√6,这时水面宽度为2√6m,因此当水面下降1m时,水面宽度增加了(2√6-4)m.解法二: 如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴,以抛物线的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系.此时,抛物线的顶点为(0,2),因此可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为:y=ax²+2.当拱桥离水面2m时,水面宽4m,即:抛物线过点(2,0),0=a×22+2,a=-0.5.因此这条抛物线所表示的二次函数为:y=-0.5x²+2.当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-1,这时有:-1=-0.5x²+2解得x=±√6,这时水面宽度为2√6m.因此当水面下降1m时,水面宽度增加了(2√6-4)m.解法三:如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴,以其中的一个交点(如左边的点)为原点,建立平面直角坐标系.此时,抛物线的顶点为(2,2).因此可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为y=a(x-2)²+2.∵抛物线过点(0,0),∴0=a×(-2)²+2.∴a=-0.5.因此这条抛物线所表示的二次函数为y=-0.5(x-2)²+2.当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-1,这时有-1=-0.5(x-2)2+2,解得x1=2-√6,x2=2+√6这时水面的宽度为x2-x1=2√6,因此当水面下降1m时,水面宽度增加了(2√6-4)m.出示课件15:回顾“最大利润”和“桥梁建筑”解决问题的过程,你能总结一下解决此类问题的基本思路吗？与同伴交流.学生交流后,师生共同总结如下:1.理解问题；2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系；3.用数学的方式表示出它们之间的关系；4.做数学求解；5.检验结果的合理性.出示课件16:巩固练习:有一座抛物线形拱桥,正常水位时桥下水面宽度为20m,拱顶距离水面4m．如图所示的直角坐标系中,求出这条抛物线表示的函数的解析式.学生思考后自主解答.解:设该拱桥形成的抛物线的解析式为y=ax2.∵该抛物线过(10,-4),∴-4=100a,a=-0.04.∴y=-0.04x2 .出示课件18:如图,一名运动员在距离篮球圈中心4m（水平距离）远处跳起投篮,篮球准确落入篮圈,已知篮球运行的路线为抛物线,当篮球运行水平距离为2.5m时,篮球达到最大高度,且最大高度为3.5m,如果篮圈中心距离地面3.05m,那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？学生自主思考后,师生共同解决如下.出示课件19:解:如图,建立直角坐标系.则点A的坐标是（1.5,3.05）,篮球在最大高度时的位置为B（0,3.5）.以点C表示运动员投篮球的出手处.设以y 轴为对称轴的抛物线的解析式为y=a(x-0)2+k,即y=ax 2+k.而点A,B 在这条抛物线上,所以有所以该抛物线的表达式为y=﹣0.2x 2+3.5.当x=﹣2.5时,y=2.25.故该运动员出手时的高度为2.25m.出示课件20:巩固练习:一名同学推铅球,铅球出手后行进过程中离地面的高度y （单位:m ）与水平距离x （单位:m ）近似满足函数关系y ＝112-x 2+23x+c,其图象如图所示．已知铅球落地时的水平距离为10m ．（1）求铅球出手时离地面的高度；（2）在铅球行进过程中,当它离地面的高度为112m 时,求此时铅球 的水平距离．学生自主思考后板演如下:解:（1）根据题意,将（10,0）代入y ＝112-x 2+23x+c, 得112-×102+23×10+c ＝0, 解得c ＝53, 即铅球出手时离地面的高度53m ； （2）将y ＝1112代入112-x 2+23x+53＝1112, ,整理,得x 2﹣8x ﹣9＝0,解得x 1＝9,x 2＝﹣1（舍）,∴此时铅球的水平距离为9m ．（三）课堂练习（出示课件22-30）1.某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱为抛物线,在距水池中心3米处达到最高,高度为5米,且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示,以水平方向为x 轴,喷水池中心为原点建立直角坐标系．（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；（2）王师傅在喷水池内维修设备期间,喷水管意外喷水,为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？（3）经检修评估,游乐园决定对喷水设施做如下设计改进:在喷出水柱的形状不变的前提下,把水池的直径扩大到32米,各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合,请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．2.足球被从地面上踢起,它距地面的高度h(m)可用公式h=-4.9t2+19.6t 来表示,其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间,则球在 s 后落地.3.如图,小李推铅球,如果铅球运行时离地面的高度y(米）关于水平距离x(米）的函数解析式为2113822y x x =-++,那么铅球运动过程中 最高点离地面的距离为 米.4.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的,为了牢固起见,每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱,防护栏的最高点距底部0.5m（如图）,则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（）A.50mB.100mC.160mD.200m5.某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房．如图,板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成,矩形长为12m,抛物线拱高为5.6m．（1）在如图所示的平面直角坐标系中,求抛物线的表达式．（2）现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户,窗户的底边在AB上,每扇窗户宽1.5m,高1.6m,相邻窗户之间的间距均为0.8m,左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8m．请计算最多可安装几扇这样的窗户？6.悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索,其形状可近似地看作抛物线,水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.已知两端主塔之间的水平距离为900 m,两主塔塔顶距桥面的高度为81.5 m,主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5 m.(1)若以桥面所在直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示,求这条抛物线对应的函数表达式；(2)计算距离桥两端主塔分别为100m,50m处垂直钢索的长.参考答案:1.解:（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=a（x﹣3）2+5（a≠0）,将（8,0）代入y=a（x﹣3）2+5,得25a+5=0,解得a=﹣0.2, ∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣0.2（x﹣3）2+5（0＜x＜8）．（2）当y=1.8时,有﹣0.2（x﹣3）2+5=1.8,解得:x1=﹣1,x2=7,因此为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．（3）当x=0时,y=﹣0.2（x ﹣3）2+5=3.2．设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣0.2x 2+bx+3.2,∵该函数图象过点（16,0）,∴0=﹣0.2×162+16b+3.2,解得b=3.∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣0.2x 2+3x+3.2=﹣0.2（x ﹣7.5）2+14.45．∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为14.45米．2.43.24.C5.解:（1）设抛物线的表达式为y=ax 2.∵点B （6,﹣5.6）在抛物线的图象上,∴﹣5.6=36a,745=-a . ∴抛物线的表达式为2745=-y x . （2）设窗户上边所在直线交抛物线于C,D 两点,D 点坐标为（k,t ）,已知窗户高1.6m,∴t=﹣5.6﹣（﹣1.6）=﹣4.∴27445--=k ,解得k=7±, 即k 1≈5.07,k 2≈﹣5.07.∴CD=5.07×2≈10.14（m ）.设最多可安装n 扇窗户,∴1.5n+0.8（n ﹣1）+0.8×2≤10.14,解得n ≤4.06．则最大的正整数为4．答:最多可安装4扇窗户.6.解:根据题意,得抛物线的顶点坐标为（0,0.5）,对称轴为y 轴,设抛物线的函数表达式为y=ax2+0.5.抛物线经过点（450,81.5）,代入上式,得81.5=a •4502+0.5. 解得2811.4502500a == 故所求表达式为210.5(450450).2500y x x =+-≤≤ (2)当x=450﹣100=350（m ）时,得213500.549.5(m)2500y =⨯+= 当x=450﹣50=400（m ）时,得214000.564.5(m)2500y =⨯+= （四）课堂小结通过本节课的学习,你有什么收获？（五）课前预习预习下节课（23.1第1课时）的相关内容.七、课后作业配套练习册内容八、板书设计:九、教学反思:本课时教学与上一课时基本相同,所不同的是教学时应注意建立正确的直角坐标系,使类似于抛物线的实际问题转化为平面直角坐标系中的抛物线.教学时教师仍可采用分步设问的形式让学生回答并让学生相互交流.教师应鼓励学生用多种方法建立平面直角坐标系,并求出相应抛物线表达式,在这一过程中让学生体验探究发现的快乐,体会数学的最优化思考.。
实际问题与二次函数教案
课题：实际问题与二次函数（一）教学目标1.知识与技能：使学生会根据题意将实际问题转化为二次函数的问题来解决，会根据题意列出二次函数表达式、会求出自变量的取值范围、会使用二次函数的性质解决问题。
2. 过程与方法：经历将实际问题转化成二次函数的问题的过程完成由感性理解到理性理解的转变，实现理解上的升华。
3.情感态度与价值观：让学生体会数学与人类社会生活的密切联系，理解数学的应用价值；会建立二次函数的数学模型，进一步培养学生探索、创新、转化的水平。
（二）.教学重点：根据具体的实际问题列出二次函数表达式、求出自变量的取值范围、并使用二次函数的性质解决问题。
（三）.教学难点：准确的根据具体的实际问题列出二次函数表达式、求出自变量的取值范围、并使用二次函数的性质解决问题。
（四）.教学方法：引导、分析、讨论、讲解、归纳（五）.教学过程：一.创设问题情境，引入新课前面我们理解了二次函数，研究了它的图象与性质，今天将应用它去解决一些实际问题。
首先我们一起来作一个简要的回顾：1.二次函数y=a(x－h)2＋k的图象与性质：①当a>0时，抛物线y=a(x－h)2＋k的开口向___，顶点为（）它是抛物线上的最___点，函数y当自变量x=____时有最___值____.②当a<0时，抛物线y=a(x－h)2＋k的开口向___，顶点为（）它是抛物线上的最___点，函数y当自变量x=____时有最___值____.2.二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与性质：①当a>0时，抛物线y=ax2＋bx＋c的开口向___，顶点为（）它是抛物线上的最___点，函数y当自变量x=____时有最___值____________.②当a<0时，抛物线y=ax2＋bx＋c的开口向___，顶点为（）它是抛物线上的最___点，函数y当自变量x=____时有最___值____________.由此可知，确定了一个二次函数的解析式，我们就能够根据其性质求出相对应的函数的最大（小)值。
九年级数学上册22.3实际问题与二次函数(第3课时)教案(新版)新人教版
实际问题与二次函数(第3课时)教 学 目 标知识 技能 1. 利用二次函数解决有关拱桥等问题2. 用二次函数的知识分析解决有关抛物问题的实际问题过程 方法1. 在问题转化、建模过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想.2. 通过实际问题，体验数学在生活实际的广泛应用性，发展数学思维.3. 在转化、建模中，学会合作、交流.情感 态度1•通过对拱桥图片的欣赏，感受数学在生活中的应用，激发学习热情. 2 .在转化、建模中，体验解决冋题的方法，培养学生的合作交流意识和探 索精神.重点 利用二次函数解决有关拱桥等问题. 用二次函数的知识分析解决有关抛物问题的实际问题.难点建立二次函数数学模型.问：你见过石拱桥吗？你观察过桥拱的形状吗？ 【问题】一抛物线形拱桥，如图 26.3.3 — 2当水面在l 时, 拱顶离水面2米，水面宽4米.水面下降1米，水面宽度增加 多少？一、独立思考一一题目探究1 .分析问题(1 )如何建坐标系； (2)如何设抛物线的解析式？(3 )水面下降1米的含义是什 么，怎样把距离转化成坐标？(4 )如何求宽度增加多少？2 •解决问题解：设抛物线表示的二次函数为y ax 2 .如图 26.3.3 — 3.图 26.3.3 — 3由题意知抛物线经过点(2, 2)，可得 2ax 2 , a 1 .21 2这条抛物线表示的二次函数为y —x .环节 情境 引入 教学问题设计欣赏一组石拱桥的图片26.3.3 — 1观察桥拱的形状.教学活动设计 教师出示图 片•学生观察图片 发表见解.自 主 探 究 合 作 交 流教师展示图片 并提出问题；学生 观察图片，自主分 析，得出结论.设二次函数，用 抛物线知识解决 教师关注：(1) 二次函数是 生活中实际问题的 模型，可以解决现 实问题；(2) 通过数学模 型的使用，感受数 学的应用价值.2又知水面下降1米时，水面的纵坐标为 y 3，则对应的横坐标是 ，6和6所以水面增加的宽度是 （2 • 6 4）米.二、小组活动——归纳总结请你按以下思路分析本类型题目的解法•⑴考察实物（抛物线形）：⑵选建坐标系；⑶化距离成坐标； ⑷构建二次函数；⑸解决实际问题1.有一抛物线拱桥，已知水位在 AB 位置时，水面的宽度是4J6米，水位上升 4米就达到警戒线 CD 这时水面宽是4 3米•若洪水到来时，水位以每小时0.5米速度上升，如图26.3.3 — 4求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶端M 处.成果 展示补 偿 提 高2.要修建一个圆形喷水池，如图 26.3.3 — 5池中心竖直安 装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线 形水柱在与池中心的水平距离为1m 处达到最高，高度为3m水柱落地处离池中心 3m,水管应多长？1. 本节课你有哪些收获？还有那些疑惑？2. 在课上你参与了多少问题的讨论，哪些问题得到了其他同学的认可？你最赞同哪一位同学的发言.1.如图 26.3.3—6,是某河上一 座古拱桥的截面 图，拱桥桥洞上 沿是抛物线形状，抛物线两端 点与水面的和距 离都是1m,拱桥的跨度为10m,桥洞与水面的最大距离是5m,桥洞两侧壁上各有一盏距离水面 4m 的景观灯，建立适当坐标系 .（1）求抛物 线的解析式（2）求两盏景观丁之间的水平距离.的关系；（2）由已给抛物线 图象如何求解析 式；（3）如果题中不给图象，关注学生 怎样建立抛物线模 型.学习小组内互 相交流，讨论，展 示.针对前几个环节出 现的问题，进行针 对性的补偿，对学 有余力的学生拓展 提高.作业 作业：1.必做：课本第52页，7、8题. 作业设必做题设计尝 试应 用学生独立完成.教师关注： （1）学生能否独立 找到两个变量之间。
人教版九年级上册22.3实际问题与二次函数(最大利润问题)(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次函数在最大利润问题中的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这一知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
在学生小组讨论环节，虽然学生们提出了很多有见地的观点，但我感觉他们在分析问题和解决问题的能力上还有待提高。为此，我计划在今后的教学中，多设计一些开放性的问题，引导学生深入思考，培养他们的逻辑思维和分析能力。
总之，在本次教学过程中，我深刻认识到了自身在教学方法和策略上的不足，也看到了学生在学习过程中遇到的困难。在今后的教学中，我将不断调整和改进，努力提高教学效果，让每个学生都能在数学学习的道路上取得更好的成绩。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-二次函数模型的建立：如何根据问题的具体情境，正确地建立二次函数模型，包括确定自变量和因变量，理解函数中各个参数的实际意义。
-实际问题与数学模型的关联：将实际问题抽象成数学模型，理解数学模型背后的实际背景，以及如何将数学结果应用到实际问题中去。
举例：在农产品销售问题中，重点在于让学生理解售价、销售量和成本之间的关系，并将其表达为二次函数的形式。
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26.3实际问题与二次函数教案
教学设计思路
本节安排了一个探究性问题，以和拱桥桥洞的有关问题为背景，运用二次函数分析和解决实际问题。
教科书从实际问题出发，引导学生分析问题中的数量关系，建立相应的数学模型即列出函数关系式，进而利用二次函数的性质和图象研究问题的解法。
通过这一节的学习可以使学生对解决实际问题的数学模型的认识再提高一步，从而提高运用数学分析问题和解决问题的能力。
一、教学目标：
1．知识与技能
能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数的知识解决实际问题。
2．过程与方法
经历探索“抛物线形拱桥水面宽度问题”的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验。
3．情感态度与价值观
体会二次函数解决实际问题时应如何建立适当的坐标系从而使解题简便。
二、教学重点难点：
1．重点
通过对实际问题的分析，使学生理解二次函数是在实际生活中解决问题的一种重要模型。
2．难点
利用二次函数解决实际问题时应如何建立适当的坐标系从而使解题简便。
三、教学过程：
(一)创设情境导入新课
小明家门前有一座抛物线形拱桥（如图所示）．当水面在L时，拱顶离水面2 m，水面宽4m。
水面下降1 m时，水面宽度增加多少?
(二)探究：
①想一想：二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数．从而求出水面下降1 m时，水面宽度增加多少。
怎么建立坐标系呢？
②建立模型：建立坐标系后需要求出抛物线解析式，可设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2(a≠0)由题意知抛物线经过点A(2，-2)，可得-2=a·2,a=-1/2。
即抛物线的表达式.
③解决问题：当水面下降1 m时，水面的纵坐标为y=-3，代人y=-x2，计算可得此时水面宽度，两者相减既得问题答案。
教师关注：
（１）学生能否用函数的观点来认识问题；
（2）学生能否建立函数模型；
（3）学生能否找到两个变量之间的关系；
（4）学生能否从拱桥问题中体会到函数模型对解决实际问题的价值．
解法探讨：以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系.
以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以其中的一个交点(如左边的点)为原点，建立平面直角坐标系.
归纳总结：
(1)用二次函数知识解决拱桥类的实际问题一定要建立适当的直角坐标系。
(2)抛物线的解析式假设恰当会给解决问题带来方便。
(三)变式训练
一抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m。
有一艘顶部宽为3米,高出水面1米的小船.问：这艘小船能顺利通过这座桥吗？若不能通过，水面至少下降多少米后才能通过？
分析：建立适当的平面直角坐标系，以拱桥最高点为坐标原点，可求出抛物线的解析式及相应的d表示为h的函数解析式等。
练习
如图，一单杠高2.2米，两立柱之间的距离为1.6米，将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线状。
一身高0.7米的小孩站在离立柱0.4米处，其头部刚好触上绳子，求绳子最低点到地面的距离。
归纳总结：
(四)总结: 学生谈体会．教师进行补充、总结．
教师关注：
（1）从实际问题中抽象出数学问题；
（2）建立数学模型，解决实际问题；
（3）掌握数形结合思想；
（4）感受数学在生活实际中使用价值．
①本节探索了“抛物线”形拱桥水面宽、高等问题，了解到实际问题可借用函数思想方法来解决，培养学生的“转化”思想．
②用函数的思想方法解决抛物线型拱桥问题应注意什么?
(1)建立恰当的平面直角坐标系。
(2)善于根据已知条件看抛物线上某些特殊点的坐标，求出解析式。
(五)课后思考题
思考题：一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米。
（1）问此球能否投中？
若假设出手的角度和力度都不变,则如何才能使此球命中?
跳得高一点。
向前平移一点。