有关二次函数的符号判断

有关二次函数的符号判断

前面，我们已经学过二次函数c bx ax y ++=2

的一些基本性质，现在我们简单地回顾一下这些性质：

二次函数c bx ax y ++=2

的图象是 ,应用配方法可将其化为=y ．其中=h ，=k ．其图

象与函数2

ax y =的图象的 相同，开口方向相同， 那么，我们今天一起来学习抛物线的位置与∆,,,c b a 之间的关系．上面讲过，对于抛物线来说：

（1）a 决定抛物线的开口方向：⇔>0a ；⇔<0a ． （2）C 决定抛物线与y 轴交点的位置：

0>c ⇔抛物线交y 轴于 ；0

b

x 2-

=是抛物线的对称轴， 当b a ,同号时⇔对称轴在y 轴 ；0=b ⇔对称轴为 ；b a ,异号⇔对称轴在y 轴 ，简称为 ． （4） 当042

>-ac b 时，抛物线与x 轴 交点；

当042

=-ac b 时，抛物线与x 轴 交点；当042

<-ac b 时，抛物线与x 轴 交点．

【经典例题】

一．通过抛物线的位置判断∆,,,c b a 的符号． 例1. 二次函数c bx ax y ++=2

的图象，如图所示，

则a 0，b 0，c 0．（填“>”或“<”） 例2． 已知二次函数)0(2

≠++=a c bx ax y 的图象是

（1）a 0，b 0，c 0（填“>”或“<”） （2）点（bc ac ,）在直角坐标系中的第 象限． （3）二次函数，满足ac b 42

- 0．

（4）一次函数c ax y +=的图象不经过第 象限． 例3．二次函数c bx ax y ++=2

的图象如右上图所示，则点⎪⎭

⎫

⎝⎛c b c a ,在直角坐 标系中的（ ） A 、第一象限 B 、第二象限

C 、第三象限

D 、第四象限

例4．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则ac 0．

A 、>

B 、<

C 、=

D 、无法确定

例5.二次函数c bx ax y ++=2

的图象,如图（1）所示，则系数b ax y +=的图象只可能是图（ ）

x

C

【课堂练习】

1．二次函数c bx ax y ++=2

的图象如图所示,则下列条件不正确的是( )

A 、0,0,0<>

B 、042

<-ac b

C 、0<++c b a

D 、0>+-c b a

2．如图，为二次函数c bx ax y ++=2的图象，则一次函数bc ax y +=

A 、第一象限

B 、第二象限

C 、第三象限

D 、第四象限

3．二次函数c bx ax y ++=2

的图象如图，则点⎪⎭⎫

⎝

⎛-+b ac ac b b a ,42

在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限

4． 下列图象中，当0>ab 时，函数2

ax y =与b ax y +=的图象是（ ）

5．二次函数c bx ax y ++=2

与一次函数c ax y +=在同一坐标系中的图象大致是( )

x

x

二．通过∆,,,c b a 的符号判断抛物线的位置：

例

<

+2

例2．若0,0,0,0>

∆>>>c b a ，那么抛物线c bx ax y ++

=2

经过

象限

例3.已知二次函数c bx ax y ++=2

且0,

0>+-

a a ；则一定有ac

b 42-

0 (填“>”

“<”“=”“≥”或“≤”

)

例4．如图，为二次函数c bx ax y ++=2

的图象，则一次函数bc ax y +=的图象不经过（ ）

A 、第一象限

B 、第二象限

C 、第三象限

D 、第四象限 例5．已知抛物线c bx ax y ++=2

的系数有0=+-c b a ，则这条抛物线经过点 ．

例6．如果函数b kx y +=的图象在第一、二、三象限内，那么函数12

-+=bx kx y 的大致图象是（ ）

【课堂练习】

1．若抛物线c bx ax y ++=2

开口向上，则直线3+=ax y 经过 象限．

2．函数c bx ax y ++=2

和)0(≠+=a b ax y 在同一从标系中，如图所示，正确的是（ ）

x

x

x x

y B

x

3．二次函数c bx ax y ++=2

()0≠a 的图象，如图，下列结论①0b ③024>++c b a ④()22

b c a <+其中正确的有

A 、1个

B 、2个

C 、3个

D 、4个

4．若一抛物线2ax y =与四条直线,1,2,1===y x x 2=y 围成的正方形有公共点，则a 的取值范围是 ．

5．已知二次函数bx ax y +=2（0≠a ），当x 取()2121,x x x x ≠时，函数值相等那么当x 取21x x +时，函数值为 ． 【中考真题】

1、已知二次函数)0(2

≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下5个

结论：① 0>abc ；② c a b +<；③ 024>++c b a ；④ b c 32<； ⑤ )(b am m b a +>+，（1≠m 的实数）其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个

C. 4个

D. 5个

2、如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A （－3，0），对称轴为x ＝－1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；

②2a ＋b =0；③a －b ＋c =0；④5a ＜b ．其中正确结论是（ ） （A ）②④

（B ）①④

（C ）②③

（D ）①③

3、在同一坐标系中一次函数y ax b =+和二次函数2y ax bx =+的图象可能为（ ）

4、已知二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象开口向上，并经过点(-1，2)，(1，0) . 下列结论正确的是( )

A. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而增大

B. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而减小

C. 存在一个负数x 0，使得当x x 0时，函数值y 随x 的增大而增大

D. 存在一个正数x 0，使得当x x 0时，函数值y 随x 的增大而增大 5、已知二次函数y =x 2-x+a (a ＞0)，当自变量x 取m 时，其相应的函数值小于0，那么下列结论中正确的是（ ）

(A) m -1的函数值小于0 (B) m -1的函数值大于0

(C) m -1的函数值等于0 (D) m -1的函数值与0的大小关系不确定 二、填空题

1、二次函数y =ax 2＋bx ＋c 的图象如图8所示，且P =| a －b ＋c |＋| 2a ＋b |，Q =| a ＋b ＋c |＋| 2a －b |，则P 、Q 的大小关系为 .

2、如图9所示的抛物线是二次函数2

2

31y ax x a =-+-的图象，那么a 的值是 ．

3、已知二次函数2

2y x x m =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程2

20x x m -++=的解为 ．

O

x

y O

x

y O

x

y O

x

y

A