高数1概念性质.

技巧: 利用 “拆项相消” 求 和
考察级数 n 1

1 n 的敛散性。
〖解〗 它的第 n 部分和是
1 1 Sn 1 2 n.
注意到
Sn 1 1 1 n n 2 n n
Sn 不存在，因此级 所以当 n 时， Sn ，于是 lim n
“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，
级数 数列极限的另一种表现形式； 是表示函数，研究函数的性质以及进行数值 计算的一种工具； 傅氏级数是通信科学中重要工具。 内容 数项级数，函数项级数，将函数展开成幂级 数与三角级数的问题。
一、问题的提出
1. 计算圆的面积
正六边形的面积 a1
正十二边形面积
n 3 2 正 形的面积
n
例2
判别无穷级数
1 1 1 的收敛性. 1 3 3 5 ( 2n 1) ( 2n 1)
1 1 1 1 ( ), 解 un ( 2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
1 1 1 sn 1 3 3 5 ( 2n 1) ( 2n 1)
n
2. 级数的收敛与发散:
如果级数 un 的部分和数列 sn 有极限 s , 即
n 1
n
lim sn s 则称无穷级数 un 收敛 , s 叫做级数
n 1

s u1 u2 un 的和 . 并写为 u n
n 1
如果 sn 没有极限,则称无穷级数
问题：这样的无穷和是如何相加的？结果又怎样？
s1 u1 , s2 u1 u2 , s3 u1 u2 u3 ,,
sn u1 u2 un ,
级数的部分和 sn u1 u2 un 部分和数列
s1 , s2 , , sn ,
ui i 1
un 发散. n 1

即常数项级数收敛(发散) lim sn 存在(不存在)
n
级数收敛的 N 定义： 余项 rn s sn un1 un 2
即
u
i 1

n i
sn s
误差为 rn
( lim rn 0)
n
例
写出下列级数 2 x 3 x 4 x x 5 x 2
数 n 1

1 n 发散．
三、基本性质 注意：
作为一种新的运算，级数是一个极限过程，所以应与有 限和的运算性质有所区别
三、基本性质
性质 1 若级数
un 收敛,则 ku 亦收敛且 ku n 1
n 1 n
n 1
结论是：人永远追不上乌龟.....
解 设龟速V0，则人速10V0，人跑1000米用时100/V0 ，这时龟走了100米，人跑100米用时10/V0， 这时龟走了10米，这10米人又用时10/V0，。。。 总之，人追上龟用时：
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100 10 1 0.1 0.01 T ...... v0 v0 v0 v0 v0 1 (100 10 1 0.1 0.01 ......) v0 ?
n n lim q lim sn 当q 1时, n n
级数发散
如果 q 1时
当q 1时,
sn na
级数发散
当q 1时, 级数变为a a a a
lim sn不存在
n
级数发散
当q 1时, 收敛 综上 aq n 0 当q 1时, 发散

的通项，并以 un 的形式表示。
n 1
2
3
4
解 将上述级数写成更有规律的形式
2 3 4 5 x x x x 1 2 3 4
一般项为
un 1
n1
1 2
2 2
3 2
4 2
n1 n x2 n
n1
故原级数可写成
1
n1
n1 2 x n
n
例 1 讨论等比级数(几何级数)
R
a1 a2
a1 a2 an
即 A a1 a2 an
A a1 a2 an
1 3 3 3 3 2. n 3 10 100 1000 10
二、级数的概念
1. 级数的定义:

项
一般项
un u1 u2 u3 un (常数项)无穷级数 n1
1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) 2 3 2 3 5 2 2n 1 2n 1
1 1 (1 ), 2 2n 1
技巧: 利用 “拆项相消” 求 和
1 1 1 lim sn lim (1 ) , n n 2 2n 1 2
n 2 n aq a aq aq aq ( a 0) n 0
的收敛性(敛散性).
解 s a aq aq 2 aq n1 n
a(1 q n ) (q 1) 1 q
a sn 当q 1时, lim q 0 lim n 1 q 级数收敛 n
1 级数收敛, 和为 . 2
(2). 判别下列级数的敛散性:
3 ln 4 ln n 1 解: S ln 2 ln n 1 3 n 2
ln( n 1) ( n ）
所以级数发散 ;
(ln 2 ln 1) (ln 3 ln 2) ln( n 1) ln n
无穷级数
例1 0 = 0+0+0+ = (11)+ (11)+ = 11+ 11+ = 1+(1+1)+(1+1)+
=1
例2（芝诺悖论）一个人和乌龟赛跑，乌龟在人前面 1000米开始，并规定人的速度是乌龟的10倍。 人跑了1000米时，乌龟跑了100米；人再跑100米时， 乌龟跑了10米;以此类推....