梁的弯曲

第九章梁的弯曲

第一节平面弯曲

一、平面弯曲的概念

当杆件受到垂直于杆轴的外力作用或在纵向平面内受到力偶作用时（图9-1），杆轴由直线弯成曲线，这种变形称为弯曲。以弯曲变形为主的杆件称为梁。

图9-1 受弯杆件的受力形式

弯曲变形是工程中最常见的一种基本变形。例如房屋建筑中的楼面梁，受到楼面荷载和梁自重的作用，将发生弯曲变形（9-2a、b），阳台挑梁（9-2 c、d）等，都是以弯曲变形为主的构件。

工程中常见的梁，其横截面往往有一根对称轴，如图9-3所示，这根对称轴与梁轴所组成的平面，称为纵向对称平面（图9-4）。如果作用在梁上的外力（包括荷载和支座反力）和外力偶都位于纵向对称平面内，梁变形后，轴线将在此纵向对称平面内弯曲。

这种梁的弯曲平面与外力作用平面相重合的弯曲，称为平面弯曲。平面弯曲是一种最简单，也是最常见的弯曲变形，本章将主要讨论等截面直梁的平面弯曲问题。

图9-2 工程中常见的受弯构件

图9-3 梁常见的截面形状图9-4平面弯曲的特征

二、单跨静定梁的几种形式

工程中对于单跨静定梁按其支座情况分为下列三种形式：

1．悬臂梁： 梁的一端为固定端，另一端为自由端（图9-5a ）。

2．简支梁： 梁的一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座（图9-5b ）。

3．外伸梁： 梁的一端或两端伸出支座的简支梁（图9-5c ）。

(a ) (b ) (c )

图9-5 三种静定梁

第二节 梁的弯曲内力——剪力和弯矩

为了计算梁的强度和刚度问题，在求得梁的支座反力后，就必须计算梁的内力。下面将着重讨论梁的内力的计算方法。

一、截面法求内力

1、剪力和弯矩

图9-6 用截面法求梁的内力

图9-6a 所示为一简支梁，荷截F 和支座反力R A 、R B 是作用在梁的纵向对称平面内的平衡力系。现用截面法分析任一截面m-m 上的内力。假想将梁沿m-m 截面分为两段，现取左段为研究对象，从图9-6b 可见，因有座支反力R A 作用，为使左段满足Σ Y ＝０，截面m-m 上必然有与R A 等值、平行且反向的内力Q 存在，这个内力Q ，称为剪力；同时，因R A 对截面m-m 的形心O 点有一个力矩R A · a 的作用，为满足Σ M o ＝０，截面m-m 上也必然有一个与力矩R A · a 大小相等且转向相反的内力偶矩Ｍ存在，这个内力偶矩M 称为弯矩。由此可见，梁发生弯曲时，横截面上同时存在着两个内力素，即剪力和弯矩。

剪力的常用单位为Ｎ或kN ，弯矩的常用单位为N ·m 或 kN · m 。

剪力和弯矩的大小，可由左段梁的静力平衡方程求得,即

0=∑Y ， 0A =-Q R ， 得 A R Q =

0o =∑M ， 0A =-⋅M a R ， 得 a R M ⋅=A

如果取右段梁作为研究对象，同样可求得截面m-m 上的Q 和M ，根据作用与反

作用力的关系，它们与从右段梁求出m-m截面上的Q和M大小相等，方向相反，如图9-6c所示。

2、剪力和弯矩的正、负号规定

为了使从左、右两段梁求得同一截面上的剪力Q和弯矩M具有相同的正负号，并考虑到土建工程上的习惯要求，对剪力和弯矩的正负号特作如下规定：

(1)剪力的正负号: 使梁段有顺时针转动趋势的剪力为正（图9-7a）；反之，为负（图9-7b）。

(2)弯矩的正负号: 使梁段产生下侧受拉的弯矩为正（图9-8a）；反之，为负（图9-8b）。

(a) (b)

图9-7剪力的正负号规定

(a) (b)

图9-8弯矩的正负号规定

3、用截面法计算指定截面上的剪力和弯矩

用截面法求指定截面上的剪力和弯矩的步骤如下：

(1)计算支座反力；

(2)用假想的截面在需求内力处将梁截成两段，取其中任一段为研究对象；

(3)画出研究对象的受力图（截面上的Q和M都先假设为正的方向）；

(4)建立平衡方程，解出内力。

下面举例说明用截面法计算指定截面上的剪力和弯矩。

例9-1简支梁如图9-9a所示。已知F1＝30kN，F2 =30kN，试求截面1-1上的剪力和弯矩。

(a ) (b ) (c )

图9-9 (例9-1图)

解：（1）求支座反力，考虑梁的整体平衡

0B =∑M 0625A 21=⨯-⨯+⨯R F F

0A =∑M 0641B 21=⨯+⨯-⨯-R F F

得 kN 35A =R (↑)， kN 25B =R (↑)

校核 03030253521B A =--+=--+=∑F F R R Y

(2) 求截面1-1上的内力

在截面1-1处将梁截开，取左段梁为研究对象，画出其受力，内力1Q 和1M 均先假设为正的方向（图9-9b ），例平衡方程

0=∑Y 011A =--Q F R

01=∑M 01211A =+⨯+⨯-M F R

得 530351A 1=-=-=F R Q kN

40130235121A 1=⨯-⨯=⨯-⨯=F R M kN·m

求得1Q 和1M 均为正值，表示截面1-1上内力的实际方向与假定的方向相同；按内力的符号规定，剪力、弯矩都是正的。所以，画受力图时一定要先假设内力为正的方向，由平衡方程求得结果的正负号，就能直接代表内力本身的正负。

如取1-1截面右段梁为研究对象（图9-9c ），可得出同样的结果。

例9-2 悬臂梁，其尺寸及梁上荷载如图9-10所示，求截面1-1上的剪力和弯矩。

(a ) (b )

图9-10 例9-2图

解：对于悬臂梁不需求支座反力，可取右段梁为研究对象，其受力图如图9-10b 所示。

0=∑Y 01=--F qa Q