一次函数与几何综合-培优

一次函数与几何综合

1．一次函数与全等三角形的综合

以一次函数为背景的常见的几何模型如下：

2.一次函数与面积的综合 解决在坐标系中的图形面积计算的常用方法：

(1)割补法；(2)转化法；(3)加减法；(4)铅垂线法．有的问题还需要分类讨论． 3．一次函数与特殊图形的综合

以一次函数为背景的常见的特殊图形有等腰三角形、直角三角形和平行四边形． (1)等腰三角形 ①确定点的位置

如下图所示，在直线L 上找一点C ，使得△ABC 是等腰三角形.

,:AC AB I =以A 点为圆心，AB 长为半径画圆，交直线L 于两点,,21C C ,:BC AB =X 以B 点为圆心，AB 长为半径画圆，交直线L 于两点,,43C C

Ⅲ,:BC AC =作AB 的中垂线交直线L 于点⋅5C

②求点的坐标：若△ABC 是等腰三角形，则分三种情况分类讨论：BC AC BC AB AC AB ===,, 然后利用等腰三角形的性质或勾股定理计算（或建立方程）解题．

(2)直角三角形

若△ABC 是直角三角形，则分三种情况分类讨论：.0

9,90,90o

o

C B A &ο

=∠=∠=∠然后利用勾股定 理解题．

(3)平行四边形 ①确定点的位置

如右图所示，在△ABC 中，点A 、B 在直线L 上，点C 在x 轴上 ，在坐标平面内找一点D ，使得A 、B 、C 、D 围成的四边形是平行四边形.

作法：分别为过A 、B 、C 的三个顶点作对边的平行线，交点即为平行四边形的第四个顶点，如右图所示.

②求点的坐标：若四边形ABCD 是平行四边形，利用平行四边形的性质解题．

基 础 演 练

1．点P 是等边△ABC 的边上的一个作匀速运动的动点，点P 从点A 开始沿AB 边运动到B 再沿BC 边运动到C 为止，设运动时间为t ，△ACP 的面积为S ，S 与t 的大致图像是图19 -4—1中的（ ）

2．(1)如图19-4-2所示，已知A 点坐标为(5，0)，直线)0(>+=b b x y 与y 轴交于点B ，连接,75,ο

=∠αAB 则b 的值为( )．

3.A 335.

B 4.

C 4

3

5.D (2)如图19-4-3所示，直线23

3

+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把△AOB 绕点A 顺时针

旋转ο60后得到,/

/B AO ∆则点/

B 的坐标是( )．

)32,4.(A )4,32.(B )3,3.(C )32,232(+⋅D

3．平面直角坐标系中，0是坐标原点，点A 的坐标是(4，O)，点P 在直线m x y +-=上，且.4==OP AP 则m 的值为( )．

322.+A 或322- 4.B 或4- 32.C 或32- 324.+D 或324-

4．若函数4--=x y 与x 轴交于点A ，直线上有一点M ，若△AOM 的面积为8，则点M 的坐标

5．(1)在平面直角坐标系中，0为坐标原点，已知A （1，a ）在直线2+-=x y 上，在坐标轴上确定点P ，

使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 的个数有 个． (2)如图19-4-4所示，直线13

3

+-

=x y 和x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，点C 在坐标平面内，若以线段AB 为边作等边三角形ABC ，则点C 的坐标是

6．(1)如图19-4-5所示，点A 的坐标为（-1，0），点B 在直线x y =上运动，当线段AB 最短时，点B 的

坐标为

(2)如图19-4-6所示，在平面直角坐标系中有两点A （-2，2），B(l ，4)，P 为x 轴上一点.

①当BP+AP 的值最小时，P 点的坐标为 ；

②当BP-AP 的值最大时，P 点的坐标

7．探索勾股定理时，我们发现“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决线段和（或差）的问题，这种方法称为面积法．请你运用面积法求解下列问题：在等腰△ABC 中，BD AC AB ,=为腰AC 上的高．

(1)若M h BD ,=是直线BC 上的任意一点，M 到AB 、AC 的距离分别为ME 、MF ．

①若M 在线段BC 上，请你结合图形19-4-7(a)证明：h MF ME =+ ②当点M 在线段BC 的延长线上时ME 、MF 和h 之间的关系为 ．（请直接写出结论，不必证明）

(2)如图19-4-7(b)所示，在平面直角坐标系中有两条直线.63:;64

3

:21+-=+=x y l x y l 若2l 上的一点M 到1l 的距离是3，请你利用以上结论求点M 的坐标．

8．如图19-4-8所示，已知y AB b a A ⊥),,(轴于点B ，且满足.0)2(22

=-+-b a

(1)求直线AO 的解析式；

(2)分别以AB 、AO 为边作等边三角形△ABC 和△AOD，试判定线段AC 和DC 的数量关系和位置关系．

能 力 提 升

9．在△ABC 中，BO 、CO 分别平分∠ABC 、∠ACB ，过点0作EF∥BC 分别交AB 、AC 于点E 、F ，已知a a BC （= 是常数），设△ABC 的周长为y ，△AEF 的周长为x ，在下列图像中，大致表示y 与x 之间的函数关系的是( )．

10.如图19-4-9所示，在x 轴上有五个点，它们的横坐标依次为1，2，3，4，5．分别过这些点作x 轴的垂线与三条直线x a y x a y ax y )2(,)1(,+=+==相交，其中a>0．则图中阴影部分的面积是( )．

5.12.A 25.B a C 5.12. a D 25.

11.如图19 -4 -10所示，直线13

3

+-

=x y 分别交x 、y 轴于B 、C 两点，一边在x 轴上，另一个顶点在BC 边上的等边三角形分别是第1个,11B AA ∆第2个,221B A B ∆第3个,,332ΛB A B ∆则第n 个等边三角形的边长等于( )．

n A 23.

123.-n B n

C 21. 123

.+n D

12.已知平面上四点A(O ，O)，B(10，0)，C(12，6)，D(2，6)，直线-=mx y 63+m 将四边形ABCD 分成

面积相等的两部分，则m 的值为

13.如图19 -4 -11所示，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，直线22

1

+-

=x y 与y 、x 轴分别交于A 、B 两点，点C 的坐标为(O ，1)，过点C 作CD ⊥AO 交AB 于点D ，x 轴上的点P 和A 、B 、C 、D 、0中的两个点所构成的三角形与△ACD 全等，这样的三角形有 个．