函数与方程

第五讲 函数方程

假如你有一台电脑，提前输入了一个程序，当你输入一个数x 时，电脑就会输出一个数

()f x ；当你输入了一个数y 时，电脑就会输出一个()f y ；如果你输入的是两个数的平均数2

x y +时，电脑就会输出相应的两个输出数的平均数()()

2f x f y +，你知道这台电脑的程序是

按照什么函数关系来设计的吗？

很显然，我们能够非常容易的可以得出结论()()(

)22

x y f x f y f ++=。这样我们就得到了一个含有未知函数的等式，这个等式叫做函数方程。而找出适合等式条件的函数叫做解函数方程。

解函数方程的方法总是不断提出必要条件，因此，最后还要进行检验。下面我们就介绍一些常见的、简单的解法：

一．函数方程的方程组解法

将未知函数看作是未知数，将常数及自变量看成已知数，通过方程组解出未知函数，这种方法的技巧是重复已知条件得出方程组.

例1. 对0ab ≠，解函数方程()()(1)af x bf x c x +-=+. ○1 解：若视()f x 为一个未知数,u 则()f x -也是个未知数v ，为了求解两个未知数，我们再来找一个方程。注意到()f x 与()f x -不是孤立的，当我们将原式中x 换成x -时，便有

()()(1)af x bf x c x -+=- ○2

联立○1○2得22()()()().a b f x c a b x c a b -=++- ○3 01.若22a b ≠，有();c c

f x x a b a b

=

+-+ 02.若220a b =≠且0c ≠，无解；

03.若0a b =≠且0c =时，由原式有()()0f x f x +-=，解为任何奇函数； 04.若0a b =-≠且0c =时，由原式的()()0,f x f x +-=解为任何偶函数.

探究1：

求满足1

2()(21xf x f x x

+=-的().f x

二．待定系数系法

如果能预知函数的结构，那就可用待定系数先表示出来，问题归结为系数的确定。通常是解方程组。

例2. 设()f x 二次函数，且()2(),x g x f x = ○1 12(1)()2x g x g x x ++-= ○2 求()f x 与()g x 表达式。

解：由于()f x 为二次函数，可设为2()(0)f x ax bx c a =++≠ ○3 又由○1代入○2有1122(1)2()2x x x f x f x x +++-=

即22(1)()2.f x f x x +-= ○4 将○3代入○4,得恒等式22(4)(22)2,ax a b x a b c x +++++=从而有

2,8,12,a b c ==-=

于是2()2812,f x x x =-+2()(2812)2.x g x x x =-+⋅

探究2：

已知()f x 为线性分式函数，且[()],(0)ax b

f f x ad b x d

+=->+，求().f x

三．参数方程法

主要用于解形如(())()f g x x ϕ=的方程，设()x g t =时，有()()y f x t ϕ==，由参数方程 ();

().

x g t y t ϕ=⎧⎨

=⎩消去t ，即得()y f x =的显式。 例3.求满足2211

()f x x x

x +=+的().f x

解：设1,t x x =+从而有2222111

()()(2 2.y f t f x x x t x x

x ==+=+=+-=-

即所求的函数为2()2(||2)f x x x =-≥，检验知满足条件.

探究3：

已知11()(),x x

f x f x x

--+=求().f x

四．取特殊值法

例4.求满足()()2()cos f x y f x y f x y ++-=的().f x 解：对已知等式依次取值110,x y t ==；22,2

2

x t y ππ=

+=

；33,.2

2

x y t ππ=

=

+

得方程组()()2(0)cos ,f t f t f t +-= ○1 ()()0f t f t π++=， ○2

()()2()sin 2f t f t f t π

π++-=- ○3

○1+○2－○3，得()(0)cos ()sin .2

f t f t f t π

=+ 记(0),(),2f a f b π

==得()cos sin .f x a x b x =+

检验知满足条件。

探究4：

确定符合下列条件的所有多项式(),f x 使13(1)[()].22

f x f f x +=+

五．不等式法

其依据是A B ≥且A B ≤时，一定有.A B =

例5.设()f x 在区间(0,1)上恒有正数，且对任何,(0,1)x y ∈均有

()(1)

2.()(1)

f x f x f y f y -+≤- 求证：()f x 定是常函数.

解：对任意的,(0,1)x y ∈，必有(1),(1)(0,1)x y --∈。代入已知条件 ()(1)

2.()(1)f x f x f y f y -+≤- ()(1)

2.()(1)

f y f y f x f x -+≤- 相加并利用基本不等式，有()()(1)(1)

4[

[224()()(1)(1)

f x f y f x f y f y f x f y f x --≥+++

≥+=--。 等号当且仅当()();

(1)(1).f x f y f x f y =⎧⎨-=-⎩

由,x y 的任意性，得()f x 在(0,1)上为常数函数。