在极坐标系下计算二重积分

(1) D为圆域 x2y21;
y
(2) D由直线 y x ,y 1 ,x 1围成 .
yx
（ 2 ） 解 ： I x 2d x d y x y e x 2 y 2d x d y
D
D
x2 dxd y
1 x2 d x
x
dy
2
o D2 D1
1x
1 y x
D
1
1
3
添加辅助线 yx,将D 分为 D1,D2,利用对称性 , 得
xyex2y2 dxdy= x y e x 2 y 2d x d y x y e x 2 y 2d x d y = 0
D
D 1
D 2
2
I
3
原式
er 2rdrd
2
d
a rer2 dr
D
0
0

2

1er 2
2

a 0
(1ea2)
由于 e x2 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角 坐标计算.
注:
二重积分
利用例5可得到一个在概率论与数理统计及工程上
非常有用的反常积分公式
ex2dx
D

ex 2 y2 dxdy 42d 2rer2dr(e4e)
0
1
D
原 式 = 0 +(x 2 y 2 ） d x d y e x 2 y 2 d x d y d x d y
D
D
D
14(e4e)3 (23 e4 e)
D
D
问题1：怎样的二重积分需要在极坐标下计算？
积分区域D为圆形、扇形、环形，环扇形等
被积函数形式 f (x2 y2)或f (y) x
问题2：如何在极坐标下计算二重积分？
二重积分
在极坐标下计算二重积分
r 1()
r 2( )
1、积分区域 (极点为外点)
,
D
D: 1()r2()
x
x y
1 x2 y2
是关于Y的奇函数，
D
xy 1x2 y2
dxdy0
D
xy1 1x2 y2
dxdy

D
1 1x2 y2
dxdy
2

2d
0
1r 0 1r2 dr
2
ln 2
二重积分
3、积分区域如图：（极点为内点）
0 2,
r () D
D:
0r()
o
A
f(x, y)dxdyf(rcos, rsin)rdrd
D
D
2 ()
d f(rc o s,rsin)rd r.
0
0
二重积分
例5. 计算 ex2y2 dxdy, 其中D:x2y2a2. D
解: 在极坐标系下D:00r2a,故
3.
D
计算
1dx
0
x x2
(x2
y2)12dy
4. 计算

D
arctan y dxdy x
其中D是由 x 2 y 2 1 ,x 2 y 2 4 ,y 0 ,y x
所围成的在第一象限内的闭区域。
二重积分
1. 计算 I (xy51)dxdy,D 是圆域 x2 y2 4
D
c x 1 (y )
xx1(y)
x
2、极坐标系情形: 若积分区域为
二重积分
D ( r , ) , 1 ( ) r 2 ( )
则 D f(x ,y )d D f(rc o ,rss i)rn drd
d 1 2 ( ())f(rco ,rs si)n rdr
则
D f(x ,y )da b d xy y 1 2 (( x x ))f(x ,y )d yy xx2(y)
• 若积分区域为
d
D ( x , y ) c y d , x 1 ( y ) x x 2 ( y ) c D
则
f(x ,y )dd d yx 2 (y )f(x ,y )d x
d(cos)

1 cos

4 0

sin cos2
d

4 2 0

1
二重积分
y x2 yx
1x
4. 计算
y

D
arctan dxdy x
二重积分
其中D是由 x 2 y 2 1 ,x 2 y 2 4 ,y 0 ,y x y 所围成的在第一象限内的闭区域。
yx
解：D 在极坐标系下可表示为
3
3
3、计算
1dx
0
x x2
(x2
y2)12dy
y
解：
D
:
0 x
x 2
1 y
x
将积分区域D化为极坐标
D
:

0
0

r


4 sin cos2
0
原式

4d
csoisn21rdr
0 0r

4 0
1
cos2
分划区域D 为 i (i1,2,L,n)
i ?
r ri ri
i ri ri i riri i
D
则面积元素为
drdrd
o i r ri
或dxd rd yr.dri i
A
i i
i
ri ri
,
D: 0r()


o
二重积分
r()
D
A
f(x, y)dxdyf(rcos, rsin)rdrd
D
D
d 0 ()f(rc o s,rsin )rd r.
二重积分
例 3 计算 x2 y2 d ， D是 x2 y2＝2 y围成的区域。
]2sin 0
d
＝8 3

0
sin3 d
＝8 3

0
(cos2
1)d
cos
8 3(1 3cos3cos)|0
32 9
例4. 计算
xy1 dxdy
D 1x2 y2
其中D是 (x,y)x2y21 ,x0
解: D是关于x轴对称，
二重积分
y
O
O
x
x2 y2d r rdrd
D
D

2d 2r2dr
0


2
0
r3
(
3
)
|2
d

wk.baidu.com 2 7 3d 1 4 4
03
3
二重积分
例2. 计算 (x2y2)dxdy, 其中D 为由圆 x2 y2 2y, D
x2 y2 4y及直线 y 3x 0, x 3y 0, 所围成的
二重积分
求 (c o sx ysinx3x2 y2 ex2 y2 1 )d x d y,
D
y
解：利用对称性及二重积分的性质可知
cosxysinx3dxdy0; dxdy43
O
x
D
(
x2
y2）dxdy
D
4 2d
2rrdr14
0
1
3

o
A

D
f
(x,

y)dxdy d
2()f(rcos,
1()
rsin)rdr.
二重积分
例 1 计算 x2 y2 d ， D {( x, y) | 2 x2 y2 4 2}．
D
y
解：D 在极坐标系下可表示为
{ ( r ,) |0 2 , r 2 }
不等式
充分利用对称性 • 计算要简便
应用换元公式
练习10.2：
二重积分
1. 计算 I (xy51)dxdy,D 是圆域 x2 y2 4
D
2. 已知 D (x,y)1x2y24
求 (c o sx ysinx3x2 y2 ex2 y2 1 )d x d y,
二重积分
第二节 二重积分的计算（2）
二重积分在极坐标系下的计算
1、积分区域 (极点为外点) 2、积分区域（极点为边界点） 3、积分区域（极点为内点） 4. 将直角坐标化为极坐标
三、利用极坐标计算二重积分
二重积分
在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的.
故在极坐标系下, 用同心圆 r =常数及射线 =常数,
{(r,)|0,1r2}
原式 （ 4 24 rdr） d 01
O1
2x

（ 4 r2
02
12）d

4
3
d
02
3 2 64
二重积分
综合题： 计算 I (x2xyex2y2)dxdy,其中: D (1) D为圆域 x2y21;
(2) D由直线 y x ,y 1 ,x 1围成 .
解: (1) 利用对称区间奇偶性，得 I x2dxdy D
Q D x 2d xdy D y 2dyd x
y
I1 (x2y2)dxdy 2D
D o 1x
1 2d 1r3dr
20 0
4
二重积分
综合题： 计算 I (x2xyex2y2)dxdy,其中: D
30
y
D z=0
acos a
2a3( 4)
39
D

x
O
a
racos
内容小结 二重积分化为累次积分的方法
二重积分
y yy2(x)
D
1、直角坐标系情形 :
• 若积分区域为
yy1(x) a bx
D ( x , y ) a x b , y 1 ( x ) y y 2 ( x )
解
：
D
I (xy51)dxdy
利用线性D性质：和的积分等于积分之和
xdxdyy5dxdydxdy
D
D
D
在利用积分区域对称、被积函数奇偶性相关结论
xdxdy0, y5dxdy0
D
D
I dxdy 4 即求积分区域的面积
D
2. 已知 D (x,y)1x2y24
二重积分
由直角坐标和极坐标之间的关系： y
xrcos
y rsin
(x, y) r
y rsin
drdrd
0 xrcos x
即二重积分在极坐标下的公式：
f (x, y)d f(rcos,rsin)rdrd
D
D
二重积分在极坐标下的公式：
二重积分
f (x, y)d f(rcos,rsin)rdrd
D r2()
3. 改变积分次序的题型 4. 直角坐标化为极坐标的题型
r1()
o
计算步骤及注意事项
二重积分
• 画出积分域 域边界应尽量多为坐标线
• 选择坐标系 被积函数关于坐标变量易分离
积分域分块要少 • 确定积分序
累次积好算为妙
图示法
• 写出积分限
( 先积一条线, 后扫积分域 )
D
解 x2 y2＝2 y的极坐标方程是r 2sin y
D 在极坐标系下可表示为 D { ( r ,) | 0 , 0 r 2 s i n }
x2 y2d r rdrd
O
x
D
D
d 2sinr2dr
0
0

0
[r3 3
例6. 求球体 x2y2z2a2被圆柱面 x2y2 ax
(a0)所截得的(含在柱面内的)立体的体积.
解: 设 D:0raco,s0
由对称性可知
2
维望尼曲线
V4 a2r2rdrd D
π
42dθ acoθs a2r2rdr
0
0
4
a3
π
2(1sin3θ)dθ
平面闭区域.
y
解：x2 y2 2y r2sin
4
x2 y2 4y r4sin
y
3x 0
2

3
x
3y 0

1


6
2
o
x
(x2y2)dxdy D

3d
6
4sin r2 r d r 15( 3 )
2sin
48
2、积分区域如图：（极点为边界点）
0
2
①
事实上, 当D 为 R2 时,
ex2y2 dxdyex2dx ey2dy
D


利用例4的结果, 得
4 ex2 dx2
0

4 e x2dx 2lim (1e a2)
0
a
故①式成立 .
二重积分