高数 无穷小无穷大

β 若 lim k = C ≠ 0, 则称 β 是关于 α 的 k 阶无穷小; α β 若 lim = 1, 则称 β 是 α 的等价 等价无穷小, 记作 α ~ β 等价 α 或 β ~α
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例如 , 当 x → 0 时
x3 = o( 6x2 ) ; sin x～ x ; tan x ～ x arcsin x～x
x → 0 时,
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定理2 定理 . 设
且
存在 , 则
β lim α
证:
β β ′ α′ β lim = lim α β ′ α′ α β β′ β′ α′ = lim lim lim = lim β′ α′ α′ α
例如, 例如
2x 2 tan 2x = lim = lim x→0 5x 5 x→0 sin 5x
可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 .
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定义. 定义 设 α , β 是自变量同一变化过程中的无穷小,
β 若 lim = 0, 则称 β 是比 α 高阶 高阶的无穷小, 记作 α β = o(α) β 若 lim = ∞, 则称 β 是比 α 低阶 低阶的无穷小; α β 若 lim = C ≠ 0, 则称 β 是 α 的同阶 同阶无穷小; 同阶 α
n n
～
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定理1. 定理 证:
～ ～
β = α + o(α)
β lim = 1 α β β −α lim( −1) = 0, 即 lim =0 α α
β −α = o(α) , 即 β = α + o(α)
例如, 例如 x → 0 时 ,
～
tan x～x , 故
tan x = x + o(x)
内容小结
1. 无穷小的比较 设 α , β 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且 α ≠ 0
β 是 α 的高阶无穷小 β 是 α 的低阶无穷小 β 是 α 的同阶无穷小 β 是 α 的等价无穷小 β 是 α 的 k 阶无穷小
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常用等价无穷小 :
～ ～
2. 等价无穷小替换定理
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说明: 说明 设对同一变化过程 , α , β 为无穷小 , 由等价 无穷小的性质, 可得简化某些极限运算的下述规则. (1) 和差取大规则 若 β = o(α) , 则α ± β ~ α 和差取大规则: x 1 sin x = = lim 例如, lim 3 3 x→0 3x x→0 x + 3x (2) 和差代替规则: 若α ~ α′, β ~ β ′ 且 β 与α 不等价, 和差代替规则 α −β α′ − β ′ = lim , 则α − β ~ α′ − β ′, 且 lim
故
即
是
时的无穷小 .
推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .
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例1. 求 解:
sin x y= x
1 lim = 0 x→∞ x
利用定理 2 可知 说明 : y = 0 是 的渐近线 .
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三、 无穷大
又如 ，
1− cos x lim x→0 x2
故 时
2x 2sin 2 = lim x 2 x→0 4( ) 2
1 = 2
是关于 x 的二阶无穷小, 且
1 x2 1− cos x～ 2
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例1. 证明: 当 证:
时,
～
(a − b) (an−1 + an−2b +L+ bn−1) a −b =
因此 这说明当 时, 为无穷小量 .
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类似可证: 有限个 有限个无穷小之和仍为无穷小 . 说明: 无限个无穷小之和不一定 不一定是无穷小 ! 说明 无限个 不一定 例如， 例如，
1 + 1 +L+ 1 lim n 2 =1 2 2 n→∞ n + π n + 2π n + nπ
x→x0
lim f (x) = A
证: lim f (x) = A
x→x0
f ( x) = A + α , 其中α 为 x → x0
时的无穷小量 .
∀ε > 0 , ∃δ > 0, 当 0 < x − x0 < δ 时,有 f (x) − A < ε
α = f (x) − A
x→x0
lim α = 0
但α ~ β 时此结论未必成立. 2x − x tan 2x − sin x = lim 1 例如, lim =2 1+ x −1 x→0 x→0 x 2
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γ
γ
(3) 因式代替规则 若α ~ β , 且ϕ(x) 极限存在或有 因式代替规则: 界, 则 例如,
lim αϕ(x) = lim βϕ(x) 1 1 lim arcsin x ⋅sin = lim x ⋅sin = 0 x→0 x x→0 x
～ ～
Th 2
～
第八节 目录
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tan x − sin x . 例1. 求 lim 3 x→0 x
解: 原式
x−x 原式 = lim 3 x→0 x
= lim x ⋅ 1 x2 2 x3
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x→0
−1 . 例2. 求 lim x→0 cos x −1
解:
1 (1+ x2 )3
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定义1. 定义 若 则称函数 为
(或
x → ∞) 时 , 函数
(或
则
x → ∞) 时的无穷小 . 无穷小
说明: 说明 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 因为 C 当 C 显然 C 只能是 0 !
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时,
定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )
定义2 任给 定义 . 若任给 M > 0 , 总存在 一切满足不等式 (正数 X ) , 使对 正数
பைடு நூலகம்
( x > X ) 的 x , 总有
①
则称函数
当
( x → ∞ ) 时为无穷大, 记作
( lim f (x) = ∞ )
x→∞
若在定义中将 ①式改为 则记作
x→x0 ( x→∞ )
( f (x) < −M ) ,
第六节 无穷小与无穷大
一、 无穷小 二、 无穷大 三 、 无穷小与无穷大的关系
第二章
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一、 无穷小
定义1 定义 . 若 为
(或x → ∞)
时 , 函数
则称函数
(或x → ∞)
例如 :
时的无穷小 . 无穷小
函数 函数 当
当
时为无穷小; 时为无穷小;
函数
当
时为无穷小.
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说明: 说明 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.
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第二章
五、无穷小的比较
x → 0时, 3 x , x2 , sin x 都是无穷小, 但 引例 .
sin x 1 x2 lim = , lim = 0, x→0 3x 3 x→0 3x sin x lim 2 = ∞, x→0 x
( lim f (x) = − ∞)
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注意: 1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. 2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! 例如, 函数 例如 当 但 所以 时, 不是无穷大 !
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例 . 证明 证: 任给正数 M , 要使 即 的一切 x , 有
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定理2 定理 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证: 设
x→x0
u ≤M
当
o
又设 lim α = 0, 即 ∀ε > 0,
ε 时, 有 α ≤ M
取 δ = min{ δ1 , δ 2 }, 则当 x ∈U(x0 , δ ) 时 , 就有
ε uα = u α ≤ M ⋅ M = ε
对自变量的其它变化过程类似可证 .
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二、 无穷小运算法则
定理1. 定理 有限个无穷小的和还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设
∀ε > 0,
当 当
时,有 时,有
取 δ = min{ δ1 , δ 2 }, 则当 0 < x − x0 < δ 时, 有
α + β ≤ α + β < ε +ε =ε 2 2
1 只要取 δ = , 则对满足 M
所以 说明: 说明 若 为曲线 则直线 x =x0 的铅直渐近线 .
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渐近线
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四、无穷小与无穷大的关系