7.4.1 三重积分的定义
三重积分
∫∫∫ ( x2 + 5xy2 sin x2 + y2 )d x d y d z, 其中 Ω
Ω 由 z = 1 (x2 + y2 ), z = 1, z = 4围成. 2
解: I = ∫∫∫Ω x2 d x d y d z+ 5 ∫∫∫Ω xy2 sin x2 + y2 d x d y d z
利用对称性
∫∫ ∫ 记作 dxdy z2 (x, y) f (x, y, z)dz
D
z1( x, y)
z = z1(x, y)
y xD
dxd y 微元线密度≈ f (x, y, z) dxd y
1
例 1 化三重积分 I = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz为三
Ω
次积分，其中积分区域Ω为由曲面 z = x2 + 2 y2
Ω
D
z1( x, y)
方法2. “先二后一”
∫∫∫Ω
f
(
x,
y,
z
)
d
v
=
∫b a
d
z
∫∫DZ
f (x, y, z)dxdy
方法3. “三次积分”
∫∫∫ ∫ ∫ ∫ f (x, y, z)d v = Ω
b
dx
y2 (x) d y
a
y1( x)
z2 (x, y) f (x, y, z)d z
z1( x, y)
z
1
o
1
x
y
1
例 3 化三重积分∫∫∫ y 1 − x2dxdydz为三次积分，其中 Ω
Ω 由曲面 y = − 1 − x2 − z2 ， x2 + z2 = 1， y = 1所围成.
三重积分的定义和性质
三重积分的定义和性质三重积分是微积分中一种用于计算三维空间中曲面下体积、质量等物理量的方法。
在学习三重积分之前，我们需要了解它的定义和性质，以便能够正确地应用于问题的求解。
一、三重积分的定义三重积分的定义可以通过对立体进行切割、求和的方法来理解。
我们将三维空间切割成许多小的体积元，每个小体积元的体积近似于一个长方体。
假设我们要计算的函数为f(x,y,z)，则三重积分的定义可以表示为：∭f(x,y,z)dV = lim Σ f(x_i,y_i,z_i)ΔV其中，Σ表示对所有小体积元的求和，每个小体积元的体积为ΔV，该体积元的中心坐标为(x_i,y_i,z_i)。
当每个小体积元的体积趋近于零时，求和变成了对整个区域进行积分。
二、三重积分的性质1. 可加性三重积分具有可加性，即对于两个子区域A和B，有以下关系成立：∭(A∪B)f(x,y,z)dV = ∭Af(x,y,z)dV + ∭Bf(x,y,z)dV这意味着我们可以将一个复杂的区域划分成多个简单的子区域进行计算，再将结果进行相加，从而简化计算过程。
2. 反序性三重积分的计算顺序可以灵活选择，即可以按照x、y、z的任意次序进行求解。
这种性质的使用可以根据问题的要求来确定最佳求解顺序，从而简化计算过程。
3. 坐标变换在实际问题中，我们经常遇到需要进行坐标变换的情况。
通过适当的坐标变换，可以将原来的坐标系转化为更便于计算的形式。
常见的坐标变换包括柱坐标和球坐标等。
三、应用举例三重积分的应用非常广泛，下面举几个例子来说明其在实际问题中的应用。
例一：计算立体的体积假设我们需要计算一个球体的体积，其半径为R。
我们可以将球体切割成许多小的体积元，然后对所有体积元进行求和，即可得到球体的体积。
例二：计算立体的质量假设我们有一个密度分布函数为ρ(x,y,z)的立体，我们想要计算该立体的质量。
可以将立体切割成小的体积元，然后对每个体积元的质量进行求和，即可得到整个立体的质量。
三重积分的定义及性质
0
f x, y, z f x, y, z
Байду номын сангаас
2
1
f
x,
y, z dv
f x, y, z f x, y, z
1 为 的对称部分中的一部分.
4、设积分区域 关于原点对称，则
f x, y, z dv
0
1、设积分区域 关于 xoy 坐标面对称，则
f x, y, z dv
0
2
1
f
x,
y, z dv
f x, y,z f x, y, z f x, y,z f x, y, z
1 为 的对称部分中的一部分.
2、设积分区域 关于 yoz 坐标面对称，则
n
并作和： f i ,i , i vi , i 1
设 是各小区域的直径中的最大值. 如果极限：
n
lim f
0 i1
i ,i , i
vi 存在,
则称此极限为函数 f x, y, z 在区域 上的三重积分.
记作： f x, y, z dv
i ,i , i
vi
定义 设 f x, y, z 是有界闭区域 上的有界函数.将
闭区域 任意分成 n 个小闭区域： v1 , v2 , …, vn ，其中 vi 也代表第 i 个小块的体积.
在每个 vi 上任取一点 i ,i , i ,作乘积：
f i ,i , i vi ( i 1, 2, , n ),
例 计算
三重积分讲解
三重积分是微积分学中的一个重要部分，也是解决许多实际问题的基础。
以下是对三重积分的详细讲解：1.三重积分的概念：三重积分是将一个函数的积分运算转化为三个不同的积分，即分别对三个变量进行积分。
其一般形式为：∫∫∫f(x,y,z)dxdydz其中f(x,y,z)是待求积分的函数，而∫∫∫是三重积分的符号。
2.三重积分的物理背景：三重积分有着深刻的物理背景。
在物理学中，一个物体的质量分布、能量分布或者电荷分布等可以用三重积分来表示。
例如，一个物体的质量分布可以表示为空间中的密度函数f(x,y,z)，那么该物体的总质量就可以通过三重积分来计算。
3.三重积分的计算方法：三重积分的计算通常采用“分割、近似、求和、取极限”的方法。
具体步骤如下：（1）分割：将积分区域分割成许多小的立方体，每个立方体称为一个“小块”。
（2）近似：用每个小块的中心点(x',y',z')来近似该小块上的积分，即用该点的函数值f(x',y',z')来近似该小块上的积分。
（3）求和：将所有小块的积分值相加，得到粗略的积分值。
（4）取极限：将小块的尺寸逐渐缩小，使得粗略的积分值逐渐接近精确的积分值。
4.三重积分的几何意义：三重积分可以理解为空间物体的质量，即空间物体占据空间区域，在点(x,y,z)处的体密度为f(x,y,z)，整个空间物体的总质量就是将f(x,y,z)累积遍整个空间区域。
5.三重积分的性质：三重积分具有与一元定积分相同的性质，例如可加性、可移性、可换序性等。
同时，三重积分也具有与二重积分不同的性质，例如三重积分可以通过“分割、近似、求和、取极限”的过程得到精确的积分值，而二重积分则不能。
6.三重积分的实际应用：三重积分在许多实际应用领域有着广泛的应用，例如物理学中的质量分布、电荷分布、能量分布等问题，工程学中的体积计算、质量平衡等问题，以及统计学中的数据分布等问题。
通过三重积分，我们可以更好地理解和解决这些问题。
三重积分的概念计算及应用
三重积分的概念计算及应用三重积分是微积分中的一个重要概念，它可以用于描述空间中的曲面、体积和质量等问题，是积分学在三维空间中的推广与应用。
本文将从三重积分的概念、计算和应用三个方面进行阐述。
首先，我们来了解一下三重积分的概念。
三重积分是对三维空间中其中一区域内函数的积分，可以表示为∭f(x,y,z)dxdydz。
其中，f(x,y,z)表示被积函数，dxdydz表示微元体，即数学上用来描述三维空间中其中一点的微小体积。
三重积分的结果是一个实数，表示被积函数在该区域内的总体积。
对于三重积分的计算，可以分为直角坐标系和柱坐标系、球坐标系两种情况。
在直角坐标系中，我们将积分区域划分成小立方体，并将其分别对x、y、z轴进行积分，求和即可得到积分结果。
在柱坐标系和球坐标系中，可以利用坐标变换与雅可比行列式的知识简化计算，因为在这两种坐标系下，微元体的体积表示形式比直角坐标系更简洁。
接下来，我们来看一下三重积分的一些应用。
首先是体积计算。
通过将其中一区域的体积表示为三重积分的形式，并选择适当的坐标系进行计算，可以得到该区域的体积大小。
这在几何学、物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。
其次是质量计算。
当被积函数表示为密度函数时，三重积分可以用来计算物体的质量。
例如，在物理学中，可以用三重积分来计算不规则物体的质量。
此外，三重积分还可以用来计算物体的质心、转动惯量等物理量。
最后是曲面积分的计算。
通过将曲面积分转化为三重积分形式，可以计算曲面的面积或质量分布等问题。
总之，三重积分是微积分中的一个重要概念，通过对三维空间中其中一区域内函数的积分，可以描述空间中的曲面、体积和质量等问题。
在计算三重积分时，可以根据具体情况选择不同的坐标系进行计算，以简化计算过程。
三重积分在几何学、物理学、工程学等领域中具有广泛的应用，可以用来计算体积、质量、质心等物理量，并解决一些曲面积分的问题。
通过深入理解三重积分的概念、计算和应用，可以帮助我们更好地理解三维空间中的问题，推动科学研究的发展。
三重积分及其计算
三重积分及其计算三重积分是对三维空间内的函数进行积分运算。
它在物理、工程、计算机图形学等领域中有广泛的应用。
本文将介绍三重积分的概念、计算方法以及一些常见的应用。
一、三重积分的定义在直角坐标系中，设函数f(x,y,z)在体积为V的闭区域D上连续，将V分割成许多小体积ΔV，取P_i(x_i,y_i,z_i)为小体积ΔV中的任一点，使ΔV_i=f(P_i)ΔV，其中f(P_i)是P_i点上的函数值。
三重积分的定义为：\[\iiint\limits_{V} f(x, y, z) dV = \lim_{\，\Delta V_i\，\to 0}\sum\limits_{i=1}^{n} f(P_i) \Delta V_i \]其中，\(\Delta V_i\)表示小体积的体积，n为分割的小体积数量。
二、三重积分的计算方法根据三重积分的定义，可以推导出以下三种计算方法：直接计算、分离变量法和坐标变换法。
1.直接计算法直接计算法较为繁琐，适用于函数f(x,y,z)的表达式较简单的情况。
将积分区域V分成若干个小区域，然后对每个小区域使用定积分的计算方法进行计算，最后将所有小区域的积分值相加即可。
2.分离变量法当函数f(x,y,z)具有可分离变量性质时，可以使用分离变量法来简化积分计算。
即假设有f(x,y,z)=g(x)h(y)k(z)，则有：\[\int\int\int f(x, y, z) dV = \int g(x)dx \int h(y)dy \int k(z)dz\]3.坐标变换法当函数f(x,y,z)在直角坐标系中表达较为复杂时，可以通过坐标变换将其转换为其他坐标系，从而简化积分计算。
常用的坐标变换方法包括球坐标、柱坐标和三角代换等。
具体的变换公式可参考相关数学教材。
三、常见的应用三重积分在物理、工程和计算机图形学等领域中有广泛的应用。
以下列举几个常见的应用。
1.物理学在物理学中，三重积分常用于计算物体的质量、质心和转动惯量等。
三重积分知识点总结
三重积分知识点总结一、三重积分的基本概念1. 几何意义三重积分的几何意义是在三维空间中求某一区域内函数的平均值。
我们可以想象三维空间被分割成无数个小立方体，每个小立方体的体积趋于零。
然后将函数在每个小立方体上的值相加，并对整个区域进行求和，得到的就是三重积分的值。
2. 定义三重积分的定义是对平面上的二重积分的推广。
设函数f(x, y, z)在空间区域V上有定义，V的边界为S，那么三重积分可以表示为：∭V f(x, y, z) dV其中，dV表示体积元素，它等于dxdydz，即三个方向上的微小长度的乘积。
3. 坐标变换在进行三重积分的计算时，有时需要进行坐标变换，以便简化积分的计算。
常见的坐标变换包括球坐标、柱坐标和直角坐标之间的转化。
通过坐标变换，可以将原积分区域变换成更容易处理的形式，从而简化计算步骤。
二、三重积分的计算方法1. 直角坐标系下的三重积分直角坐标系下的三重积分是最基本的计算方法，它通常通过分割积分区域，并利用定积分的性质逐步进行计算。
对于简单的积分区域和函数，直角坐标系下的三重积分计算比较直观和容易理解。
2. 球坐标系下的三重积分在球坐标系下进行三重积分的计算，可以避免一些复杂的计算步骤。
球坐标系下的积分区域通常是球形或者球形的一部分，利用球坐标系的简洁性可以简化积分的计算过程。
3. 柱坐标系下的三重积分柱坐标系下进行三重积分的计算，适用于柱状或圆柱状的积分区域。
柱坐标系的简化性使得积分的计算更加方便和高效。
三、三重积分的应用1. 物理学中的应用在物理学中，三重积分被广泛应用于计算物体的质量、密度、电荷分布等问题。
例如，通过三重积分可以计算物体的质心、转动惯量等物理量，也可以计算电荷在空间中的分布情况。
2. 工程学中的应用在工程学中，三重积分被用于计算空间中的流体流动、物体的温度分布、材料的应力分布等问题。
通过三重积分可以得到流体的流速、压强分布等关键信息，也能够计算物体的热传导、热辐射等问题。
三重积分的定义和计算方法
三重积分的定义和计算方法在多元微积分中，三重积分被用来计算三维空间中复杂曲面或体积的性质。
本文将介绍三重积分的定义和计算方法，以帮助读者更好地理解和应用这个概念。
一、定义三重积分是对一个三维空间区域内的函数进行积分。
类似于二重积分用来计算二维平面区域内的函数性质，三重积分将函数在三维空间内的性质展现出来。
它可以用于计算体积、质心、质量等相关问题。
二、直角坐标系下的三重积分计算在直角坐标系下，三重积分的计算可以通过以下步骤进行：1. 建立坐标系：确定一个适当的坐标系，常见的是笛卡尔坐标系(x, y, z)。
2. 划定积分区域：确定要求解的函数所在的空间区域，通常使用不等式或图形的方程来描述。
3. 分割积分区域：将积分区域划分为许多小立方体或长方体。
4. 选择积分方式：根据问题的要求选择适当的积分方式，常见的有直角坐标系下的直角坐标形式、柱坐标形式和球坐标形式。
5. 计算积分：根据所选择的积分方式，将函数进行变量替换并进行积分计算。
三、柱坐标系和球坐标系下的三重积分计算柱坐标系和球坐标系是常用的坐标系，它们在计算具有对称性的问题时非常有用。
1. 柱坐标系下的三重积分计算：柱坐标系中，用(r, θ, z)表示点的坐标。
三重积分的计算在柱坐标系下往往更加便捷，特别适用于具有圆柱对称性的问题。
2. 球坐标系下的三重积分计算：球坐标系中，用(ρ, φ, θ)表示点的坐标。
球坐标系下的三重积分计算常常用于具有球对称性的问题。
四、应用举例三重积分在物理学、工程学和计算机图形学等领域有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用举例：1. 计算体积：通过三重积分可以计算具有复杂形状的立体体积。
2. 计算质心：对于有一定密度分布的物体，可以使用三重积分来计算其质心坐标。
3. 计算质量：类似地，通过三重积分可以计算具有复杂密度分布的物体的总质量。
4. 计算电荷分布：在电磁学中，可以利用三重积分来计算复杂电荷分布下的电势。
五、总结本文介绍了三重积分的定义和计算方法，包括在直角坐标系、柱坐标系和球坐标系下的计算。
三重积分
2
2
4
2 2 64 1 d (16 4)d 1 2 [8 2 1 6 ]2 0 0 2 6 3 2 0
提示 的上边界曲面为 z4 下边界曲面为 zx2y2 用极坐标 在xOy面上的投影区域为 x2y24 用极坐标可表示为 2 所以 2z4 可表示为 0 2 0z 2
返回
例 3 利用柱面坐标计算三重积分 zdxdydz 其中是
由曲面zx2y2与平面z4所围成的闭区域 解 闭区域可表示为
2z4 02 02
于是
zdxdydz zdddz
d d 2 zdz
0 0
b y2 ( x )
1
a x b,
z2 ( x , y )
1
dy f ( x , y , z )dz. f ( x , y , z )dv dx a y ( x) z ( x, y)
注意
这是平行于 z 轴且穿过闭区域 内部的 直线与闭区域 的边界曲面 S 相交不多 于两点情形．
返回
例4. 计算三重积分 成半圆柱体.
其中为由
柱面 x 2 y 2 2 x 及平面 z 0, z a (a 0), y 0 所围
0 2 cos 解: 在柱面坐标系下 : 0 2 0 za
原式 z d d d z
f (i ,i , i )vi
如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时 这和的 极限总存在 则称此极限为函数f(x y z)在闭区域上的三重
积分 记作 f (x, y, z)dv
i 1
n
返回
三重积分的定义
三重积分的概念与计算
三重积分的概念与计算在数学分析学科中，积分是一个重要的概念，它用于计算曲线、曲面或空间体所围成的面积、体积以及其他相关量。
而三重积分则是积分的一种特殊形式，用于计算三维空间中的体积、质量、质心等物理量。
本文将介绍三重积分的概念，并探讨其计算方法。
一、三重积分的概念三重积分是对三维空间上的函数进行积分运算。
在直角坐标系下，三重积分可以表示为∭f(x,y,z)dxdydz。
其中，f(x,y,z)是被积函数，而dxdydz则表示积分元素。
三重积分的结果是一个标量。
三重积分可以理解为对一个三维区域进行分割，并将每个小区域的体积乘以被积函数的值后相加。
当区域较为规则时，可以采用基本几何体（如长方体、球体等）的体积公式进行计算。
但对于复杂的区域，通常需要采用变量代换或切割方法进行计算。
二、三重积分的计算方法1. 直角坐标系下的三重积分计算在直角坐标系下，三重积分的计算可以按照先x后y再z的顺序进行。
具体计算方法如下：首先，确定积分区域。
三重积分的区域可以是一个立体体积，可以被一个或多个不等式所限定。
通过对区域的划分，可以将其分解为若干个可计算的部分。
制条件是根据区域的形状和约束条件确定的。
最后，进行计算。
根据上述确定的区域和限制，将被积函数f(x,y,z)代入积分式中，进行积分运算。
2. 极坐标系下的三重积分计算在某些情况下，采用极坐标系可以简化三重积分的计算。
极坐标系下，积分元素可以表示为rdrdθdz。
基于极坐标系的计算方法如下：首先，确定极坐标下的积分区域。
通常需要借助于图形的对称性来确定合适的极坐标范围。
其次，确定积分限。
根据极坐标下的区域范围，确定积分的上下限。
最后，进行计算。
将被积函数f(r,θ,z)代入积分式中，并按照r,θ,z的顺序进行积分运算。
三、举例说明下面通过一个具体例子来说明三重积分的应用。
例：计算函数f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2在半径为2的球体内的体积。
解：在直角坐标系下，球体的方程为x^2 + y^2 + z^2 = 4。
三重积分的概念和方法
在数学中，三重积分可用于求解某些偏微分方程的定解问题，以及研 究多元函数的性质和行为。
02
三重积分的计算方法
先一后二法
投影法
首先将三重积分投影到某个坐标 面上，然后依次对投影区域进行 二重积分和一重积分。
截面法
通过垂直于某个坐标轴的平面截 取积分区域，对每个截面进行二 重积分，再对截面变化的一维参 数进行一重积分。
计算物体质量
三重积分也可以用于计算物体的质量 ，方法是对物体的密度函数进行三重 积分。
如果物体的密度是均匀的，那么三重 积分的结果就是物体的体积乘以密度 ；如果物体的密度是不均匀的，那么 需要对不同部分的密度进行不同的三 重积分，然后将结果相加得到总质量 。
在实际应用中，三重积分计算物体质 量的方法被广泛应用于地球物理、材 料科学、生物医学等领域。
这一性质表明，三重积分具有线性性，可以对被积函数进行线性组合，并分别对每个函数进行积分。
可加性质
三重积分具有可加性，即对于同一积分区域Ω 上的两个被积函数f(x,y,z)和g(x,y,z)，有 ∭[f(x,y,z)+g(x,y,z)]dxdydz=∭f(x,y,z)dxdydz +∭g(x,y,z)dxdydzintintint [f(x,y,z)+g(x,y,z)]dxdydz = intintint f(x,y,z)dxdydz + intintint g(x,y,z)dxdydz∭[f(x,y,z)+g(x,y,z)]dxdydz=∭ f(x,y,z)dxdydz+∭g(x,y,z)dxdydz。
先二后一法
转化为累次积分
首先将三重积分转化为某个变量的一 重积分，然后对剩余的两个变量进行 二重积分。
三重积分概念及其计算
三重积分概念及其计算三重积分是多重积分的一种，它用于计算三维空间中的体积、质量、质心等物理量。
在本文中，我们将详细介绍三重积分的概念和计算方法。
一、三重积分的概念三重积分是对三维空间中的函数进行求和的一种数学运算。
它可以用于计算空间中的体积、质量、质心等物理量。
三重积分通常表示为∭f(x,y,z)dV，其中f(x,y,z)是定义在三维空间中的函数，dV表示微小体积元素。
二、三重积分的计算方法1.直角坐标系中的三重积分在直角坐标系中，三重积分的计算可以采用分步积分的方法。
具体而言，首先需要确定积分区域的边界，然后分别对x、y、z进行积分。
设积分区域为V，边界为S。
根据积分的基本原理，三重积分可以表示为：∭f(x,y,z)dV=∫∫∫_Vf(x,y,z)dV其中V表示积分区域的体积，dV表示微小体积元素。
假设积分区域可以被表示为：V:a≤x≤b,g(x)≤y≤h(x),p(x,y)≤z≤q(x,y)那么，三重积分可以分步计算为：∭f(x,y,z)dV = ∫∫∫_V f(x,y,z)dxdydz= ∫_a^b∫_(g(x))^(h(x)) ∫_(p(x,y))^(q(x,y)) f(x,y,z) dzdydx依次对x、y、z进行积分即可得到结果。
2.柱坐标系中的三重积分在柱坐标系中，三重积分的计算可以采用柱坐标系下的坐标变换公式。
具体而言，用柱坐标r、θ、z替换直角坐标系中的x、y、z，然后对新的坐标进行积分。
设柱坐标系下的积分区域为V，边界为S。
根据柱坐标系下的坐标变换公式，三重积分可以表示为：∭f(x,y,z)dV = ∬∬∬_V f(rcosθ,rsinθ,z)rdzdrdθ其中 r 表示到原点的距离，θ 表示与正 x 轴的夹角，z 表示垂直于 xy 平面的坐标。
积分区域 V 在柱坐标系下的表示方式为：V:α≤θ≤β,g(θ)≤r≤h(θ),p(r,θ)≤z≤q(r,θ)根据这个表示，可以将三重积分计算为：∭f(x,y,z)dV = ∬∬∬_V f(rcosθ,rsinθ,z)rdzdrdθ= ∫_α^β ∫_(g(θ))^(h(θ)) ∫_(p(r,θ))^(q(r,θ))f(rcosθ,rsinθ,z) zdrdθ依次对θ、r、z进行积分即可得到结果。
三重积分
∫∫∫ x yzdv = 0
Ω
∫∫∫ Ω
8∫∫∫ y2z2dv y z dv =
2 2
Ω3
9
关于原点对称 原点对称, (4) 若 Ω关于原点对称
则∫∫∫ f ( x , y , z )dv
Ω
0 = 2∫∫∫ f ( x , y , z )dv
Ω4
f为 x, y, z的奇函数
f为 x, y, z的偶函数
19
例 计算 ∫∫∫
V
与平面 z = 1所围成的区域 在第一卦限内的部分 .
画积分区域的草图.采用先对x积分 再对y、 采用先对 积分, 解 画积分区域的草图 采用先对 积分 再对 、z 积分的方法简单 的方法简单. 积分的方法简单 将V向yOz平面投影 得平面区域 向 平面投影 D yz = {( y , z ) 0 ≤ y ≤ z , 0 ≤ z ≤ 1}, 对任一 ( y , z ) ∈ D yz , x取值为 0 ≤ x ≤ z − y . 取值为
其中 Ω4 为 Ω 中关于原点对称的一半区域 关于原点对称的一半区域.
10
例 设域Ω为 x 2 + y 2 + z 2 ≤ a 2 , Ω 1为Ω的z ≥ 0部分 则
x 2 y 2 zdv = 0 ∫∫∫
Ω
yz 2dv =2∫∫∫ yz2dv = 0 ∫∫∫
Ω关于 坐标面对称 , , 是yz的偶函数 关于xOy 或 Ω关于 关于xOz 坐标面对称 f f是 的奇函数 而得结果为零. 而得结果为零 Ω 1关于 关于xOz坐标面对称 , f是y的奇函数
Ω
Ω1
11
1988年研究生考题 选择 分 年研究生考题,选择 年研究生考题 选择,3分
三重积分的定义和基本概念
三重积分的定义和基本概念三重积分是数学中的一种重要计算方法，用于解决三维空间中的问题。
在工程、物理、计算机图形学等领域都有广泛的应用。
本篇文章将讨论三重积分的定义和基本概念。
一、三重积分的定义三重积分是对空间内的三维物体进行积分计算，相当于对空间进行分块，然后对每个小块进行求和。
计算三重积分需要确定三个方向上的积分限制，通常用x、y、z表示。
例如，计算一个某种物体在三维空间内的体积可以用以下式子表示：V = ∭f(x,y,z)dxdydz其中，f(x,y,z)是需要计算的函数，x、y、z是三个方向上的积分下限和上限。
dxdydz表示对三维空间进行积分。
计算过程中，要对x、y、z的取值范围进行分段积分，将整个空间分成无数个小块，然后对每个小块进行积分求和，从而得出三重积分的结果。
二、三重积分的基本概念1.积分区域计算三重积分时必须确定积分区域。
积分区域通常由内部限制条件和外部限制条件确定。
内部限制条件是由该物体自身属性决定的，例如球体的内部限制条件是x²+y²+z²≤r²，其中r是球体半径。
外部限制条件则是由外部环境或其他因素所影响，例如在放射源处进行辐射计算时，辐射区域的外部限制条件是与放射源的距离。
2.三重积分的求法计算三重积分时，可以采用以下几种方法。
（1）直接积分法：根据题目要求，将积分区域划分成若干子区域，然后对于每个子区域进行一次三重积分。
（2）三重积分与二重积分的转换：当三重积分难以处理时，可以先对其中两个变量进行积分，然后再对得到的二重积分进行积分。
（3）极坐标系下的三重积分：当积分区域以旋转体或圆锥体为主体时，使用极坐标系进行计算会更加简单。
3.三重积分的应用三重积分在物理学和工程学中有广泛的应用。
例如，在热传递学和流体力学中，可以通过三重积分计算热传递和流量。
在电磁场学中，可以通过三重积分计算电磁场强度和电势分布。
在计算机图形学中，可以用三重积分计算物体的体积和表面积等。
三重积分的概念及其计算
三重积分的概念及其计算三重积分是对于具有三个独立变量的函数在三维空间内的积分。
它对于解决和分析各种物理、几何和工程问题起着重要的作用。
在本文中，我们将讨论三重积分的概念、计算方法以及一些应用。
首先，让我们来讨论三重积分的定义和概念。
三重积分是对于一个三维实值函数，在一个三维有界区域内的体积进行积分。
三重积分的符号表示为∭f(x,y,z)dV，其中f(x,y,z)是被积函数，表示在(x,y,z)处函数的值；dV表示积分元素，用于表示积分的区域体积。
为了计算三重积分，我们需要确定被积函数的积分区域。
这个区域可以是一个有界的立体，也可以是由不同的条件限定的多个区域的并集。
一旦确定了积分区域，我们可以通过将该区域划分成较小的体积元素，并对每个体积元素进行积分来逼近整个区域的积分值。
接下来，我们将讨论三种常用的计算三重积分的方法。
第一种方法是直角坐标系下的三重积分计算。
在直角坐标系下，我们可以将积分区域划分为一系列的长方体或平行六面体，每个体积元素的体积可以表示为ΔV=ΔxΔyΔz，其中Δx、Δy和Δz分别是划分的长方体或平行六面体边长的增量。
然后，我们可以对每个体积元素进行积分，并将所有体积元素的积分值相加，得到最终的三重积分值。
第二种方法是柱面坐标系下的三重积分计算。
在柱面坐标系下，我们可以通过引入新的变量，如极角θ和距离原点的距离ρ来简化积分计算。
积分区域可以通过极坐标变换转换为适合柱面坐标的形式。
然后，我们可以对每个体积元素进行积分，并将所有体积元素的积分值相加，得到最终的三重积分值。
第三种方法是球面坐标系下的三重积分计算。
在球面坐标系下，我们可以通过引入新的变量，如极角θ、方位角φ和距离原点的距离r来简化积分计算。
积分区域可以通过球坐标变换转换为适合球面坐标的形式。
然后，我们可以对每个体积元素进行积分，并将所有体积元素的积分值相加，得到最终的三重积分值。
除了上述的计算方法，我们也可以使用数值方法来计算三重积分。
第三节 三重积分的概念及性质
f ( x, y, z) d v 0.
(2) 如果
某一侧部分，且f (x, y, z)关于z(或y或x)为偶函数，则
关于xOy(或xOz或yOz) 对称，1 为 在相应的坐标面
f ( x, y, z ) d v 2 f ( x, y, z ) d v
1
(3) 如果 与 关于平面y = x对称，则
f(x ，h ，z ) v f(x，y，z)dv lim l
0
i i i
i 1
n
i
．
积分号，
被积函数， 被积表达式，
f(x，y，z) f(x，y，z)dv
dv
x，y，z
体积元素，
积分变量， 积分区域，
f(x ，h ，z ) v
i i i
i 1
n
i
积分和．
三重积分的物理意义 若物体占有空间区域 ，且体密度函数为 ( x, y, z ), 则该物体的
f ( x, y, z ) d v
性质 6 设M、m 分别是f(x,y,z)在闭区域 上的最大值和最小值， V为 的体积，则有
mV f ( x, y, z ) d v MV
性质7 （积分中值定理） 设函数f(x, y, z)在闭区域 上连续，V为 的体积，则在
第三节 三重积分的概念与性质
一、三重积分的定义
二、三重积分的性质
一、三重积分的定义
设f (x，y，z)是空间有界闭区域 上的有界函数．将 任意 分成 n 个小闭区域 v1，v2，· · · ，vn 其中vi表示第 i 个小闭区域，也表示它的体积．在每个vi上任 取一点(xi，hi，zi)，作乘积f(x i，h i，z i) vi（i1，2，· · · ，n)并 作和 n f(xi，hi，zi) vi．
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Triple Integrals
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April 1, 2020
7.4.1 三重积分的定义
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空间物体的质量
空间物体占有空间有界闭区域
密度： (x, y, z)
求物体的质量 M
i 1
i 1
(4) 取极限，得质量的精确值：
n
M
lim
0
i 1
(i ,i , i )Vi
是各小块的直径最大者
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三重积分的定义
f (x, y, z) 在 上有界， : 有界闭区域
n
f (x, y, z)dV
lim 0
i 1
f (i ,i , i )Vi
积被 分积 区函 域数
体 与 的划分方式和
积 元
点(i ,i , i )的取法无关
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立体物体质量的积分模型：
M (x, y, z)dV 密度
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April 1, 2020
积分的质量模型
细棒的质量：
b
M a (x)dx
(x) : 线密度
薄片的质量：
M (x, y)d D
立体物体的质量：
(x, y) :面密度
M (x, y, z)dV (x, y, z): 密度
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三重积分的性质 三重积分具有与二重积分类似的性质
1dV dV V （的体积）
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April 1, 2020
在直角坐标系中，用三组分别平行于坐标面的 平面划分积分区域
对于均匀密度的物体： 质量 = 密度×体积
M V 上一页 | 首页 | 下一页 College of mathematics
April 1, 2020
对于非均匀密度的物体，如何求质量？
(1) 将立体划分成 n 个直径很小的小块：
V1 V2 ... Vn (2) 在小块 Vi 中任意取一点 (i ,i , i )
以该点的密度近似代替小块中各点的密度
（局部以均匀密度代替非均匀密度）
Vi
得 Vi 的质量的近似值：
Mi (i ,i , i )Vi
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(3) 求和，得 的质量的近似值：
n
n
M M i (i ,i , i )Vi
一个典型的积分元素为一个长方标系中的体积元素
V z x
y
f (x, y, z)dV f (x, y, z)dxdydz
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