7.4.1 三重积分的定义

以该点的密度近似代替小块中各点的密度
（局部以均匀密度代替非均匀密度）
Vi
得 Vi 的质量的近似值：
Mi (i ,i , i )Vi
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April 1, 2020
(3) 求和，得 的质量的近似值：
n
n
M M i (i ,i , i )Vi
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三重积分的性质 三重积分具有与二重积分类似的性质
1dV dV V （的体积）
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在直角坐标系中，用三组分别平行于坐标面的 平面划分积分区域
lim 0
i 1
f (i ,i , i )Vi
积被 分积 区函 域数
体 与 的划分方式和
积 元
点(i ,i , i )的取法无关
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立体物体质量的积分模型：
M (x, y, z)dV 密度
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一个典型的积分元素为一个长方体：
V xyz dV dxdydz
直角坐标系中的体积元素
V z x
y
f (x, y, z)dV f (x, y, z)dxdydz
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i 1
i 1
(4) 取极限，得质量的精确值：
n
M
lim
0
i 1
(i ,i , i )Vi
是各小块的直径最大者
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三重积分的定义
f (x, y, z) 在 上有界， : 有界闭区域
n
f (x, y, z)dV
对于均匀密度的物体： 质量 = 密度×体积
M V 上一页 | 首页 | 下一页 College of mathematics
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对于非均匀密度的物体，如何求质量？
(1) 将立体划分成 n 个直径很小的小块：
V1 V2 ... Vn (2) 在小块 Vi 中任意取一点 (i ,i , i )
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Apri来自百度文库 1, 2020
积分的质量模型
细棒的质量：
b
M a (x)dx
(x) : 线密度
薄片的质量：
M (x, y)d D
立体物体的质量：
(x, y) :面密度
M (x, y, z)dV (x, y, z): 密度
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7.4 三重积分
Triple Integrals
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7.4.1 三重积分的定义
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空间物体的质量
空间物体占有空间有界闭区域
密度： (x, y, z)
求物体的质量 M